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第二十五章 一元二次方程 小结
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 第二十五章　小结
教学目标
1．建构本章知识体系，形成知识网络，建立知识之间的联系． 2．通过回顾一元二次方程解法的探究过程，进一步体会“降次”的转化与化归思想、分类讨论思想和从特殊到一般的研究方法，提升学生分析和解决问题的能力． 3．能根据方程特征灵活选择解法，运用根的判别式判别根的情况，利用根与系数的关系解决简单问题，感受数式通性，发展运算能力和推理能力，增强模型观念，加强应用意识．
教学内容
教学重点 配方法，以及通过建立一元二次方程模型解决现实问题． 教学难点 配方法，以及通过建立一元二次方程模型解决现实问题．
教学过程
教学环节 主要师生活动
知识回顾 导语：本章我们学习了一元二次方程的相关知识，包括一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系以及实际应用．本节课我们将对本章知识进行单元小结，以加深对知识的理解与应用． 问题1：请同学们回顾本章所学内容，想一想我们主要研究了哪些知识？你能画出本章的知识结构图吗？ 师生活动：学生先独立思考，尝试画出知识结构图，然后小组交流．教师请小组代表展示本组绘制的结构图，其他小组补充完善．教师展示教科书小结中的知识结构图，引导学生明确各知识块之间的关系：实际问题→一元二次方程的概念→解法（降次：配方法、公式法、因式分解法）→根的判别式与根与系数的关系→实际应用． 设计意图：让学生主动建构本章的知识结构，形成知识体系．在此基础上，教师出示本章知识框图，帮助学生形成结构．
回顾与思考 问题2：一元二次方程的定义是什么？它的一般形式是什么？为什么规定a≠0？ 师生活动：学生回顾定义（整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是2），说出一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），并解释a≠0是保证方程为二次的必需条件． 设计意图：巩固一元二次方程的概念，为后续应用打好基础． 问题3：解一元二次方程的基本思想是什么？我们学习了哪些解法？各种解法分别在什么情况下比较适用？ 师生活动：学生思考、作答，教师引导学生共同归纳：“降次”是解一元二次方程的基本思想．学习了配方法、公式法、因式分解法．直接开平方适用于(x＋n)2＝p（p大于等于0）的形式；因式分解法适用于左边能分解为两个一次因式乘积的形式；配方法和公式法适用于所有一元二次方程，其中公式法是配方法的一般化结果． 追问1：配方法的关键步骤是什么？你能说出配方法的一般步骤吗？ 师生活动：学生回顾配方法的关键是“方程两边加一次项系数一半的平方”，并说出一般步骤：移项→二次项系数化为1→配方→开方→解一次方程． 追问2：公式法与配方法有什么关系？求根公式是什么？ 师生活动：学生作答：公式法是由配方法推导得出的，求根公式为（b2－4ac≥0）． 设计意图：通过问题引导学生梳理一元二次方程的不同解法，强化解法与方程特征的联系，深化对“降次”方法及其转化与化归思想的理解，提升运算策略的灵活性和运算能力． 问题4：不解方程，如何判断一元二次方程根的情况？ 师生活动：学生回答利用根的判别式Δ＝b2－4ac．教师给出两个方程：x2－3x＋2＝0和x2－2x＋3＝0，请学生判断根的情况并说明理由． 设计意图：巩固根的判别式的作用，体会分类讨论思想． 问题5：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若两个实数根为x1，x2，你能直接写出x1＋x2和x1x2的值吗？这个结论是如何得出的？ 师生活动：学生口述一元二次方程根与系数的关系：，．教师引导学生回顾两种推导方法：一是直接运用求根公式计算得到；二是通过先因式分解、再比较恒等式对应的系数得到． 追问3：已知方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，求x12＋x22的值． 师生活动：学生独立完成，教师讲评时强调“整体代换”的思想：x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2． 设计意图：巩固根与系数的关系，体会不求解方程而获得根的性质，培养推理能力和代数运算能力． 问题6：你能举例说明运用一元二次方程解决实际问题的过程吗？解决这类问题的基本步骤是什么？ 师生活动：学生举例（如增长率问题、面积问题、传播问题等）．教师引导学生回顾基本步骤：审题→设未知数→找等量关系列方程→解方程→检验根的合理性→作答． 追问4：在检验根时，除了要满足方程，还要注意什么？ 师生活动：学生回答要符合实际意义，如长度、时间、人数等应为非负数或正整数． 设计意图：通过举例与归纳，增强模型观念和应用意识，使学生明确建立一元二次方程模型解决实际问题的完整流程．
例题精讲 例1　用适当方法解下列方程： （1）3x2＝15；（2）x2－6x＝7；（3）5x2－2x－3＝0；（4）2x2－4x＋3＝0． 师生活动：学生思考并选择合适的解法，独立求解以上方程．请学生代表回答，师生共同点评． （1）可直接开平方求解：x1＝，x2＝－；（2）可选用配方法较为方便，也可使用因式分解法或公式法：x1＝7，x2＝－1；（3）使用公式法较为方便，对于十字相乘法因式分解掌握较好的学生也可考虑使用因式分解法求解：x1＝1，；（4）可用配方法或公式法较为方便：方程无实数根． 设计意图：通过辨析与选择合适的解法，强化解法与方程特征的联系，深化对“降次”方法及其转化与化归思想的理解，提升运算策略的灵活性和运算能力． 例2　已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0．当k为何值时，方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？ 师生活动：学生独立尝试，教师巡视．请学生代表板演，师生共同点评． 因为Δ＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9，所以当，，时，方程分别有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根． 设计意图：运用根的判别式判断含字母系数的一元二次方程根的情况，提升学生的代数推理和运算能力． 例3　某农场有一块空地，空地上有一面长为10 m的围墙MN，现打算利用围墙和篱笆围一块矩形养蜂场ABCD．已知篱笆总长为48 m，与墙相对的一面篱笆需开一扇宽为2 m的门，篱笆恰好全部用完，且门不消耗篱笆，设AB长为x m． （1）如图1，当AD≤MN时， ①AD＝ m（用含x的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为168 m2，求此时AB的长． （2）如图2，当AD＞MN时，养蜂场的面积是否可以达到230 m2？并说明理由． 师生活动：教师结合实际问题情境进行引导，学生分析问题中的数量关系，列方程求解，并检验根的合理性．需要用含x的代数式表示出BC的长：对于图1，可利用“BC的长＝篱笆总长－2×AB的长＋门的宽度”得到；对于图2，可利用“BC的长＝(篱笆总长＋门的宽度＋墙的长度－2×AB的长)÷2”得到． （1）①由题意得：BC＝48＋2－2x＝(50－2x)m， 所以在矩形ABCD中，AD＝BC＝(50－2x)m． ②由题意得(50－2x)x＝168， 整理得x2－25x＋84＝0， 解得x1＝4，x2＝21， 当x＝4时，AD＝50－2x＝50－2×4＝42＞10，不合题意，舍去； 当x＝21时，AD＝50－2x＝50－2×21＝8＜10，符合题意． 答：此时AB的长为21 m； （2）养蜂场的面积不能达到230 m2，理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到230 m2， AB长为x米，BC长为＝(30－x)m， 由题意得(30－x)x＝230， 整理得x2－30x＋230＝0， 所以Δ＝(－30)2－4×1×230＝－20＜0， 所以方程无实数根， 故假设不成立，即养蜂场的面积不能达到230 m2． 设计意图：巩固运用一元二次方程解决实际问题的方法，提高根据实际情境抽象出方程的能力，体会数学建模的过程，增强模型观念和应用意识，提升学生分析和解决问题能力．
课堂练习 1．解方程：4x2＋12x＋9＝81． 2．求方程3x2－1＝2x＋5两个根x1，x2的和与积． 3．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 师生活动：学生独立完成，同桌互相批改，教师针对错误集中讲解．第1题巩固灵活选择解法求解方程，解得x1＝3，x2＝－6；第2题巩固根与系数的关系，求得，和x1x2＝－2；第3题巩固建模解决实际问题，设应邀请x支球队参加比赛，根据题意，得x(x－1)＝30，解得x＝6或－5（舍去），所以，应邀请6支球队参加比赛． 设计意图：通过三个层次（解法、根与系数的关系、实际问题）的练习，检测学生对本节小结课核心内容的掌握情况，落实“教—学—评”一致性．
课堂总结 教师引导学生一起回顾本节课的收获，请学生回答以下问题： （1）本节课我们复习了哪些主要内容？知识之间有哪些联系？ （2）总结在学习过程中涉及的核心方法和数学思想． 师生活动：学生在思考的同时，教师展示本章知识结构图，学生发言回答所学所感，教师补充完善． 设计意图：通过问题引导，让学生从知识内容、思想方法、应用三个方面总结自己的收获，加深对知识结构化、整体化、系统化的认识，为知识巩固和应用打下坚实基础．
课后任务 教科书复习题25第1，5（1）（2）（4），10，13题．

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