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18.5 第1课时 分式方程的概念及解法 教学设计
课题 18.5　分式方程（第1课时：分式方程的概念及解法） 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课（概念课）
教学目标 1.理解分式方程的概念。 2.了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法；理解分式方程验根的必要性，掌握验根的方法。
教学重点 分式方程的解法。
教学难点 分式方程的解题步骤及验根。
教学方法 情境导入、合作探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成教材 P169 习题 18.5 第 1、2 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、新课导入 一、新课导入 复习：解方程： ＝＋1。 解：去分母，得 2(x＋1)＝3(2x 5)＋12；去括号，得 2x＋2＝6x 15＋12；移项、合并同类项，得 4x＝ 5；系数化为 1，得 x＝ 。 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 25 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km 所用时间与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为 v km/h，则轮船顺流航行的速度为 (25＋v) km/h，逆流航行的速度为 (25 v) km/h，顺流航行 90 km 所用的时间为 h，逆流航行 60 km 所用的时间为 h。根据“两次航行所用时间相等”，可列方程： ＝。 思考：(1) 这个方程与我们以前所学的整式方程有何不同？(2) 什么叫分式方程？(3) 如何解这个方程？怎样检验所求未知数的值是原方程的解？(4) 你能归纳出解分式方程的基本思路和方法吗？ 师生活动：学生分析题意，根据相等关系列出方程；教师引导学生观察方程的特征，发现其分母中含有未知数，与整式方程不同，从而引出本节课的研究对象。 解一元一次方程回顾去分母等步骤；分析轮船顺逆流问题，列出分母含未知数的方程。 以实际问题创设情境，让学生经历“实际问题→列方程”的过程，发展分析问题和解决问题的能力；由方程特征的观察引出分式方程的概念，自然导入新课。
二、探究新知
（分式方程的概念） 二、探究新知 知识点一　分式方程的概念 定义总结： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 辨析：在 x＝0，x＝1，x＝ 1 中，哪些是方程 ＝0 的解？ 解：(1) 当 x＝0 时，左边＝＝＝0，右边＝0，所以 x＝0 是方程的解；(2) 当 x＝1 时，分母 x 1＝0，式子无意义，所以 x＝1 不是方程的解；(3) 当 x＝ 1 时，左边＝＝＝0，所以 x＝ 1 是方程的解。 师生活动：学生独立判断并说明理由，教师引导学生抓住“使分母为零的值不是方程的解”这一关键，为学习验根做铺垫。 例题精析 例1　(1) 下列方程中，是分式方程的是 　　　　。 A. 3x＝6　　B. 1＝0　　C. 3x＝5　　D. 2＋3x＝ 2 答案：B。（A、C、D 的分母中都不含未知数，是整式方程；只有 B 的分母中含有未知数。） (2) 下列方程中，a、b 为已知数，x 为未知数： ①＋＝；②＋＝4；③＋＝x；④＋2＝；⑤＝0。 其中，是关于 x 的分式方程的是　　　　　　。 答案：②④⑤。（①的分母都是数字，是整式方程；②④⑤的分母中含有未知数 x，是分式方程；③的分母 a、b 是已知数而不是未知数，不是关于 x 的分式方程。） 师生活动：学生先独立判断，再小组交流，教师请学生代表说出每个方程分母的构成，强调分式方程的两个特征：一是方程，二是分母中含有未知数。 概括分式方程的定义；辨析“使分母为零的值不是方程的解”；从形式上判断一个方程是不是分式方程。 通过观察、对比归纳概念，锻炼抽象概括能力；借助辨析题抓住“分母中是否含未知数”这一本质特征，为后续学习解分式方程奠定基础；渗透“使分母为零的值无意义”的检验意识。
二、探究新知
（分式方程的解法） 二、探究新知 知识点二　分式方程的解法 探究：解方程 ＝。 解：方程两边同乘 (25＋v)(25 v)，得 90(25 v)＝60(25＋v)。 去括号，得 2250 90v＝1500＋60v。移项、合并同类项，得 150v＝750。解得 v＝5。 检验：当 v＝5 时，(25＋v)(25 v)＝30×20＝600≠0，所以 v＝5 是原分式方程的解。即江水的流速为 5 km/h。 归纳总结：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母。一般步骤：①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则它是原分式方程的解；否则它不是原分式方程的解。 师生活动：学生尝试用“去分母”的思路求解，教师巡视指导；师生共同归纳解分式方程的一般步骤，强调“一化、二解、三检验”。 例题精析 例2　解方程： ＝1。 解：方程两边同乘 x 2，得 3＝x 2。解得 x＝5。检验：当 x＝5 时，x 2＝3≠0，所以 x＝5 是原分式方程的解。 练一练：解下列方程： (1) ＝； 解：方程两边同乘 x(x 1)，得 9(x 1)＝8x。解得 x＝9。检验：当 x＝9 时，x(x 1)＝9×8≠0，所以 x＝9 是原分式方程的解。 (2) ＋2＝。 解：方程两边同乘 x 2，得 1＋2(x 2)＝x 1。解得 x＝2。检验：当 x＝2 时，x 2＝0，所以 x＝2 不是原分式方程的解，原分式方程无解。 教师强调：去分母时，方程两边同乘的是含未知数的整式，所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为 0，这样的解是增根，必须检验；练一练(2) 就是产生了增根，原方程无解。 师生活动：学生独立完成并板演，教师指导更正；结合练一练(2) 帮助学生理解分式方程验根的必要性。 经历“去分母→解整式方程→验根”的完整过程，概括解分式方程的一般步骤；体会增根的产生原因与验根的必要性。 由具体方程的求解归纳一般步骤，从特殊到一般，发展有条理的思考能力；通过增根实例让学生理解验根不是形式而是必要环节，养成规范书写检验过程的习惯。
二、探究新知
（增根与无解） 二、探究新知 知识点三　利用增根与“无解”解题 分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时使最简公分母的值为 0；分式方程无解，可能是整式方程无解，也可能是解为增根。 例3　(1) 若关于 x 的分式方程 ＝＋1 有增根，则 m＝　　　； 答案：3。（方程两边同乘 x 2，得 3x＝m＋3＋x 2，即 x＝；增根只能为 x＝2，所以 ＝2，解得 m＝3。） (2) 若关于 x 的分式方程 ＋＝ 无解，则 m 的值为　　　　　　。 答案： 1 或 或 5。（方程两边同乘 (x＋4)(x 4)，得 (x＋4)＋m(x 4)＝m＋3，即 (1＋m)x＝5m 1。①当 1＋m＝0，即 m＝ 1 时，方程为 0·x＝ 6，无解；②当 m≠ 1 时，x＝，若 x＝4 是增根，则 5m 1＝4(m＋1)，得 m＝5；若 x＝ 4 是增根，则 5m 1＝ 4(m＋1)，得 m＝ 。综上，m＝ 1 或 或 5。） 练一练：若关于 x 的方程 ＋＝ 无解，求 k 的值。 解：方程两边同乘 (x＋2)(x 2)，得 (x＋2)＋k(x 2)＝3，即 (1＋k)x＝1＋2k。当 1＋k＝0，即 k＝ 1 时，方程为 0·x＝3，无解；当 k≠ 1 时，x＝，若 x＝ 2 是增根，则 1＋2k＝ 2 2k，得 k＝ 。所以 k＝ 1 或 。 师生活动：学生先独立思考，小组讨论“无解”的两种可能情形，教师引导学生按“整式方程无解”与“解为增根”两类逐一对答，规范分类讨论的书写。 理解增根的含义，掌握由增根求参数的方法；分类讨论分式方程无解的两种情形。 含参问题综合性强，训练学生逆向思维与分类讨论意识；通过规范书写解题过程，培养学生严谨的思维品质，为后续学习打下基础。
三、当堂练习 三、当堂练习 1. 当 x＝　　　　 时，式子 的值为 1。 答案：2。（ ＝，令其等于 1，得 x 1＝1，解得 x＝2。） 2. 解方程： ＝ 2。 解：方程两边同乘 2x 2，得 2x＝3 2(2x 2)。解得 x＝。检验：当 x＝ 时，2x 2≠0，所以 x＝ 是原分式方程的解。 3.（拓展）规定：把四个数 a、b、c、d 排成两行两列（第一行 a、b，第二行 c、d），并在左、右两边各画一条竖线，所得符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为：第一行第一个数与第二行第二个数的积，减去第一行第二个数与第二行第一个数的积，即运算结果＝ad bc。请根据上述规定，求出等式“第一行 2、1，第二行 、”的值为 1 中 x 的值。 解：由题意，得 2× 1×＝1，即 ＋＝1，所以 ＝1，解得 x＝4。检验：当 x＝4 时，x 1＝3≠0，所以 x＝4 是原方程的解，即 x 的值为 4。 4.（拓展·选做）如果关于 x 的方程 1＋ ＝ 的解也是不等式组 ＞x 3，2(x 3)＞x 9 的一个解，求 m 的取值范围。 解：解不等式①，得 x＜5；解不等式②，得 x＞ 3，所以 3＜x＜5。解分式方程，得 x＝ m 2。因为 x≠±2，所以 m≠ 4 且 m≠0。由 3＜ m 2＜5，解得 7＜m＜1。所以 m 的取值范围为 7＜m＜1，且 m≠ 4 且 m≠0。 师生活动：限时完成，学生独立解答；教师巡视，对出现的错误及时更正，请先完成的小组代表上台板书第 2、3 题。 限时完成填空、解方程与拓展题，巩固分式方程的概念与解法，发展应用意识与分类讨论能力。 通过练习题将分式方程的知识与实际结合，检验知识的理解中是否有遗漏，起到查漏补缺的作用；拓展题训练新定义阅读能力与方程、不等式的综合运用。
四、课堂小结
布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 分式方程的概念是什么？它与整式方程的区别在哪里？ 2. 解分式方程的一般步骤是什么？为什么要验根？怎样验根？ 3. 什么是增根？分式方程无解有哪几种可能情形？ 布置作业：完成教材 P169 习题 18.5 第 1、2 题；对应课时练习。 回顾“概念—解法—验根”的知识主线；课后独立完成习题并检验结果。 梳理本课知识框架，加深对分式方程概念与解法的理解；作业促使学生巩固去分母、验根等关键步骤的规范书写。
板书设计
18.5　分式方程（第1课时：分式方程的概念及解法） 一、分式方程：分母中含有未知数的方程 （区别：整式方程的分母中不含有未知数） 二、解分式方程的一般步骤 ①去分母（两边同乘最简公分母，化为整式方程） ②解这个整式方程　　③验根 三、验根：代入最简公分母 值不为 0 → 是原方程的解；值为 0 → 是增根，原方程无解 学生板演区
教学反思

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