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18.5 第2课时 分式方程的实际应用 教学设计
课题 18.5　分式方程（第2课时：分式方程的实际应用） 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第2课时 课型 新授课（应用课）
教学目标 1.会分析题意，找到等量关系。 2.掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤，体会分式方程的数学模型对解决实际问题的重要作用。
教学重点 利用分式方程解决实际问题。
教学难点 列分式方程表示实际问题中的等量关系。
教学方法 情境探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成教材 P169 习题 18.5 第 3、4、5、6 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 一、复习导入 1. 解下列方程： (1) 1 ＝；(2) ＝。 解：(1) 方程两边同乘 2(x＋1)，得 2(x＋1) (x 3)＝6x。解得 x＝1。检验：当 x＝1 时，2(x＋1)＝4≠0，所以 x＝1 是原分式方程的解；(2) 方程两边同乘 (x＋1)(x 1)，得 2(x＋1)＝4。解得 x＝1。检验：当 x＝1 时，x 1＝0，所以 x＝1 是增根，原分式方程无解。 2. 填一填：工程问题中，工作总量＝　　　　×　　　　；各个工作者的工作量之和为 1。 一件工作，甲单独做需要 3 h 完成，乙单独做需要 4 h 完成，则甲的工作效率为 一件工作，甲单独做需要 3 h 完成，乙单独做需要 4 h 完成，则甲的工作效率为 　　　，乙的工作效率为 　　　，甲乙合作 　　　　 h 完成。 答案：工作效率×工作时间；，，1÷＝1÷＝（h）。 师生活动：学生口答解方程并说明检验方法，回顾“审、设、列、解、答”的列方程解应用题步骤；教师结合填空引导学生归纳工程问题的基本等量关系。 解分式方程并规范检验；回顾列方程解应用题的步骤，掌握工程问题中工作效率的表示方法。 通过复习分式方程的解法与检验扫清运算障碍，通过工程问题填空激活“工作效率＝工作总量÷工作时间”的经验，为本节课列分式方程解应用题做好知识和方法上的铺垫。
二、探究新知
（情境与七步法） 二、探究新知 情境问题：乡村振兴，交通先行。某村准备修一条 5 400 m 长的道路，在修建 600 m 后，由于采用新的技术，现在每天修建道路的长度是原来的 2 倍，这条道路 15 天修建完成。求原来每天修建道路多少米。 (1) 工程问题最基本的等量关系式是：工作时间＝工作总量÷工作效率； (2) 本题的等量关系式是：原来的修路时间＋现在的修路时间＝15； (3) 设用原来的技术每天修建道路 x m，因为用原来的技术共修了 600 m 的道路，则原来的技术所用的时间＝　　　　； (4) 采用新技术后，现在每天修建道路的长度是原来的 2 倍，则现在的技术所用的时间＝　　　　； (5) 列出的方程为：　　　　　　　　　　。 答案：(3) ；(4) ；(5) ＋＝15。 解：方程化为 ＋＝15，即 ＝15。解得 x＝200。检验：当 x＝200 时，x≠0，且符合题意，所以 x＝200 是原分式方程的解。答：原来每天修建道路 200 m。 归纳总结：列分式方程解应用题的一般步骤： (1) 审：审清题意；(2) 找：找出等量关系；(3) 设：设未知数，一般设所求的量；(4) 列：列分式方程；(5) 解：解分式方程；(6) 验：先检验求出的解是否是原方程的解，再检验解是否符合题意；(7) 答：写出答案。 师生活动：学生按问题串逐步分析、填空，教师引导完整表达；师生共同归纳“审、找、设、列、解、验、答”七步，特别强调双检验。 经历“审—找—设—列—解—验—答”的完整过程，归纳列分式方程解应用题的一般步骤，理解双检验的含义。 以乡村振兴修路为情境，感受数学与现实生活的联系；由问题串降低思维坡度，让学生完整经历建模过程，归纳七步法，发展模型观念与应用意识。
二、探究新知
（例题精析） 二、探究新知 例题精析 例1　某工厂计划加工一批零件 240 个，实际每天加工零件的个数是原计划的 1.5 倍，结果比原计划少用 2 天。设原计划每天加工零件 x 个，可列出怎样的方程？并求出原计划每天加工零件的个数。 解：原计划加工 240 个需要 天，实际每天加工 1.5x 个，需要 天。根据题意，得 ＝＋2。 方程两边同乘 1.5x，得 360＝240＋3x。解得 x＝40。检验：当 x＝40 时，1.5x＝60≠0，且符合题意。答：原计划每天加工零件 40 个。 例2　一项工程，需要在规定日期内完成。如果甲队独做，恰好如期完成；如果乙队独做，就要超过规定 3 天。现在由甲、乙两队合作 2 天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？ 解：设规定日期是 x 天，则甲队独做需 x 天，乙队独做需 (x＋3) 天。根据题意，得 ＋＝1。 方程两边同乘 x(x＋3)，得 2(x＋3)＋＝x(x＋3)。化简，得 2x＋6＝3x。解得 x＝6。检验：当 x＝6 时，x(x＋3)＝54≠0，且符合题意。答：规定日期是 6 天。 例3　市政府计划对城区某道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成。已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队改造 480 m 的道路比乙队改造同样长的道路少用 2 天。 ①求乙工程队每天能改造道路的长度； ②若甲队工作一天的改造费用为 8 万元，乙队工作一天的改造费用为 6 万元，如需改造的道路全长为 8 000 m，如果安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造，求改造该段道路所需的总费用。 解：①设乙工程队每天能改造道路的长度为 x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为 1.5x m。根据题意，得 ＝2。 即 ＝2。解得 x＝80。检验：当 x＝80 时，x≠0，且符合题意。答：乙工程队每天能改造道路的长度为 80 m。 ②设安排甲、乙两个工程队同时开工需要 m 天完成。根据题意，得 80×1.5m＋80m＝8 000。解得 m＝40。则 40×8＋40×6＝560（万元）。答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为 560 万元。 师生活动：学生先独立列方程，小组交流等量关系，请学生代表上台板演；教师对“工作效率的倍数关系”“设间接未知数”等要点予以点评，规范“答”的书写。 依据工程与费用问题中的等量关系列分式方程并求解，规范书写解题过程。 例题由“列方程”到“完整解答”层层递进，兼顾工作总量、工作效率、时间三个量的转化；两问综合题训练学生用方程模型解决多步实际问题，发展运算能力与应用意识。
二、探究新知
（行程问题） 二、探究新知 例4　甲、乙两座城市的中心火车站 A、B 两站相距 360 km，有一动车和特快列车分别从 A、B 同时出发，相向而行。动车的平均速度比特快列车快 54 km/h，当动车到达 B 站时，特快列车恰好到达距离 A 站 135 km 处的 C 站。求动车和特快列车的平均速度各是多少。 解：设特快列车的平均速度是 x km/h，则动车的平均速度是 (x＋54) km/h。动车到达 B 站用时 h，特快列车行驶 (360 135) km 用时 h。根据两车行驶时间相等，得 ＝。 解得 x＝90。检验：当 x＝90 时，x≠0，且符合题意。则 x＋54＝144。答：特快列车的平均速度是 90 km/h，动车的平均速度是 144 km/h。 师生活动：学生画线段图辅助分析“动车行驶 360 km 与特快行驶 225 km 时间相等”这一等量关系，独立完成后同桌互查，教师点评设元与检验的规范。 分析相向而行问题中“时间相等”的等量关系，列分式方程求两车速度。 以动车出行贴近生活实际，训练学生把文字信息转化为数学表达；画线段图培养几何直观，进一步巩固行程问题中列分式方程的建模方法。
三、当堂练习 三、当堂练习 1. 从甲地到乙地有一条全长为 720 km 的普通公路和全长为 600 km 的高速公路。一辆小车在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度快 40 km/h，若该车从甲地到乙地走高速公路所用的时间是走普通公路所用时间的一半，求小车在高速公路上的平均速度。 解：设小车在普通公路上的平均速度为 x km/h，则在高速公路上的平均速度为 (x＋40) km/h。根据题意，得 ×2＝。 解得 x＝60。检验：当 x＝60 时，x≠0，且符合题意。则 x＋40＝100。答：小车在高速公路上的平均速度是 100 km/h。 2. 甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作。甲队单独工作 2 天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了 1 天，总量全部完成。那么乙队单独完成总量需要 　　　　。A. 6 天　　B. 4 天　　C. 3 天　　D. 2 天 答案：D。（甲队的工作效率为 ÷2＝；两队合作 1 天完成总量的 ，则乙队的工作效率为 ＝，所以乙队单独完成总量需要 2 天。） 3. 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 100 km 所用时间与以最大航速逆流航行 80 km 所用的时间相等。设江水的流速为 v km/h，则可列方程为 　　　　。 A. ＝　　B. ＝ C. ＝　　D. ＝ 答案：C。（顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度 水流速度，顺流时间＝逆流时间。） 4. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道。铺设 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20%，结果共用 30 天完成这一任务。求原计划每天铺设管道的长度。 解：设原计划每天铺设管道 x m。由题意，得 ＋＝30。 即 ＝30。解得 x＝9。检验：当 x＝9 时，x≠0，且符合题意。答：原计划每天铺设管道 9 m。 5.（拓展）马小虎的家距离学校 1 800 m。一天马小虎从家去上学，出发 10 min 后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校 200 m 的地方追上了他。已知爸爸的速度是马小虎速度的 2 倍，求马小虎的速度。 解：设马小虎的速度为 x m/min，则爸爸的速度为 2x m/min。追上时马小虎走了 1 800 200＝1 600（m），用时 min；爸爸出发到追上用时 10（min），所行路程为 2 m，也应等于 1 600 m。得 2x＝1 600，即 3 200 20x＝1 600。解得 x＝80。检验：当 x＝80 时，x≠0，且符合题意。答：马小虎的速度为 80 m/min。 6.（拓展·选做）为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动。全校学生从学校同时出发，步行 4 000 m 到达烈士纪念馆。学校要求八(1)班提前到达目的地，做好活动的准备工作。行走过程中，八(1)班步行的平均速度是其他班的 1.25 倍，结果比其他班提前 10 min 到达。分别求八(1)班和其他班步行的平均速度。 解：设其他班步行的平均速度为 x m/min，则八(1)班步行的平均速度为 1.25x m/min。根据题意，得 ＝10，即 ＝10，＝10。解得 x＝80。检验：当 x＝80 时，x≠0，且符合题意。则 1.25x＝100。答：八(1)班步行的平均速度是 100 m/min，其他班步行的平均速度是 80 m/min。 师生活动：限时完成，学生独立解答；教师巡视指导，请学生代表板演第 1、4 题，其余同桌互批；对拓展题进行讲评，强调“追及时间与路程”的对应关系。 限时完成行程、工程两类应用题，巩固列分式方程解应用题的七步法，发展应用意识。 通过练习题将分式方程的知识与交通、环保、生活实际结合，感悟数学模型的实用价值；拓展题训练逆推与设元技巧，起到分层提高、查漏补缺的作用。
四、课堂小结
布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 列分式方程解应用题的一般步骤是什么？与列整式方程解应用题有什么异同？ 2. 解出分式方程后要注意什么？“双检验”分别检验什么？ 3. 工程问题、行程问题中常用的等量关系有哪些？ 布置作业：完成教材 P169 习题 18.5 第 3、4、5、6 题；对应课时练习。 回顾“七步法”与“双检验”的知识主线；课后独立完成习题并检验结果。 梳理本课知识框架，加深对分式方程应用建模过程的理解；作业促使学生巩固找等量关系、设元与双检验的规范书写。
板书设计
18.5　分式方程（第2课时：分式方程的实际应用） 一、列分式方程解应用题的一般步骤 审 → 找 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 二、双检验 ①是否为原方程的解（最简公分母≠0）；②是否符合题意 三、常用等量关系 工程：工作总量＝工作效率×工作时间；合作效率＝各队效率之和 行程：路程＝速度×时间（顺流速度＝静水速度＋水流速度） 学生板演区
教学反思

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