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第14章全等三角形分层作业设计
基础通关
1．如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．根据下列所给条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．
3．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．5或9
5．一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．3或5
6．如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（ ）
A．平分 B．
C．若，则 D．
9．如图，已知，点的对应点为点，点的对应点为点．若，，则的长为_____．
10．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是________．
11．如图，，，若，，则点的坐标为________．
12．如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为_______．
13．如图，在中，为的角平分线，过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，若，则的面积为______．

14．如图，在中，，点在外，，且平分．以下结论：①平分的外角；②；③平分；④；其中正确的结论是______（填写序号）．
15．如图，．求证：．
16．如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足．
(1)求证：．
(2)求证：．
17．如图1，的内角的平分线和一个外角的平分线相交于点E．

(1)若，则的大小是______；（用含m的式子表示）
(2)如图2，连接．求证：平分另一个外角．
思维拓展
18．，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点．
(1)求证：是的中点．
(2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由．
19．如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内．
(1)如图1，若，求点C的坐标．
(2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
(3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长．
20．点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，．
(1)如图1，点C在内，满足．
①若，求的度数；
②若，求的长；
(2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B C C A C
1．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键．
根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答．
【详解】解：如图：
以为公共边可以画出三个三角形和原三角形全等；
以为公共边可以画出一个三角形和原三角形全等；
以为公共边不能画出三角形与原三角形全等，
所以一共可以画出4个三角形和原三角形全等．
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，选项B满足条件，能唯一确定三角形；选项A是，不能唯一确定；选项C不满足三角形三边关系；选项D是，不能唯一确定大小．
【详解】解：A．∵，，，即两边及非夹角，
∴不能唯一确定；
B．∵，，，即两角及其夹边，
∴能唯一确定；
C．∵，，，且，
∴不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），
∴不能构成三角形；
D．∵，即只有三个角相等，
∴不能唯一确定．
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行排除选项即可．
【详解】解：由题意得：
当添加时，由条件，，所以不能判定；
当添加时，由条件，，可根据“”判定；
当添加时，则有，即，由条件，，可根据“”判定；
当添加时，由条件，，可根据“”判定；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键；
根据全等三角形的对应边相等，由对应顶点关系确定对应，再通过周长求出即可得．
【详解】解：，点和点，点和点是对应顶点，
与为对应边，即
的周长为，，
，
即，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，解决此类边长对应问题时，需先确定明确的对应边，再对剩余边进行分类讨论．
由于两个三角形全等，且第二个三角形中有一条边为3，因此这条边必须与第一个三角形中的边3对应，剩余两边对应第一个三角形中的5和7，有两种对应情况，分别解方程组求和，再计算．
【详解】解：两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3，
此边必与第一个三角形的边3对应，
情况一：且，
相加得，
，代入得，
；
情况二：且，
相加得，
，代入得，
；
或．
故选：．
6．C
【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键．
先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以．
【详解】解：在长方形中，
∵，，
∴，
由作法得：平分，
∴．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，则可利用证明，由全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵和的长度相等，是它们的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】过点作于，由角平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可得到平分，进而判断A；由结合三角形面积即可判断B；由角平分线的定义得到，，然后结合三角形外角的性质得到，然后由平分即可得到，即可判断C；证明出，得到，证明出，得到，然后等量代换即可判断D．
【详解】解：A．过点作于，
∵平分，，
∴，
又平分，，，
∴，
∴，
又，，
∴平分，故A正确；
B．由①知，
，故B正确；
C．∵平分平分，
∴，，
∴
∴
∵平分，
∴，故C错误；
D．∵，
∴
，
，
又∵，，
，
，
在 和中，
，
，
，
，
，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定定理，三角形的面积公式，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和三角形的相关定理进行推理计算．
9．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
10．8
【分析】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．
根据三角形的中线的性质得出，根据角平分线的性质得出，进而得出，即可得结论．
【详解】解：如图，
过点作，垂足分别为，
∵是角平分线，
∴，设，
∵的面积是，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：8
11．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，以及平面直角坐标系，过点作轴的垂线，交轴于点，可得到，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点．
根据题意可知，．
∵，，
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
∴点的坐标为．
12．
【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线判定定理可得平分，平分，则，，根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵ 点P到三边的距离，
∴平分，平分，
∴，
∴
∴；
故答案为：．
13．1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先证明，得出，再证明，得出，，然后结合三角形外角的性质可得出，根据等角对等边得出，则求出，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：1．
14．①②④
【分析】此题主要考查了角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解角平分线的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
①根据得，再根据得，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断；
②由平分设，的，则，根据三角形外角性质得，则，据此可对该结论进行判断；
③过点作于点，于点，，交的延长线于点，设与相交于点，根据角平分线性质得，由此得是的平分线，再由得，则，据此可对该结论进行判断；
④根据直角三角形性质得，在中，由三角形内角和定理得，据此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案．
【详解】解：①在中，，
，
，
，
，
，
平分，
即平分的外角，
故结论①正确；
②平分，
设，
，
在中，，
，
，是的外角，
，
，
，
，
故结论②正确；
③过点作于点，于点，，交的延长线于点，设与相交于点，如图所示：
平分，平分△的外角，
，，
，
又点在的内部，
是的平分线，
，
，
，
，
不是的平分线，
故结论③不正确；
④在中，，
，
在中，，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
15．
证明：∵，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴．
【分析】本题考查三角形全等的判定，掌握判定三角形全等是解题的关键．先证明，再用证明即可，
【详解】略
16．(1)
证明：延长交于点，
是的外角，，
．
，
,
．
(2)
解：如图所示，连接，过点作于点，
，
．
，，
∴，
；
在和中，
，
，
∴，
平分；
，
∴，
，
，
．
，，
；
在和中，
，
．
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）延长交于点，由三角形外角的性质可得，则可求出，据此可证明结论；
（2）连接，过点作于点，证明，得到，则平分；证明，得到．证明，即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
17．(1)
(2)
证明：过点E分别作于M，于N，于H，

∵分别平分，
∴，，
∴，
∴E在的平分线上．
∴平分．
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形的外角，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据角平分线平分角，三角形的外角的性质，推出，即可；
（2）过点E分别作于M，于N，于H，根据角平分线的性质，推出，即可得证．
【详解】（1）解：∵的内角的平分线和一个外角的平分线相交于点E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）略
18．(1)
证明：，
即
在和中，
在和中，
，即是的中点；
(2)
解：成立，理由如下：
，
，即
，
在和中，
在和中，
，即是的中点．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论；
（2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点．
【详解】（1）略
（2）略
19．(1)
(2)点之间的距离是定值6，
理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
(3)12
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标；
（2）连接，先证，再证，于是可得；
（3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，，
如图，过点C作轴于点D，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
点C的坐标为．
（2）略
（3）解：如图，连接，过点C作轴于点F，
同（1）可证，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
20．(1)①；②；
(2)
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案；
②过点作交延长线于，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，求解即可；
（2）过点作于，连接，利用证明，得到和，即可证明，得到，结合已知得到，，，以及，设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，列方程求得和，即可求得三角形面积．
【详解】（1）解：①在中，；
∴；
∵；
∴；
②过点作交延长线于点，如图，
∴，
由①得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，负值舍去；
（2）解：过点作于，连接，如图所示，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，，
∴，
设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，
，解得，
则三角形面积．

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