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26.4 实际问题与二次函数
学习目标和重难点
1、经历从跳水运动、篱笆围菜园、商品销售等真实情境中抽象出二次函数模型的过程，掌握"审题→设元列式→求最值→检验作答"的解题流程，体会二次函数作为最优化模型的实际价值。
2、会针对抛物线型拱桥、投篮轨迹等情境合理建立平面直角坐标系，能根据顶点位置灵活选择解析式形式，并运用函数性质解决宽度计算、通行判断等实际问题。
3、关注自变量的实际取值范围，养成对结果进行合理性检验的习惯，发展数学建模、数形结合等核心素养。
教学重点
从实际问题中准确找出变量关系，列出二次函数解析式并求出最值；抛物线型问题中建立恰当的平面直角坐标系。
教学难点
根据实际限制条件确定自变量的取值范围，并对求得的最值进行合理性检验；抛物线型问题中坐标系的合理选择与几何条件向坐标的转化。
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型1 二次函数的应用：投球问题 题型2 二次函数的应用：销售问题
题型3 二次函数的应用：面积问题 题型4 二次函数的应用：拱桥问题
题型5 二次函数的应用：喷水问题 题型6 二次函数的应用：动点问题
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
教材◆核心知识
知识点1、利用二次函数解实际问题的步骤
1.对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审：仔细审题，理清题意；
（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
（5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
知识点2、图形面积的最值问题
在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积问题，这类问题可以利用二次函数的图象和性质解决，也就是把最大面积问题转化为二次函数的最大值问题.
求图形的面积时常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决.
【针对训练】
1．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：设，则，
墙长，，
，，
解得，
花园的面积，
∴当时，花园面积最大，最大面积为．
2．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？
(2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？
【答案】(1)米或米
(2)米，米
【分析】（1）根据面积列方程进行解答即可；
（2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
依题意得，
解得，，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米；
（2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米，
，
墙的最大可用长度为米，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米．
3．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值．
【详解】解：，
，
的底边长为，边上的高为，它的面积为，
，
，
当时，有最大值，为．
知识点3、最大利润问题
求解最大利润问题时，要熟练掌握利润为题中相关数量的意义以及常用的数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.常见销售问题中的数量关系：，，.
【提示】求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得.
【针对训练】
1．某商场销售一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，当销售单价为70元时，平均每天可售出30件；销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．设销售单价为x元（），每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)60元，最大利润1200元
【分析】（1）根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出与的函数关系式；
（2）将与的函数关系式转换为顶点式，即可得出最大利润和所对应的售价．
【详解】（1）解：，
答：y与x的函数关系式为；
（2）解：，
当时，，
答：当销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是1200元．
2．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；
（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意，得，
解得或（舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，
则，
，
∴当时，月销售利润最大．
答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个．
3．某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售．
(1)A、B型汽车的定价分别为多少万元？
(2)在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元
(2)
B型车售价定为18万元时月利润最大，最大利润为64万元
【分析】（1）利用销售额=销量×定价，构建二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设售价或降价为自变量，构建月利润与售价或降价的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】（1）解：设A型汽车的定价为x万元，B型汽车的定价为y万元，
由题意，得，
解得，
∴A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元；
（2）解：设降价m万元，月利润为w万元，
则由题意，得，
∵，
∴当时，w最大，最大值为（万元），
此时售价为（万元）．
知识点4、抛物线形建筑问题
利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中；
②设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式；
③利用二次函数的图象与性质求解实际问题
【注意】同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化解析式，通常应使已知点在坐标轴上.
【针对训练】
1．在我国古代，有一种利用水流计时的“水钟”，其内部的浮标高度h随时间t变化的轨迹可以近似看作一条抛物线．某兴趣小组对其进行了数学建模：在平面直角坐标系中，设水钟底部为原点，浮标初始位置为，浮标上升到的最高点坐标为，水钟右侧的刻度线是一条从原点出发的斜坡，其终点A的坐标为，在A处有一个高度为1的警示柱．
(1)求浮标高度h随时间t变化的抛物线解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）
(2)通过计算说明浮标在运动过程中能否达到或超过警示柱的顶端；
(3)当浮标在刻度线的上方，且浮标到刻度线的竖直距离为2时，求对应的横坐标t的值．
【答案】(1)
(2)不能达到或超过
(3)0或7
【分析】（1）根据题意抛物线解析式为，代入点C坐标即可解答；
（2）把代入（1）中所求抛物线解析式，求得此时的h值，与点B的纵坐标比较即可得；
（3）先利用待定系数法求得线段的解析式，然后根据浮标到刻度线的竖直距离为2，得到关于t的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
抛物线解析式为．（一般形式：）；
（2）解：把代入中得：
，
，
浮标在运动过程中不能达到或超过警示柱的顶端．
（3）解：设线段的解析式为，
则，解得，
线段的解析式为，
浮标在的上方且竖直距离为2，
，
即，
解得，，
对应的的值为0或7．
2．在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息：
烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为；
烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为．
设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地．
(1)求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式；
(2)若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据待定系数法解题即可；
（2）根据待定系数法和轴对称的性质求出抛物线的表达式，求出点的坐标，将点的横坐标代入抛物线的表达式，进而解题．
【详解】（1）解：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，
设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ，
将代入表达式，得 ，
解得，
烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ；
（2）解：烟花弹的爆炸最高点坐标为，
设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为
将代入表达式，得 ，
解得，
烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ，
烟花弹的轨迹对应的抛物线与的轨迹对应的抛物线关于轴对称，
抛物线的表达式为 ，
如图，
为烟花弹的落地点，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ，
令，
解得（不符合题意，舍去），，
，
轴，点在抛物线上，
设，则，
点到点的距离为．
题型解析◆精准备考
【题型1】二次函数的应用：投球问题
1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；
③铅球落地时的水平距离为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可．
【详解】解：将代入，
得，
解得，，
∴这名男生铅球推出的水平距离为，
故③正确，符合题意；
∵，
∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为，
故②正确，符合题意；
当时，，
故①错误，不符合题意；
故选：C．
2．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解．
【详解】解：将代入，
，
解得：（舍去）
又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为，
∴该运动员投掷标枪的水平距离为米
故答案为：．
【题型2】二次函数的应用：销售问题
3．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得．
【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件，
∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，
∴，
故选：D．
4．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设，
把代入中得：，
；
设，
把代入中得：
，
解得：，
；
设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，
由题意得：
，
，
当时，，
，
当时，，
能获取的最大总利润是万元，
故选：D．
【题型3】二次函数的应用：面积问题
5．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设，花圃面积为，则，
根据题意，，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为32，
故这个花圃的最大面积是，
故选：C．
6．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式．
设的长度为，则，即可得出．
【详解】解：设的长度为，则，
由题意得，，
故答案为：．
【题型4】二次函数的应用：拱桥问题
7．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，
则：O为原点，，，
设函数解析式为，把A点坐标代入得，
∴抛物线解析式为，
当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴此时的水面宽度为，
故选：C．
8．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米．
【答案】40
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，则可知点、的横坐标，从而可得的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
米，
故答案为：40．
【题型5】二次函数的应用：喷水问题
9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可．
【详解】解：当时，解得或，
∴水喷出的最远水平距离是米，
故选：A．
20．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键．
【详解】解：选图中第一象限的抛物线，
由题意得，抛物线顶点坐标为，过点，
设抛物线解析式为，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
故选：．
10．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离．
(1)求水流所在抛物线的函数表达式；
(2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到；
②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？
【答案】(1)
(2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会．
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可；
（2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，，
将其分别代入得：
，解得，
水流所在抛物线的函数表达式为：；
（2）解：①令，则，
解得，，
高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；
②令，则，
，
不会被水流直接喷到．
【题型6】二次函数的应用：动点问题
11．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．
①当时，的面积为
②有两个不同的值，都使的面积为
③面积的最大值为：
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③
【详解】解：①由题意得：根据题意得：，，
∴，
∴
，
当时，故①正确；
当时，
，
解得：，，
∵，
∴出发时间有两个不同的值满足的面积为，故②正确；
∵
∴当时，的面积最大，且最大值为，故③错误
故选：C．
12．如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点是上一点，可列关于的一元一次不等式求出范围即可．
【详解】解：∵正三角形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是上一点，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，勾股定理，利用三角形面积公式列函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点．
1．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米，
∴，
故选：B．
2．某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式．
【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本，
每星期售出此文学书的销售额．
故选：A．
3．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
【答案】B
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度．
【详解】解：，
点的坐标为，抛物线的对称轴为，
，
，
点的横坐标为：，
当时，，
点纵坐标为14，
点的纵坐标为，
，
，即杯子的高度为11．
4．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__．
【答案】0.8
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，
将，代入，得
，
解得，
，
∴，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线
足球到达最高点所需的时间是．
故答案为：0.8．
5．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为__________元．
【答案】
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．设每月所获利润为元，按照利润销售量售价成本列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：设每月所获利润为元，
则，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，且为元
∴当商品销售单价定为元时，每月所获利润最大，
故答案为：．
6．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米．
【答案】6
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值．
【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中，
设，，则，
D点坐标为，
将代入，
得，
解得或（舍），
，
故答案为：6．
7．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为．
(1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求菜园面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
，
即；
（2）由（1）知，，
当时，有最大值，最大值是．
8．某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元．
(1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大；
(2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围．
【答案】(1)售价定为每个70元时，每天的销售利润最大
(2)
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式是解题的关键．
（1）依据题中的相等关系列出函数解析式，分涨价、降价两种情况，再依据二次函数的性质求解可得．
（2）根据题意列不等式，分两种情况，即可求解．
【详解】（1）解：当时：售价上涨，销量减少，销量为，
利润为：；
当时，；
当时：售价下降，销量增加，销量为：，
利润为：；
当时，不在取值范围内，；
综上所述，当时，利润最大；
（2）解： 当时：
；
解得：；
当时：
；无解；
综上所述，每天的利润不低于4000元，售价x的取值范围是．
9．某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
【答案】(1)（且为整数）
(2)增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件
【知识点】列二次函数关系式、y=ax +bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， 每天生产总量 = 总台数 × 单台日均产量，根据此关系式列式子即可；
（2）根据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件，
∴（且为整数）；
（2）解：，
当时，有最大值，最大值为3600，
因此增加10台机器时生产总量最大，最大值为3600件．
10．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解．
【详解】解：∵正方形的周长为C
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积，
故选：A．
11．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
【答案】A
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558，
故选：A．
12．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键．
根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可．
【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系，
根据题意得，抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∵当水面增加时，
∴水面宽度为，
∴，
∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为，
∴当时，．
∴当水面增加时，水面下降了．
故选：B．
13．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______．
【答案】
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解．
【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为：，
故答案为：．
14．某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为______元．
【答案】6
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用．根据利润数量每件的利润建立与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】解：设销售单价元，商场每天获得的利润为元，则
，
当时，，
∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为108元．
∴该商场销售一件该种商品所获利润为6元，
故答案为：6．
15．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s．
【答案】4
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，令时，则，
解得，
则，
∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为．
16．一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示．
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米．
【答案】(1)
(2)
由题意得：抛物线的对称轴直线为，
当时，，
∴铅球行进高度能达到3米；
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
（1）解方程即可；
（2）由题意得：抛物线的对称轴直线为，求出铅球的最大高度即可判断；
【详解】（1）解：令，解方程得：
（舍），
∴铅球推出的水平距离为；
（2）略
17．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款每件成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售．经过调查发现，现产品每天的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）满足一次函数关系．
(1)求出每天的利润S（单位：元）与销售价格x之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围，利润销售额成本）．
(2)当销售价格定为50元/件时，该公司每天获取的利润是多少？
(3)当该公司每天获取的利润是12000元时，销售价格为多少？
【答案】(1)
(2)当销售价格定为元/件时，该公司每天获取的利润是元
(3)当该公司每天获取的利润是元时，销售价格为元/件或元/件
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将代入得到的二次函数即可计算利润；
（3）将代入得到的二次函数即可计算售价．
【详解】（1）解：
．
（2）解：当时，．
故当销售价格定为元/件时，该公司每天获取的利润是元．
（3）解：当时，，
解得，．经检验均符合题意．
故当该公司每天获取的利润是元时，销售价格为元/件或元/件．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
18．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度．
【答案】(1)
(2)米
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键．
（1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可．
（2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为，
∵抛物线顶点在原点，
∴设解析式为，把代 得：
∴，
∴．
（2）∵水位上升就达到警戒线的位置，
∴点C、D的纵坐标为，
当时，
，
解得：，
∴，
∴米．
19．如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项．
【详解】解：当时，，
∵足球能射进球门，
∴，
∴，
解得，
则的值可能是．
故选：B．
20．下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，求出矩形的面积与矩形一条边长之间的函数关系式即可得出答案；②赵老师爬香山时，路程一定，则所花的时间和平均速度成反比，不是二次函数，即可得出答案；③求出月饼利润与降价之间的函数关系式，即可得出答案．本题主要考查了求函数关系式，二次函数图象，根据题意求出相应的函数解析式，是解题的关键．
【详解】解：①矩形一条边长为x，则另外一条边长为，则矩形的面积为：，
∴矩形的面积y是矩形一条边长为x的二次函数，且二次函数的开口向下，抛物线过原点O，因此变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示，
故①符合题意；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x，设速度为m，则
∴y是x的一次函数，不是二次函数，因此变量与变量之间的函数关系不可以用图示的图像表示，
故②不符合题意；
③根据题意，得，不过原点，
③不符合题意；综上分析可知，变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示的是①，故A正确．
故选：A．
21．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3m时，，
把代入得：，解得：，
此时水面宽米．
故选：C．
22．如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当____时，养鸡场的面积最大．
【答案】30
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；设围成养鸡场的面积为，由题意易得矩形的另一边长为，然后可得方程，进而根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：设围成养鸡场的面积为，由题意得：
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为300；
故答案为30．
23．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
【答案】10
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可；
【详解】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
24．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动时间为x秒，的面积为．

(1)求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
(2)求运动多少秒时，的面积为；
(3)求运动多少秒时，的面有最大值．最大值是多少？
【答案】(1)
(2)运动2秒时，的面积为
(3)运动4秒时，的面有最大值．最大值是
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)、用关系式表示变量间的关系
【分析】（1）分别表示出的长，再根据三角形面积公式进行求解即可；
（2）根据（1）所求建立方程求解即可；
（3）根据（1）所求利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，，
解得或，
∵，
∴，
∴，
∴运动2秒时，的面积为；
（3）解：
，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为16，
∴运动4秒时，的面有最大值．最大值是．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法、二次函数的性质，根据题意用x表示出y、掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．
(1)如图1建立平面直角坐标系．
①求此抛物线的表达式；
②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
(2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？
【答案】(1)①；②米
(2)不能投进
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得二次函数的表达式是解题的关键．
（1）①根据题意，设抛物线为，将代入，即可求得抛物线表达式；②求得抛物线与y轴的交点坐标，即为球出手时离地面的高度，进而求得答案；
（2）根据题意，设抛物线为，将代入，求得抛物线表达式，然后把代入表达式，求得y的值，即可判断．
【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线为，
将代入，
得，
解得
∴．
②当时，，
∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米，
∴他跳离地面的高度为：（米）．
（2）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线为，
将代入，
得，
解得，
∴．
当时，，
∵，
∴不能投进．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）26.4 实际问题与二次函数
学习目标和重难点
1、经历从跳水运动、篱笆围菜园、商品销售等真实情境中抽象出二次函数模型的过程，掌握"审题→设元列式→求最值→检验作答"的解题流程，体会二次函数作为最优化模型的实际价值。
2、会针对抛物线型拱桥、投篮轨迹等情境合理建立平面直角坐标系，能根据顶点位置灵活选择解析式形式，并运用函数性质解决宽度计算、通行判断等实际问题。
3、关注自变量的实际取值范围，养成对结果进行合理性检验的习惯，发展数学建模、数形结合等核心素养。
教学重点
从实际问题中准确找出变量关系，列出二次函数解析式并求出最值；抛物线型问题中建立恰当的平面直角坐标系。
教学难点
根据实际限制条件确定自变量的取值范围，并对求得的最值进行合理性检验；抛物线型问题中坐标系的合理选择与几何条件向坐标的转化。
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型1 二次函数的应用：投球问题 题型2 二次函数的应用：销售问题
题型3 二次函数的应用：面积问题 题型4 二次函数的应用：拱桥问题
题型5 二次函数的应用：喷水问题 题型6 二次函数的应用：动点问题
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
教材◆核心知识
知识点1、利用二次函数解实际问题的步骤
1.对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审：仔细审题，理清题意；
（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
（5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
知识点2、图形面积的最值问题
在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积问题，这类问题可以利用二次函数的图象和性质解决，也就是把最大面积问题转化为二次函数的最大值问题.
求图形的面积时常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决.
【针对训练】
1．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？
(2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？
3．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______．
知识点3、最大利润问题
求解最大利润问题时，要熟练掌握利润为题中相关数量的意义以及常用的数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.常见销售问题中的数量关系：，，.
【提示】求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得.
【针对训练】
1．某商场销售一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，当销售单价为70元时，平均每天可售出30件；销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．设销售单价为x元（），每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
2．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？
3．某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售．
(1)A、B型汽车的定价分别为多少万元？
(2)在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？
知识点4、抛物线形建筑问题
利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中；
②设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式；
③利用二次函数的图象与性质求解实际问题
【注意】同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化解析式，通常应使已知点在坐标轴上.
【针对训练】
1．在我国古代，有一种利用水流计时的“水钟”，其内部的浮标高度h随时间t变化的轨迹可以近似看作一条抛物线．某兴趣小组对其进行了数学建模：在平面直角坐标系中，设水钟底部为原点，浮标初始位置为，浮标上升到的最高点坐标为，水钟右侧的刻度线是一条从原点出发的斜坡，其终点A的坐标为，在A处有一个高度为1的警示柱．
(1)求浮标高度h随时间t变化的抛物线解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）
(2)通过计算说明浮标在运动过程中能否达到或超过警示柱的顶端；
(3)当浮标在刻度线的上方，且浮标到刻度线的竖直距离为2时，求对应的横坐标t的值．
2．在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息：
烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为；
烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为．
设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地．
(1)求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式；
(2)若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离．
题型解析◆精准备考
【题型1】二次函数的应用：投球问题
1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；
③铅球落地时的水平距离为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ．
【题型2】二次函数的应用：销售问题
3．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】二次函数的应用：面积问题
5．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ．
【题型4】二次函数的应用：拱桥问题
7．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（ ）
A． B． C． D．
8．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米．
【题型5】二次函数的应用：喷水问题
9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【题型6】二次函数的应用：动点问题
11．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．
①当时，的面积为
②有两个不同的值，都使的面积为
③面积的最大值为：
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是 ．
1．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
4．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__．
5．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为__________元．
6．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米．
7．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为．
(1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求菜园面积的最大值．
8．某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元．
(1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大；
(2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围．
9．某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
10．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
11．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
12．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______．
14．某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为______元．
15．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s．
16．一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示．
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米．
17．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款每件成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售．经过调查发现，现产品每天的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）满足一次函数关系．
(1)求出每天的利润S（单位：元）与销售价格x之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围，利润销售额成本）．
(2)当销售价格定为50元/件时，该公司每天获取的利润是多少？
(3)当该公司每天获取的利润是12000元时，销售价格为多少？
18．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度．
19．如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
20．下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
21．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（ ）

A． B． C． D．
22．如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当____时，养鸡场的面积最大．
23．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
24．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动时间为x秒，的面积为．

(1)求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
(2)求运动多少秒时，的面积为；
(3)求运动多少秒时，的面有最大值．最大值是多少？
25．在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．
(1)如图1建立平面直角坐标系．
①求此抛物线的表达式；
②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？
试卷第1页（共2页）
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