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苏祠中学22级九（下）数学教案
姓名：_________ （26.3.3二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系）
【知识回顾】
已知二次函数y=，若是，y随x的增大而增大，时，y随x的减小而增大，则
a 0，m的值为
2、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有(　 　)
A、 B、 C、 D、
二、【探究新知】
1、抛物线与一元二次方程的关系
抛物线与x轴的交点的横坐标是方程 的实根；
练1：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象填空：
直接写出关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的解：________________________；
在坐标系中画出直线y=3,此时直线y=3与二次函数y=ax2+bx+c的图象有 个交点；
交点的横坐标为 ；请写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0的解： ；
在坐标系中画出直线y=5,它与二次函数y=ax2+bx+c的图象有交点吗？
由此，可得方程的根的情况为 ；
根据图像，可以得出关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=4的解为 ；
2、抛物线与二次不等式的关系
在x轴 图象，所有点的横坐标的集合为不等式的解，
在x轴 图象，所有点的横坐标的集合为不等式的解
练2：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为
直线x＝2，图象和x轴的一个交点坐标为（5，0），由图象可知不等式
ax2+bx+c＜0的解集是（　 　）
A、﹣1＜x＜5 B、x＞5 C、x＜﹣1且x＞5 D、x＜﹣1或x＞5
归纳：
1、二次函数y=ax2+bx+c，ax2+bx+c＞0 的解集就是对应抛物线在x轴 。
二次函数y=ax2+bx+c，ax2+bx+c＜0 的解集，对应抛物线在x轴下 方 部 分。
3、抛物线与一次函数的关系
抛物线与直线的交点坐标就是
归纳：已知抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n,若方程组
（1）有两组解，则抛物线与直线有 个交点；
（2）若有一组解，则抛物线与直线有 个交点；
（3）若无解，则抛物线与直线有 个交点。
练3：已知方程组 的解为，，则直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝x2+bx+c有 个交点，交点坐标为
练4：已知二次函数y=-x2+2x+3和一次函数y=-x+3的图象如图所示，根据图象，填空：
关于x的一元二次方程-x2+2x+3=-x+3的解为________________；
方程组的解为_______________________
不等式-x2+2x+3>-x+3的解集为___________________
不等式-x2+2x+3<-x+3的解集为_____________________
练5：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到的函数图象与一次函数的图象有公共点，则实数b的取值范围是
*4、特别拓展：如图，抛物线与x轴交于A（），B（），AB==
*已知二次函数的图象与y轴交于原点下方，与x轴的交点位于原点两边，从左至右为A、B，且到原点距离OA、OB满足3（OB-OA）＝2OA.OB，求这个二次函数的解析式。
三、【课后巩固】
1、抛物线与直线交于（1，m），则c＝
2、已知抛物线与x轴的一个交点为（m，0）,则代数式的值为
3、已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A、图象关于直线x=1对称 B、函数（a≠0）的最小值是-4
C、-1和3是方程（a≠0）的两个根 D、当x＜1时，y随x的增大而增大
（3题图） （5题图） （6题图） （7题图）
4、已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是y=
当x= 时，y＝3，当x 时，y>0
6、如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1；④使y≤3成立的x的取值范
围是x≥0；⑤若，则，其中正确的个数有（　 　）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7、已知函数y1=x2与函数y2=-x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是
8、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（　 ）
A、ac＜0 B、x＞1时，y随x的增大而增大
C、a+b+c＞0 D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3
B组训练题
9、已知抛物线与直线的交点纵坐标为3
则抛物线的关系式为 ；
抛物线与直线的另一个交点坐标为
10、已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的
横坐标为2。（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图
象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P
在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
C组训练题
*11、已知抛物线。
（1）求证：此抛物线与x轴一定有交点
（2）是否存在正数m，使已知抛物线与x轴的两交点的距离等于？若存在，试求出m的值。

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