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18.4 第1课时 整数指数幂 教学设计
课题 18.4　整数指数幂（第1课时：整数指数幂） 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课（概念课）
教学目标 1.掌握整数指数幂的运算性质。 2.能进行简单的整数范围内的幂运算，理解负整数指数幂的意义。
教学重点 掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的运算。
教学难点 认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则扩展过程。
教学方法 复习导入、类比探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成教材 P162 习题 18.4 第 1、2、3 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 一、复习导入 纳米（nm）是一种非常小的长度单位，1 nm＝ m，它表示的含义是什么呢？要解决这个问题，就需要今天要学习的负整数指数幂。 1. 回忆正整数指数幂的运算性质（填空）： (1) 同底数幂的乘法：　　　（m，n 是正整数）； (2) 幂的乘方：　　　（m，n 是正整数）； (3) 积的乘方：　　　（n 是正整数）； (4) 同底数幂的除法：　　　（a≠0，m，n 是正整数，并且 m＞n）； (5) 分式的乘方：　　　（n 是正整数）； (6) 0 指数幂：　　（a≠0）。 答案：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 1。 师生活动：学生口答填空，教师板书六条运算性质；追问：在同底数幂的除法中，当 m＝n 时产生 0 次幂，规定 a 的 0 次幂等于 1；那么当 m＜n 时，会出现怎样的情况呢？由此引出本节课的学习。 复习正整数指数幂的六条运算性质，填空并口答；由“m＜n 时同底数幂相除”的疑问引出新课。 以纳米情境激发学习兴趣，感受引进更小数的必要性；通过填空复习激活原有知识基础，为负整数指数幂的类比探究做好铺垫。
二、探究新知
（负整数指数幂） 二、探究新知 知识点一　负整数指数幂 探究：计算 。 一方面，运用同底数幂的除法性质：； 另一方面，利用约分：。 对比两式可得：。 再如：当 a≠0 时， ，，所以 。 归纳总结： 一般地，当 n 是正整数时，（a≠0），即任何不等于零的数的 n（n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。 师生活动：学生用两种方法分别计算并对比结果，发现两种算法的矛盾恰恰揭示了负整数指数幂的意义；教师引导学生类比归纳出“a 的 n 次幂等于它的 n 次幂的倒数”，明确底数不能为 0。 用运算性质与约分两种方法计算同底数幂相除，对比发现负整数指数幂的意义；归纳“a 的 n 次幂等于它的 n 次幂的倒数”（a≠0）。 让学生经历“运算性质与约分矛盾→规定负整数指数幂”的完整过程，体会规定合理性，发展逻辑推理能力；渗透类比与从特殊到一般的思想。
二、探究新知
（法则扩展） 二、探究新知 知识点二　整数指数幂的运算性质 思考：(1) 正整数指数幂的性质有哪几条？(2) 当幂的指数由正整数扩大到全体整数时，哪几条性质可以合并为一条性质？(3) 整数指数幂的性质可以归纳为哪几条？ 归纳：引入负整数指数幂后，指数的取值范围从正整数扩大到全体整数。同底数幂的除法 与 0 指数幂 （当 m＝n 时即得 0 次幂的规定）可统一到同底数幂的运算中，正整数指数幂的运算性质在整数范围内仍然适用： (1) ；(2) ；(3) （以上 m，n 均为整数，a≠0）。 师生活动：小组讨论“合并”与“扩展”的问题，教师引导学生对比六条性质到三条性质的化简过程，体会数学规定的一致性与简洁性。 理解指数范围扩大后运算性质仍然适用，归纳整数指数幂的三条运算性质。 通过“哪些性质可以合并”的讨论，让学生经历幂运算法则的扩展过程，感受数学体系的严谨与和谐，为整数指数幂的混合运算奠定基础。
二、探究新知
（例题精析） 二、探究新知 例题精析 例1　(1) 计算 的结果是　　　　。 A. 2　　B. 　　C. 　　D. 2 答案：D。（＝2，即 的倒数。） (2) 填空： ①＋＝　　　　； ②＝　　　　　　。 答案：① （1＋）；② （＝）。 例2　计算： (1) 8 ＋； 解：原式＝2 4＋1＝ 1。 (2) 。 解：原式＝＝。 例3　若 a＝ 例3　若 a＝，b＝，c＝，则 a、b、c 的大小关系是　　　　。 A. a＞b＝c　　B. a＞c＞b　　C. c＞a＞b　　D. b＞c＞a 答案：B。（a＝，b＝ 1，c＝1，所以 a＞c＞b。） 师生活动：学生独立完成，两名学生上台板演例2；教师点评：底数是分数时，负指数可转化为“颠倒分子、分母”，比较大小要先算出各数。 运用负整数指数幂的意义与整数指数幂的运算性质计算、比较大小，规范书写解题过程。 例题由单一负指数计算到混合运算、比较大小组题递进，训练运算顺序“先乘方，再乘除，最后加减”；发展运算能力与数感。
二、探究新知
（化简求值） 二、探究新知 例4　先化简，再求值： ·÷，其中 x 等于它的倒数。 解：原式＝··＝ 。 因为 x 等于它的倒数，所以 x＝1 或 x＝ 1。 当 x＝1 时，原式＝ ＝27； 当 x＝ 1 时，原式＝ ＝125。 师生活动：学生先独立化简，教师巡视并提示“除以一个数的负指数幂等于乘这个数本身”；求值前先确定 x 的两个取值，养成分类意识。 综合运用负整数指数幂与分式运算化简求值，体会“先化简、再求值”的优越性。 将负整数指数幂与分式化简求值结合，训练综合运算能力；“x 等于它的倒数”需分类讨论，培养学生严谨的思维品质。
三、当堂练习 三、当堂练习 1. 若式子 有意义，则 x 的取值范围是　　　　。A. x＞ 3　　B. x＜2 C. x≠ 3 或 x≠2　　D. x≠ 3 且 x≠2 答案：D。（零指数幂与负整数指数幂的底数都不能为 0，所以 x＋3≠0 且 3x 6≠0，即 x≠ 3 且 x≠2。） 2. 计算： (1) | 3|＋( 1)× 27＋； 解：原式＝3＋( 1)×1 3＋4＝3。 (2) ＋0.25×4。 解：原式＝2 1＋(0.25×4)＝2 1＋1＝2。 (3) ＋×3.14 ×0.3＋( 0.1)。 解：原式＝ 1 000＋900×3.14＋27×＋100＝ 1 000＋2 826＋90＋100＝2 016。 师生活动：限时完成，学生独立解答；教师巡视，对零指数幂、负整数指数幂的底数条件与符号处理集中讲评。 限时完成有意义条件的判断与整数指数幂的混合运算，巩固本课知识。 通过练习巩固零指数幂、负整数指数幂的运算法则，检验知识的理解中是否有遗漏，起到查漏补缺的作用；第(3)题数字较繁，训练学生的运算耐心与准确性。
四、课堂小结
布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 负整数指数幂的意义是什么？它的底数有什么限制？ 2. 引入负整数指数幂后，哪些运算性质被合并或扩展了？整数指数幂的运算性质有几条？ 3. 计算整数指数幂的混合运算时，运算顺序是什么？ 布置作业：完成教材 P162 习题 18.4 第 1、2、3 题；对应课时练习。 回顾“负整数指数幂的意义—运算性质扩展—混合运算”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，加深对负整数指数幂意义与运算性质的理解；作业促使学生巩固规范书写与准确运算。
板书设计
18.4　整数指数幂（第1课时） 一、负整数指数幂：（a≠0，n 是正整数） 二、整数指数幂的运算性质（m，n 为整数，a≠0） 同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方三条性质仍然适用 三、运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 学生板演区
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