资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
《1.5.1有理数的乘法》教学设计
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第一单元
课题 1.5.1 有理数的乘除 课时 第一课时
课标要求 1.掌握有理数的乘法运算，理解有理数乘法法则，能熟练进行有理数乘法计算。 2.理解倒数的概念，会求非零有理数的倒数，发展学生的运算能力。 3.经历探索有理数乘法法则的过程，感受从实际情境抽象数学规则的过程，提升符号意识与推理意识。
教材分析 1.本节课选自沪科版七上1.5有理数的乘除，是在有理数加减、加减混合运算之后，开启有理数乘除运算的第一课时。 2.教材借助温度变化的现实情境，逐步推导有理数乘法法则，重点突破“负负得正”这一难点，由实例过渡到抽象法则，符合学生认知。 3.教材配套例题、练习巩固乘法运算，引出倒数概念，既是对前面有理数知识的延续，也为后续有理数除法、乘方打下基础。
学情 分析 1.学生已经掌握正数乘法，熟练完成有理数加减运算，认识绝对值、相反数，具备学习本节课的基础。 2.七年级学生对负数参与乘法比较陌生，很难直观理解“负负得正”的算理，符号判断极易出错。 3.学生擅长具象情境理解，但是抽象推理能力较弱，需要借助实例、算式观察归纳得出乘法法则。
核心素养目标 1.结合温度变化情境与温度计图示，借助几何直观、符号意识，从实际问题抽象有理数乘法算式，形成数感。 2.通过观察归纳推理得到有理数乘法法则，提升推理意识，熟练进行有理数乘法运算，发展运算能力。 3.理解倒数概念，运用乘法模型解决简单实际问题，增强模型意识与应用意识，规范表达运算过程。
教学重点 掌握有理数乘法法则，能够正确进行有理数乘法运算，理解倒数的概念。
教学难点 理解“负负得正”的算理，运算过程中准确处理符号问题。
教学 准备 1.教具：多媒体课件、温度计示意图、黑板。 2.学具：课堂练习本、草稿纸、计算器。 3.素材准备：温度变化情境图片、有理数乘法例题、课堂填空练习题、自学自测习题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.课件出示2道有理数加减混合运算小题，组织学生快速回顾上节课内容。 2.抛出问题：有理数减法法则是什么？加减混合运算怎样转化为代数和？加法交换律、结合律有什么用处？ 3.邀请学生举手口头回答问题，请两名学生口头汇报习题结果。 4.根据学生的回答进行点评，针对符号容易出错的地方加以强调纠错，顺势引出本节课学习有理数乘法。 1.观察题目，在草稿纸上快速完成加减混合运算习题。 2.回忆有理数加减混合运算相关知识点，主动思考教师提出的问题。 3.积极举手，口头表述减法转加法的方法，说出代数和含义以及运算律可以凑数简化计算。 4.认真倾听教师点评，订正自己出现的符号错误。 1.巩固上节课有理数加减混合运算、减法转化思想、加法运算律等旧知，夯实基础。 2.复习有理数运算当中符号处理的要点，为本节课有理数乘法的符号判断做好知识铺垫。 3.让学生感受有理数范围内运算律可以继续使用，建立新旧知识之间的联系，自然过渡到新课学习。
二、引新 创设情境，引入课题 1.课件出示小学正数乘法算式(+2)×(+3)=6，(+2)×0=0，提出质疑问题：如果两个有理数相乘，其中含有负数，该怎样计算？抛出本节课探究矛盾，引发学生思考。 2.展示实验室温度变化现实情境，讲解情境规则：用正数、负数表示温度升降，用正负数表示时间前后，结合温度计示意图，依次呈现三个探究问题。 3.出示问题一：3 min后甲标本的温度变化。引导学生观察温度计图示，带领学生分析题意，板书算式(-2)×3=-6；再借助乘法分配律，演示推导过程，从运算律角度解释算式结果的由来。 4.出示问题二：2 min前乙标本的温度变化，结合温度计图得到算式3×(-2)=-6，联系乘法交换律，说明(-2)×3与3×(-2)结果相等。 5.出示问题三：3 min前甲标本的温度变化，得到算式(-2)×(-3)=6。再次借助乘法分配律构造式子，一步步板书推导，解释“负负得正”的算理。 6.引导学生观察上面全部算式，启发学生初步感知积的符号与两个因数符号之间的关系，顺势导入本节课课题——有理数的乘法。 1.回顾小学正数乘法，面对“负数参与乘法如何计算”的问题，产生疑问，进入思考状态。 2.读懂温度情境，理解正负号分别代表温度升降、时间前后的实际含义，观察温度计示意图。 3.跟随教师分析三个问题，结合温度的实际变化，说出温度高低变化结果，尝试理解对应的乘法算式。 4.跟随教师思路，看懂乘法分配律的推导步骤，理解(-2)×3=-6以及(-2)×(-3)=6的由来，初步体会“负负得正”。 5.观察多组算式，自主观察因数符号、积的符号，尝试归纳初步规律，明确本节课学习内容。 1.从已学正数乘法入手，设置认知冲突，激发学生求知欲望，自然引出负数乘法的新问题。 2.借助实验室温度这一生活化实例，把抽象的有理数乘法赋予现实意义，降低理解难度，借助几何直观（温度计）帮助学生理解算式的实际含义。 3.通过实际情境+乘法分配律双重角度推导算式，突破本节课难点“负负得正”，让学生不只记结论，还懂得算理。 4.多组算式逐层呈现，让学生初步感知两数相乘符号的变化规律，为后面归纳有理数乘法法则做好铺垫，实现从具体实例走向抽象法则的过渡。
三、探究 合作探究，活动领悟 1.结合上一情境导入得到的几组算式，组织学生小组合作，引导学生观察因数的符号、绝对值与积的符号、绝对值之间的关系，布置小组讨论任务，启发尝试归纳有理数乘法法则。 2.待小组讨论结束，请小组代表发言汇报讨论结果，针对学生表述不完善的地方进行点拨纠正，课件完整出示有理数乘法法则，着重强调：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。 3.再次回顾乘法分配律，说明有理数范围内乘法交换律、分配律依旧成立，借助运算律再一次解释“负负得正”的内在算理，加深学生理解。 4.课件展示有理数乘法三步计算步骤：定符号、算绝对值、合并结果，结合简单例题示范演算，强调运算顺序要先定积的符号，再算绝对值相乘。 5.顺势引出倒数的概念，板书定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。重点强调易错点：0没有倒数，分数求倒数颠倒分子分母位置，举简单例子帮助区分。 6.抛出提问，随机抽查学生，检验学生对法则、计算步骤、倒数概念的理解，及时纠错。 1.以小组为单位开展合作探究，对比之前情境得到的乘法算式，观察因数和积的符号、绝对值特点，组内交流讨论，尝试用自己的语言总结乘法规律。 2.小组代表展示本组探究结论，认真倾听教师补充完善，识记完整的有理数乘法法则，理解“同号得正、异号得负”的含义。 3.跟随教师回顾运算律，理解运算律推导法则的过程，明白“负负得正”不是硬性规定，可由运算律推导得到。 4.学习乘法运算三步流程，模仿教师示范，梳理做题顺序，记住先判断符号再计算数值。 5.学习倒数定义，做好课堂笔记，标记“0没有倒数”这一关键易错点，练习说出简单数的倒数。 6.思考教师提出的问题，主动作答，发现自身理解漏洞，及时修正认知。 1.通过小组合作探究，让学生经历从具体算式到抽象法则的归纳过程，提升推理意识，体现学生课堂主体地位。 2.完整呈现乘法法则，再次借助运算律解释算理，突破本课重难点，避免学生机械背诵口诀，做到知其然更知其所以然。 3.明确标准化计算步骤，帮助学生建立规范解题习惯，减少符号判断方面的计算错误。 4.引入倒数概念，完善本节课知识体系，为后续有理数除法的学习做好知识铺垫。 5.通过提问抽查及时掌握学生课堂学习情况，巩固本环节新知，为接下来变式练习做好准备。
四、变式 师生互动，变式深化 1.课件出示例1四道计算题，带领学生读题，提示学生严格按照“先定符号，再算绝对值”的乘法计算步骤进行运算。先给学生时间独立演算，再逐题板书示范完整解题格式。 例1 计算. （1）（-5）×（-6）； （2）（-）× ； （3）（）×（）； （4）8×（-1.25） 解 （1）（-5）×（-6） = +（5×6）=30. （2）（）× = -（×）= （3）（）×（）=+（×）=1 （4） 8×（1.25）=（8×1.25）=-10 2.讲解四道例题，分别覆盖同号相乘、异号相乘、互为倒数两数相乘、整数与小数相乘四种题型，每道题先引导学生判断积的符号，再计算绝对值，强化法则运用；针对第(3)小题，结合计算结果再次回扣倒数的概念。 3.展示计算器运算操作步骤，向学生示范负数乘法的计算器按键流程，说明计算器可以验证有理数乘法计算结果。 用计算器计算第（1）（3）题，操作如下： 与小学所学的一样，如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数。 如是的倒数， 是的倒数，也就是说，与互为倒数。 4.在例题基础上设置变式小题，变换数字、符号，随机抽取学生上台板演，其余学生在练习本完成。巡视课堂，查看学生做题情况，重点观察学生符号判断是否出错。 5.对板演结果点评纠错，针对符号判断错误、格式书写不规范等共性问题集中讲解，再次强调倒数相关注意点，巩固0没有倒数的知识点。 6.组织学生口头抢答简单习题，由浅入深，由例题过渡到变式训练，及时对学生作答给予评价。 1.独立思考例1四道题目，在练习本上书写计算过程，做题时先判断符号，再计算绝对值。 2.认真观看教师板书示范，规范书写解题步骤；观察例题第(3)小题结果，进一步理解互为倒数的两个数乘积为1。 3.学习计算器的按键操作方法，尝试用计算器核对自己的计算答案。 4.完成变式练习题，部分学生上台板演，其余学生独立作答。做题过程中主动运用有理数乘法法则，标记易错地方。 5.对照板演，找出自身错误，认真倾听教师点评，改正符号判断、书写格式的问题，牢记倒数相关知识。 6.积极参与课堂抢答，快速说出计算结果，巩固乘法法则的使用。 1.通过典型例题，落实有理数乘法法则，强化“先定符号，后算绝对值”的运算顺序，规范学生解题书写格式，提升学生运算能力。 2.例题题型多样化，兼顾正数、负数、分数、小数，同时自然巩固倒数概念，做到新知及时巩固。 3.引入计算器验证计算结果，丰富解决问题手段，教会学生检验答案的方法。 4.通过变式训练、板演、抢答，及时暴露学生符号判断的典型错误，对本节课的重难点进行强化突破。 5.讲练结合，由例题到变式，循序渐进，加深学生对有理数乘法法则的理解，为后续综合计算以及实际问题应用打下基础。
五、尝试 尝试练习，巩固提高 【知识技能类作业】必做题： 1.2026年是农历丙午马年， 2026的倒数是( ) A.–2026 B. C.- D.2026 2.如果2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（ ) A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 3.在-1，2，3，-4，-5这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（ ） A．-6 B．40 C．60 D．120 4.填空：-0.5的倒数是 ；|- 1/5|的倒数是 ；10的倒数的相反数是 。 【知识技能类作业】选做题： 1.从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.现定义新运算“※”对任意有理数a、b，规定a ※ b=（a+b）（a-b），例如：1 ※ 2=（1+2）（1-2）=-3，则计算3 ※ [（-1） ※2]=（ ） A．-6 B．-9 C．0 D．18 3.已知|a|=3， b=-8， ab>0， 则a-b的值为 . 4.计算： （1）(-2)×3×4×(-5)； （2）1×（- ）×（-2.5）×（- ） （3）(- 2020)×(-2021)×2×(- 2024)×0×(-2025). 【综合拓展类作业】 1.某水果店销售一种牛奶草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克20元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负数来表示；每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负数来表示，记录如下： （1）这个月牛奶草莓售价最低的是第______周，这一周的售价是每千克______元； （2）这个月牛奶草莓的总销售量是多少千克？ （3）这个月牛奶草莓销售量最多的一周比销售量最少的一周的总销售额多吗？如果多，多多少？ 答案 【知识技能类作业】必做题 1.B 2.D 3.C 4.-2；5；- 【知识技能类作业】选做题 1.C 2.C 3.5 4.(1)120；(2)- ；(3)0 【综合拓展类作业】 1.（1）四，15；（2）解：四周标准总销售量为200×4=800（千克），每周销量相对标准的差值总和为50+（-20）+70+（-10）=90（千克），总销售量为800+90=890（千克）．答：这个月牛奶草莓的总销售量是890千克. （3）解：每周实际销售量分别为：第一周：200+50=250（千克）；第二周：200+（-20）=180（千克）；第三周：200+70=270（千克）；第四周：200+（-10）=190（千克）．销售量最多的是第三周（270千克），最少的是第二周（180千克）．第三周销售额：270×（20-4）=270×16=4320（元）；第二周销售额：180×（20+4）=180×4=4320（元）．差值为4320-4320=0（元）． 答：销售量最多的一周和销售量最少的一周的销售额一样多． 完成课堂练习题目。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.借助温度变化的生活实例，用正负数表示温度变化与时间，由此引出负数参与乘法运算，导入有理数乘法的学习。 2.理解有理数乘法法则，掌握两数相乘、数与0相乘的运算，认识倒数概念，清楚乘积为1的两个数互为倒数。 3.有理数乘法运算要先确定积的符号，再把绝对值相乘；乘法交换律、分配律在有理数中依旧成立，可用来推导“负负得正”。 4.依据法则进行有理数乘法计算，能够把生活情境转化为乘法算式，解决简单的实际数学问题。 1.跟随教师引导，回顾本节课温度变化的生活导入情境，回忆负数参与乘法运算的由来，梳理本节课知识的产生背景。 2.自主回顾有理数乘法法则，复述两数相乘、数与0相乘的运算规则，复述倒数的定义，回忆“乘积为1的两个数互为倒数”核心要点。 3.梳理有理数乘法的运算步骤，牢记先确定积的符号，再把绝对值相乘；回忆乘法运算律在有理数范围依然成立，回想借助运算律推导“负负得正”的道理。 4.回想课堂例题与练习，梳理运用乘法法则进行计算的解题流程，回顾如何把现实生活情境转化为乘法算式，梳理解决实际应用题的思路。 5.以独立回顾、同桌互说的形式，互相抽查本节课重点知识，查漏补缺，完善课堂笔记，标记自己还存在疑惑的知识点。 6.结合课堂总结，明确课后作业的考察方向，梳理本节课易错点（符号判断、倒数概念），为完成课后习题做好准备。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.计算（-3）×（-6）的结果是（ ）
A．-18 B．18 C．-9 D．9 2.已知有理数mA．若mn>0，则pq>0；
B．若mp>0，则nq<0；
C．若np<0，则mq<0；
D．若pq<0，则mn<0. 3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd的值 . 4.如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是__________. 【知识技能类作业】选做题： 1.若a+b>0，ab<0，那么a、b两数（ ） A．都是正数 B．一个正数，一个负数，且负数的绝对值较大 C．都是负数 D．一个正数，一个负数，且正数的绝对值较大 2.某工厂前年的产值为500万元，去年比前年的产值增加了10%，如果今年的产值估计比去年也增加了10%，那么该工厂今年的产值将是 万元． 3.对于有理数a（a≠1），我们把称为的差倒数。例如：4的差倒数是 =- ，-2的差倒数是=。已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，则a4=_____，a2026=_____。 【综合拓展类作业】 1.【阅读】我们学习了有理数的乘法法则，在探究两数的积与和的关系时，常常需要用到分类讨论的数学思想。
【探究】
（1）若ab=12，且a，b均为整数，则a+b的值可能是 （填序号）。 ①正数；②负数；③0。 （2）若a+b=-6，且a，b为整数，则ab的最大值为 。
【拓展】 （3）数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，若ab<0，试比较a+b与0的大小关系。 答案 【知识技能类作业】必做题 1.B 2.C 3.1 4.【解析】要使抽取3张卡片上数字的乘积最大，乘积结果应为正数。乘积为正数有两种情况：三个数都为正数，或者两个负数、一个正数。 观察卡片数字：-6、-5、-1、+2、+4，正数只有2个，无法选出3个正数，因此只能选择两个负数和一个正数。 要让乘积尽可能大，优先选绝对值最大的两个负数 -6、-5，再选绝对值最大的正数+4。 列式：(-6)×(-5)×4=30×4=120。 所以积最大是120。 【详解】120 【知识技能类作业】选做题 1.D 2.605 3.3；3 4.B 【综合拓展类作业】 1.（1）①②；（2）9；（3）若正数的绝对值大于负数的绝对值，则a+b>0；若正数的绝对值等于负数的绝对值，则a+b=0 ；若正数的绝对值小于负数的绝对值，则a+b<0 。
教学反思 本节课是有理数乘法第一课时，重点是让学生掌握有理数乘法法则，理解倒数概念。课堂借助温度变化情境导入，引导学生从算式中归纳运算法则，大部分学生能够记住“同号得正，异号得负”的运算口诀，基本达成预设教学目标。 教学中也暴露出不少问题。部分学生只是机械记忆口诀，对于“负负得正”的推导理解不够透彻；做题时常忽略先判断符号的步骤，直接计算绝对值，符号出错是主要失分点。少数学生对倒数概念掌握模糊，容易误认为0有倒数。变式练习时，综合题型部分学生完成速度较慢。 今后教学中，要进一步强化算理讲解，不能只停留在口诀记忆。课堂多给学生表达说理的机会，让学生说出每一题积的符号如何判断。针对符号判断、倒数等易错点增加口头训练，及时纠错。同时优化课堂练习梯度，兼顾不同层次学生，课后针对性布置小练习巩固薄弱点，帮助学生真正提升运算能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 七年级上册 设计者
教材版本 沪科版 册、章 第1册第1章
课标要求 （一）内容要求 1.负数与有理数认识
（1）理解负数产生的现实意义，能在温度、海拔、收支、运动方向等真实情境中识别、列举具有相反意义的量，会用正、负数表示两类相反意义的量；明确0既不是正数也不是负数，0可作为计量基准，不只是代表“没有”。
（2）理解有理数的定义：整数与分数统称为有理数；掌握有理数两种分类标准（按定义分、按正负性质分），能准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数，能对给定有理数进行集合归类。 2.数轴、相反数、绝对值核心概念
（1）掌握数轴三要素：原点、正方向、单位长度；能规范画出数轴，会读出数轴上点对应的有理数，能根据有理数在数轴描点；理解“所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示”，建立数形结合直观认知。
（2）借助数轴几何意义理解相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；互为相反数的两点在原点两侧、到原点距离相等；会求任意有理数的相反数，熟练完成多重符号化简，能用字母表示任意数的相反数。
（3）借助数轴上点到原点的距离定义绝对值，记作；掌握绝对值分段性质：正数绝对值是本身、负数绝对值是相反数、0的绝对值为0；会计算整数、分数、小数的绝对值；理解互为相反数绝对值相等。 3.有理数大小比较
（1）会利用数轴比较任意有理数大小：数轴右侧的数始终大于左侧的数；牢记正数＞0＞负数，正数大于一切负数。
（2）掌握两个负数比较大小规则：绝对值大的负数数值反而更小；规范掌握“求绝对值→比绝对值→定原数大小”完整解题步骤，能比较整数、分数、小数形式负数。 4.有理数四则运算与运算律
（1）掌握有理数加法、减法、乘法、除法完整运算法则；理解加减互逆、乘除互逆关系；减法统一转化为加相反数，除法统一转化为乘倒数，渗透化归思想。
（2）理解有理数范围内加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律全部成立；能灵活运用运算律简化多步加减、乘除混合计算。
（3）掌握多个有理数相乘符号判定方法：负因数偶数个积为正，奇数个积为负；任意因数为0则乘积为0；明确0不能作除数，0除以非0数结果为0。
（4）理解倒数概念：乘积为1的两个非0有理数互为倒数，会求整数、分数、小数的倒数。 5.乘方、混合运算、科学记数法、近似数
（1）理解乘方定义：求个相同因数积的运算；分清底数、指数、幂，掌握乘方读法与书写规范；掌握乘方符号规律：正数任意次幂为正，负数奇次幂负、偶次幂正。
（2）牢记有理数混合运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；多层括号由内向外计算；能规范完成三步以内综合混合运算，区分与的本质区别，规避符号易错点。
（3）掌握科学记数法：将绝对值大于10的大数表示为（，为正整数）；能将“万、亿”单位大数改写为标准科学记数法，理解科学记数法简化大数书写的实用价值。
（4）区分准确数与近似数；理解误差、精确度含义；会判断普通小数、带单位数、科学记数法近似数精确位数；能按指定精确度四舍五入取近似值，结合生活场景进行估算。 6.实际应用
能运用有理数概念、各类运算解决温差、收支盈亏、行程、增长率、统计大数估算、误差测量等简单实际问题，建立数学模型观念。
内容分析 （一）整体知识结构 本单元是七年级上册开篇大单元，按照概念引入→核心工具（数轴 / 相反数 / 绝对值）→大小比较→四则运算→运算律→乘方→混合运算→大数表示与近似逻辑递进，形成完整有理数知识链条： 1.概念奠基模块：正数和负数→有理数定义与分类；完成数域从 “正数、0” 扩充至有理数，建立相反意义量、有理数分类基础认知。 2.数形结合工具模块：数轴→相反数→绝对值→有理数大小比较；以数轴为核心载体，串联全部基础概念，是理解运算、比较大小的直观工具。 3.加减运算模块：有理数加法→加法运算律→有理数减法→加减混合运算；统一减法为加法，依托运算律简化多步加减计算。 4.乘除运算模块：有理数乘法→乘法运算律→有理数除法；引入倒数，统一除法为乘法，拓展多因数符号判断简便方法。 5.高阶运算模块：有理数乘方→有理数混合运算；新增三级运算（乘方），建立完整运算顺序规则，综合运用前面所有运算知识。 6.数的表示与估算模块：科学记数法→近似数；解决大数书写、测量估算现实需求，完善有理数在统计、测量场景的应用。 （二）各模块内在逻辑关联 1.递进关系：前一课时知识是后一课时必备基础。无正负数概念则无法定义有理数；无数轴则难以直观理解相反数、绝对值；不掌握加减乘除单一运算法则，无法开展混合运算；无乘方基础则无法学习科学记数法。 2.统一转化思想贯穿全单元：减法转化为加相反数、除法转化为乘倒数、乘方转化为重复乘法，全部新运算最终划归为小学已掌握的正数加减乘除，降低认知难度。 3.数学思想串联全单元
（1）数形结合：数轴贯穿相反数、绝对值、大小比较、运算法则推导全流程；
（2）分类讨论：有理数两种分类、绝对值分段性质、两负数比较、多因数乘积符号判断均使用分类思想；
（3）化归转化：减法、除法向加法、乘法转化，混合运算逐级拆解为基础运算；
（4）模型思想：所有课时均搭配生活情境（气温、海拔、收支、统计），建立 “现实问题→有理数算式→计算求解→回归实际” 解题模型。 （三）单元前后教材地位与作用 1.承接小学知识：小学仅学习正整数、正分数、0 及其运算，本单元引入负数完成数域第一次正式扩充，衔接小学算术到初中代数。 2.初中数学奠基作用
（1）是后续整式加减乘除、一元一次方程、不等式、函数、实数全部内容的运算基础；所有代数计算均以有理数运算规则为底层逻辑。
（2）数轴是后续平面直角坐标系、不等式解集、函数图像的核心工具，数形结合思想从本单元正式系统培养。
（3）符号意识、分类讨论、推理能力、运算习惯在本单元定型，2.直接影响整个初中数学学习质量。 4.跨学科应用价值：科学记数法、近似数应用于物理、化学、地理大数据；正负数表示温度、海拔、误差；有理数运算用于物理速度、化学配比计算。
学情分析 （一）已有知识基础 1.数的认知：熟练掌握正整数、正小数、正分数概念，能区分整数、分数；认识 0，知道 0 表示 “没有”；能完成正数范围内四则运算。 2.运算能力：具备正数加减乘除基础计算能力，了解加法、乘法交换律、结合律；会简单估算、四舍五入。 3.生活经验：见过零下温度、海拔高度差、收支盈亏、电梯上下楼层等相反意义场景，对 “相反” 有直观生活感知。 4.图形基础：小学学习直线、刻度直尺，具备在直线上标记数字的直观经验，可迁移至数轴学习。 （二）认知薄弱点与学习障碍（核心难点） 1.抽象思维不足，难以理解负数意义
小学长期只接触正数，思维固化；很难理解 “小于 0 的数” 有实际意义，容易混淆 “负号” 与减号；无法快速接受 0 作为分界基准，认为 0 只是 “没有”。 2.数形结合思想空白
小学很少将数字与直线上的点绑定，难以建立 “数 = 点、符号 = 方向、绝对值 = 距离” 的对应关系；单独背诵相反数、绝对值定义容易遗忘，不会借助数轴辅助解题。 3.符号运算极易出错
（1）分不清多重符号化简规则，如、符号判断混乱；
（2）负数加减、两负数相乘除符号判断失误；
（3）混淆与，忽略括号对乘方符号的影响；
（4）混合运算顺序混乱，跳步计算，漏写负号、括号。 4.分类讨论逻辑不严谨
有理数分类容易遗漏 0；绝对值分段取值不会分情况讨论；多个负数相乘时，不会准确统计负因数个数判断积的符号。 5.化归转化思想不熟练
不能主动将减法转加法、除法转乘法，习惯直接硬算，不会利用运算律简便计算，计算步骤繁琐、正确率低。 6.小学学习习惯不适应初中
（1）依赖具象数字计算，排斥字母表示（如的相反数是难以理解）；
（2）计算不写步骤，口算为主，缺乏规范书写习惯；
（3）被动听课为主，缺少自主探究、归纳法则的意识；
（4）审题忽略生活情境，只会机械计算，不会结合实际解释结果。 （三）学生认知发展规律 七年级学生仍以具象形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展；教学必须依托温度、海拔、数轴图形等直观素材，逐步过渡到抽象符号运算。 对数的认知遵循 “生活实例→直观图形→符号定义→运算规则→综合应用” 顺序，单元 17 课时完全贴合该认知路径。 运算能力形成需要分层训练：单一法则基础计算→简便运算→三步混合运算→实际应用题，循序渐进降低学习坡度。
单元目标 一、教学目标 （一）数学眼光：全面发展抽象能力（数感、量感、符号意识）、几何直观、创新意识 1.发展抽象能力（数感、量感、符号意识）：学生能够主动观察现实世界中温度升降、资金收支、海拔高低、楼层上下等具备相反属性的数量场景，感知原有正数体系无法完整刻画生活数量，直观体会负数产生的必要性，建立负数量感；能够精准分辨生活中可计数的准确数量、测量估算得到的近似数量，感受极小负数、普通有理数、极大统计大数之间的量级差异，形成完整、连贯的有理数数感；能够理解有理数“整数与分数统称”的核心定义，熟练按照两种分类标准对数字划分归类，做到分类不重不漏；具备成熟符号意识，能够准确运用“+、-”区分相反意义的两类量，读懂并规范书写绝对值符号|a|、乘方符号an、科学记数法标准形式±a×10n，理解字母a可代表任意有理数，-a仅表示a的相反数，不一定是负数，能借助符号文字概括有理数全部运算法则与五大运算律，脱离具象数字完成符号层面的概念理解。 2.发展几何直观：学生能够牢牢掌握数轴原点、正方向、单位长度三大核心要素，独立规范绘制标准数轴；建立“有理数与数轴上点一一对应”的数形认知，看到任意有理数能快速在数轴定位，看到数轴上任意点能读出对应数值；能够依托数轴图形直观解读相反数、绝对值的几何本质：互为相反数的点分居原点两侧、到原点距离相等，绝对值是点到原点的距离，天然具备非负性；能利用数轴直观对比任意两个有理数大小，借助数轴示意图推导有理数加法运算过程；在处理多重符号化简、负数比较、绝对值求值等易混淆题型时，主动画图辅助分析，形成“以形释数、以形助解”稳定思维习惯。 3.发展创新意识：学生不局限课本给出的案例，能自主挖掘生活、体育、地理、物理、财经等领域全新相反意义量实例，自主创设生活情境解释负数、近似数、大数的实用价值；面对多步加减、乘除混合算式，主动观察数字特征，自主创新凑整、抵消相反数、分组结合等简便计算思路，不局限固定解题模板；针对负数大小比较、多重符号化简等题型，自主探索两种及以上不同解题路径，主动对比不同方法优劣，敢于提出个性化简化思路；在科学记数法、近似数探究活动中，自主思考简化大数记录、优化测量估算精度的创新方案。 （二）数学思维：扎实提升运算能力、推理能力 1.提升运算能力：学生能完整熟记有理数加、减、乘、除、乘方全部运算法则，精准判断每一步运算结果的符号，熟练完成整数、正负数、分数、小数的单一基础运算；灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律对多步算式变形简化，自主优化运算步骤，提升计算速度与正确率；牢固掌握化归运算逻辑，能自主将减法统一转化为加上相反数、除法统一转化为乘倒数，把陌生负数运算划归为熟悉的正数运算；严格遵循有理数混合运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，多层括号由内向外逐层计算，清晰区分-an与(-a)n的运算顺序与符号差异，书写完整规范计算步骤，杜绝跳步、漏符号、漏括号等计算失误；熟练完成大数与科学记数法双向改写，掌握”万、亿”单位换算技巧，能按照指定精确度使用四舍五入求取近似数，规范处理测量、统计类数值计算。 2.提升推理能力：一是形成完整合情推理能力，通过多组算式列举、数轴直观演示、生活情境演算，自主观察、归纳、猜想有理数运算法则、相反数与绝对值性质、乘方符号规律、两负数大小比较规律，完整清晰口述归纳推导全过程；二是形成严谨演绎推理能力，每一步有理数计算、符号化简、数值大小对比都能精准说出对应的定义、法则、运算律作为推理依据，做到步步有据；在判断近似数精确度、有理数集合分类题型中，依托概念定义严谨说理，逻辑清晰；三是熟练掌握分类推理思维，在有理数分类、绝对值分段讨论、多个非零有理数相乘判断积的符号等问题中，主动划分讨论范围，做到分类标准统一、结果不重不漏，形成条理化、严谨化的数学推理习惯。 （三）数学语言：稳步培育数据观念、模型观念、应用意识 1.培育数据观念：学生能够清晰区分生活中统计计数得到的准确数据，尺子、温度计、仪器测量产生的近似数据，理解测量工具精度限制会产生误差，客观辩证看待近似数据；能够读懂人口、国土、天文、地理等场景中的海量大数，熟练运用科学记数法统一简化记录大规模数据；能够根据实际使用需求，自主选择不同精确度对测量、统计数据进行四舍五入取近似值，懂得合理取舍数据以适配生活应用场景，具备处理现实量化数据的基本素养。 2.培育模型观念：学生能够精准识别生活中增减、盈亏、温差、升降、涨跌等数量关系，把现实文字描述抽象转化为有理数加减、乘除、乘方算式，构建有理数运算数学模型；清晰认知三类核心数学模型：数轴是直观表示全体有理数的几何模型，科学记数法是简化超大数字书写的表达模型，近似数与精确度是刻画测量数据误差的估算模型；解决实际应用题时，形成固定完整建模流程：提取文字中的关键数量关系→搭建有理数算式模型→规范运算求解→结合现实场景解读计算结果的实际含义，建立用数学模型解决现实问题的稳定思路。 3.培育应用意识：学生能够主动发掘日常生活、物理、化学、地理等跨学科场景中有理数的应用场景，运用本单元概念解释零下气温、海拔落差、账户盈亏、比赛积分、人口普查大数、实验测量误差等生活现象；独立完成温差计算、收支核算、海量数据统计、实验数值估算等各类实际应用题，能主动检验计算结果是否贴合现实逻辑，剔除不符合生活常识的错误答案；小组合作探究活动中，熟练运用规范文字、数学符号、数轴图形三类数学语言完整表达自己的解题思路，与同伴交流不同实际问题的建模、计算方法，条理清晰、完整准确地表达数学思考过程。 二、教学重点、难点 （一）单元教学重点 1.概念重点
（1）相反意义的量，正负数、0 的含义；有理数定义与两种分类方法；
（2）数轴三要素，有理数与数轴上点的对应关系；
（3）相反数定义、几何意义与化简；绝对值定义、分段性质、求值；
（4）有理数大小比较法则，尤其是两个负数比较大小方法。 2.运算重点
（1）有理数加法、减法、乘法、除法运算法则，符号判定；
（2）减法转加相反数、除法转乘倒数的转化方法；
（3）五条有理数运算律，运用运算律简便计算；
（4）乘方概念与符号规律，有理数混合运算顺序；
（5）科学记数法标准形式，近似数精确度判断与四舍五入。 3.思想方法重点：数形结合思想、化归转化思想、分类讨论思想；利用有理数运算解决简单实际问题。 （二）单元教学难点 1.概念理解难点
（1）理解负数的实际意义，突破 “只有正数才有实际大小” 的思维定式；理解 0 作为分界基准的双重含义；
（2）绝对值几何意义（距离非负性），含字母分段讨论；
（3）多重符号化简逻辑，区分不一定是负数；
（4）近似数、精确度的理解，科学记数法形式下精确位数判断。 2.运算难点
（1）负数参与加减、乘除时符号判断，是全单元最核心易错难点；
（2）两负数比较大小，“绝对值大反而小” 反向逻辑理解与运用；
（3）乘方区分与，括号对符号的影响；
（4）混合运算综合运用：乘方、乘除、加减多层顺序叠加，符号、括号、运算律综合混淆；
（5）灵活选择运算律进行多步加减、乘除简便运算，不会观察算式特征分组凑整、抵消相反数。 3.思想方法运用难点
（1）主动借助数轴数形结合解决相反数、绝对值、大小比较问题，而非死记硬背定义；
（2）自主运用化归思想将减法、除法转化熟悉运算；
（3）结合生活情境建立有理数数学模型，能解释运算结果的实际含义，不只会纯数字计算。 4.学习习惯难点：规范书写完整运算步骤，克服口算跳步、漏写负号、省略括号的不良习惯。 （二）学业质量要求 1.抽象能力：学生能从气温、海拔、收支、升降等现实情境中剥离具体事物，抽象出具有相反意义的量，感知负数引入的必要性，同步发展数感与量感；能够理解有理数由整数和分数组成，按照两种分类标准对数字进行归类概括；具备符号意识，读懂正负号、绝对值、乘方、字母等数学符号的含义，能用符号概括相反数、绝对值、运算法则，完成从生活具象数量到有理数抽象数系的认知升级。 2.几何直观：学生能以数轴为直观载体，可视化呈现正数、0、负数的分布，借助数轴图形解释相反数分居原点两侧、绝对值代表点到原点距离、数轴右侧数字更大等规律；在负数大小比较、多重符号化简、有理数加法推导等题型中，主动绘制数轴辅助分析，依靠图形化解抽象数字难点，形成“以形助数”的稳定思考方式。 3.空间观念与创新意识：空间观念层面，学生能感知数轴一维直线的空间结构，区分原点左右正负区间，依据单位长度判断点与原点的空间距离，建立线性位置认知，为平面直角坐标系学习铺垫基础；创新意识层面，学生可自主挖掘课本外生活、跨学科相反意义量实例，自主设计简便运算分组思路，针对同类题型探索多种解题方法，在大数表示、近似估算活动中提出个性化简化方案。 4.运算能力：学生熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方全部运算法则，准确判断运算结果符号；能够灵活运用五大运算律简化多步算式，掌握减法化加法、除法化乘法的化归运算思路；严格遵循“先乘方，再乘除，后加减，括号优先”的混合运算顺序，精准区分-an与(-a)n的运算差异，规范书写完整计算步骤；能完成大数、科学记数法互化，按要求对数值四舍五入取近似值，降低符号、括号类计算错误。 5.推理意识或推理能力：合情推理上，学生通过多组算式、数轴演示自主观察归纳有理数运算法则、绝对值性质、乘方符号规律；演绎推理上，每一步计算、化简、大小对比都能对应说出定义、法则作为依据，做到步步有据；分类推理上，在有理数分类、绝对值分段讨论、多因数乘积符号判断时，主动划分讨论范围，逻辑完整、不重不漏，逐步形成严谨的数学推理习惯。 6.数据意识或数据观念：学生能够清晰地区分计数产生的准确数据、仪器测量产生的近似数据，理解测量误差的来源；能读懂人口、地理、天文领域海量大数，熟练使用科学记数法简化大数据记录；可结合实际场景需求，自主选择合理精确度对统计、测量数据取近似值，客观理性处理现实量化数据。 7.模型意识或模型观念：学生能将生活中增减、盈亏、温差等文字数量关系转化为有理数运算算式，建立数字运算模型；认识数轴、科学记数法、近似数三类专用数学模型，分别对应有理数几何表示、大数简化书写、测量误差刻画；解决实际问题时，形成“提取数量关系—搭建有理数算式模型—运算求解—解读现实含义”完整建模流程。 8.应用意识：学生能主动发现日常生活、物理、化学、地理中的有理数应用场景，利用负数、有理数运算、科学记数法、近似数解释气温、海拔、收支、统计、实验测量等现实现象；独立完成温差、收支、大数统计、数值估算等应用题，主动检验计算结果是否符合生活逻辑；小组交流中，使用文字、符号、数轴图形完整表达解题思路，运用有理数知识解决真实生活问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数课时1正数和负数1课时2有理数1课时3数轴1课时4相反数1课时5绝对值1课时6有理数的大小1课时7有理数的加法1课时8有理数加法的运算律1课时9有理数的减法1课时10有理数加减混合运算1课时11有理数的乘法1课时12有理数乘法运算律1课时13有理数的除法1课时14有理数的乘方1课时15有理数的混合运算1课时16科学计数法1课时17近似数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务正数和负数能识别生活中相反意义的量，会用正、负数表示数量，明确0既不是正数也不是负数。能准确区分相反意义量，规范书写正负数，清晰说出0的双重含义。完成生活情境填空，标注每组相反意义量并选用正负号表示。有理数掌握有理数定义与两种分类标准，能正确区分整数、分数、正数、负数、0。可无遗漏、不重复将数字归入对应数集，准确口述有理数分类依据。完成有理数集合归类填表，自主梳理两种分类框架。数轴牢记数轴三要素，规范画数轴，实现有理数与数轴上点的互相对应。画出标准数轴，能根据点读数、根据数字找点，理解一一对应关系。独立绘制数轴，完成描点、读数两类基础练习题。相反数理解相反数概念与数轴几何特征，熟练求任意有理数相反数并化简多重符号。快速求出任意数相反数，准确化简多层正负符号，能结合数轴解释相反数特点。完成相反数书写、多重符号化简两类计算题。绝对值借助数轴理解绝对值是距离，掌握绝对值分段性质，会求各类有理数绝对值。能准确计算整数、分数、小数的绝对值，借助数轴解释绝对值非负性。完成绝对值求值习题，结合数轴说明|a|的几何意义。有理数的大小掌握数轴比较法与负数绝对值比较法，规范比较任意两个有理数大小。能灵活选用两种方法比较数的大小，完整写出两负数比大小解题步骤。利用“＞、＜”完成数值比较，规范书写负数比大小完整过程。有理数的加法理解有理数加法三类法则，能正确完成同号、异号、与0相加的运算。精准判断和的符号与绝对值，无符号错误完成各类有理数加法计算。分层完成同号、异号、含0加法计算题，标注每道题运算法则。有理数加法的运算律掌握加法交换律、结合律，会分组凑整简化多步有理数连加运算。能观察算式特征灵活分组，运用运算律简化计算，提升运算正确率。完成多步连加简便运算，标注每一步使用的加法运算律。有理数的减法理解减法法则，能将减法统一转化为加相反数进行计算。熟练完成“减变加、减数变相反数”转化，准确计算各类有理数减法。将减法算式改写为加法形式并完整计算。 有理数加减混合运算会把加减混合算式统一为加法，省略括号符号并利用运算律简便计算。能正确简写省略加号形式，合理分组快速完成混合运算。将加减混合算式改写为省略括号形式，简便求值。有理数的乘法掌握有理数乘法符号法则，理解倒数定义，熟练完成两数乘法运算。快速判断积的符号，准确求出非零数的倒数，正确计算有理数乘法。完成整数、分数乘法计算，写出各数对应的倒数。有理数乘法运算律掌握三条乘法运算律，能判断多个非零数乘积符号，利用运算律简算。准确统计负因数个数判断积的符号，灵活使用分配律简化计算。多因数连乘计算，运用乘法分配律完成分数简便运算。有理数的除法掌握两条除法法则，能将除法转化为乘倒数，规范完成乘除混合计算。能自主选择两种除法方法计算，清晰区分0不能作除数。将除法转化为乘法并完成求值，辨析含0除法易错题型。有理数的乘方理解乘方、底数、指数、幂概念，掌握乘方符号规律，能把乘方化为乘法计算。准确区分(-a)n与-an，依据符号规律快速计算简单乘方。书写乘方各部分名称，完成正、负数乘方计算题。有理数的混合运算牢记混合运算顺序，能综合乘方、乘除、加减规范分步计算。严格遵循运算顺序解题，无顺序、符号、括号类计算错误。完成三步及以内综合混合运算，完整书写分步计算过程。科学计数法掌握标准科学记数法形式，能实现大数与科学记数法互相改写。准确确定a与n的值，规范改写带万、亿单位的大数。通大数、“万/亿”单位数改写为标准科学记数法。 近似数区分准确数与近似数，会判断精确度，按要求四舍五入取近似值。能辨别两类数据，精准判断不同形式数的精确数位，正确取近似值。区分准确数、近似数，按指定精确度对数值四舍五入。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑