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18.1.1 从分数到分式 教学设计
课题 18.1　分式及其基本性质（18.1.1　从分数到分式） 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 1 课时 课型 新授课（概念课）
教学目标 了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式；理解分式有意义的条件，能根据条件确定分式无意义、有意义及分式的值为 0 时字母的取值。
教学重点 理解分式有意义的条件。
教学难点 根据分式有意义的条件来确定分式值为 0 的条件。
教学方法 情境导入、类比探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成教材 P144 习题 18.1 第 1、2、3 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、新课导入 一、新课导入 情境导入：丝茅草叶片细长且两边有许多小细齿，能轻易地把人的手指划破，非常锋利。如果将铁片的边缘也刻上许多小细齿，它会更加锋利，可以更快地伐倒大树。 鲁班就是这样根据类比的道理发明锯子的。在数学中，运用类比推理的地方也有很多。今天我们就通过类比分数来学习分式。 思考下列问题并填空： 1. (1) 若长方形的面积为 20 cm，长为 9 cm，则宽应为　　　　cm；若长方形的面积为 50 cm，长为 a cm，则宽应为　　　　cm； (2) 把体积为 300 cm的水倒入底面积为 47 cm的圆柱形容器中，水面高度为　　　　cm；把体积为 300 cm的水倒入底面积为 S cm的圆柱形容器中，水面高度为　　　　cm。 答案：(1) ；。(2) ；。 2. 观察第 1 题填出的式子，说说每小题第二个空所填式子有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ ，是分数；，的分母中都含有字母，这节课我们将认识这类式子——分式。 师生活动：学生听鲁班发明锯的故事，体会类比思想；独立完成填空并观察四个式子的特征，发现分母含字母的新式子；教师由“分数→分式”引出课题。 由锯子的发明体会类比思想；在长方形宽、水面高两个问题中列出分母含字母的式子，观察其与分数的联系与区别。 以科学家类比发明的故事激趣，用实际问题让分式的出现有真实背景，学生在观察、比较中自然产生认识分式的需求。
二、探究新知
（分式的概念） 二、探究新知 观察教材 P138 思考中的式子： ，，，，。 思考：①它们有什么共同点？②它们与分数有什么相同点和不同点？③它们的分子、分母有何特点？ 归纳分式的概念： 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式。 在分式 中，A 叫作分子，B 叫作分母。 分式有意义的条件：分式有无意义只与分母有关，与分子无关。分式的分母表示除数，因为除数不能为 0，所以当 B≠0 时，分式才有意义；B＝0 时，分式无意义。 分式的值为 0 的条件：分子等于 0，且分母不等于 0，两个条件缺一不可。 师生活动：学生观察五个式子的结构特征，类比分数概括分式的概念；教师追问“B 为什么不能为 0”，引导学生从除法的意义理解分式有意义的条件，并区分“无意义”与“值为 0”。 类比分数归纳分式的概念，能指出分子、分母；理解分式有意义的条件与分式的值为 0 的条件，明确两者不能混淆。 经历“观察—比较—概括”的概念形成过程，渗透类比思想；三个层次的条件辨析为后续运算中字母取值的讨论打好基础。
二、探究新知
（概念判断） 二、探究新知 例题精析 例1　在下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，，， 。 解：分式有 ，，， （分母中含有字母）； 整式有 ，，（分母中不含字母，π 是数不是字母）。 例2　列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？ (1) 甲每小时做 x 个零件，他做 80 个零件需多少小时？ (2) 轮船在静水中每小时走 a km，水流的速度是 b km/h，轮船的顺流速度是多少千米/时？轮船的逆流速度是多少千米/时？ (3) x 与 y 的差除以 4 的商是多少？ 解：(1) ，是分式；(2) 顺流速度为 (a＋b) km/h，逆流速度为 (a b) km/h，都是整式；(3) ，是整式。 师生活动：学生先独立判断再小组交流，重点辨析“π 是数”与“分母含字母才算分式”；列式时教师提示行程问题中顺流速度＝静水速度＋水速。 能判断一个式子是分式还是整式，抓住“分母中是否含有字母”这一本质；能根据数量关系列出分式。 判断题组针对概念的关键特征设置辨析点（π、分母含字母），列式题训练从实际情境抽象出分式模型，巩固概念并发展应用意识。
二、探究新知
（有意义与值为零） 二、探究新知 例3　当 x 取何值时，下列分式有意义？当 x 取何值时，下列分式无意义？当 x 取何值时，下列分式的值为 0？ (1) ；　(2) 。 解：(1) 有意义：，即 x≠±2；无意义：，即 x＝±2； 值为 0：2x 5＝0 且 ，即 x＝。 (2) 有意义：，即 x≠0 且 x≠1；无意义：，即 x＝0 或 x＝1； 值为 0： 且 ，x＝±1 中排除 x＝1，即 x＝ 1。 例4　(1) 若使分式 的值为零，则 x 的值为　　　　。A. 1　　B. 1 或 1　　C. 1　　D. 以上都不对 答案：C。（由 得 x＝±1，又 x＋1≠0，故 x≠ 1，所以 x＝1。） (2) 当 x 为何值时， 的值为正数？ 解：因为 ，所以 ，所以当 x 为任意实数时， 的值都是正数。 师生活动：学生先独立求解再互评，教师点评：求“值为 0”必须先验证分母不为 0（例3(2)、例4(1) 的易错点），讨论符号时先判断分母的恒正恒负性。 能求使分式有意义、无意义的字母取值；掌握“值为 0”需同时满足分子为 0 且分母不为 0，学会先排除使分母为 0 的值。 两组例题覆盖“有意义—无意义—值为 0—值为正”的完整讨论链，突出“值为 0 先查分母”的易错点，培养严谨的分类讨论意识。
三、当堂练习 三、当堂练习 1. 完成教材 P139～140 练习第 1、2、3、4 题。 2. 如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是　　　　。A. 全体实数　　B. x≠1　　C. x＝1　　D. x＞1 答案：B。（分母 x 1≠0，即 x≠1。） 3. 若分式 的值为 0，则　　　　。A. x＝ 2　　B. x＝0　　C. x＝1　　D. x＝1 或 2 答案：C。（由 x 1＝0 得 x＝1，又 x＋2≠0，x＝ 2 使分母为 0 应舍去。） 4. 当分式 的值为负数时，x 的取值范围是　　　　　　　　。 答案：x＜ 且 x≠0。（分子 需 x≠0，分式的值为负需分母小于 0，即 4x 2＜0，解得 x＜。） 师生活动：限时独立完成，同桌互查；教师讲评第 3 题“值为 0 要舍去使分母为 0 的根”、第 4 题先由分子定正、再由分式值的符号定分母的符号。 巩固分式有意义、值为 0、值为负的条件讨论，能完整写出字母的取值范围。 练习覆盖“有意义—值为 0—值为负”三类条件，检验概念学习中是否有遗漏，强化分类讨论与排除意识。
四、课堂小结
布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 什么是分式？分式与整式的区别是什么？ 2. 分式有意义的条件是什么？分式的值为 0 需要满足什么条件？ 3. 判断分式概念时有哪些易错点（如 π、约分后再判断等）？ 布置作业：完成教材 P144 习题 18.1 第 1、2、3 题；对应课时练习。 回顾“分式概念—有意义条件—值为 0 条件”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，加深对分式概念的理解；作业促使学生巩固概念辨析与字母取值范围的讨论。
板书设计
18.1.1　从分数到分式 一、分式的概念：（A、B 都是整式，且 B 中含有字母） 二、分式有意义的条件：B≠0；无意义：B＝0 三、分式的值为 0：分子 A＝0 且分母 B≠0（缺一不可） 四、辨析要点：π 是数不是字母；判断分式看原分母，不看约分后的结果 学生板演区
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