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1.5等腰三角形（知识梳理+同步练习）
知识梳理
一、等腰三角形基本概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边为腰，另一边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。
特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。
二、等腰三角形性质
1. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
2. 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
易错限定：三线合一仅适用于底边与顶角，腰上的中线、高、角平分线不重合。
3. 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边上中线、底边上的高）所在直线，只有一条对称轴。
三、等腰三角形判定定理
等角对等边：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，该三角形为等腰三角形。
用途：通过角度关系证明边长相等，判定等腰三角形。
四、等腰三角形角度性质
1. 内角关系：。
2. 角度特征：等腰三角形至少两个锐角，最多一个钝角或直角（只能为顶角）。
3. 分类讨论：已知等腰三角形一个内角度数，未说明顶角/底角时，必须分两种情况计算，防止漏解。
五、等边三角形性质与判定
1. 性质
三边相等，三个内角均为；是轴对称图形，共3条对称轴；任意边上均满足三线合一。
2. 判定方法
① 三边对应相等的三角形是等边三角形；
② 三个内角都相等的三角形是等边三角形；
③ 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形。
六、含30°角的直角三角形重要性质
在直角三角形中，若一个锐角为，则该角所对的直角边长度等于斜边的一半。
逆定理：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为。
同步练习
一、单选题
1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．5 B．2 C．2或5 D．3
2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一”
4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则( )
A． B． C． D．
7．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
二、填空题
11．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________．
12．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________．
13．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________．
14．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ．
15．（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m．
16．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个）
17．（26-27八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____
18．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为 _______ ．
19．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____．
20．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________．
三、解答题
21．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：．
22．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图， 是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点．
(1)求的大小．
(2)求证：是等边三角形．
23．（26-27九年级上·重庆·开学考试）已知：如图，中，，，为上一点，平分交于．
(1)使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写作法．）
(2)求证：．
24．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：．
25．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在上，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
26．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
(1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
(2)问题解决：
如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的两点，且，求证：．
(3)问题拓展：如图3，在中，，平分，点E为边上一点，．猜想线段，，的数量关系，并证明．
27．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解决问题
(1)【问题初探】如图，在中，高，交于点，且，试说明与有怎样的数量关系；
(2)【拓展延伸】如图，某校为教室配备等腰直角三角形课桌防滑支架，，，在边上设置卡扣，边上设置卡扣，连杆用于加固，从支架端点伸出支撑杆，，垂足为，且，在线段上安装卡扣，连接，且，将，延长相交于点，请求出与的数量关系，并说明理由．
试卷第8页（共9页）
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D C B A A C D
1．A
【详解】解：当腰长为时，三边长为，
∵，
∴不能构成三角形，舍去；
当腰长为时，三边长为，
∵，
∴能构成三角形．
2．D
【详解】解:，点为的中点，
，
，
，
．
3．D
【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平，
∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”．
4．D
【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到，
，
，
是的外角，
，
．
5．C
【详解】解：如图所示，
当点C在或或或的位置上时，，
当点C在或位置上时，，
∴满足条件的格点C的个数有6个．
6．B
【详解】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
，，
，，
．
7．A
【详解】解：由作图方法可得垂直平分，
∴，
∴为中线，
又中，，
∴，
∴，
∴．
8．A
【详解】解：∵的周长为，且为定值，
∴当的值最小时，的周长最小，
如图，连接，，
由题意可得A，B关于对称，
∴，
∴当A，M，D三点共线时，，
在等腰中，点D为底边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为．
9．C
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴．
10．D
【详解】解：①∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，故①正确，符合题意；
②∵和均是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③由①得，
∴，
由②得，
又，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
④由③得，
∴，故④正确，符合题意；
⑤由③得，由②得，
∴为等边三角形，
∴，故⑤正确，符合题意；
故①②③④⑤五个结论全部正确．
11．10
【详解】解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为，
∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴2，2，4不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为时，底边长为，
∵，满足三角形三边关系，
∴2，4，4能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为；
综上，等腰三角形的周长为．
12．4
【详解】解：∵，点E为的中点，
∴ ．
13．（或垂直）
【详解】解：∵，平分，
∴．
14．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到 ，
∴，，
∴是等边三角形，
∴ ．
15．8
【详解】解：，，
，
，
在中，，
，
．
16．
【详解】解：如图，取格点，连接，
由网格可知，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
17．
【详解】解：由题意得，，
∵，点D为边的中点，
∴．
18．
【详解】解：由题意可知为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长为，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴的周长为．
19．3
【详解】解：如图，过P作于点D，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，，，
∴，
∴．
20．
【详解】解：作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．解：因为，
所以．
在和中，
，
所以，
所以
22．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，是的中点，
∴为的高线、中线和角平分线，
即，，，
∵，垂足为，
∴，
又∵，
∴ ．
（2）
证明：∵是等边三角形，是的中点，
∴，，即，
∵，垂足为，
∴，即为直角三角形；
∵是由沿方向平移得到的，且过点，
∴， ，
∴即，
在和中，
∴，
∴；
∴在中，
∵中有，
由（1）得，
∴，
∴是等边三角形．
23．(1)解：所求图形，如图所示；
(2)证明：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
∵，
，
又，
，
．
24．证明：，
，
又是线段的垂直平分线，
，
，
．
25．(1)证明：连接．
，，D是中点，
，，，．
∴
在和中，
，
．
（2）解：，
．
．
．
∴四边形的面积为4．
26．（1）解：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：延长到点G使，再连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
(3)
证明：，理由：延长到点H使，再连接，
设，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
27．(1)
解：，理由如下：
∵，是的高，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
(2)，理由：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．

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