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18.1.2 第2课时 分式的约分与通分 教学设计
课题 18.1　分式及其基本性质（第2课时：分式的约分与通分） 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第2课时 课型 新授课（变形课）
教学目标 理解最简分式、最简公分母的概念，能灵活运用分式的基本性质对分式进行约分与通分，并能利用约分化简求值。
教学重点 理解并掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质对分式进行约分或通分。
教学难点 正确运用分式的基本性质对分式约分与通分。
教学方法 复习导入、类比探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成教材 P145 习题 18.1 第 6、7、8、9、10 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、新课导入 一、新课导入 复习导入：1. 因式分解的方法有哪些？（提公因式法、公式法）分式的基本性质是什么？ 2. 在 ，，， 中，最简分数有　　　　　　。 答案：，。 3. 计算：＋＝　　　　；＋＝　　　　。 答案：；。计算时都先通分。 思考：分数需要约分、通分，分式是否也需要约分与通分？如何进行？ 师生活动：学生口答因式分解方法与分式基本性质，辨认最简分数并完成分数加减；教师引导学生回忆“约分、通分”的作用，类比引出本节课课题。 复习因式分解与分式的基本性质，借助最简分数与分数通分的经验，类比猜想分式的约分与通分。 从旧知出发唤醒知识体系，用分数的约分、通分作类比支架，让学生带着“怎么约、怎么通”的问题进入新知探究。
二、探究新知
（约分与通分） 二、探究新知 （一）约分 观察化简过程：＝＝。 思考：①什么是分式的约分？②约分的一般步骤是什么？③什么叫最简分式？ 归纳：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式；约分时，约去分子和分母所有的公因式，所得结果为最简分式或者整式。 约分的一般步骤：①若分子、分母是多项式，先分解因式；②确定分子、分母的公因式；③分子与分母同时除以公因式。 （二）通分 思考：什么叫通分？通分的关键是什么？如何找最简公分母？ 归纳：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。通分时，取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母。 确定最简公分母的方法：①系数取各分母系数的最小公倍数；②取所有出现的字母（或因式）；③相同字母（或因式）取最高次幂。 师生活动：学生完成教材 P142、P143 思考，尝试概括约分、通分的定义与步骤；教师强调“公因式要约尽”“最简公分母是积不是和”，并结合实例演示确定公因式与公分母的过程。 理解约分、最简分式、通分、最简公分母的概念，掌握约分与通分的一般步骤及最简公分母的确定方法。 借助具体化简过程概括定义，经历“观察—归纳—表述”的过程；两类变形的步骤化梳理为规范运算提供程序支撑。
二、探究新知
（约分） 二、探究新知 例题精析 例1　下列四个分式中，是最简分式的是 A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：A。（B＝x＋1，C＝，D＝a＋b，分子分母都有公因式；A 的分子分母没有公因式。） 例2　约分： (1) ； 解：原式＝ 。 (2) ； 解：原式＝＝。 (3) 。 解：原式＝＝。 例3　先化简，再求值： ，其中 a，b 满足 a 2b 2＝0。 解：原式＝＝。 因为 a 2b 2＝0，所以 a 2b＝2，所以原式＝＝。 师生活动：学生独立约分，两名学生板演；教师点评：约分先看分子分母是否为多项式，需分解因式后再约（例2(3)）；互为相反数的因式要先统一（例2(2) 的 y x 与 x y）；化简求值用整体代入（例3）。 会辨认最简分式；能对单项式型与多项式型分式正确约分，会用整体代入对化简结果求值。 约分题组覆盖“单项式公因式”“互为相反数因式”“分解因式后约分”三类典型，化简求值题渗透整体思想，提高约分的规范性与准确性。
二、探究新知
（通分） 二、探究新知 例4　分式 ，， 的最简公分母是　　　　。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：C。（系数取 3、2、4 的最小公倍数 12，字母 a 取最高次幂 ，故最简公分母为 。） 例5　通分： (1) 与 ； 解：最简公分母是 ，＝，＝； (2) 与 ； 解：最简公分母是 ，＝，＝； (3) 与 。 解：最简公分母是 (2m＋3)(2m 3)，＝，＝。 例6　已知 ＝ 3，则分式 的值是 A. 　　B. 9　　C. 　　D. 7 答案：D。（将 x＋1/x 两边平方，得 ＝9，所以 ＝9 2＝7。） 师生活动：学生先确定最简公分母再通分，教师点评：分母是多项式时先分解因式再找公分母（例5(2)(3)）；例6 渗透整体思想，为分式求值提供新方法。 会确定最简公分母并正确通分；会用整体思想（如平方）处理 x＋1/x 型条件求值问题。 通分题组覆盖“单项式公分母”“多项式分解后公分母”两类，整体代入题拓宽求值思路，为分式运算的学习做好方法准备。
三、当堂练习 三、当堂练习 1. 完成教材 P144 练习第 1、2 题。 2. 填空： (1) ＝； (2) ＝（m＋n≠0）； (3) ＝。 答案：(1) 分子分母同乘 5a；(2) 同乘 (m＋n)；(3) 同乘 x。 3. 下列各式约分正确的是 A. ＝1　　B. ＝b a　　C. ＝m n　　D. ＝ 答案：B。（A＝ 1；C＝m＋n；D＝a b；B 的分子 ＝，约去一个 (b a) 得 b a，正确。） 4. 约分： (1) ＝ac；　(2) 。 解：(1) 公因式为 ab，原式＝ac；(2) 公因式为 ，原式＝ 。 5. 通分： (1) 与 ； 解：最简公分母是 ，＝，＝； (2) 与 。 解：最简公分母是 ，＝，＝。 师生活动：限时独立完成，小组核对；教师讲评第 3 题逐项辨析（互为相反数因式先统一）、第 5 题确定最简公分母“系数—字母—指数”三步法。 能填出变形中所乘的整式；辨析约分的正误；正确进行单项式型分式的约分与通分。 练习覆盖“填空说依据—辨析防错—约分—通分”四个层次，检验约分通分学习中是否有遗漏，巩固变形的规范书写。
四、课堂小结
布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 什么是约分？什么是最简分式？约分的一般步骤是什么？ 2. 什么是通分？如何确定最简公分母？ 3. 约分与通分的依据分别是什么？ 布置作业：完成教材 P145 习题 18.1 第 6、7、8、9、10 题；对应课时练习。 回顾“约分—最简分式—通分—最简公分母”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，加深对约分与通分的理解；作业促使学生巩固分解因式、确定公因式与最简公分母的基本功。
板书设计
18.1　分式及其基本性质（第2课时：分式的约分与通分） 一、约分：约去分子与分母的公因式；分子分母没有公因式的分式叫最简分式 二、约分步骤：多项式先分解因式 → 定公因式 → 分子分母同除以公因式 三、通分：化成与原分式相等的同分母分式；取各分母所有因式的最高次幂的积作最简公分母 四、定最简公分母：①系数取最小公倍数；②取所有字母（因式）；③相同字母（因式）取最高次幂 学生板演区
教学反思

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