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小学四—五年级 Python 程序设计（第一学期）
教　学　设　计
第10课　函数与递归——自己调用自己
课　　题 第10课　函数与递归——自己调用自己
课　　时 第 10 课时（40 分钟）
课　　型 新授 + 竞赛衔接
教学环境 机房（Windows + Python 3.x + IDLE/Thonny）
授课班级 四年级、五年级
一、学情分析
学生已经会定义函数、传参、return，能写出结构清晰的工具函数。本课要引入一个听起来神奇、其实很朴素的技巧：函数在内部调用自己，也就是递归。这是竞赛中阶乘、斐波那契、汉诺塔等经典题的通解。
学生的认知难点集中在两处：
1．觉得「自己调用自己」像是无限的、会出错的，心里发怵；
2．写不出「出口」（终止条件），导致递归无限进行而报错。
本课用「剥洋葱」「俄罗斯套娃」和「查字典」三个生活比喻，让学生理解递归的两个必备要素：出口 + 往小规模推进。
二、教学目标
（一）知识目标
1．理解递归的含义：函数在执行过程中调用自己。
2．掌握递归的两大要素——终止条件（出口）与递归调用（规模缩小）。
3．能用递归求解阶乘、斐波那契数列、数字各位之和等经典问题。
（二）能力目标
1．能根据问题写出递归函数，并正确设置终止条件。
2．能对简单递归画出「调用—返回」的过程图。
（三）素养目标
1．体会「把一个复杂问题化成同类的更小问题」这一数学化归思想。
2．培养耐心推演、逐步回溯的思维习惯。
三、教学重点与难点
项　目 内　容
教学重点 递归函数的写法；阶乘与斐波那契的递归实现；return 返回值的逐层回传。
教学难点 终止条件（出口）的设置；理解「先往里钻，再从最里面往外一层层回传」的过程；递归深度过大导致 RecursionError。
四、教学准备
· 教师：课件、俄罗斯套娃实物或图片、递归过程分解图。
· 学生：练习卷、上机账号。
· 素材：本课 5 个程序文件 1阶乘递归.py ~ 5递归求最大公约数.py。
五、教学过程（共 40 分钟）
环节一　情境导入：俄罗斯套娃（5 分钟）
出示俄罗斯套娃图片，提问：「想知道最里面那个最小的娃娃有多大，应该怎么做？」
学生答：「一层一层打开」——追问：「打开每一层的动作一样吗？」→ 完全一样，只是盒子越来越小。
引出：一个任务，如果「每一步都在做同样的事，只是问题越来越小」，就适合用递归。
再看「查字典」比喻：查一个词 A，解释里出现了不懂的词 B，于是再去查 B……如果一直查下去永远查不完；所以一定要有一个「已经认识、不用再查」的词，这个就是出口。
环节二　从循环到递归：阶乘的两种写法（12 分钟）
先复习上一课/以前做过的循环版阶乘，再对照写出递归版。
演示 1阶乘递归.py。
def fact(n):
if n == 1: # 出口：最里面那个娃娃
return 1
return n * fact(n - 1) # 递推：把问题缩小一圈
print(fact(5))
追问：「为什么 n == 1 时要 return 1 而不是继续调用？」→ 因为不能再往小推了，1 的阶乘是已知的、不用算的。这就是出口，没有出口递归就停不下来。
逐步展开 fact(5)（板书，画成一层层往里钻）：
fact(5) = 5 * fact(4)
fact(4) = 4 * fact(3)
fact(3) = 3 * fact(2)
fact(2) = 2 * fact(1)
fact(1) = 1 ← 出口
然后一层层往回收：
fact(2) = 2 * 1 = 2
fact(3) = 3 * 2 = 6
fact(4) = 4 * 6 = 24
fact(5) = 5 * 24 = 120
强调两个阶段：先去「递」（往下钻到底），再「归」（从底往上回传）。函数是「先钻到底，才开始算回来的」。
对照表，让学生看到两种写法思路不同、结果相同：
写　法 核　心 适合场景
循环 从 1 乘到 n，一路累乘 次数明确、过程像流水线
递归 n! = n × (n-1)!，问题自我缩小 问题本身有「自己包含自己」的结构
环节三　新授：斐波那契数列（10 分钟）
出示数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21……提问：「每一项和它前面两项有什么关系？」
学生发现：从第三项起，每一项 = 前两项之和。
演示 2斐波那契递归.py。
def fib(n):
if n == 1 or n == 2: # 出口有两个
return 1
return fib(n - 1) + fib(n - 2)
for i in range(1, 11):
print(fib(i), end=" ")
区别在于：阶乘只有一条递归线，斐波那契分成两条（左一支、右一支），像树的枝杈。可以在黑板上画出 fib(5) 的展开树。
fib(5)
┌───────┴───────┐
fib(4) fib(3)
┌───┴───┐ ┌───┴───┐
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)
┌──┴──┐
fib(2) fib(1)
指出：树里 fib(3)、fib(2) 被重复计算了好几次，n 一大就算得特别慢——这为下一课的枚举与优化埋下伏笔。
环节四　新授：递归求和、各位数字之和（8 分钟）
演示 3递归求和.py，用递归求 1+2+…+n。
def total(n):
if n == 1:
return 1
return n + total(n - 1)
print(total(10))
让学生发现它和阶乘只差一个运算符：一个是乘，一个是加，骨架完全一样。这就是「同一个递归模型换个运算」。
演示 4递归求各位数字之和.py。
def digit_sum(n):
if n < 10:
return n
return n % 10 + digit_sum(n // 10)
print(digit_sum(12345))
讲解：「取出个位用 % 10，剩下的数用 // 10」，这正是第 1 课学过的整除与取余，在递归里又派上了用场。每剥掉一位，数就变小一圈，直到只剩一位为止。
提醒一个常见错误：忘记写出口，程序会报 RecursionError（递归深度超出）。可以现场演示一次，让学生看到报错信息。
环节五　综合应用与总结（5 分钟）
演示 5递归求最大公约数.py（辗转相除法），做进阶展示，不强求全员掌握。
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
return gcd(b, a % b)
print(gcd(48, 36))
指出：欧几里得在两千多年前就用递归思想解决这个问题，今天你写出的代码和古人的思路是一致的。
本课一句话总结：递归就是「自己做和刚才一样的事，但问题小一圈」；写递归先写出口（什么时候不用再往下走），再写怎么把问题缩小；函数会一路钻到底，再一层层把结果传回来。
六、板书设计
第10课　函数与递归
递归 = 出口 + 自我调用（规模缩小）
def fact(n):
if n == 1: ← 出口，必须先写
return 1
return n * fact(n-1) ← 递推
fact(3) = 3 * fact(2)
= 3 * 2 * fact(1)
= 3 * 2 * 1 ← 从里往外回传
没有出口 → RecursionError
斐波那契：fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)
七、分层作业
★ 完成练习卷第一、二、三题（填空、判断、手算模拟）。
★★ 完成练习卷第四题：用递归求 1+2+…+n；用递归求一个整数各位数字之和。
★★★ 完成练习卷第五题：用递归求第 n 项斐波那契数，并思考：为什么算 fib(35) 会很慢？把你观察到的现象写下来。
八、教学反思要点
1．「先钻到底再回传」的过程学生是否真的理解？画展开图是否比口头讲解更有效？
2．有没有学生忘记写出口？下一次是否要在环节二就强调「先写出口」的顺序？
3．斐波那契的展开树是否让学生直观感到重复计算？可保留此伏笔衔接下一课优化。
4．递归对小学生偏抽象，是否需要在课后再补一次「递归三问」小测？
课后记（教师填写）：
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