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2.3有理数的乘方
学习目标与重难点
1、理解乘方的意义与概念：理解乘方是求几个相同因数积的简便运算，掌握底数、指数、幂的概念，能准确识别并读写乘方形式。
2、掌握有理数的乘方运算：能正确进行有理数的乘方运算，熟练运用“正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数”的符号法则。
3、体会数学思想方法：在探究乘方概念和符号规律的过程中，体会从特殊到一般的归纳思想，以及分类讨论思想在运算中的应用。
重点：
1、乘方的概念与符号法则：准确理解底数、指数的含义，熟练掌握有理数乘方的符号判断规律，这是进行乘方运算的基础。
2、乘方的运算：能正确计算有理数的乘方，特别是涉及负数和分数的乘方运算。
难点：
1、底数的识别与书写规范：准确区分( a)n与 an的意义及运算结果，理解当底数是负数或分数时，书写乘方形式必须加括号。
2、乘方与乘法的区别：深刻理解乘方是“相同因数的积”，而非因数与指数的乘积，避免将an误算为a×n
洞悉◆教材知识
知识点01 有理数的乘方
有理数的乘方的意义：
求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。
特别提示：
当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。
当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ；
的四次方写成 。
（3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。
知识点02 有理数的乘方运算
有理数的乘方的计算：
。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。
特别提示：
正数的任何次方都是 正数 。
负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。
0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。
1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。
知识点03 有理数的偶次方
有理数的偶次方：
由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。
知识点04 的区别与联系
三者的意义（区别）：
表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 ，底数是 a 。
表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 － ，底数是 a 。
表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 ，底数是 －a 。
三者的联系
当为奇数时， － 和 相等，他们与互为 相反数 。
当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。
知识点04 科学记数法
1.一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.
2.确定n值：小数点向左移动的数位或整数数位减1作为的n的值.
知识点05 近似数
1.近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示．
比如＝3.1415926…
3（精确到个位）
3.1（精确到0.1，或叫做精确到十分位）
3.14（精确到0.01，或叫做精确到百分位）
（精确到千分，或叫做精确到0.001）
核心题型◆归纳
题型01 有理数的幂的概念的理解 题型2 有理数的乘方运算
题型03 偶次方与绝对值的非负性 题型04 有理数的混合运算
题型05 有理数乘方的简单应用 题型01 用科学记数法表示大于10的数
题型07 判断近似数的精确度 题型08 根据精确度求近似数
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
题型解析◆精准备考
题型01 有理数的幂的概念的理解
【典例1】下列说法正确的是（　　）
A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加
C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3
【答案】D
【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1】﹣23表示的意义是（　　）
A．3个﹣2相乘 B．3个2相乘的相反数
C．2个﹣3相加 D．2个3相乘的相反数
【答案】B
【解答】解：意义是3个2相乘的相反数，
故选：B．
【变式2】关于（﹣2）4说法正确的是（　　）
A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2
C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4
【答案】D
【解答】解：A、（﹣2）4＝16，故此选项不符合题意；
B、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项不符合题意；
C、（﹣2）4表示（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），故此选项不符合题意；
D、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3】关于（﹣3）4的正确说法是（　　）
A．﹣3是底数，4是幂
B．﹣3是底数，4是指数，﹣81是幂
C．3是底数，4是指数，81是幂
D．﹣3是底数，4是指数，81是幂
【答案】D
【解答】解：（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，81是幂．
故选：D．
题型02 有理数的乘方运算
【典例1】计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（）2； （3）（）3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）﹣（﹣3）3＝﹣（﹣33）＝33＝3×3×3＝27．
（2）（）2．
（3）（）3＝﹣（）．
【变式1】计算：（1）23； （2）﹣54； （3）； （4）﹣（）3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）23＝8；
（2）﹣54＝﹣625；
（3）；
（4）﹣（）3．
【变式2】计算：
（1）； （2）； （3）﹣25； （4）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式＝﹣32；
（4）原式．
题型03 偶次方与绝对值的非负性
【典例1】已知0，则（xy）2024的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024
【答案】A
【解答】解：∵，
∴y﹣2＝0，0，
∴x，y＝2，
∴（xy）20241．
故选：A．
【变式1】已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【答案】A
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）3＝（﹣2+1）3＝﹣1．
故选：A．
【变式2】当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵（a﹣2）2≥0，
∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值，
∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2．
故答案为：2．
题型04 有理数的混合运算
【典例1】计算：
（1）； （2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝4+36
＝40；
（2）原式＝﹣1﹣2×3+9
＝﹣1﹣6+9
＝2．
【变式1】计算
（1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（）×24（）3﹣|﹣25|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4
＝1×5+（﹣8）÷4
＝5﹣2
＝3；
（2）（）×24（）3﹣|﹣25|
＝15﹣16（）﹣25
＝15﹣16+2﹣25
＝﹣24．
【变式2】计算
（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣9÷3+（）×12+（﹣3）2；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣32）]； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）
＝﹣20﹣5+18
＝﹣7
（2）
＝﹣3+6﹣8+9
＝4
（3）
＝﹣1（2+9）
＝﹣111
＝﹣1
；
（4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（）2
＝﹣49+2×9+（﹣6）×9
＝﹣49+18﹣54
＝﹣85
题型05 有理数乘方的简单应用
【典例1】某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片．
（1）这批药共有多少箱？
（2）这批药共有多少片？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）10×10×10×10＝104（箱）；
（2）10×10×10×10×100×100＝108（片）．
答：（1）这批药共有104箱，（2）这批药共有108片．
【变式1】某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）；
（2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）（米）（分米），
第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）（米）＝1（分米），
∴经过10分钟人会感到不适．
【变式2】当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？
（2）计算当你对折6次时，层数是多少；
（3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少．
【答案】（1）折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）；
（2）64；
（3）12.8mm．
【解答】解：（1）纸对折一次时，就得到2层，即21层；
当对折两次时，就得到4层，即22层；
当对折三次时，就得到8层，即23层；
当折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）；
（2）26＝64，
所以对折6次时，层数是64；
（3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm），
所以对折7次时，总厚度是12.8mm
题型06 用科学记数法表示大于10的数
【典例1】记者查阅广东省统计局公布的数据显示2024年广东新出生人口113万人，比上一年增加了10万人，居全国第一，数据113万用科学记数法可以表示为（　　）
A．11.3×105 B．1.13×106 C．113×104 D．0.113×107
【答案】B．
【解答】解：113万＝1130000＝1.13×106．
故选：B．
【变式1】风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（　　）
A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104
【答案】D
【解答】解：35800＝3.58×104．
故选：D．
【变式2】天问二号探测器在轨运行超8天后，与地球距离超300万千米．数据300万用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×107 B．3×106 C．3×107 D．300×104
【答案】B．
【解答】解：300万＝3000000＝3×106．
故选：B．
题型07 判断近似数的精确度
【典例1】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　）
A．3.704≈3.70（精确到十分位）
B．0.123≈0.1（精确到0.1）
C．39.27≈40（精确到个位）
D．0.01462≈0.015（精确到0.0001）
【答案】B
【解答】解：3.704≈3.7（精确到十分位），故选项A不符合题意；
0.123≈0.1（精确到0.1），故选项B符合题意；
39.27≈39（精确到个位），故选项C不符合题意；
0.01462≈0.0146（精确到0.0001），故该选项D不符合题意；
故选：B．
【变式1】用四舍五入法按要求对0.06547分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.06（精确到百分位）
C．0.065（精确到千分位）
D．0.0655（精确到0.0001）
【答案】B
【解答】解：A．0.06547≈0.1（（精确到0.1），所以A选项不符合题意；
B．0.06547≈0.07（（精确到百分位），所以B选项符合题意；
C．0.06547≈0.065（（精确到千分位），所以C选项不符合题意；
D．0.06547≈0.0655（（精确到0.0001），所以D选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】下列说法正确的是（　　）
A．近似数0.010精确到百分位
B．近似数4.3万精确到千位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数43.0精确到个位
【答案】B
【解答】解：近似数0.010精确到千分位，故A不符合题意；
近似数4.3万精确到千位，描述正确，故B符合题意；
近似数2.8与2.80表示的意义不相同，2.8精确到十分位，2.80精确到百分位，故C不符合题意；
近似数43.0精确到十分位，故D不符合题意；
故选：B．
题型08 根据精确度求近似数
【典例1】用四舍五入法，把3.90461精确到百分位，取得近似值为（　　）
A．3.9 B．3.90 C．3.91 D．3.905
【答案】B
【解答】解：3.90461≈3.90（精确到百分位），
故选：B．
【变式1】把2.954精确到十分位的近似数是（　　）
A．2.90 B．2.9 C．2.0 D．3.0
【答案】D
【解答】解：把2.954精确到十分位的近似数是3.0．
故选：D．
【变式2】把19547精确到千位的近似数是（　　）
A．1.95×103 B．1.95×104 C．2.0×104 D．1.9×104
【答案】C
【解答】解：19547≈2.0×104（精确到千位）．
故选：C．
1．下列4个式子中，计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．计算每个选项的值并比较大小，即可作出判断．
【详解】解：A．，
B．，
C．，
D．，
∵．
∴计算结果最大的是．
故选：C．
2．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【详解】解：．
3．初中数学课本宽度为，下列关于这个数的说法正确的是（　　）
A．这个数是准确数
B．这个数是近似数，它精确到百分位
C．这个数是近似数，它精确到0.1
D．这个数是近似数，它精确到个位
【答案】C
【知识点】求近似数的精确度
【分析】根据“宽度为”判定该数为近似数，它精确到．
【详解】解：由“初中数学课本宽度为知，近似数，它精确到．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了近似数，掌握测量值一般是近似数是解题的关键．
4．计算： ______
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先进行乘方运算，再进行减法运算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
5．国家高山滑雪中心作为2022年北京冬奥会的雪上项目竞赛场馆之一，其雪道是中国最高等级的高山滑雪赛道，是滑降、回转、大回转、超级大回转、全能项目、团体项目的赛场，其建筑面积为43200平方米，将43200用科学记数法表示为________．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】将大数用科学记数法表示，需写成的形式，其中满足，为整数，等于原数的整数位数减，据此确定和即可．
【详解】解：∵是位整数，
∴，
将原数小数点左移位得到，
满足，
因此．
6．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________．
【答案】
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解．
【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为．
7．计算：.
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【详解】解：
．
8．计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【详解】解：
．
9．若，则的值为（）
A． B．3 C．9 D．3或
【答案】D
【知识点】求一个数的平方根、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查了求平方根，
先计算的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵
∴．
∵且，
∴或．
故选：D．
10．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（ ）
A．23 B．19 C．18 D．17
【答案】A
【知识点】含乘方的有理数混合运算、程序流程图与有理数计算
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
∴经过顺序的运算结果为23．
故选：A．
11．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以上．5575万这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【详解】解：5575万．
12．已知：，，，的值是______．
【答案】
【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查绝对值、平方根、整式的运算，掌握相关知识是解题的关键．
由绝对值和平方根的定义求出x和y的可能值，再根据乘积为负确定符号关系，最后分情况求和即可．
【详解】解：由，得或，
由，得或，
因为，所以x与y异号，
当时，，则，
当时，，则，
故答案为：．
13．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字比十位上的数字多，则这个两位数是__________（用表示）．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、列代数式、合并同类项
【分析】设，则个位上的数为，所以这个两位数为，再把代回即可．
【详解】解：
，
为整数，符合题意，
设，
则个位数的数为，
这个两位数为，
这个两位数为
14．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)2.715（精确到百分位）．
(2)0.1395（精确到0.001）．
(3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）．
(4)（精确到百位，并用科学记数法表示）．
【答案】(1)2.72
(2)
(3)
(4)
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
（1）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位；
（2）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到；
（3）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十万位，并用科学记数法表示；
（4）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百位，并用科学记数法表示．
【详解】（1）解：．
（2）．
（3）．
（4）．
15．阅读下列各式：，，．
(1)根据积的乘方得出规律：_____________，________；
(2)应用规律：
①填空：____________，________________；
②计算：．
【答案】(1)；
(2)①1；1；②
【知识点】数字类规律探索、积的乘方运算
【分析】（1）分析所给各等式，得到规律即可解答；
（2）①逆用根据（1）的结论求解即可；
②将式子化为，再运用①的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
……
由此可得，．
（2）解：①，
；
②
．
16．2021年9月9日至11日，国际粮食减损大会在山东省济南召开，来自50多个国家及国际组织、企业、非政府组织的300多名代表围绕“减少粮食损失浪费，促进世界粮食安全”主题展开深入交流．从会议上了解到：从收获到零售各环节全球粮食损失率达14%，零售、餐饮和消费环节浪费率达17%，年损失达4000亿美元，相当于12.6亿人口一年的口粮．将数字4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值.
【详解】∵ 4000亿，将原数化为科学记数法时，得到，
原数小数点向左移动了11位，∴ ，
即4000亿用科学记数法表示为.
17．老哈河，是中国辽河西源西辽河上源，古代称之为乌候秦水，蒙古语称之为“老哈木伦”，“老哈”来自契丹语，是“铁”的意思，发源于河北省七老图山脉的光头山，向东北流入内蒙古自治区赤峰市境内，于翁牛特旗与奈曼旗交界处，与自西向东流的西拉木伦河汇合后成为西辽河．老哈河长约公里，主要支流有黑里河、坤头河、英金河、羊肠河、崩河、饮马河等河流．关于公里说法正确的是：（ ）
A．这个数是准确数 B．这个数是近似数，精确到个位
C．这个数是近似数，精确到百位 D．这个数是近似数，精确到千位
【答案】B
【知识点】求近似数的精确度
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，由此可得答案．
【详解】解：∵老哈河长约公里，
∴公里是个近似数，
∵的末尾数字5在个位上，
∴精确到个位，
故选B．
【点睛】本题考查了近似数及精确度问题，确定精确度时认清末尾数字所在的数位是解题的关键．
18．若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】乘方的应用、有理数大小比较
【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法．
先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可．
【详解】解：，，，，
因为，
所以，即；
因为，
所以，
所以，即，
所以，
故选：D．
19．阅读材料，解决问题：
由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数字类规律探索、有理数的乘方运算
【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字．
【详解】解：∵，
∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现，
∵，
∴的个位数字与的个位数字相同，应为7；
∵，
∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为，
∴的个位数字与的个位数字相同，应为8；
∵，
∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现，
∴的个位数字与相同，是2，
∵，
∴的个位数字是7．
故选：D．
20．观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是______．
【答案】9
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索
【分析】通过观察已知的结果，得到末位数字的循环规律，利用周期计算总和的末位数字即可．
【详解】解：，，，，，，，…，
的末位数字按循环出现，周期为，
一个周期内所有末位数字之和为：，末位数字为，
，
的末位数字等于个周期的末位数字和，加上余下项的末位数字，
个周期的数字的末位数字和的末位为，余下项的末位数字分别为，和为，末位为，
原式的末位数字为．
21．综合与探究：
【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．
一般地写作，读作“的圈次方”．
(1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算．
(2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______；
(3)算一算：．
【答案】(1)；
(2)，
(3)0
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算、有理数的乘方运算
【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解；
（2）根据题目中的例子计算即可得解；
（3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
，
；
（3）解：，，
原式
．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）2.3有理数的乘方
学习目标与重难点
1、理解乘方的意义与概念：理解乘方是求几个相同因数积的简便运算，掌握底数、指数、幂的概念，能准确识别并读写乘方形式。
2、掌握有理数的乘方运算：能正确进行有理数的乘方运算，熟练运用“正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数”的符号法则。
3、体会数学思想方法：在探究乘方概念和符号规律的过程中，体会从特殊到一般的归纳思想，以及分类讨论思想在运算中的应用。
重点：
1、乘方的概念与符号法则：准确理解底数、指数的含义，熟练掌握有理数乘方的符号判断规律，这是进行乘方运算的基础。
2、乘方的运算：能正确计算有理数的乘方，特别是涉及负数和分数的乘方运算。
难点：
1、底数的识别与书写规范：准确区分( a)n与 an的意义及运算结果，理解当底数是负数或分数时，书写乘方形式必须加括号。
2、乘方与乘法的区别：深刻理解乘方是“相同因数的积”，而非因数与指数的乘积，避免将an误算为a×n
洞悉◆教材知识
知识点01 有理数的乘方
有理数的乘方的意义：
求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。
特别提示：
当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。
当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ；
的四次方写成 。
（3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。
知识点02 有理数的乘方运算
有理数的乘方的计算：
。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。
特别提示：
正数的任何次方都是 正数 。
负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。
0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。
1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。
知识点03 有理数的偶次方
有理数的偶次方：
由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。
知识点04 的区别与联系
三者的意义（区别）：
表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 ，底数是 a 。
表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 － ，底数是 a 。
表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 ，底数是 －a 。
三者的联系
当为奇数时， － 和 相等，他们与互为 相反数 。
当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。
知识点04 科学记数法
1.一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.
2.确定n值：小数点向左移动的数位或整数数位减1作为的n的值.
知识点05 近似数
1.近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示．
比如＝3.1415926…
3（精确到个位）
3.1（精确到0.1，或叫做精确到十分位）
3.14（精确到0.01，或叫做精确到百分位）
（精确到千分，或叫做精确到0.001）
核心题型◆归纳
题型01 有理数的幂的概念的理解 题型2 有理数的乘方运算
题型03 偶次方与绝对值的非负性 题型04 有理数的混合运算
题型05 有理数乘方的简单应用 题型01 用科学记数法表示大于10的数
题型07 判断近似数的精确度 题型08 根据精确度求近似数
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
题型解析◆精准备考
题型01 有理数的幂的概念的理解
【典例1】下列说法正确的是（　　）
A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加
C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3
【变式1】﹣23表示的意义是（　　）
A．3个﹣2相乘 B．3个2相乘的相反数
C．2个﹣3相加 D．2个3相乘的相反数
【变式2】关于（﹣2）4说法正确的是（　　）
A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2
C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4
题型02 有理数的乘方运算
【典例1】计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（）2； （3）（）3．
【变式1】计算：（1）23； （2）﹣54； （3）； （4）﹣（）3．
【变式2】计算：
（1）； （2）； （3）﹣25； （4）．
题型03 偶次方与绝对值的非负性
【典例1】已知0，则（xy）2024的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024
【变式1】已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【变式2】当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝　 　 ．
题型04 有理数的混合运算
【典例1】计算：
（1）； （2）．
【变式1】计算
（1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（）×24（）3﹣|﹣25|．
【变式2】计算
（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣9÷3+（）×12+（﹣3）2；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣32）]； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（）2．
题型05 有理数乘方的简单应用
【典例1】某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片．
（1）这批药共有多少箱？
（2）这批药共有多少片？
【变式1】某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
【变式2】当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？
（2）计算当你对折6次时，层数是多少；
（3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少．
题型06 用科学记数法表示大于10的数
【典例1】记者查阅广东省统计局公布的数据显示2024年广东新出生人口113万人，比上一年增加了10万人，居全国第一，数据113万用科学记数法可以表示为（　　）
A．11.3×105 B．1.13×106 C．113×104 D．0.113×107
【变式1】风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（　　）
A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104
【变式2】天问二号探测器在轨运行超8天后，与地球距离超300万千米．数据300万用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×107 B．3×106 C．3×107 D．300×104
题型07 判断近似数的精确度
【典例1】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　）
A．3.704≈3.70（精确到十分位）
B．0.123≈0.1（精确到0.1）
C．39.27≈40（精确到个位）
D．0.01462≈0.015（精确到0.0001）
【变式1】用四舍五入法按要求对0.06547分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.06（精确到百分位）
C．0.065（精确到千分位）
D．0.0655（精确到0.0001）
【变式2】下列说法正确的是（　　）
A．近似数0.010精确到百分位
B．近似数4.3万精确到千位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数43.0精确到个位
题型08 根据精确度求近似数
【典例1】用四舍五入法，把3.90461精确到百分位，取得近似值为（　　）
A．3.9 B．3.90 C．3.91 D．3.905
【变式1】把2.954精确到十分位的近似数是（　　）
A．2.90 B．2.9 C．2.0 D．3.0
【变式2】把19547精确到千位的近似数是（　　）
A．1.95×103 B．1.95×104 C．2.0×104 D．1.9×104
1．下列4个式子中，计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．初中数学课本宽度为，下列关于这个数的说法正确的是（　　）
A．这个数是准确数
B．这个数是近似数，它精确到百分位
C．这个数是近似数，它精确到0.1
D．这个数是近似数，它精确到个位
4．计算： ______
5．国家高山滑雪中心作为2022年北京冬奥会的雪上项目竞赛场馆之一，其雪道是中国最高等级的高山滑雪赛道，是滑降、回转、大回转、超级大回转、全能项目、团体项目的赛场，其建筑面积为43200平方米，将43200用科学记数法表示为________．
6．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________．
7．计算：.
8．计算：．
9．若，则的值为（）
A． B．3 C．9 D．3或
10．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（ ）
A．23 B．19 C．18 D．17
11．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以上．5575万这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
12．已知：，，，的值是______．
13．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字比十位上的数字多，则这个两位数是__________（用表示）．
14．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)2.715（精确到百分位）．
(2)0.1395（精确到0.001）．
(3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）．
(4)（精确到百位，并用科学记数法表示）．
15．阅读下列各式：，，．
(1)根据积的乘方得出规律：_____________，________；
(2)应用规律：
①填空：____________，________________；
②计算：．
16．2021年9月9日至11日，国际粮食减损大会在山东省济南召开，来自50多个国家及国际组织、企业、非政府组织的300多名代表围绕“减少粮食损失浪费，促进世界粮食安全”主题展开深入交流．从会议上了解到：从收获到零售各环节全球粮食损失率达14%，零售、餐饮和消费环节浪费率达17%，年损失达4000亿美元，相当于12.6亿人口一年的口粮．将数字4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011
17．老哈河，是中国辽河西源西辽河上源，古代称之为乌候秦水，蒙古语称之为“老哈木伦”，“老哈”来自契丹语，是“铁”的意思，发源于河北省七老图山脉的光头山，向东北流入内蒙古自治区赤峰市境内，于翁牛特旗与奈曼旗交界处，与自西向东流的西拉木伦河汇合后成为西辽河．老哈河长约公里，主要支流有黑里河、坤头河、英金河、羊肠河、崩河、饮马河等河流．关于公里说法正确的是：（ ）
A．这个数是准确数 B．这个数是近似数，精确到个位
C．这个数是近似数，精确到百位 D．这个数是近似数，精确到千位
18．若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．阅读材料，解决问题：
由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　）
A． B． C． D．
20．观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是______．
21．综合与探究：
【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．
一般地写作，读作“的圈次方”．
(1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算．
(2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______；
(3)算一算：．
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