资源简介

第一章　丰富的图形世界
课标摘录
1.通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
2.能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体.
3.通过实例,了解视图在现实生活中的应用.
4.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型.
5.通过实例,了解展开图在现实生活中的应用.
6.用数学的思维方法,综合地、有逻辑地分析问题,经历分工合作、建立模型、计算反思、解决问题的过程,提升思维能力,逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.
教材分析
本章从生活中常见的立体图形入手,使学生在丰富的现实情境中,在展开、折叠等数学活动过程中,认识常见几何体及点、线、面的一些性质;再通过从不同方向看、展开和折叠与切截一个几何体等活动,在平面图形与立体图形的转换中发展学生的空间观念;最后由立体图形转向平面图形,在丰富的活动中,使学生认识一些平面图形的简单性质.
教学目标
1.经历从不同方向看、展开与折叠、切截等数学活动过程,积累数学活动经验.
2.在平面图形和几何体相互转换等活动中,发展空间观念.
3.认识常见几何体的基本特性,能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类,并能从组合图形中分离出基本几何体.
4.通过丰富的实例,进一步认识点、线、面的基本含义,了解点、线、面、体之间的关系.
5.初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的图形,能辨认和画出从不同方向观察正方体及其简单组合体得到的形状图.
6.了解直棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图,能根据展开图想象和制作立体模型.
7.进一步丰富数学活动的成功体验,激发对图形与几何学习的好奇心,初步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
教学重难点
重点:能够识别常见的几何体,并能描述它们的某些性质与进行分类;了解点、线、面、体之间的关系;能画出简单几何体从三个方向看到的形状图;了解直棱柱、圆柱与圆锥的表面展开图;正确识别几何体的截面.
难点:正确识别由平面图形旋转构成的几何体;能根据从两个方向看到的几何体的形状图判断小立方块的个数;正确辨别正方体的相对面;能根据展开图想象和制作立体模型;学会解决问题的策略——分类讨论.
知识结构
1　生活中的立体图形
第1课时　几何体与棱柱
课标摘录
通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
教学目标
1.经历从现实世界中抽象出图形的过程,感受图形世界的丰富多彩.
2.在具体情境中认识正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球,并能用自己的语言描述它们的某些特征.
3.会对常见的几何体进行分类.
教学重难点
重点:能够识别正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球,并能描述它们的某些性质.
难点:用自己的语言准确地描述常见几何体的某些特征,并能从不同角度对常见几何体进行分类.
教学策略
1.创设丰富的现实情境,引导学生从实物中抽象出常见的几何体,并初步感受它们的某些特征.
2.通过小组合作交流,探究棱柱与圆柱的特征,能用自己的语言尝试描述自己的发现与结论,通过小组活动充分调动学生的主观能动性,从而提高课堂教学效率.
教学过程
(一)情境导入
同学们,请翻开课本看第1页的彩图,这个城市多漂亮啊!我们在欣赏这个城市的美景时,不妨用数学的眼光观察一下,这个美丽的城市也是我们的数学世界——丰富的图形世界,你能从中发现哪些熟悉的图形呢
(二)新知初探
探究一　常见几何体的认识与分类
1.观察教材第2页图1—1,回答下列问题:
(1)图中哪些物体的形状与正方体、长方体类似
(2)图中哪些物体的形状与圆柱、圆锥类似
(3)请找出图中与茶叶盒(六棱柱形状)形状类似的物体.
(4)请找出图中与地球形状类似的物体.
解:(1)魔方的形状与正方体类似;书籍、书桌桌面等的形状与长方体类似;
(2)水杯的形状与圆柱类似;书架上面尖尖的物品、挂着的网兜等的形状与圆锥类似;
(3)书架上的盒子、书桌上的笔筒等;
(4)排球.
新知归纳:
(1)一般地,对于一个物体,当只研究它的形状、大小而不考虑其他特征时,就得到一个几何体.几何体简称体.
(2)常见的几何体:
正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球.
2.合作交流:你如何对几何体进行分类
小结:(1)
(2)
(3)
针对训练:教材习题第5页第3题.
任务一　意图说明
结合学生的生活实际,引导学生观察常见的物品,从实物中抽象出几何体的概念,并初步认识常见的几何体,尝试从不同角度对几何体进行分类,培养“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养.
探究二　棱柱的相关概念及特征
1.观察·思考:
(1)教材图1—3中指出了六棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面,请你指出三棱柱、四棱柱、五棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面.
(2)棱柱的侧棱、侧面和底面分别有什么特点
(3)长方体、正方体是棱柱吗
小结:(1)在棱柱中,相邻两个面的交线叫作棱,相邻两个侧面的交线叫作侧棱.棱柱的所有侧棱长都相等.棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是平行四边形.
(2)人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
(3)长方体、正方体都是四棱柱.
棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱,直棱柱的侧面都是长方形.本书主要讨论直棱柱(简称棱柱).
2. 思考·交流:
请用自己的语言描述棱柱与圆柱的相同点与不同点,并与同伴进行交流.
解:相同点:它们的两个底面形状、大小均相同且互相平行.
不同点:棱柱的上、下底面是多边形,侧面是平面;圆柱的上、下底面是圆,侧面是曲面.
3.例题讲解
例题　如图所示的是一个棱柱.
(1)它有几个面 几个底面 底面与侧面分别是什么图形
(2)侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系
(3)这个棱柱有几个顶点
解:(1)它有6个面,2个底面,底面是四边形,侧面是长方形.
(2)侧面的个数与底面多边形的边数相等,都为4.
(3)这个棱柱有8个顶点.
[方法归纳] 熟记n棱柱的特点是解决该类问题的关键:n棱柱有(n+2)个面,2n个顶点,3n条棱,n个侧面,n条侧棱.
针对训练:……
任务二　意图说明
引导学生观察并讨论棱柱的特征,从而引出棱柱的相关概念与性质,并与圆柱对比,帮助学生进一步掌握它们的特征,突破本节的重难点,培养学生会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界的核心素养.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
教学反思
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.为了体现新课标理念,在设计本课时,从学生身边熟悉的物体着手,提供大量的实物与图片,注重所学知识与生活实际的联系,学生在教师的引导下,经历观察、想象、实践、交流等数学活动,通过学生自己动手收集不同形状的物品,识别立体图形,让学生感受到数学源于生活,生活中处处有数学.通过课前观察、收集,课内动脑、动手对图形进行分类,使学生初步感知概念,也扩大了学生主动参与和亲身实践的空间,激发了学生的学习兴趣.
第2课时　图形的构成
课标摘录
通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
教学目标
1.通过丰富的实例,进一步认识点、线、面、体,初步感受点、线、面、体之间的关系.
2.在对图形进行观察、操作等活动中,积累处理图形的经验,发展空间观念.
教学重难点
重点:对点、线、面、体的认识,了解点、线、面、体之间的关系.
难点:正确识别由平面图形旋转构成的几何体.
教学策略
1.先引导学生观察区域图与实物,进而了解点、线、面、体是构成图形的基本元素,并对点、线、面、体有实质性的认识,再进一步认识几何图形,会区分平面图形与立体图形.
2.通过生活中的实例感受点、线、面、体之间的关系,结合几何画板等信息技术的动态演示,培养学生的空间想象能力,激发学生的学习兴趣,提高课堂效率.
教学过程
(一)情境导入
如图所示的是两位同学所画的小动物,哪个图形给你立体感的形象 哪个图形给你平面感的形象 它们分别是由哪些你熟悉的图形组成的
解:第一个图形是由立体图形组成的,用到了圆柱、长方体、球、正方体;第二个图形是由平面图形组成的,用到了三角形、正方形、长方形、五边形、六边形、圆及曲线.
(二)新知初探
探究一　点、线、面、体的认识
1.自学课本第5页内容,思考下列问题:
(1)找出图1—6中的点、线、面.
(2)图1—6中哪些线是直的 哪些线是曲的 哪些面是平的 哪些面是曲的
学生交流展示后,教师归纳.
小结:图形的构成及点与线的认识
(1)图形是由点、线、面构成的.面与面相交得到线,线与线相交得到点.
(2)数学上所说的点是没有大小的,线是没有粗细的.
2.观察课本第6页“观察·思考”图1—7中的五棱柱和圆柱,回答下列问题:
(1)五棱柱是由几个面围成的 圆柱是由几个面围成的 它们都是平的吗
(2)圆柱的侧面和底面相交得到几条线 它们是直的还是曲的
(3)五棱柱有几个顶点 经过每个顶点有几条棱
(4)请你举例说出几个平面图形与立体图形.
小结:(1)面的认识
面有平的和曲的.如果想象将一个平的面向四周无限延展,就得到了平面.数学上所说的平面既没有边界,也没有厚薄.
(2)几何图形及其分类
点、线、面、体及其组合都是几何图形.如果一个几何图形上的所有点都在同一个平面内,那么这样的几何图形是平面图形.三角形、平行四边形、圆等都是平面图形.如果一个几何图形上的点不都在同一个平面内,那么这样的几何图形是立体图形.棱柱、圆柱、圆锥、球等都是立体图形.
针对训练:教材第8页习题第1题.
任务一　意图说明
引导学生通过对区域图与棱柱、圆柱以及相关实物图的观察,寻找点、线、面,进而引出几何图形及其构成元素等知识,让学生能够从整体上认知几何图形,对点、线、面的本性特征加深了解,为下一步学习点、线、面、体之间的关系做好铺垫.
探究二　点、线、面、体之间的关系
1.独立完成教材第6页“观察·交流”中的问题,从中你能得到怎样的结论 你还能举出哪些实例
小结:点、线、面、体之间的关系:点动成线、线动成面、面动成体.
2.独立完成教材第7页“尝试·思考”中的问题.
例题　如图所示,已知直角三角形纸板ABC,两条直角边中AB=4厘米,BC=8厘米.
(1)将直角三角形纸板ABC绕三角形的边所在的直线旋转一周,能得到　　　　种大小不同的几何体.
(2)计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积.（圆锥的体积V=πr2h,π取3）
解:(1)3 提示:3种情况分别如下:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
绕BC所在的直线旋转　　　　　绕AB所在的直线旋转　　　　　　绕AC所在的直线旋转
(2)绕AB所在直线旋转一周所得几何体的体积为×3×82×4=256(立方厘米);
绕BC所在直线旋转一周所得几何体的体积为×3×42×8=128(立方厘米).
[方法归纳]
熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键.解答(1)时不要漏掉绕斜边所在直线旋转的情况,学会分类讨论,全面获解.
针对训练:……
任务二　意图说明
通过现实生活中的例子引导学生归纳得到点、线、面、体之间的关系,感悟数学知识来源于生活,又能够服务于生活,同时,通过例题不同情形的思考过程,发展缜密思维,培养运算能力的核心素养.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
(五)板书设计
教学反思
本节遵循知识联系生活实际的原则,从大量生活中的图形与实物入手,引领学生感悟点、线、面的实质,归纳概括几何图形的相关概念,识别立体图形与平面图形,从动态观念理解点、线、面、体之间的关系,感受从平面图形到立体图形的转换,培养学生观察思考和自己动手实践、合作学习的能力,发展空间想象力.
2　从立体图形到平面图形
第1课时　从三个方向看物体的形状
课标摘录
1.能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体.
2.通过实例,了解视图在现实生活中的应用.
教学反思
1.经历从不同方向观察物体的活动,体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的图形,发展空间观念.
2.能辨认从不同方向看到的物体的形状图,会画正方体及其简单组合体从三个方向看到的形状图.
3.能在与他人交流的过程中,合理清晰地表达自己的思维过程.
教学重难点
重点:从三个方向观察简单几何体得到的形状图的画法.
难点:能根据从三个或两个方向看到的几何体的形状图判断小立方块的个数.
教学策略
1.重视小初衔接,引导学生回顾小学学习的从不同方向观察同一物体时看到的形状图展开学习,消除学生对新知的陌生感.
2.采用多媒体手段进行动态演示,通过学生动手画图与实物操作活动,借助几何直观,突破困难瓶颈,也激发学生的学习兴趣,培养同他人合作与交流的意识,积累活动经验.
教学过程
(一)情境导入
“横看成岭侧成峰”从数学的角度应怎样解释
(从不同方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形)
在小学,我们曾经辨认过从正面、左面(或右面)和上面三个不同方向观察同一物体时看到的物体的形状图.如图所示的是由大小相同的小立方块搭成的几何体,请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图.
解:如图所示.
(二)新知初探
探究一　从三个方向看物体的形状图
操作活动:利用事先准备的小立方块道具(或盒子),请你用6个大小相同的小立方块搭一个你喜欢的几何体,然后让同桌画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图.(展示时,也可借助多媒体软件演示)
例题　一个由完全相同的小立方块搭成的几何体如图所示,请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图.
解:如图所示.
针对训练:……
任务一　意图说明
结合小初衔接,充分利用学生的已有知识经验进行教学,发展学生的空间观念是本节的首要目标.利用小组活动,通过搭建多种多样的几何体,帮助学生体会“从不同方向看”的意义,同时活跃课堂气氛,收到良好的学习效果.
探究二　由不同方向看到的形状图还原几何体
1.自学课本第9~10页“尝试·思考”中的问题及其分析过程,然后解答下面的问题:
一个几何体由4个相同的小正方体搭成,从正面、上面看到的形状图如图所示,则原立体图形可能是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A　　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　D
2.操作活动:(1)请你选用若干个如图所示的立方块和长方块搭一个几何体,然后请同桌画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图.
(2)请你画出从正面、左面、上面看到的一个几何体(由若干个如图所示的立方块和长方块搭成)的形状图,然后请同桌根据你画的形状图搭出相应的几何体.
例题　如图所示是由多个大小相同的小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图,小正方形中的数字表示在这个位置小立方块的个数.请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图.并与同伴交流你是怎样思考的.
解:如图所示.
画法角度1:先用实物摆出这个几何体,再画出从正面、左面看到的它的形状图.
画法角度2:根据从上面看到的形状图确定从正面看到的形状图有3列,从左面看到的形状图有2列,再根据小正方形中的数字确定每列小立方块的个数.
[方法归纳]
(1)从正面看到的形状图,列数=从上面看到的形状图的列数,每列小正方形的个数=从上面看到的形状图该列中的最大数.
(2)从左面看到的形状图,列数=从上面看到的形状图的行数,每列小正方形的个数=从上面看到的形状图该行中的最大数.
针对训练:……
任务二　意图说明
依据从不同方向看到的两个形状图,尝试还原该几何体.教材详细介绍了方法步骤,故采用自学+练习反馈的方式进行教学.操作活动与例题则是对本节两个探究点的综合应用与拓展.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
从三个方向看物体的形状
1.从三个方向看物体的形状:正面、左面、上面.
2.由不同方向看到的形状图还原几何体.
教学反思
本节课注重创设良好的学习氛围,营造和谐、轻松的学习环境,让学生自由地学习数学.在借助多媒体动态演示的同时,也注重了让学生动手操作,亲身体验,这样学生获得了更多的探索机会,也充分体现了教师的民主意识,突出了学生的主体地位,教师是学习的合作者、引导者.在从上面观察物体时,观察者一定要注意站立在物体的正面,而不要站立在物体的背面或两侧.
第2课时　正方体的表面展开图
课标摘录
1.了解直棱柱的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型.
2.通过实例,了解展开图在现实生活中的应用.
教学目标
1.会识别正方体的各种展开图,正确判断正方体的相对面.
2.在操作活动中,进一步丰富对正方体的认识,能根据展开图判断和制作简单的立体模型.
3.经历展开与折叠、模型制作等活动,发展空间观念,积累数学活动经验.
教学重难点
重点:通过操作活动,掌握正方体的展开图,体会立体图形到平面图形的展开过程,发展学生的空间观念.
难点:正确辨别正方体的相对面;由给出的平面图形想象出相应的立体图形,并用语言描述其过程.
教学策略
1.本节从学生熟悉的物体入手,通过正方体的展开与折叠,让学生进一步认识立体图形与平面图形的关系,通过观察、思考和自己动手操作,经历和体验图形的变化过程,进一步发展学生的空间观念.
2.利用几何画板,动态展示正方体沿不同的棱剪开得到的展开图,和各展开图围成正方体的过程,借助几何直观,发展学生的空间观念.
教学过程
(一)情境导入
在生活中,我们经常见到正方体形状的盒子,为了设计和制作的需要,我们应了解正方体盒子展开后的平面图形.你还记得小学学过的正方体表面的展开图吗 将教材第12页图1—17所示的正方体沿图中红色的棱剪开,请画出它的展开图.
(二)新知初探
探究一　正方体的展开与折叠
1.将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图形(展开后每个面至少有一条边与其他面相连),原正方体中未剪开的棱有几条 剪开的棱有几条
解:未剪开的棱有5条,剪开的棱有7条.
2.你还能得到正方体的哪些展开图
学生活动:把剪好的平面图形贴在黑板上.(重复的不再贴)
小结:结合几何画板动态展示,得出正方体的展开图有11种.
讨论:能否将得到的平面图形分类 你是按什么规律来分类的
[方法归纳]
第一类:“141”型　四个一行中排列,两端各一任意放,共六种;
第二类:“231”型　二在三上露一端,一在三下任意放,共三种;
第三类:“222”型　两两三行排有序,恰似登天上云梯,仅一种;
第四类:“33”型　三个三个排两行,中间一“日”放光芒,仅一种.
例1　下列图形经过折叠能围成一个正方体的是(C)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　　D
解析:依据正方体的11种展开图进行判断即可,注意常见的不能围成正方体的图形可简记为一线不过四,田凹应弃之.
针对训练:……
任务一　意图说明
先是引入问题情境引导学生观察正方体的一种展开图,明确需要剪开的棱数,并为下一节得出n棱柱的展开图需要剪开(2n-1)条棱做准备;然后通过全班同学的动手操作,得到正方体的展开图(可能不全,借助多媒体动态展示,进行全面总结),从而让学生体会立体图形到平面图形的转化,发展空间观念.
探究二　确定正方体的相对面
尝试·思考:
教材第13页图1—20中的图形经过折叠可以围成一个正方体形的盒子.折好以后,与“1”面相邻的面是什么 相对的面是什么 先想一想,再折一折,看看你的想法是否正确.
例2　如图所示的是一个正方体的展开图,则“当”字所在面在原正方体中相对面上的文字是(C)
A.有 B.理 C.想 D.能
解析:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,所以“当”与“想”是相对面.
[方法归纳]
两种情形判断正方体的相对面:
①“目”字型,其形如“目”字,特点是相隔不相连,如图①中的A面和B面就是相对面;
②“Z”字型,其形如“Z”字,特点是两端点处小正方形是正方体的相对面,如图②中的A面和B面就是相对面.
　　　　　　　
针对训练:……
任务二　意图说明
通过识别正方体展开图中的相对面,进一步让学生体会由平面图形到立体图形的转化,培养学生的空间想象力.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
正方体的表面展开图
1.正方体的表面展开图:11种
“141”型共6种;“231”型共3种;“222型”仅1种;“33型”仅1种.
2.确定正方体的相对面
“目”字相隔不相连,“Z”字两端是对面.
教学反思
本节课的设计中,充分发挥学生的动手操作能力,得到正方体的11种展开图,结合几何画板由正方体到展开图与由展开图围成正方体的动态展示过程,加深学生对正方体的展开与折叠的认识,发展空间观念.需要注意的是,对于判断正方体的展开图及其相对面不要急于形成规律化的东西让学生“背诵”,让学生经历结论得出的过程更重要.
第3课时　棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图
课标摘录
1.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型.
2.通过实例,了解展开图在现实生活中的应用.
教学目标
1.经历展开与折叠、模型制作等活动,发展空间观念,积累数学活动经验.
2.在操作活动中,进一步丰富对棱柱、圆锥、圆柱的认识.
3.了解棱柱、圆柱、圆锥的展开图,能根据展开图判断和制作简单的立体模型.
教学重难点
重点:通过操作活动,了解棱柱、圆柱、圆锥的展开图,体会立体图形到平面图形的展开过程,发展学生的空间观念.
难点:正确辨别棱柱、圆柱、圆锥的展开图,能由一个立体图形想象平面展开图和由展开图想象立体图形.
教学策略
1.类比正方体的展开与折叠,进一步学习棱柱的展开与折叠,并认识直棱柱的展开图的构成.同时,长方体的展开图结构与正方体的展开图类似,借以培养学生的思维迁移能力.
2.重视小初衔接,结合小学学习的圆柱与圆锥的知识,引导学生进一步了解圆柱与圆锥的侧面展开图的形状,并在动手操作活动中积累数学活动经验.
教学过程
(一)情境导入
通过上一节的学习,我们知道了正方体有11种展开图.类似地,长方体的展开图是怎样的 三棱柱呢 圆柱与圆锥呢 今天我们就来一起探讨柱体、锥体的展开与折叠.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(二)新知初探
探究一　棱柱的展开与折叠
1.动手操作:把你手中的长方体纸盒剪开,看你剪开了几条棱 得到哪种平面图形 与同伴交流.
2.如图所示的是三棱柱的部分展开图,你发现得到直棱柱的展开图需要剪开几条棱 它的展开图是由怎样的平面图形组成的
小结:(1)长方体的展开图结构与正方体的展开图结构类似,只是由6个长方形(部分可能是正方形)组成.
(2)要得到n棱柱的展开图,需要剪开(2n-1)条棱.
(3)直棱柱的展开图是由两个相同的多边形(底面)和一些长方形(侧面)按照不同的方式组合而成的.
例1　(1)如图所示,哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱
① ② ③ ④
(2)适当修改上面不能围成棱柱的图形,使所得图形能围成一个棱柱.
解:(1)图形②④经过折叠可以围成一个棱柱.
(2)图形①把左右两侧的正方形修改为等边三角形,便可围成一个三棱柱(或中间再加一个长方形,便可围成一个四棱柱);图形③左侧的一个正方形移到右侧一个合适位置,便可围成一个四棱柱.
针对训练:……
任务一　意图说明
类比正方体的展开图,先从长方体的展开图入手,让学生初步感受棱柱的展开与折叠情况,再结合三棱柱、五棱柱(可多媒体课件出示)等的展开图,引导学生总结直棱柱的展开图的组成.对于例1的学习,若有必要可让学生先想一想,再动手折一折,避免死记硬背式的学习.
探究二　圆柱与圆锥的展开与折叠
1.动手操作:把手中的圆柱与圆锥道具模型,按照教材第16页图1—24的方式将其侧面展开,会得到什么图形 先想一想,再做一做.
2.圆柱与圆锥的侧面展开图各是什么形状
归纳总结:
(1)圆柱的表面展开图由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成,长方形一边的长是底面圆的周长,另一边的长是圆柱的高.
(2)圆锥的表面展开图由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成,扇形的弧长等于底面圆的周长.
　　
例2　已知圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6,16π的长方形,求这个圆柱的体积.
解:①当底面周长为6、高为16π时,圆柱的体积为π×（）2×16π=π××16π=144;
②当底面周长为16π、高为6时,圆柱的体积为π×（）2×6=π×64×6=384π.
所以这个圆柱的体积为144或384π.
[方法归纳]
本题考查了展开图折叠成几何体,关键是熟练掌握圆柱的体积公式,注意分类讨论思想的运用.
针对训练:……
任务二　意图说明
在小学学习的圆柱与圆锥知识的基础上,学生再通过动手操作,加深对圆柱与圆锥展开图的认识,也为例2中有关圆柱的计算做好铺垫,同时渗透分类讨论的数学思想.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图
1.直棱柱的展开与折叠
2.圆柱与圆锥的展开与折叠
教学反思
在本节课的教学设计中,注重学生的类比学习方式,以及动手操作能力,渗透了数学思想方法,在教学中注重让学生主动参与学习活动,观察感受,亲身经历体验图形的变化过程,通过自主、合作、探究学习,感悟知识的生成、变化、发展,激发学生的联想与再创造能力.
第4课时　截一个几何体
课标摘录
知道图形的特征、共性与区别,发展空间观念和空间想象力.
教学目标
1.经历切截几何体的活动过程,体会几何体在切截过程中的变化,在面与体的转换中丰富几何直觉和数学活动经验,发展学生的空间观念.
2.通过截一个几何体的活动,认识正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体截面的一些特性.
教学重难点
重点:用一个平面去截一个正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体,认识所得截面的形状特征.
难点:从理论上理解截一个正方体截出五边形、六边形的可能性以及七边形的不可能性.
教学策略
从学生熟悉的生活实际入手,借助实物模型与多媒体技术进行演示,是突破本节重难点的重要策略与方式,课堂中加强学生的小组合作与交流,在动手操作时先进行想象,有助于学生空间观念的形成.
教学过程
(一)情境导入
在生活中,我们常常需要将一个物体截开,请你举例说明.
解:如切西瓜、锯木头等.
(二)新知初探
探究一　正方体的截面
1.用一个平面去截一个正方体,所得到的截面可能是什么形状
(1)教师引导学生大胆猜想,让他们想象所得的截面可能的形状.让学生采取分组讨论、合作交流的形式,鼓励学生积极发言,回答问题.
学生大胆猜想,积极在小组内讨论,得出用一个平面截一个正方体所得截面可能的形状有三角形、正方形、长方形、梯形等.
新知归纳:
用一个平面去截一个几何体,截出的面叫作　截面　.
(2)动手操作,亲身感受.
教师引导学生进行实际操作,分小组切截正方体,鼓励学生从切截活动中验证自己的猜想.教师在学生操作活动中巡视指导,参与到学生的讨论与交流中,鼓励学生在小组中大胆发表自己的见解.全班实物切截活动结束,教师鼓励进行切截活动的各个小组请代表发言,积极鼓励他们说出能截到多少个不同的截面,选取一些小组让他们进行演示说明,并积极肯定他们的做法.
教师课件演示有关正方体的几种切截方式:
2.通过课件动态演示,同学们认真观察后,能得到什么规律吗
方式:教师积极鼓励各小组请代表发言,说出他们所观察到的截面的各种形状产生、变化的过程,用自己的语言说明产生不同形状的截面的原因.
小结:用一个平面去截一个正方体,所得截面是这个平面与正方体的若干个面相交所得的结果;若与三个面相交得三条交线,则由这三条交线构成的截面图形是三角形;若与四个面相交,则截面是四边形,以此类推.
[方法归纳]
因为正方体共六个面,用一个平面去截正方体最多可以得到6条交线,从而截面最多只能是六边形,不可能是七边形.用一个平面去截n棱柱,最多可截出(n+2)边形.
任务一　意图说明
由学生亲自动手操作,结合多媒体演示,帮助学生明确正方体的常见截面形状,并体会“面与面相交得线”的道理与应用,并进一步认识几何体截面的一些特性.
探究二　常见几何体的截面
用圆柱体的木料能否截出如下平面形状的材料
处理方式:(1)鼓励学生大胆猜想,动手实践.
学生首先自己进行思考,再和同伴进行交流提出可能的图形,然后画出图形,最后教师展示学生的作品.
(2)教师课件演示圆柱体与圆锥体的截面情况.
①圆柱体的截面
②圆锥体的截面
利用课件操作演示切截圆柱、圆锥的过程,进一步验证学生的结论,深化学生对截一个空间几何体所产生截面形状的直观感受.
例1　用平面去截一个几何体,如果截面是长方形,你能想象出原来的几何体是什么吗 如果截面是圆呢
解:正方体、长方体、棱柱、圆柱等都可以截出长方形;圆柱、圆锥、球等几何体都可以截出圆.
例2　把一个正方体截去一个角(一个四面体)后,剩下的几何体有几个顶点
解:如图所示,不过顶点时,截面为三角形,剩下的几何体有10个顶点;过一个顶点时,截面为三角形,剩下的几何体有9个顶点;过两个顶点时,截面为三角形,剩下的几何体有8个顶点;过三个顶点时,截面为三角形,剩下的几何体有7个顶点.
[易错警示]
在切截的过程中要注意:切截的方向不同,得到的截面也不相同.在具体问题中,要注意观察截面和几何体各面的交线,考虑问题要全面,防止漏解.
针对训练:……
任务二　意图说明
先从学生熟知的圆柱与圆锥的切截入手,再推广到其他常见几何体的切截,并由截面想象原几何体,充分培养学生的空间观念与发散思维能力.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
截一个几何体
1.截面的概念
2.正方体的截面形状:三角形、四边形、五边形、六边形
3.圆柱的截面形状:圆、椭圆、长方形、类似于梯形、类似于拱形
4.圆锥的截面形状:圆、椭圆、三角形、类似于拱形
5.球体的截面形状:圆
教学反思
通过生活中学生熟悉的具体情境(如切水果、锯木头等)直观得到截面的概念,体现数学与生活的联系,体现数学的实际价值.教学中充分利用实物模型与多媒体技术进行演示,增强学生的直观想象能力,通过小结归纳知识结构,让学生养成勤于总结和反思的学习习惯.
问题解决策略:分类讨论
课标摘录
用数学的思维方法,综合地、有逻辑地分析问题,经历分工合作、建立模型、计算反思、解决问题的过程,提升思维能力,逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.
教学目标
1.通过实例,感受分类讨论的数学思想方法在解决问题中的有效运用,提升思维能力.
2.在小组合作与思考问题中培养模型观念与创新意识的核心素养.
教学重难点
重点:掌握分类讨论的方法,了解运用分类讨论的策略分析与解决问题的步骤.
难点:运用分类讨论的策略分析与解决问题,提升思维能力.
教学策略
创设问题情境,让学生回顾数学知识学习与解决问题中所接触过的数学思想方法,从而淡化学生对分类讨论这一解决问题策略的陌生感,激发求知欲.对于较为复杂的问题的解决,学会从简单情形入手,逐步解决,适当迁移拓展,领悟数学思想方法通法通用的内在实质.
教学过程
(一)情境导入
在数学学习中与解决相关问题时,同学们接触过哪些数学思想方法或策略 请举例说明.
生1:转化的方法,如进行异分母分数的加减运算时,利用通分转化为同分母分数的加减.
生2:数形结合的思想方法,如解决行程问题时借助线段图分析与理解题意.
生3:分情况讨论,如由两个形状图还原几何体时可能存在多种情况.
……
师:同学们视野真开阔!数学思维真强!学习习惯真好!今天我们就先来学习问题解决的一种策略——分类讨论.
(二)新知初探
探究一　问题解决策略:分类讨论
1.对于某些较为复杂的问题,我们需要将原问题划分为几种情况,针对每种情况逐一分析、逐一解决,这是一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论.
2.问题:如图所示的是由4×4个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格,该图包含多少个正方形
请同学们按照以下方法步骤进行探索分析与解答.
理解问题
(1)图中包含多个正方形,这些正方形的边长可以取哪些值
(2)若根据正方形的边长分类,则这些正方形可以分为几类
(3)如何确定每一类正方形的个数
解:(1)这些正方形的边长可以取1,2,3,4.
(2)根据正方形的边长分类,则这些正方形可以分为四类.
(3)边长为m的正方形的个数为[4-(m-1)]×[4-(m-1)].
拟定计划
(1)确定图中包含正方形的取值范围;
(2)根据图中包含的正方形的边长情况,将这些正方形分类;
(3)求出每一类正方形的个数,进而确定所有正方形的个数.
解:(1)图中包含的正方形边长的取值可以为1,2,3,4.
(2)根据图中包含的正方形边长情况,将这些正方形分为四类,即边长为1的正方形,边长为2的正方形,边长为3的正方形,边长为4的正方形.
(3)边长为1的正方形有4×4=16(个);
边长为2的正方形有(4-1)×(4-1)=9(个);
边长为3的正方形有(4-2)×(4-2)=4(个);
边长为4的正方形有(4-3)×(4-3)=1(个).
所以图中包含16+9+4+1=30(个)正方形.
实施计划
(1)图中边长为1的正方形有4×4个;
(2)图中边长为2的正方形共有(4-1)×(4-1)个;
(3)图中边长为3的正方形共有(4-2)×(4-2)个;
(4)图中边长为4的正方形共有(4-3)×(4-3)个.
所以,图中包含16+9+4+1=30(个)正方形.
[方法归纳]
运用分类讨论的策略分析与解决问题的步骤：
(1)确定分类讨论的对象及其范围;
(2)按照分类标准把研究对象分类后,逐级逐类进行讨论;
(3)归纳并作出结论.
3.针对训练
(1)由6×6个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含多少个正方形
解:图中边长为1的正方形共有6×6=36(个);
图中边长为2的正方形共有(6-1)×(6-1)=25(个);
图中边长为3的正方形共有(6-2)×(6-2)=16(个);
图中边长为4的正方形共有(6-3)×(6-3)=9(个);
图中边长为5的正方形共有(6-4)×(6-4)=4(个);
图中边长为6的正方形共有(6-5)×(6-5)=1(个).
所以,图中包含36+25+16+9+4+1=91(个)正方形.
(2)由m×m个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含多少个正方形
解:图中边长为1的正方形共有m×m=m2(个);
图中边长为2的正方形共有(m-1)×(m-1)=(m-1)2(个);
图中边长为3的正方形共有(m-2)×(m-2)=(m-2)2(个);
图中边长为4的正方形共有(m-3)×(m-3)=(m-3)2(个);
……
图中边长为(m-2)的正方形共有[m-(m-3)]×[m-(m-3)]=9=32(个);
图中边长为(m-1)的正方形共有[m-(m-2)]×[m-(m-2)]=4=22(个);
图中边长为m的正方形共有[m-(m-1)]×[m-(m-1)]=12(个).
所以,由m×m个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含正方形(12+22+32+…+m2)个.
(3)由8×9个边长为1的正方形拼接成的大长方形网格图中包含多少个正方形
解:图中边长为1的正方形共有8×9=72(个);
图中边长为2的正方形共有(8-1)×(9-1)=56(个);
图中边长为3的正方形共有(8-2)×(9-2)=42(个);
图中边长为4的正方形共有(8-3)×(9-3)=30(个);
图中边长为5的正方形共有(8-4)×(9-4)=20(个);
图中边长为6的正方形共有(8-5)×(9-5)=12(个);
图中边长为7的正方形共有(8-6)×(9-6)=6(个);
图中边长为8的正方形共有(8-7)×(9-7)=2(个).
所以,图中包含72+56+42+30+20+12+6+2=240(个)正方形.
任务一　意图说明
以网格图中正方形个数的探究展开对分类讨论这一问题解决策略的学习,由于该类问题相对复杂与抽象,故通过理解问题、拟定计划、实施计划有条不紊地逐步进行探索,最后通过巩固练习把该类问题的解决方式进一步推广(大网格由正方形变为长方形),帮助学生领悟其实质.
探究二　例题讲解
例题　如图所示的是由4×4×4个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体,求该图形中包含多少个正方体.
解:图中棱长为1的正方体的个数为4×4×4=64;
图中棱长为2的正方体的个数为(4-1)×(4-1)×(4-1)=27;
图中棱长为3的正方体的个数为(4-2)×(4-2)×(4-2)=8;
图中棱长为4的正方体的个数为(4-3)×(4-3)×(4-3)=1.
所以,该图中包含64+27+8+1=100(个)正方体.
针对训练:……
任务二　意图说明
本例题是对探究一中的问题的拓展,由平面图形个数的探究迁移到立体图形个数的探究,旨在帮助学生对分类讨论这一解决问题的策略做到领悟本质,活学活用,提升分析与解决问题的思维能力.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
问题解决策略:分类讨论
1.分类讨论:将原问题划分为几种情况,针对每种情况逐一分析、逐一解决
2.方法步骤:理解问题、拟定计划、实施计划
3.迁移应用:例题
教学反思
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为:学习数学唯一正确的方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生.本节所提出的问题较为复杂,引导学生利用分类讨论的策略逐步加以分析与解决,并适当进行变式迁移与拓展,让学生初步感受数学思想方法在解决问题中的重要应用,提升思维能力,培养模型观念与创新意识的核心素养.
第二章　有理数及其运算
课标摘录
1.理解负数的意义;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
3.理解乘方的意义;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).
4.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主);理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算.
5.能运用有理数的运算解决简单问题.
6.了解近似数.
7.在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算.
教材分析
在学生已学过整数和分数的基础上进行构建,引入负数的有关概念及其运算.首先,从实例出发引入负数,接着引进关于有理数的一些概念,在此基础上,介绍有理数的加减法运算,之后对有理数的基本运算作进一步扩充.有理数的运算是初等数学中的最基本运算,是学好后续内容的基础,也是代数式运算的依据.因此,使学生正确、迅速地进行有理数的四则运算及其混合运算,应该成为本章教学的重点,在初中数学、高中数学以及其他各门学科的学习中都有极其重要的地位.
教学目标
1.在具体情境中,理解有理数及其运算的意义,发展运算能力.
2.能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小.
3.借助数轴理解绝对值和相反数的意义,会求有理数的相反数与绝对值.
4.经历探索有理数运算法则和运算律的过程,体会转化、归纳等思想;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主);理解有理数的运算律,并能运用运算律简化运算.
5.能运用有理数及其运算解决简单的实际问题.
6.会用科学记数法表示大数;能对含有较大数的信息作出合理的解释和推断,发展数感.
7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
教学重难点
重点:有理数的相关概念;有理数的运算.
难点:绝对值的应用;有理数的混合运算及应用.
知识结构
1　从小学算术说起
课标摘录
1.结合具体情境探索并理解整数、小数和分数的意义,理解数位的含义,感悟计数单位;会进行小数、分数的转化,进一步发展数感和符号意识.
2.能进行简单的小数、分数的四则运算和混合运算,感悟运算的一致性,理解运算律,发展运算能力和推理意识.
3.理解负数的意义.
教学目标
1.了解小学算术的加法的意义和算法,能正确进行四则运算,能在真实情境中,选择恰当的运算方法解决问题,形成运算能力和推理能力.(抽象能力、符号意识、运算能力、应用意识)
2.探索并理解运算律,能灵活运用运算律进行计算.(抽象能力、运算能力)
3.在熟悉的情境中了解具有相反意义的数量,知道负数在情境中表达的具体意义,感悟这些负数可以表达与正数意义相反的量,进一步发展数感.(数感、符号意识)
教学重难点
重点:能运用运算律进行四则运算.
难点:理解正数与负数的意义.
教学策略
1.回顾小学数学运算方面的知识,抓住小学数学与初中数学知识的衔接点,注重算理的教学,为初中数学运算的学习做好铺垫,树立学生学习数学的信心.
2.创设丰富的问题的现实背景,加强知识与实际生活的联系,激发学生的探究欲望,重视小组合作学习与交流互动,积累数学活动经验,养成良好的学习习惯,掌握数学的思想方法.
教学过程
(一)情境导入
在小学,你还记得学习了哪些数学运算方面的知识 (学生回答,教师适时评价)
今天,咱们就从小学算术说起,为初中进一步学习数的运算建立联系.
(二)新知初探
探究一　小学算术的加法
1.独立完成教材第28页“思考·交流”中的问题.
解:(1)①不正确,因为长度单位不统一,不能直接相加.
②不正确,因为小木棒的“捆”与“根”单位不统一,不能直接相加.
(2)不同数位上的数相加是错误的,只有计数单位相同的数才能相加减.
(3)不成立,同分母分数相加,分母不变,把分子相加；异分母分数相加，则要先通分化为同分母的分数后相加,不能直接把分子相加作分子、分母相加作分母.
2.讨论交流:(1)加法的意义是什么 (2)如何进行加法运算
小结:
1.加法的意义:把两个数合并成一个数的运算.
2.加法运算:
(1)整数、小数的加法:相同数位上的数字对齐(对于小数来说,要把小数点对齐),从低位算起,哪一位上的数相加满十,向前一位进一.
(2)分数的加法:
①同分母分数相加,分母不变,分子相加;
②异分母分数相加,先通分,然后按照同分母分数相加的法则进行计算.
例1　计算:
(1)8+11;
(2)0.618+3.14;
(3)+;
(4)1+3.
解:(1)8+11=19;
(2)0.618+3.14=3.758;
(3)+=+=;
(4)1+3=1+3=(1+3)+（+）=4+=5.
[方法归纳]
(1)对于加法运算,要记三条:①相同数位对齐;②从低位加起;③满十进一.三者缺一不可.
(2)对于涉及实际意义的加法,还要注意单位一致,如8 g加11 kg不能写成算式8+11=19.
(3)对于带分数的加法,可先化成假分数再计算,也可通过拆分,把整数部分与分数部分分别相加.
针对训练:……
任务一　意图说明
从基础的加法说起,帮助学生回忆小学算术中加法的意义、加法运算方法,感悟加法法则.
探究二　运算律
1.独立完成教材第28页“尝试·思考”中的问题.
解:(1)0.25×125×32=×32×125=8×125=1 000,依据乘法的交换律与结合律.
(2)（++）×60=×60+×60+×60=30+40+5=75,依据乘法对加法的分配律.
(3)（++）÷=（++）×30=×30+×30+×30=6+10+2=18,依据除法法则与乘法对加法的分配律.
2.先想一想教材第28页“观察·思考”中的问题,再小组合作交流.
解:(1)675;
(2)998 001;
(3)5 600.
3.就教材第29页“尝试·思考”中的问题,展开讨论.
解:已知a与b都是自然数,a+b,a-b,a×b也都是自然数,a÷b不一定是自然数.
小结:(1)加法交换律:a+b=b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
(3)乘法交换律:a×b=b×a;
(4)乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c);
(5)乘法对加法的分配律:a×(b+c)=ab+ac.
例2　计算:(1)0.2÷3+0.8×+;
(2)××6×+2.1-+7.9;
(3)（+）÷;
(4)2.2×3+5×2.2+2.2.
解:(1)原式=×+×+=×（++1）=×2=;
(2)原式=（×6）×（×）+2.1-+7.9=+2.1-+7.9=（-）+(2.1+7.9)=10;
(3)原式=（+）×=×+×=+==8.
(4)原式=2.2×（3+5+1）=2.2×10=22.
[方法归纳]
(1)在进行运算之前,应考虑是把分数化为小数,还是把小数化为分数.如果分数能够化为有限小数,那么化为小数运算比较简便;如果分数不能化为有限小数,一般将小数化为分数运算.
(2)在计算之前,要考虑运算顺序,即先算什么,再算什么.
(3)计算时,要认真审题,看清运算符号和数的特点,灵活选择合理的计算方法,数学中的运算性质和运算律在这方面有较大的作用.通常在分数的计算中,两个分数相加时,能“凑整”的可以先算.可用分配律使分母简化的则用分配律计算.乘法中可用交换律的则先用交换律.总之,要根据题中具体数来考虑如何使运算过程简便,要能运用各种运算律来进行计算.
针对训练:……
任务二　意图说明
回顾小学的运算律,正确进行数的四则混合运算.
探究三　表达具有相反意义的量
独立完成教材第29页“尝试·交流”中的问题,并与同伴交流.
解:(1)“+56.2元”表示上个月小丽卖了一次废品收入56.2元;“-27.5元”表示小丽给自己买了一本课外书支出27.5元.
(2)答案不唯一,如张先生某月收入2万元,支出3万元.
小结:
1.正数、负数的意义
像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫作正数,像-3,-1.8%,-3.5这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫作负数.为了明确表达意义,在正数前面也加上“+”(正)号.
2.表达具有相反意义的量
为了表示具有相反意义的量,我们可把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的,用负数来表示.
例3　(1)若一个乒乓球超出标准质量5 mg记作+5 mg,则恰好为标准质量应记作　0 mg　,低于标准质量3 mg应记作　-3 mg　;
(2)某中学举行了一次党史知识竞赛,规定答对一题记10分,不答记0分,则-10分表示　答错一题　.
[温馨提示]
(1)注意相反意义的量与反义词的区别,如上升与下降虽然意义相反,但缺少数量,因此并不是相反意义的量.具有相反意义的量中的两个量必须是同类量,如节约3吨汽油与浪费1吨水就不是具有相反意义的量.
针对训练:……
任务三　意图说明
回顾小学学过的正数与负数的意义,会利用它们表达具有相反意义的量,为本章进一步学习有理数的意义奠定基础.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
从小学算术说起
1.小学算术的加法
相同数位对齐;从低位加起;满十进一
2.运算律
加法、乘法的交换律、结合律,乘法对加法的分配律
3.用正负数表达具有相反意义的量
教学反思
本节为第二章《有理数及其运算》的起始课,帮助学生回忆在小学中学习过的基本运算与运算律,为初中有理数的运算做好衔接与铺垫,课堂中学生学习积极,踊跃回答,取得较好的效果.本节例题与习题设计应立足学生的周围生活实际与基本运算,回避复杂与较难的运算题目,达到小初运算的有效衔接即可,这样也会帮助学生树立学好数学运算的信心.
2　认识有理数
第1课时　有理数及其分类
课标摘录
理解负数的意义;理解有理数的意义.
教学目标
1.在具体情境中,进一步认识负数,理解有理数的意义.
2.经历用正负数表示具有相反意义的量的过程,体会引入负数是实际生活的需要.
3.会判断一个数是正数还是负数,能按一定的标准对有理数进行分类.
教学重难点
重点:会用正负数表示具有相反意义的量;有理数的意义与分类.
难点:按一定的标准对有理数进行分类.
教学策略
1.建立知识与生活的联系,在熟悉的生活情境与游戏中,引领学生了解负数的意义,会用负数表示日常生活中的一些量.
2.开放式创设学习活动,充分联系学生个人周围生活实际,有理数的分类标准由学生自己想象、确定并完善总结,培养发散思维,提高课堂学习效率.
教学过程
(一)情境导入
(1)你还记得在小学里学过哪些数吗 最小的数又是谁
解:小数、分数、整数、自然数、百分数等,最小的数是0.
(2)“北京,晴,零下5 ℃到3 ℃”,CCTV的天气预报引起了小明的注意,爱思考的他心想:“数学中如何区分零下5 ℃和3 ℃呢 ”你能帮他解决这个问题吗
解:零下5 ℃用-5 ℃表示,3 ℃用+3 ℃或3 ℃表示.
(3)在我们的生活中,你见过带有“-”的数吗
解:如比0小的数、零下温度、亏损额、班级考评扣分等.
(二)新知初探
探究一　正数与负数的意义
任务一:独立完成教材第31~32页填写表格任务与“尝试·交流”中的三个问题,思考下列问题:
(1)如何判断一个数是正数还是负数
(2)怎么用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量
学生完成后进行展示交流,引导学生归纳得出正负数的意义与常见应用.
新知归纳:
(1)为了表示具有相反意义的量,我们可以把其中的一个量规定为正的,把与这个量意义相反的量规定为负的,并分别用“+”“-”来表示.
(2)像+3,+15,+2.4%,…都是正数,像-2,-8,-0.5%,…都是负数.0既不是正数,也不是负数.
“+”读作“正”,如“+3”读作“正3”,正号“+”通常省略不写;“-”读作“负”,如“-8”读作“负8”，负号“-”不能省略.
(3)负数与对应的正数在数量上相等,表示的意义相反.
提示:(1)比0大的数为正数,比0小的数为负数.
(2)判断一个数是正数还是负数,不能简单地认为带有“+”的数就是正数,带有“-”的数就是负数.如+(-3)就不是正数,-(-3)也不是负数,在今后的学习中将进一步研究它们.
例1　(1)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示
(2)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么-0.03 g表示什么
(3)某大米包装袋上标注着“净含量:10 kg±50 g”,这里的“10 kg±50 g”表示什么
方式:学生口答完成.
解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作-12圈;
(2)-0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g;
(3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米可能有50 g的误差,即每袋大米的净含量最多是
10 kg+50 g,最少是10 kg-50 g.
[方法归纳] 正数和负数可以用来表示日常生活中具有相反意义的量,零则是正数与负数的分界,是“基准”,具有“初始位置”的含义,注意0的意义不仅仅是表示没有.在用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,我们习惯上把“前进、上升、收入”等规定为正,而把“后退、下降、支出”等规定为负.
针对训练:……
任务一　意图说明
通过生活实例引入正数与负数的概念,并体会正负数在表示具有相反意义的量中的应用,为把数系扩充到有理数做好准备.
探究二　有理数的意义及分类
任务二:阅读教材第33页“思考·交流”内容,回答下列问题:
(1)有理数包括哪些数
(2)“0”是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(3)“-2”是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(4)自然数就是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(5)你能从哪些角度把目前所学过的数进行分类 与同伴进行交流.
课堂交流展示后出示有理数的概念与分类.
新知归纳:
1.　正整数　、　0　、　负整数　统称为整数;
　正分数　、　负分数　统称为分数.
2.　整数　与　分数　统称为有理数.
3.有理数的分类
(1)先将有理数按“整”和“分”的属性分,再按每类数的“正”“负”分,即得分类图:
有理数
(2)先将有理数按“正”和“负”的属性分,再按每类数的“整”“分”分,即得分类图:
有理数
例2　把下列各数填入相应的集合中:
29,-5.5,2 002,-1,90%,3.14,0,-2,-0.01,1.
整数集合:{　　　　　　　　　　　…};
分数集合:{　　　　　　　　　　　…};
正数集合:{　　　　　　　　　　　…};
负数集合:{　　　　　　　　　　　…};
正整数集合:{　　　　　　　　　　…};
负整数集合:{　　　　　　　　　　…};
正分数集合:{　　　　　　　　　　…};
负分数集合:{　　　　　　　　　　…};
正有理数集合:{　　　　　　　　　…};
负有理数集合:{　　　　　　　　　…}.
解:整数集合:{29,2 002,-1,0,-2,1,…};
分数集合:{-5.5,90%,3.14,-0.01,…};
正数集合:{29,2 002,90%,3.14,1,…};
负数集合:{-5.5,-1,-2,-0.01,…};
正整数集合:{29,2 002,1,…};
负整数集合:{-1,-2,…};
正分数集合:{90%,3.14,…};
负分数集合:{-5.5,-0.01,…};
正有理数集合:{29,2 002,90%,3.14,1,…};
负有理数集合:{-5.5,-1,-2,-0.01,…}.
[方法归纳]
(1)解这类问题关键在于两点:一是明确各类数的含义与分类;二是按一定顺序认真查找,做到不重不漏.另外,正数与整数是两个不同的概念,分数与小数并不等同,注意不要混淆.
(2)有理数只包括整数和分数,同时结合小学时对数的认识,可知分数包括有限小数与无限循环小数,无限不循环小数不能化为分数,所以不是有理数,如圆周率的值π就不是有理数,特别注意,不要误认为是分数.
针对训练:……
任务二　意图说明
结合学生对数的认识,把数系第一次扩充到有理数的范围,并能从不同角度对有理数进行分类,加深对有理数的认识.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
教学反思
现实生活中存在着许多可以使用负数去表示的现象,因此负数的引入确实是生活的实际需要,生活中许多具有相反意义的量可以用正负数来表示.引入了负数以后,数的概念就扩充到了有理数.本课设计注重了开放性的特点,给学生提供了较大的思维空间,能促进学生积极主动地参与学习,亲自体验知识的形成过程,可避免直接进行分类所带来的枯燥性;同时还体现合作学习、交流、探究提高的特点,对学生分类能力的养成有很好的作用.
第2课时　数轴
课标摘录
能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
教学目标
1.通过与温度计的类比认识数轴,能正确画出数轴.
2.能用数轴上的点表示有理数,初步感受数形结合的思想方法.
3.能利用数轴比较有理数的大小.
教学重难点
重点:初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.会比较有理数的大小.
难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系.比较两个负数的大小.
教学策略
1.由学生熟悉的与刻度尺、温度计等有关的生活现象,归纳概括出数轴的定义,让学生在实际情境中理解有理数的相关概念,揭示数与形之间的内在联系,加深学生对知识内在本质的理解,注重抽象能力的核心素养的培养.
2.重视学生动手操作能力的培养,就数轴画法中常见的错误展开辨析,重视对活动过程的评价,促进学生学习的积极性.
教学过程
(一)情境导入
华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.”因此,我们在解题中要充分地利用数形结合思想,这样做既能使许多问题迎刃而解,又能使我们加深对数学的理解,培养我们的数学素养和思维能力.今天我们就来学习体现这一数学思想的基本工具——数轴.
(二)新知初探
探究一　数轴的概念与画法
1.数轴的概念
请同学们观察教材第36页中的温度计,思考:
(1)图中温度计上显示的温度各是多少
(2)温度计上的刻度有什么特点
(3)如果把温度计看作是一条标有刻度的直线,那么你能用直线上的点表示有理数吗
其实,一个平放的温度计可以看成一条数轴.
作图:①画一条直线(一般水平方向),标出一点为原点,在原点下边标上“0”.
②规定正方向(一般规定从原点向右的方向为正),用箭头表示.
③选择适当的长度为单位长度.
新知归纳:
(1)规定了　原点　、　单位长度　和　正方向　的直线称为数轴.
(2)数轴的画法:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫作原点),选取某一适当长度为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到一条数轴.
2.探究数轴上的点与有理数的关系
例1　把下列各数在数轴上表示出来,并用“<”连接:
3,-,0,-2,1.5.
解:在数轴上表示如图所示.
用“<”连接为-<-2<0<1.5<3.
针对训练:……
例2　在一条东西走向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树,而汽车站西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画出示意图表示这一情境.
解:以汽车站为原点,向东为正,向西为负,取单位长度为1米,用数轴表示如图所示.
新知归纳:
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
[方法归纳]
1.数轴的定义包含三层含义:①数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;②数轴有三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;③原点位置的选定,单位长度的大小的确定,正方向的选取,都是根据实际需要“规定”的.同一数轴的单位长度要一致.
2.数轴的画法
(1)画一条直线(通常把它水平放置).
(2)在直线上取原点O,表示数0(通常取直线上适中的位置,若所需的都是正数,则也可偏向左边).
(3)规定直线的正方向(标上箭头,通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向,从原点向左的方向规定为负方向).
(4)根据实际需要,选取适当的长度作为单位长度.
(5)从原点分别向右、向左取点,并标上对应的数.
上述步骤可简记为:一画(画直线);二定(定原点);三选(选取正方向,用箭头表示);四统一(单位长度应统一);五标数(在对应的点处标出对应的数).
针对训练:……
任务一　意图说明
由生活中常见温度计引出数轴的概念与画法,并归纳得到有理数与数轴上点的关系.需要注意的是,数轴上的点并不仅仅表示有理数,可根据学生实际补充用数轴上的点表示圆周率π(用直径为1个单位长度的圆从原点开始向右滚动一圈).
探究二　利用数轴比较有理数的大小
1.独立完成教材第37页“尝试·思考”中的问题(1)~(3),然后小组交流:数轴上两个点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系
新知归纳:
有理数的大小比较方法:
(1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.
(2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
例3　画出数轴,用数轴上的点表示下列各数,并用“<”将它们连接起来:
,-3.5,0,3,-4,-1.
解:把各数表示在数轴上如图所示.
所以-4<-3.5<-1<0<<3.
[方法归纳]
利用数轴比较有理数的大小的步骤:
(1)画数轴;
(2)描点:在数轴上描出相应各点,确定各点在数轴上的左右顺序;
(3)定大小:根据“数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大”确定大小关系.
针对训练:……
任务二　意图说明
本任务通过在数轴上表示有理数并发现数的大小关系与表示数的点在数轴上的位置之间的关系,进而得到有理数大小比较的方法,进一步体现数形结合的数学思想与数轴的工具作用.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
教学反思
数轴是数学学习和研究的重要工具,也是数形结合的重要媒介.教学过程要突出情境到抽象到概括的主线,教学方法在体现由特殊到一般数形结合的数学思想方法时,也要注意从学生的知识经验出发,发展与变化,培养学生自主探索的学习能力.学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程,加深对数轴概念的理解,培养学生的抽象和概括能力,体现出了从感性认识,到理性认识,到抽象概括的认识规律.
不足之处:学生通过学习掌握了画数轴时原点的位置和单位长度可以根据实际情况来确定,但由于受课本练习画数轴图形的影响,有部分学生认为只有向右的方向才能作为数轴的正方向,遇到向其他方向为正方向的数轴图形就认为它不是数轴了,还有学生画数轴时也出现了丢三落四的现象.因此,课后除了设计学生自己动手画数轴外,还要多设计一些判断并说明理由的练习题,加深巩固学生对数轴三要素、数轴概念的理解.
第3课时　绝对值与相反数
课标摘录
借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
教学目标
1.借助数轴理解绝对值和相反数的概念.
2.知道|a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的对应点的位置关系.
3.能求一个数的绝对值和相反数,会利用绝对值比较两个负数的大小.
4.通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.
教学重难点
重点:会求一个数的绝对值和相反数,会利用绝对值比较两负数的大小.
难点:对绝对值和相反数的代数意义、几何意义的理解;比较两个负数的大小.
教学策略
1.借助数轴理解绝对值、相反数两个概念及它们的联系,帮助学生从“形”与“数”两个角度准确与完整地理解概念,并利于探究相关性质,关注学习方式,提高课堂效率.
2.注重渗透数形结合与分类讨论的数学思想,以及观察、类比、概括与归纳的方法,关注数学学习习惯的培养,提升思维能力.
教学过程
(一)情境导入
两辆汽车同时从O处出发,分别向东、西方向行驶10 km,到达A,B两处.思考:它们行驶的路线相同吗 它们行驶路程的远近相同吗
(二)新知初探
探究一　绝对值与相反数的概念
1.将3与-3,1.5与-1.5,5与-5这三组数用数轴上的点表示出来,每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系
新知归纳:
在数轴上,一个数所对应的点与原点之间的　距离　叫作这个数的绝对值.通常用|a|表示数a的绝对值.
如图所示,在数轴上,表示5的点与原点的距离是5,就是说,5的绝对值是5,记作|5|=5;表示-3的点与原点的距离是3,就是说,-3的绝对值是3,记作|-3|=3;表示0的点与原点的距离是0,就是说,0的绝对值是0,记作|0|=0.
2.(1)3与-3,1.5与-1.5,5与-5这三组数,有何特点 每组数在数轴上所对应的两个点的位置关系有何特点
解:每组数中的两个数只有符号不同,它们所对应的两点分别在原点的两侧,到原点的距离相等.
(2)在数轴上,与原点的距离是2的点有几个 这些点各表示哪个数
解:两个;分别表示2与-2.
新知归纳:
(1)　符号　不同、　绝对值　相同的两个数,我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.特别地,0的相反数是0.
(2)在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的　两侧　,且与原点的距离　相等　.
3.思考:(1)若a是一个任意数,那么-a一定是负数吗
(2)-(-5)表示什么意义 化简后结果是多少
(3)你能借助数轴说明-(-1)=+1吗
解:(1)不是,如a=0时,-a=0;
(2)表示-5的相反数,化简后结果是5;
(3)在数轴上,-1的对应点在原点左侧,并离原点1个单位长度,则它的相反数的对应点在原点右侧,并离原点1个单位长度,这个数是1,即有-(-1)=+1.
例1　根据相反数的意义,化简下列各数:
(1)-(-48);　(2)-(+2.56);(3)-（-）;(4)-[-(-91)].
解:(1)-(-48)=48.
(2)-(+2.56)=-2.56.
(3)-（-）=.
(4)-[-(-91)]=-(+91)=-91.
[方法归纳]
(1)在一个数前面加上“-”,就变为它的相反数,也就是说,数a的相反数是-a.
(2)若a是一个任意数,则当a>0时,-a<0;当a=0时,-a=0;当a<0时,-a>0.
(3)一般地,有+(+a)=a;-(-a)=a;+(-a)=-a;-(+a)=-a.
(4)多重符号的化简方法:“+”可以省略不写,化简结果的符号取决于正数前“-”的个数.若有偶数个“-”,则把“-”全部去掉;若有奇数个“-”,则保留一个“-”,可简记为“奇负偶正”.
针对训练:……
任务一　意图说明
利用数轴表示有理数引出绝对值与相反数的概念,体现了数形结合的数学思想,同时学会求一个数的相反数的方法,并进一步拓展为化简符号问题,借以加深对概念的理解.
探究二　绝对值的性质与简单应用
1.绝对值的性质
填一填,从中发现什么规律
|+2|=　　　　;|+8.2|=　　　　;
|0|=　　　　;|-3|=　　　　;
|-0.2|=　　　　;|-8.2|=　　　　.
教师引导学生概括,通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的绝对值有什么特点,在原点左边的点表示的数(负数)的绝对值又有什么特点.由学生分类讨论,归纳出求数a的绝对值的一般规律.
新知归纳:
(1)正数的绝对值是　它本身　;负数的绝对值是它的　相反数　;0的绝对值是　0　.
即①若a>0,则|a|=a;②若a<0,则|a|=-a;③若a=0,则|a|=0.
(2)绝对值的非负性
由绝对值的定义可知:不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数),绝对值具有非负性,即|a|≥0.
例2　求下列各数的绝对值:-7,-4.75,10.5.
解:|-7|=7,|-4.75|=4.75,|10.5|=10.5.
例3　计算:
(1)|0.32|+|0.3|; (2)|-4.2|-|4.2|.
解:(1)|0.32|+|0.3|=0.32+0.3=0.62.
(2)|-4.2|-|4.2|=4.2-4.2=0.
针对训练:……
2.利用绝对值比较两个负数的大小
完成教材第42页“思考·交流”中的问题,并把你发现的结论在小组内交流.
新知归纳:
两个负数比较大小,绝对值大的反而　小　.
例4　比较下列每组数的大小:
(1)-1和-5; (2)-2.5和-2.7.
解:(1)因为|-1|=1,|-5|=5,1<5,
所以-1>-5.
(2)因为|-2.5|=2.5,|-2.7|=2.7,2.5<2.7,所以-2.5>-2.7.
[方法归纳]
比较两个负数的大小的步骤:
(1)分别求出两个负数的绝对值;
(2)比较两个绝对值的大小;
(3)根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”作出正确的判断.
针对训练:……
3.绝对值的简单应用
(1)独立完成教材第42页“尝试·思考”.
解:|-25|=25,|+10|=10,|-20|=20,|+30|=30,|+15|=15,|-40|=40.
因为10<15<20<25<30<40,
所以第二袋食品的实际质量更接近标准质量.
(2)完成教材第43页习题第5题.
解:(1)0 kg表示李阿姨7月份的体重和6月份的体重相同.
(2)|-1|=1,|-1|=1,|+1|=1,|-2|=2,|0|=0,|+0.5|=0.5.
0<0.5<1<2,所以6月份李阿姨的体重变化最大.
任务二　意图说明
从特殊到一般,结合实例引导学生探索绝对值的性质,然后利用该性质化简绝对值,同时利用绝对值还可比较负数的大小以及解决简单的实际问题,培养学生学以致用的能力与意识.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
教学反思
本节课是在前一节学习了数轴及如何把一个有理数在数轴上表示出来的基础上学习的.其中最基本的内容是理解绝对值、相反数两个概念及它们之间的联系;掌握绝对值的相关性质,并能用符号语言来表示︱a︱与a之间的关系;利用绝对值比较两个负数的大小.教学中初步渗透了数形结合、分类讨论等重要的数学思想.
3　有理数的加减运算
第1课时　有理数的加法法则及其应用
课标摘录
1.掌握有理数的加减运算.
2.能运用有理数的运算解决简单问题.
教学目标
1.经历探索有理数加法法则和运算律的过程,体会分类和归纳的思想方法.
2.理解有理数的加法法则和运算律.
3.能熟练进行整数加法运算,并能运用运算律简化运算.
教学重难点
重点:有理数的加法法则.
难点:异号两数相加的法则.
教学策略
1.精心设计问题情境帮助学生理解算理,通过对两个有理数相加可能出现的不同情况进行分类,探索和归纳有理数的加法法则,培养学生的分类、归纳、概括能力.
2.课堂中给学生思考算法的时间和主动表述的机会,规范加法运算的步骤,明确算理,为分散难点,可侧重整数的加法.
教学过程
(一)情境导入
小明去文具店购买学习用品,爸爸给了10元,妈妈给了20元,其中小明购买笔记本支付12元,购买中性笔支付6元.我们规定小明得到的钱用正数表示,购买东西支付的钱用负数表示.
(1)小明共得到多少钱 如何用算式表示
(2)小明购买学习用品共支出多少钱 如何用算式表示
(3)小明还剩余多少钱 如何用加法算式表示
(4)如果小明想再购买价值15元的文具盒,他还差几元钱 如何用加法算式表示
解:(1)30元　10+20=30
(2)18元　(-12)+(-6)=-18
(3)12元　30+(-18)=12
(4)3元　12+(-15)=-3
(二)新知初探
探究一　有理数的加法法则
1.学生自学:请同学们阅读教材第44页,完成(1)~(3)题,你有什么发现 与同伴交流.
2.合作交流:足球比赛中具有相反意义的量:若我们规定赢球为“正”,输球为“负”.比如,赢3球记为+3,输2球记为-2.学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形:
(1)上半场赢了3球,下半场赢了2球,那么全场共赢了5球.也就是(+3)+(+2)=+5.①
(2)上半场输了2球,下半场输了1球,那么全场共输了3球.也就是(-2)+(-1)=-3.②
请同学们说出其他可能的情形.
上半场赢了3球,下半场输了2球,全场赢了1球,也就是(+3)+(-2)=+1;③
上半场输了3球,下半场赢了2球,全场输了1球,也就是(-3)+(+2)=-1;④
上半场赢了3球,下半场不输不赢,全场仍赢3球,也就是(+3)+0=+3;⑤
上半场输了2球,下半场两队都没有进球,全场仍输2球,也就是(-2)+0=-2;⑥
上半场打平,下半场也打平,全场仍是平局,也就是0+0=0.⑦
3.尝试探究:根据教材第45页“尝试·思考”中的(1)(2),思考下面的问题:
如图所示,把笔尖先放在数轴的原点,然后沿着数轴向左移动2个单位长度,再向右移动3个单位长度,这时笔尖停在哪个数的位置上 用数轴和算式分别表示以上过程及结果.
算式:　0+(-2)+(+3)=+1　.
讨论交流:
(1)两个有理数相加,有哪几种情形 你是怎么分类的
(2)两个有理数相加,和的符号怎么确定 和的绝对值怎么确定 你能发现什么运算规律 与同伴进行交流.
新知归纳:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值.
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
任务一　意图说明
从生活实际情境与数轴上点的移动等角度引导学生探索与归纳有理数的加法法则,体会类比、观察、概括与归纳的数学方法,培养抽象能力的核心素养.
探究二　有理数加法运算
自学教材第46页例1,把每一步运算的依据说给同伴听.
思考:(1)根据有理数的加法法则,如果两个数互为相反数,那么它们的和等于0.反过来,如果两个数的和等于0,那么这两个数互为相反数吗
(2)根据有理数的加法法则进行正数或0的运算,得到的结果与小学的加法运算结果一致吗
(3)之前的经验告诉我们:一个数加一个正数,结果应该变大.在有理数的范围内还能保持这个规律吗 一个数加一个负数呢 与同伴进行交流.
小结:如果a,b互为相反数,那么a+b=0;反之,如果a+b=0,那么a,b互为相反数.
例1　计算下列算式的结果,并说明理由:
(1)(-3)+(-9);　　　(2)(+4)+(+7);
(3)(+4)+(-7); (4)180+(-10);
(5)(+4)+(-4); (6)(-10)+(-1);
(7)5+(-5); (8)(+9)+0;
(9)0+(-2).
解:略
例2　计算:
（1）（-+0.5;
(2)(-2.77)+(+1.23);
(3)++(-3.5).
解:略
例3　检修小组从A地出发,在东西路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下(单位:千米):-4,+7,-9,+8,+6,-4,-3.
(1)收工时在A地的什么位置 距A地多远
(2)若每千米耗油0.3升,则从出发到收工共耗油多少升
解:略
[方法归纳]
1.有理数加法的步骤:(1)确定符号;(2)计算绝对值.按照“一观察,二确定,三求”的步骤进行,第一步观察两加数的符号是同号还是异号;第二步确定用哪条法则;第三步求出结果.
2.进行有理数加法运算,先要判断两个加数是同号还是异号,加数是否为零;再根据两个加数符号的具体情况,选用某一条加法法则.进行计算时,通常应该先确定“和”的符号,再计算“和”的绝对值.
针对训练:……
任务二　意图说明
通过实例帮助学生学会运用有理数的加法法则进行计算与解决简单的相关问题.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
有理数的加法法则
法则:同号两数相加
异号两数相加
一个数同0相加
教学反思
在本节课的设计中,注重引导学生参与探究、归纳(用自己的语言叙述)有理数加法法则的过程.
注意渗透数学思想方法.数学思想方法的渗透不可能立即见效,也不可能靠一朝一夕让学生理解、掌握,所以,本节课在这一方面主要是让学生感知研究数学问题的一般方法(分类、辨析、归纳、化归等).如在探究加法法则时,有意识地把各种情况先分为三类(同号、异号,一个数同0相加);在运用法则时,当和的符号确定以后,有理数的加法就转化为算术的加减法.
注意学生合作学习的学习方式,让学生在与他人合作中受益,学会交流,学会倾听别人的意见和建议.
第2课时　有理数加法的运算律及其应用
课标摘录
1.理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算.
2.能运用有理数的运算解决简单问题.
教学目标
1.经历探索有理数运算律的过程,体会分类和归纳的思想方法.
2.理解有理数的运算律.
3.能熟练进行整数加法运算,并能运用运算律简化运算.
教学重难点
重点:加法运算律的灵活运用,解决实际问题.
难点:能运用加法运算律简化运算,加法在实际中的应用.
教学策略
1.注重小初知识衔接,由特殊到一般,在学生熟练进行整数加法运算的基础上,探索和归纳数系扩张后的运算律.
2.在有理数加法的实际应用教学中,重视一题多解的教学,体会运算律在运算中的作用,发展运算能力的核心素养.
教学过程
(一)情境导入
猜想:在小学里,我们曾经学过加法的交换律、结合律,这两个运算律在有理数加法运算中是否也成立
尝试:(1)任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个运算结果:□+○和○+□;
(2)任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:
(□+○)+◇和□+(○+◇).
(二)新知初探
探究一　有理数的加法运算律
温故知新
1.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,　　　　　　　　;
(2)异号两数相加,绝对值相等时，　　　　　　　　　　　　;绝对值不时,　　　　　　　　　　　　.
(3)一个数同0相加,　　　　.
2.加法运算律:
加法交换律:a+b=　　　　,
加法结合律:(a+b)+c=　　　　.
合作探究
3.请同学们阅读教材48页,完成下面习题.
计算:
(1)(-8)+(-9),(-9)+(-8);
(2)4+(-7),(-7)+4;
(3)[2+(-3)]+(-8),2+[(-3)+(-8)];
(4)[10+(-10)]+(-5),10+[(-10)+(-5)].
解:略
通过上面的练习,我们发现在有理数的运算中,加法的　　　　　依然成立.
归纳:加法交换律:a+b=　　　　　,
加法结合律:(a+b)+c=　　　　　.
4.自学教材第48页例2,把每一步运算的依据说给同桌听.然后完成“尝试·思考”中的计算题.
解:(1)20+(-17)+15+(-10)=(20+15)+[(-17)+(-10)]=35+(-27)=8;
(2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5=(-1.8)+(-4)+[(-6.5)+6.5]=-5.8;
(3)(-12)+34+(-38)+66=[(-12)+(-38)]+(34+66)=-50+100=50;
(4)+（-+（-+=+（-）=1+（-）=.
例1　计算:16+(-25)+24+(-32).
解:略
(引导学生发现,在本例中,把正数与负数分别结合在一起再相加,计算就比较简便)
例2　计算:31+(-28)+28+69.
解:略
(引导学生发现,在本例中,把互为相反数的两个数相加得0,计算比较简便)
提出问题引起学生反思:此题你是抓住数的什么特点使计算简化的 依据是什么
根据加法交换律和结合律可以推出:三个以上的有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加.
[方法归纳] 灵活运用加法的运算律,通常有下列情形:(1)互为相反数的两个数,可先相加;(2)几个数相加得整数时,可先相加;(3)同分母的分数可以先相加;(4)符号相同的数可以先相加.
针对训练:……
任务一　意图说明
先回顾有理数的加法法则与小学学习过的加法运算律,然后结合实例进行探索,归纳得到有理数的加法运算律,体会知识的延续性与类比、归纳的思想方法.
探究二　有理数的加法运算律的应用
1.自学教材第49页例3,说一说两种解法的思路,与同伴交流.
2.典例解析
例3　某市食品药品监督管理局对标准容量为每瓶500 mL(误差允许范围±1.5 mL)的某品牌的冰红茶进行了一次抽检,抽取10瓶样品编1~10号后进行检测,结果如图所示(单位:mL):
(1)这10瓶冰红茶的总容量是多少 请尝试用简便方法解决.
(2)单独从容量的角度分析,你对该批产品有何评价
思路点拨:(1)为了减小计算量,怎样计算这10瓶冰红茶的总容量较简便
(2)如何用简便方法求这10瓶冰红茶的总容量
(3)10瓶冰红茶的容量与标准容量相比,是超出了还是不足
解:(1)用正负数表示每瓶偏离标准容量的数值分别为-1.1,-0.5,+0.5,+1.1,+0.2,-0.4,-0.2,+0.8,+1.5,+0.9.这10瓶冰红茶分别与标准容量的偏差值的总和是(-1.1)+(-0.5)+0.5+1.1+0.2+(-0.4)+(-0.2)+0.8+1.5+
0.9=(-1.1+1.1)+(-0.5+0.5)+(-0.2+0.2)+(-0.4)+0.8+1.5+0.9=2.8(mL).这10瓶冰红茶的总容量为500×10+2.8=5 002.8(mL).
(2)单独从容量的角度分析,对该批产品的评价为该品牌的冰红茶单瓶容量都在国家误差允许范围内,并且大部分都超过标准容量,质量有保证,值得信赖.
[方法归纳] 求实际问题中多个有理数之和的方法步骤:
(1)确定:确定数据的标准值;
(2)表示:用正、负数重新表示每个数据偏离标准的数值;
(3)计算:标准总量+偏差总值=原数据总和.
针对训练:……
任务二　意图说明
通过实例,引导学生利用有理数的运算律解决简单的实际问题,培养分析问题与解决问题的能力,以及应用意识的核心素养.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
有理数加法的运算律
交换律、结合律
教学反思
本节课的重点是有理数加法的运算律,难点是灵活运用加法运算律进行简化运算.课堂中学生的学习积极性较高,为了突破重难点设置了几组习题练习,学生认真完成,正确率较高.同时展示了学生的解题技巧,并设置了大家一起来找茬这一活动,把课堂推向了高潮.总体来说课堂效果很好.学生都能掌握解题技巧.
第3课时　有理数的减法
课标摘录
1.掌握有理数的减法运算.
2.能运用有理数的运算解决简单问题.
教学目标
1.经历探索有理数减法法则的过程,体会有理数减法与加法的关系.
2.理解有理数减法法则.
3.能熟练进行整数减法运算.
教学重难点
重点:探索并理解有理数的减法法则,能熟练进行有理数的减法运算.
难点:加法与减法的互逆运算关系的体会.
教学策略
1.在学生能熟练进行有理数的加法运算基础上,利用计算温差等情境,探索有理数的加法法则,培养抽象能力的核心素养.
2.重视观察、类比、归纳、转化、从特殊到一般的数学思想方法,建立新知与旧知的联系,培养学生的数感、抽象概括能力及语言表达能力.
教学过程
(一)情境导入
一天,小冉在看电视中的天气预报,看见呼和浩特的最低温度为-3 ℃,西宁的最低温度为-5 ℃,由此,她得到呼和浩特的最低气温比西宁的高2 ℃.你知道小冉是怎样计算的吗
(二)新知初探
探究一　有理数的减法法则
回顾旧知
1.如果两个数只有　　　　不同,那么称其中一个数为另一个数的　　　,也称这两个数　　　　.特别地,0的相反数是　　　　.负数的相反数是　　　　.
2.在数轴上,一个数所对应的点与原点的　　　　叫该数的　　　　.正数的绝对值是　　　　;负数的绝对值是　　　　;　　　的绝对值是7.
3.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,　　　　;
(2)异号两数相加,绝对值相等时,　　　　　　　　　　;绝对值不等时,　　　　　　　　　　;
(3)一个数同0相加,　　　　.
合作探究
1.请同学们阅读教材52~53页,完成“尝试·交流”中的问题.
2.(1)如果成都某一天的最高温度为33摄氏度,最低温度为24摄氏度,这天的温差是多少 你是怎样算的
(2)如果乌鲁木齐某一天的最高温度为7摄氏度,最低温度为-3摄氏度,这天的温差是多少 你是怎样算的
利用类似方法计算下列各式:
15-6=　　　　,15+(-6)=　　　　,
所以15-6=15+(-6)=　,
19-7=　　　　,19+(-7)=　　　　,
所以　　　　　　　　,
12-(-3)=　　　　,12+(+3)=　　　　,
所以　　　　　　　　,
10-(-5)=　　　　,10+5=　　　　,
所以　　　　　　　　,
9-0=　　　　,9+0=　　　　,
所以　　　　　　　　.
思考:减法与加法之间是怎样转化的
新知归纳:减法法则:减一个数,等于加这个数的　　　　.表示:a-b=a+(-b).
注意:在进行有理数的减法运算时,关键是如何正确解决符号问题:
改变两个符号:(1)运算符号,“减号”变为“加号”,(2)减数的符号.
针对训练:完成教材第55页第5题.
解:直观解释(-5)-(-2)=-3如图所示:
例1　计算:(1)(-1.2)-1.2;(2)(-6)-(-7);(3)--1.
思路点拨:识别减数的符号→变减为加→改变减数的符号→计算求和.
解:(1)原式=(-1.2)+(-1.2)=-2.4;
(2)原式=(-6)+7=1;
(3)原式=+（-+（-1=-1.
[方法归纳] 计算有理数减法的一般步骤
(1)先将减法变为加法,也就是把减数的相反数作为加数.
(2)再按照加法运算的方法进行计算.
思考:一个数减一个正数,结果会怎样变化 如果减一个负数呢
任务一　意图说明
由小学学习的减法运算与有理数的加法运算,结合生活实例,引导学生探索得到有理数的减法法则,理解加法与减法的互逆关系,体会转化的数学思想.
针对训练:……
探究二　有理数减法的简单应用
例2　世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔大约是8 848.86 m,吐鲁番盆地最低处的海拔大约是
-154.31 m.两处海拔相差多少米 (提示:用高海拔米数减低海拔米数)
解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m).
因此,两处海拔相差9 003.17 m.
实践练习:全班学生分为五个组进行游戏,每组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下:
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
100 150 -400 350 -100
(1)第三名超出第四名多少分
(2)第四名超出第五名多少分
解:略
针对训练:……
任务二　意图说明
通过生活实例帮助学生巩固有理数的减法法则,让学生在解决实际问题过程中培养运算能力.解决实际问题时,正确用正负数表示具有相反意义的量也是解决问题的关键.
(三)随堂练习
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
有理数的减法
法则:a-b=a+(-b)
应用:注意符号
教学反思
通过本节课的教学,我觉得本课课堂已经交给学生,贯彻新课程理念,让学生成为学习的主体.改变过去传统的教学,课堂教学不再按预设的计划和步骤进行,而是师生平等交流、互动的过程.教师要善于从学生已有的知识出发,创设学习的问题情境,让学生了解为什么要学,怎么去学,从而激起学生学习欲望.课堂上教师要引导学生发现问题,组织学生探索问题,在小组进行交流合作学习.在此过程中,教师是学生合作学习的合作伙伴.小组合作学习的目的是让学生自主探索,亲身经历体验知识的形成过程.
第4课时　有理数的加减混合运算
课标摘录
掌握有理数的加减混合运算;理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算.
教学目标
1.能进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算.
2.能根据具体问题,适当运用运算律简化运算.
教学重难点
重点:能进行包括小数或分数的有理数加减混合运算.
难点:准确而恰当地进行简便运算.
教学策略
1.开放设计问题情境,在游戏中通过猜想、估算的方法进行判断,然后列式,尝试计算,确定结果,同时,运算顺序与小学中“同级运算按从左到右的顺序计算”是一致的,注重新旧知识的衔接.
2.教学中注意比较“加减法统一为加法”与“省略加号的代数和”两种计算形式,并利用加法运算律简化运算,提高学生的运算能力.
教学过程
(一)情境导入
1.一个冬天的早晨,气温只有-7 ℃,中午气温上升了11 ℃,到半夜又下降了9 ℃,那么半夜的气温是多少
2.上述问题中既有加法又有减法,怎样进行运算
(二)新知初探
探究一　有理数的加减混合运算
旧知回顾
1.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;
(2)异号两数相加,绝对值相等时,　　　　;绝对值不等时,　　　　　　　　　　;
(3)一个数同0相加,　　　　.
2.有理数的减法法则:　　　　　　　　　　　　　　　　　.
3.在小学如何进行加减混合运算
合作探究
同桌间完成教材第56页的游戏.
例1　计算:(1)（-+-;
(2)(-5)-（-+7-.
解:略
[方法归纳] 简单的有理数的加减混合运算,可按由左到右的顺序依次进行.
针对训练:教材第57页随堂练习.
任务一　意图说明
类比小学加减法的混合运算,初步感受有理数的混合运算,特别是负数,不要弄错符号,初学时可按从左到右的顺序逐步进行计算.
探究二　有理数加减混合运算中的简便计算
计算:(1)(-0.5)-（-3;(2)2.75-（+7.
解:(1)2.75　(2)-4.75
思考:根据上述两题的计算,你会计算(-0.5)-（-3+2.75-（+7吗 是否能适当化简符号与运用运算律简化运算呢
解:原式=-0.5+3+2.75-7=（-0.5-7+（3+2.75=-8+6=-2.
归纳:引入相反数后,加减混合运算可以统一为　加　法运算.即有a+b-c=a+b+　(-c)　.
提示:根据有理数的减法法则,有理数的加减混合运算可以统一成加法运算.在统一成加法运算的和式里,通常把各个加数的括号和它前面的符号省略不写,即写成省略加号和括号的和的形式.如(-8)+(-6)+(+5)=-8-6+5,若按式子表示的意义,则读作“负8、负6、正5的和”;若按式子的运算意义,则读作“负8减6加5”.
例2　计算:（++（--（+-（--(-1).
思路点拨:(1)该算式统一成加法运算并省略括号与加号的形式后是什么
(2)化简后可运用哪种运算律简化运算
解:原式=--++1=（++（--+1=1-1+1=1.
[方法归纳] 有理数加减混合运算的步骤
(1)将有理数加减法统一成加法,再写成省略括号和加号的和的形式;
(2)运用加法法则、加法运算律进行运算.
针对训练
计算:
(1)+3-(-7);
(2)(-8)-7+(-6)-(-5);
(3)-7-(-21)+(-7);
(4)-24+3.2-16-3.5+0.3;
(5)0-21+3+3-+0.25.
解:略
例3　一辆汽车某段时间内都在一条东西走向的道路上行驶,规定向东行驶记为正,向西行驶记为负.这段时间内汽车行驶的情况记录如下:(单位:千米)
+15,-3.2,-5.3,+21.5,-3,+3.5,-2,-1.5,+3,-2.5,+8.5.
(1)汽车这段时间内最后的停车点在刚开始出发地的什么方向 距出发地多远
(2)如果该汽车的平均油耗是每百千米8升汽油,求这段时间汽车消耗的油量.
解:(1)由题意,得15-3.2-5.3+21.5-3+3.5-2-1.5+3-2.5+8.5=34(千米),
所以汽车最后的停车点在刚开始出发地东面,距出发地34千米.
(2)15+3.2+5.3+21.5+3+3.5+2+1.5+3+2.5+8.5=69(千米),
因为该汽车的平均油耗是每百千米8升汽油,
所以×8=5.52(升),
所以这段时间汽车消耗的油量是5.52升.
针对训练
某仓库5月份前6天,每天粮食相对于前一天(单位:袋)变化情况如图所示,增加粮食记作“+”,减少粮食记作“-”.
(1)通过计算说明前6天仓库粮食总的变化情况;
(2)在1~7号中,如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化情况的一半,求7号这天仓库粮食变化情况.
解:(1)-4+2-6+5+3-7=-7.
答:前6天仓库粮食减少7袋.
(2)前四天:-4+2-6+5=-3,因为前四天变化情况是后三天的一半,所以后三天变化为-6,-6-(+3-7)=-6-3+7=-2.
答:7号粮食减少2袋.
任务二　意图说明
引导学生依据有理数的加、减法运算法则及相反数的意义、符号化简等知识,探究有理数的加减混合运算统一成加法运算的方法,并在解决实际问题中

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