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学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十六章
课标要求 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
内容分析 本章是初中函数模块的收官内容，承接一次函数、一元二次方程的知识，是初中代数的重要组成部分．教材按照“认识概念—探究图象性质—建立函数与一元二次方程联系—解决实际问题”编排，遵循由特殊到一般的研究路径．二次函数既是对之前整式运算、配方法的综合巩固，也为高中继续学习函数奠定基础．本章充分体现数形结合思想，通过描点画图、图象平移研究抛物线特征，打通函数与方程之间的内在关联．教材设置面积、运动轨迹、拱桥、销售利润等现实情境，引导学生经历从实际问题抽象函数模型的完整过程，发展模型观念．二次函数是中考核心考查内容，搭建起代数运算、几何图形、实际应用之间的桥梁，在整个初中数学知识体系中具备承上启下的重要价值．
学情分析 学生已经掌握一次函数相关知识，会用描点法画函数图象，熟练求解一元二次方程，具备一定的代数式变形能力．但学生对函数与图象的对应关系理解不够透彻，配方法在二次函数变形中容易运算出错；容易混淆a、h、k对抛物线的影响，平移方向时常判断错误．学生能够记忆顶点、对称轴公式，但不会结合图象理解公式由来；处理实际问题时，容易忽略自变量的实际取值范围，不能自觉结合现实条件检验结果．学生数形转化能力偏弱，将实际情境转化为二次函数模型存在障碍，需要借助图象与实例逐层突破．
单元目标 （一）教学目标 1．理解二次函数的概念，识别二次函数一般形式，能辨析二次项、一次项、常数项以及对应系数． 2．会用描点法画二次函数图象，掌握、、的图象特征，理解参数的作用，掌握抛物线平移规律，会求对称轴、顶点坐标、函数最值． 3．理解二次函数图象与一元二次方程的联系，能利用抛物线与x轴交点情况判断方程根的情况，会借助图象求方程近似根． 4．能够分析面积、运动、拱桥、销售利润等实际问题，建立二次函数模型求解最值，关注自变量的实际取值范围． 5．经历观察、画图、探究的学习过程，体会数形结合、转化、建模思想，提升几何直观与分析解决实际问题的能力． （二）教学重点、难点 重点： 1．理解二次函数概念，掌握二次函数的图象与性质，会确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点，能求二次函数的最大值与最小值． 2．理解二次函数图象和一元二次方程的内在联系，会利用函数图象分析一元二次方程根的情况． 3．建立二次函数模型解决实际最值问题，能够确定实际问题中自变量的取值范围． 难点： 1．理解抛物线的平移规律，能够利用配方法将一般式化成顶点式，体会配方法在函数变形中的作用． 2．实现解析式与图象的相互转化，运用数形结合思想理解二次函数与一元二次方程的联系． 3．从复杂实际情境抽象出二次函数模型，求解最值时兼顾图象性质与自变量的现实取值限制．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1二次函数的概念12-6二次函数的图象和性质57-8二次函数与一元二次方程29-11实际问题与二次函数312数学活动——哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系113章末复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1 二次函数的概念1．通过分析实际问题，抽象出函数关系式，认识二次函数，理解二次函数的定义． 2．能识别二次函数一般形式，分清二次项、一次项、常数项及对应系数． 3．会依据定义判断一个函数是否为二次函数，明确的隐含条件．1．能说出二次函数的定义及一般形式． 2．能准确识别二次函数各项与系数． 3．会依据概念判别函数是否属于二次函数．任务一：从实际问题列函数关系式，归纳二次函数定义 任务二：辨析二次函数，识别各项系数，完成教材例题26.2.1 二次函数的图象和性质 1．会用描点法画的函数图象，认识抛物线． 2．通过观察图象，掌握的开口方向、对称轴、顶点等图象特征． 3．理解参数对抛物线开口方向、开口大小的影响．1．能够用描点法画出的图象． 2．能说出图象的顶点、对称轴、开口性质． 3．能根据的正负判断抛物线开口方向．任务一：描点绘制图象，认识抛物线 任务二：对比不同值的图象，归纳性质，完成对应例题26.2.2 二次函数的图象和性质(第1课时)1．画出的图象，对比，理解上下平移规律． 2．掌握的顶点、对称轴、增减性与最值． 3．体会数形结合思想，理解解析式变化与图象平移之间的联系．1．掌握图象性质，能确定顶点、对称轴． 2．理解决定抛物线上下平移． 3．能判断的增减性和最值．任务一：画图对比与，探究平移规律 任务二：归纳性质，完成课堂练习26.2.2 二次函数的图象和性质(第2课时)1．绘制图象，探究抛物线左右平移规律． 2．掌握的对称轴、顶点坐标、增减性． 3．辨析正负与图象平移方向的对应关系．1．能说出的顶点、对称轴． 2．掌握引起的左右平移规律． 3．会判断的增减变化．任务一：作图探究图象特征 任务二：辨析左右平移，完成教材习题训练26.2.2 二次函数的图象和性质(第3课时)1．认识顶点式，综合掌握对抛物线的影响． 2．直接由顶点式读出顶点坐标、对称轴，分析函数增减与最值． 3．理解完整的抛物线平移变换过程．1．能由顶点式直接写出顶点、对称轴． 2．掌握对图象的综合作用． 3．能描述抛物线完整平移路径．任务一：整合平移规律，学习顶点式 任务二：由解析式说出图象特征，完成例题26.2.3 二次函数的图象和性质1．会用配方法把化成顶点式． 2．推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3．掌握图象性质，会求最值．1．能将一般式通过配方法化为顶点式． 2．记忆并运用顶点、对称轴公式． 3．能分析一般形式二次函数的增减性、最值．任务一：配方法变形二次函数解析式 任务二：推导顶点、对称轴公式，完成例题计算26.3 二次函数与一元二次方程(第1课时)1．理解抛物线与轴交点横坐标就是对应一元二次方程的根． 2．由抛物线与轴交点个数，对应判别式的三种情况． 3．建立二次函数图象与一元二次方程之间的联系．1．知道抛物线与轴交点和方程根的对应关系． 2．会根据交点个数判断一元二次方程根的情况． 3．能用函数观点看待一元二次方程．任务一：结合实例探究抛物线与轴交点 任务二：建立交点个数与判别式的联系，处理教材例题26.3 二次函数与一元二次方程(第2课时)1．会利用二次函数图象求对应一元二次方程的近似解． 2．能够结合函数图象判断代数式取值、不等式大致解集． 3．进一步强化数形结合思想方法．1．能借助函数图象求一元二次方程近似根． 2．能利用图象判断函数值正负． 3．会用图象简单分析对应不等式．任务一：利用图象估算方程的近似根 任务二：结合图象分析函数取值，完成课堂习题26.4 实际问题与二次函数(第1课时)1．能够建立二次函数模型解决几何面积最值问题． 2．会求二次函数实际问题的最大值、最小值． 3．懂得考虑自变量的实际取值范围．1．能从面积情境中构建二次函数． 2．会求实际情境下函数最值． 3．能关注自变量取值限制．任务一：分析面积问题，建立函数模型 任务二：求解最值，完成教材例题26.4 实际问题与二次函数(第2课时)1．分析销售利润类问题，列出二次函数关系式． 2．结合自变量取值范围，求解利润最大问题． 3．辨析题目数量关系，提高建模能力．1．能梳理利润问题中的数量关系． 2．会建立利润的二次函数模型． 3．在限定自变量范围内求利润最值．任务一：探究销售利润问题，找出等量关系 任务二：列式求解利润最大值，完成探究126.4 实际问题与二次函数(第3课时)1．分析拱桥、抛射类运动轨迹问题，建立二次函数模型． 2．根据实际情境恰当建立平面直角坐标系． 3．利用二次函数解析式解决现实测量问题．1．会根据实际场景合理建立坐标系． 2．能求出抛物线实际问题函数解析式． 3．能用函数结果解释现实问题．任务一：拱桥实例，建立坐标系求解析式 任务二：利用函数解决实际测量计算，完成探究2数学活动：哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系1．通过数学活动探究两个正数和一定时，乘积的变化规律，用二次函数解释结论． 2．读懂刹车距离实际函数模型，感受函数在生活中的应用． 3．经历探究猜想、建模验证的完整过程．1．能用二次函数解释“和定，积最大”的规律． 2．读懂刹车距离函数，完成简单计算． 3．能够主动参与探究活动，说出探究思路．任务一：开展“哪个积大”探究活动，用函数验证猜想 任务二：分析刹车距离问题，完成活动计算第26章 二次函数 章末复习1．梳理二次函数概念、图象、性质，巩固解析式三种形式之间的互化． 2．回顾二次函数与一元二次方程的联系，梳理实际应用模型． 3．查漏补缺，综合运用知识解决综合性习题．1．能构建本章知识框架，厘清知识脉络． 2．熟练进行三种解析式形式转化． 3．可以综合解决函数、方程、实际应用综合题．任务一：学生自主梳理本章思维导图 任务二：完成典型综合复习题，查漏纠错
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分课时教学设计
第六课时《26.2.3 二次函数的图象和性质》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课研究一般式的图象性质，核心是配方法转化为顶点式．教材以为例，通过配方法化成，建立一般式与顶点式之间的桥梁，由此推导对称轴公式，顶点坐标公式．配方法既是解一元二次方程旧知的迁移，也是处理二次函数的重要工具．本课打通一般式与顶点式，学生不用配方也可以直接套用公式得到顶点、对称轴，分析增减性、最值．本课是本章重难点，上承顶点式，下启二次函数与一元二次方程、实际应用，是中考高频考点，对整章后续学习至关重要．
学习者分析 学生已经熟练顶点式的图象性质，之前学过用配方法解一元二次方程．但把配方法迁移到二次函数变形，学生存在障碍，尤其二次项系数不为1的时候配方运算容易出错．学生能够记忆对称轴、顶点公式，但不理解公式推导来源，只会死记硬背；代入公式计算容易符号出错．部分学生拿到一般式，不会分析增减性与最值．教学组织小组合作，回顾解方程的配方法，类比迁移到函数，理解公式由来，同时训练公式计算．
教学目标 1.会用配方法把化成顶点式． 2.推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3.掌握图象性质，会求最值．
教学重点 配方法将一般式化为顶点式；掌握对称轴、顶点坐标公式，会求函数最值．
教学难点 二次项系数不为1时的配方变形；理解顶点公式的推导过程．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．会用配方法把化成顶点式． 2．推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3．掌握图象性质，会求最值．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质？ 答案：一般地，抛物线与形状相同，位置不同.把抛物线向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离要根据的值来决定. 抛物线有如下特点: (1)当时，开口向上；当时，开口向下. (2)对称轴是. (3)顶点是(). 从二次函数的图象可以看出:如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，取最小值，最小值为；如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取最大值，最大值为. 导入：从简单的二次函数 开始，我们逐步深入，研究了二次函数 的图象和性质. 我们还知道，通过配方，可以将二次函数 转化为 . 这样，就可以利用 的图象和性质来研究二次函数 的图象和性质.学生活动2： 学生积极回答问题，并回忆配方法解一元二次方程，思考配方法是否可以用于函数变形，进入新课． 活动意图说明： 通过复习已经学过的二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质的知识，利用学生已掌握的解方程配方法，类比迁移到二次函数，为引出新课“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质”作铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 思考：对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 分析：对二次函数配方，可得．根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象． 追问：还有其他平移方法吗？ 预设：先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度 解：先配方，将二次函数的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． ． 由配方的结果可知，抛物线 的顶点是 ，对称轴是 . 再利用图象的对称性列表： ...3456789......7.553.533.557.5...
然后描点画图，得到 的图象如图所示 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取最小值，最小值是3. 探究：你能用上面的方法研究二次函数 的图象和性质吗 解：先配方，将二次函数y＝－2x2－4x＋1的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． y＝－2x2－4x＋1 ＝－2(x2＋2x)＋1 ＝－2(x2＋2x＋12－12)＋1 ＝－2(x＋1)2＋3． 由配方的结果可知，抛物线y＝－2x2－4x＋1的顶点是(－1，3)，对称轴是x＝－1． 再利用图象的对称性列表： ...--2--1-0...y＝－2x2－4x＋1 ...-131-...
然后描点画图，得到y＝－2x2－4x＋1的图象如图所示． 从二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取最大值，最大值是3. 归纳：一般地，我们可以类似地研究二次函数的图象和性质.通过配方，可以将二次函数化成 因此，抛物线的对称轴是，顶点是.如图所示，从二次函数的图象可以看出： 如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 因此，当(或)时，抛物线的顶点是最低点(或最高点).也就是说，当时，二次函数有最小值(或最大值). 学生活动3： 回忆一元二次方程配方法；开展小组合作探究，小组尝试对进行配方，互相纠错；研读教材的一般式配方推导，组内互相解释对称轴、顶点公式来源；小组练习配方变形与公式代入计算；小组代表板演展示，全班订正，整理配方步骤与公式笔记． 活动意图说明： 依托教材实例，小组合作完成配方训练，让学生理解公式的推导由来，而不是单纯死记公式，提升代数运算能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：26.2.3 二次函数的图象和性质一、开口方向 二、顶点坐标 三、对称轴 四、增减性 五、最值教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（ ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 答案：C 2．抛物线的最大值是_____． 答案： 3．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)当时，结合图象求y的取值范围． 解：（1）列表， 0123422
函数图象如下图： （2）观察函数图象得：当时，的取值范围为． 选做题： 4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：C 【综合拓展类练习】 5．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 解：（1）当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．将二次函数化为的形式是________． 答案： 3．已知二次函数. (1)用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出二次函数的图像，观察图像，求随增大而增大的的取值范围. 解：（1）∵二次函数， ∴二次函数的对称轴是直线，顶点坐标是 （2）∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，过，，，， 函数图像如下图所示： 由图像可知，随增大而增大的的取值范围是． 选做题： 4．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 解：（1） （2）由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为．
教学反思 本节课将配方法迁移到二次函数，小组合作开展配方训练．学生对二次项系数不为1的配方运算错误较多；部分学生只会死记顶点公式，不理解推导过程，代入公式符号出错．后续教学要强化配方步骤训练，兼顾理解推导和公式运用，多安排板演纠错，提升代数运算能力．
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