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小学四—五年级 Python 程序设计（第一学期）
教　学　设　计
第13课　递推与模拟——一步一步往下推
课　　题 第13课　递推与模拟——一步一步往下推
课　　时 第 13 课时（40 分钟）
课　　型 算法新授 + 竞赛衔接
教学环境 机房（Windows + Python 3.x + IDLE/Thonny）
授课班级 四年级、五年级
一、学情分析
学生已经掌握循环、列表、函数与递归，也接触过枚举与查找排序。本课要学的递推，可以理解为「递归的循环版」——不用函数自己调用自己，而是用循环从前一项推出后一项，用变量或列表把中间结果存住。
学生的难点集中在两处：
1．递推公式看不懂，不知道「前一项」和「后一项」怎么对应到变量；
2．不会「模拟」——把文字叙述的操作一步一步翻译成代码，尤其是「猴子吃桃」这类逆推题，方向容易搞反。
本课以「猴子吃桃」「爬楼梯」「斐波那契的快速实现」为主线，让学生体会递推的两大好处：思路更清晰、速度比递归快得多。
二、教学目标
（一）知识目标
1．理解递推的含义：由已知的初始值出发，按规律逐步推出后续每一项。
2．掌握用变量或列表实现递推的方法，能识别并写出递推公式。
3．掌握「模拟」的解题方法，能把文字描述的操作逐步翻译成程序。
（二）能力目标
1．能根据题目找到递推关系与初始值，写出递推程序。
2．能用递推重写递归题（如斐波那契），并说出两者的效率差异。
3．能完成猴子吃桃、爬楼梯等经典模拟与逆推问题。
（三）素养目标
1．体会「把复杂的连锁关系拆成一步步」的思维方法。
2．感受数学规律与程序相互印证的美感。
三、教学重点与难点
项　目 内　容
教学重点 递推公式的识别与实现；递推的初始值设定；逆推（猴子吃桃）的方向把握。
教学难点 从文字叙述中提炼递推关系；逆推时循环的方向与变量更新顺序；递推与递归的异同。
四、教学准备
· 教师：课件、猴子吃桃的图示（正推 / 逆推对照）、爬楼梯示意图。
· 学生：练习卷、上机账号。
· 素材：本课 5 个程序文件 1斐波那契递推.py ~ 5爬楼梯.py。
五、教学过程（共 40 分钟）
环节一　复习导入：递归太慢了（5 分钟）
回顾第 10 课：递归写斐波那契很漂亮，但算 fib(35) 慢得让人着急。提问：「慢在哪里？」
引导学生回忆展开树：fib(30) 被算了好几遍，同一个结果反复重算，白白浪费时间。
设疑：「能不能把算过的结果存起来，下次直接用？」——这正是递推的思路：从最小的开始，一项一项往后推，每算一项就存住，绝不重算。
【设计意图】用递归的效率痛点引出递推，让新知识成为旧知识的自然升级，而不是孤立的另一套写法。
环节二　新授：斐波那契的递推写法（10 分钟）
演示 1斐波那契递推.py。
n = int(input("求第几项："))
if n <= 2:
print(1)
else:/n a, b = 1, 1 # a 是前两项，b 是前一项
for i in range(3, n + 1):
a, b = b, a + b # 一起往后挪一格
print(b)
用表格演示「两个变量往前挪」的过程（n = 7）：
i 挪之前 a 挪之前 b b = a + b 后 说明
初始 1 1 — 第 1、2 项都是 1
3 1 1 2 第 3 项 = 1+1
4 1 2 3 第 4 项 = 1+2
5 2 3 5 第 5 项 = 2+3
6 3 5 8 第 6 项 = 3+5
7 5 8 13 第 7 项 = 5+8
解释 a, b = b, a + b 这一行：右边的 a + b 先用旧的 a、旧的 b 算出来，然后同时赋给 a 和 b。等价于「a 接管旧的 b，b 接管两者之和」——相当于把窗口往前滑动一格。
强调：递推只需要两个变量，不用开数组，空间极省，速度又快（要算第 n 项，循环 n-2 次即可）。
对照递归版：算 fib(35) 递归要几十万次调用，递推只要 33 次循环。差距悬殊。
环节三　新授：用列表递推（10 分钟）
演示 2递推存列表.py——把每一项都存下来，方便回头查。
n = int(input("求第几项："))
f = [0] * (n + 1) # 多开一位，让下标和项号对齐
f[1] = 1
f[2] = 1
for i in range(3, n + 1):
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]
print(f[n])
讲解 f = [0] * (n + 1) 这个技巧：开 n + 1 个位置，让 f[1] 正好对应第 1 项，读代码时「第几项就是 f[几]」，不容易搞混下标。
好处：如果题目要问「前 n 项的和」或「第 5 项是多少」，列表里全都有，直接取用。
提问：「两个变量的写法更省空间，列表的写法更灵活，考试时该选哪个？」→ 取决于后面还要不要用到中间项。只用最后一项就选两个变量；还要用中间项就选列表。
环节四　新授：逆向推理——猴子吃桃（10 分钟）
出题：猴子第一天摘下若干个桃子，当天吃掉一半又多吃一个；第二天又将剩下的吃掉一半又多吃一个……到第 10 天早上只剩 1 个桃子。求第一天共摘了多少个？
先问：「顺着推容易，还是倒着推容易？」让学生讨论——答案是倒着推，因为「第 10 天剩 1 个」是已知的，第 1 天的数量却是未知的。
建立逆推公式（板书推导）：
设第 k 天早上有 x 个桃子。
当天吃掉一半多一个，剩下的就是：
第 k+1 天早上 = x ÷ 2 - 1
反过来求 x：
x = (第 k+1 天早上 + 1) × 2
演示 3猴子吃桃.py。
peach = 1 # 第 10 天早上还剩 1 个
for day in range(9, 0, -1): # 从第 9 天倒推到第 1 天
peach = (peach + 1) * 2
print(f"第一天共摘了 {peach} 个桃子")
关键讲三点：
（1）循环是倒着走的，range(9, 0, -1)，步长为 -1；因为我们是「从第 10 天往回推」。
（2）peach 这个变量在循环里不断被更新：每一轮它表示「当天早上的桃子数」，推完一轮就变成「前一天早上的桃子数」。
（3）公式里那个 +1 和 ×2 不能颠倒，因为「吃了再多一个」意味着「剩下的比一半少 1」，所以逆推时要「先加回 1，再乘 2」。
手动验证最后几天（让学生跟着算）：
天 当天早上个数 计算过程
第 10 天 1 已知
第 9 天 4 (1 + 1) × 2 = 4
第 8 天 10 (4 + 1) × 2 = 10
第 7 天 22 (10 + 1) × 2 = 22
第 6 天 46 (22 + 1) × 2 = 46
环节五　拓展与总结（5 分钟）
演示 4数字反转.py、5爬楼梯.py 作为补充，让学生体会「模拟」的通用性。
# 爬楼梯：每次走 1 级或 2 级，走 n 级共有多少种走法？
# 递推：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，本质仍是斐波那契
n = int(input("楼梯级数："))
if n <= 2:
print(n)
else:/n a, b = 1, 2
for i in range(3, n + 1):
a, b = b, a + b
print(b)
指出：爬楼梯看似和斐波那契无关，但推一推就能发现是同一个递推式——这就是「识别出熟悉的模型」的能力，也是竞赛中最值钱的能力。
本课一句话总结：递推就是「从已知的起点出发，按规律一步一步往后推」；正推难就试试倒推，看到一个陌生的递推式，先想一想它是不是你熟悉的那个老模型。
六、板书设计
第13课　递推与模拟
递推 = 初始值 + 递推公式 + 循环推进
斐波那契（两个变量法）
a, b = 1, 1
for i in range(3, n+1):
a, b = b, a + b
猴子吃桃（逆推）
peach = 1
for day in range(9, 0, -1):
peach = (peach + 1) * 2
正推难 → 试着倒推
陌生题 → 找熟悉的递推模型
七、分层作业
★ 完成练习卷第一、二、三题（填空、判断、手算模拟）。
★★ 完成练习卷第四题：用递推求第 n 项斐波那契数；用递推求 1+2+…+n。
★★★ 完成练习卷第五题：完成猴子吃桃问题，并把程序改成「输出每一天早上的桃子数」，找出在哪一天桃子第一次少于 100 个。
八、教学反思要点
1．a, b = b, a + b 这一行「同时赋值」是否讲清楚？是否需要改用中间变量过渡一遍？
2．猴子吃桃的逆推方向学生是否能自己找到？是否要给一点引导而不是直接给公式？
3．学生能否识别出爬楼梯与斐波那契是同一模型？可加一道类似的辨别题。
4．递推与递归的对比是否需要在黑板上并列展示一次？
课后记（教师填写）：
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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