资源简介

13.2.1　三角形的边　教学设计
课题 13.2　与三角形有关的线段·13.2.1　三角形的边 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 13.2.1 三角形的边 课型 新授课
教学目标 1. 理解三角形两边之和大于第三边与两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质解决问题； 2. 会用数学语言描述三角形的三边关系； 3. 了解三角形的稳定性及其在生活中的应用。
教学重点 三角形的三边关系。
教学难点 三角形的三边关系的应用。
教学方法 讲授法、探究法、合作学习 教学准备 多媒体课件、三角形木架、吸管
课后练习 教材P9习题13.2第1、2、5、6题 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
导入新课 1. 情景导入 在我们的生活中几乎随处可见三角形，它简单有用。如：人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，为什么要构成三角形形状呢？三角形有什么特殊的性质，又有哪些特殊线段呢？ 【点拨】从人字型屋顶钢架、风筝骨架等生活实例抽象出三角形，体会三角形在生活中无处不在，为研究三角形的边与三边关系作准备。 2. 复习导入 3. 三角形的分类方法有哪些？ （1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； （2）三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 【点拨】复习三角形的相关概念，为学习与三角形有关的线段作铺垫。 观察人字型屋顶钢架、风筝骨架并抽象出三角形，填写边、顶点、内角、记法等定义，回顾三角形分类。 从生活图形与旧知回顾两个角度导入，帮助学生建立三角形的知识框架，为探究三边关系作铺垫。
二、探究新知
活动1、2、3 活动1：新课导入 1. 如何表示三角形？ 2. 三角形的边可以怎么表示？ 3. 三角形的分类： （1）三角形按角分类：三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）； （2）三角形按边分类：三角形（不等边三角形、等腰三角形）。 活动2：探究新知 1. 教材P5探究。 提出问题： （1）从点B出发沿三角形的边到点C有几条线路可以选择？ （2）哪条线路最短？ （3）在一个三角形中，任意两边之和与第三边有着怎样的关系？ （4）在一个三角形中，任意两边之差与第三边有着怎样的关系？ 学生完成并交流展示。 【归纳】三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边。 2. 教材P5思考。 三角形的三边关系可以用来判断三条线段能否组成三角形，但是计算三遍的话太麻烦了，我们可以用以下两种方法进行判断： ①看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形； ②看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三边，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形。 3. 教材P6探究。 提出问题： （1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？ （2）三角形具有什么特点？ （3）三角形的稳定性在生活中有哪些应用？ 学生完成并交流展示。 【点拨】三角形的三边关系既是判定三条线段能否组成三角形的依据，也是三角形稳定性的几何根源——边长确定后三角形形状唯一确定，故三角形具有稳定性。 活动3：知识归纳 1. 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 2. 如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形。 3. 三角形是具有稳定性的图形。 回顾三角形表示与分类；通过教材P5探究比较线路长短归纳三边关系，学习两种判断方法；扭动三角形木架感受稳定性，归纳三边关系、组成条件与稳定性。 以实际问题引发思考，在“观察—比较—归纳”中得出三边关系，总结判断方法与稳定性，突破重难点。
三、例题与练习 命题角度1　利用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形 判断三条线段能否构成三角形的方法：若两条较短的线段长之和大于最长的线段，能组成三角形；反之，则不能。 例1（备课素材）：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A.2，2，4　B.5，6，12　C.5，7，2　D.6，8，10 答案：D（A中2＋2＝4，不满足“两边之和大于第三边”；B中5＋6＜12；C中5＋2＝7；D中6＋8＞10，且其余两边之和均大于第三边，能组成三角形。） 答案：4（第三边长x满足6－3＜x＜6＋3，即3＜x＜9，故4、5、6、7、8均可。） 命题角度2　三角形三边关系的综合运用 1. 涉及等腰三角形边的问题时，常需要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去。 2. 求第三边长的取值范围：已知两边长之差（长边－短边）＜第三边长＜已知两边长之和。 例3（备课素材）：若等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为（　　） A.17　B.15　C.13　D.13或17 答案：B（分两种情况：若腰长为3，则3＋3＝6，不能组成三角形，舍去；若腰长为6，则周长为6＋6＋3＝15。） 答案：3＜x≤14（最长边为x，由(x－1)＋(x－2)＞x得x＞3；周长x＋(x－1)＋(x－2)＝3x－3≤39，得x≤14。） 命题角度3　三角形三边关系与绝对值的综合 根据三角形的三边关系判断绝对值式子里面的正负，然后进行化简。 例5（备课素材）：已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（　　） A.2a＋2b－2c　B.2a＋2b　C.2c　D.0 答案：D（a＋b＞c，故a＋b－c＞0，|a＋b－c|＝a＋b－c；c－a－b＝c－(a＋b)＜0，故|c－a－b|＝a＋b－c；原式＝(a＋b－c)－(a＋b－c)＝0。） 答案：3c＋a－b（a－b－c＜0，|a－b－c|＝b＋c－a；b－c－a＜0，|b－c－a|＝c＋a－b；c＋a－b＞0，|c＋a－b|＝c＋a－b；三项相加得b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b。） 命题角度4　利用三角形的稳定性解决生活中的应用问题 三角形的稳定性是三角形特有的性质。 例7（备课素材）：下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A.共边双三角形　B.屋架式（下部为四边形）　C.含四边形区域结构　D.中心辐射结构 答案：B（含有四边形结构（如矩形）的图形不具有稳定性；三角形结构的图形具有稳定性。） 答案：稳定性（在椅子两侧钉加固木条，使相关部分构成三角形，利用三角形的稳定性使椅子更加稳固。） 高效课堂例题 例1（高效课堂）：已知在等腰三角形中，一边的长为9 cm，另一边的长为4 cm。 小伟：“这个三角形的周长为17 cm。” 小宇：“你说的不对，这个三角形的周长为22 cm。” 同学们，你认为谁说的对呢？说说你的理由。 解：小宇说的对。∵当腰长为4 cm时，4＋4＜9，不能组成三角形，∴该等腰三角形的腰长为9 cm，周长为9＋9＋4＝22（cm）。 【讲评要点】等腰三角形问题须分腰、底两种情况讨论，先由三边关系检验是否构成三角形，再求周长。 例2（高效课堂）：教材P6例。 按教材例用三角形三边关系判断给定线段能否组成三角形，规范解题格式。 例3（高效课堂）：已知：如图，点D是△ABC内一点。求证：AB＋AC＞BD＋CD。 证明：延长BD交AC于E。 在△ABE中，AB＋AE＞BE；在△EDC中，ED＋EC＞CD。∴AB＋AE＋ED＋EC＞BE＋CD。∵AE＋EC＝AC，BE＝BD＋DE，∴AB＋AC＋ED＞BD＋DE＋CD。∴AB＋AC＞BD＋CD。 【讲评要点】运用“三角形两边之和大于第三边”时，需要把不在同一三角形中的边转化到同一三角形中——通过作辅助线构造三角形，两次应用三边关系完成证明。 练习 1. 教材P7练习第1，2题。 2. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　） A.屋架　B.自行车架　C.拉闸门　D.禁止通行标志 答案：C（拉闸门利用菱形结构可伸缩变形，不是运用三角形的稳定性；屋架、自行车架均利用了三角形的稳定性。） 答案：17（3＋3＜7，腰长只能为7，周长7＋7＋3＝17）；10或11（腰长为3时周长3＋3＋4＝10；腰长为4时周长3＋4＋4＝11，均满足三边关系）。 4. 已知△ABC的两边AB＝2 cm，AC＝9 cm。 （1）求第三边BC的长的取值范围； （2）若第三边BC的长是偶数，求BC的长； （3）若△ABC是等腰三角形，求其周长。 解：（1）由三角形三边关系得9－2＜BC＜9＋2，即7 cm＜BC＜11 cm； （2）BC的长是8 cm或10 cm； （3）∵△ABC是等腰三角形，7 cm＜BC＜11 cm，∴BC＝9 cm。∴△ABC的周长为2＋9＋9＝20（cm）。 【点拨】求第三边取值范围用“两边之差＜第三边＜两边之和”；等腰三角形分类后还需用三边关系检验。 用“较短两边之和大于最长边”判断能否构成三角形，讨论等腰三角形分类，化简含绝对值的式子，辨析稳定性，完成高效课堂例1~例3与练习。 通过四个命题角度的例题与练习，落实三边关系的判断、综合运用、绝对值化简与稳定性应用，突破难点。
四、课堂小结 1. 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 2. 三条线段能组成三角形的条件：任意两条线段的和大于第三条线段。 3. 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，其几何根源是边长确定后形状唯一。 回顾三角形的三边关系、三条线段组成三角形的条件与三角形的稳定性。 系统整理本节知识要点，帮助学生形成完整认知，为后续学习三角形的内角与重要线段作铺垫。
五、布置作业 1. 作业布置 （1）教材P9习题13.2第1，2，5，6题； （2）对应课时练习。 记录作业内容。 通过课本习题与课时练习巩固三边关系与稳定性，检验课堂学习效果。
板书设计
13.2.1　三角形的边 一、三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 二、判定三条线段能否组成三角形 较短两线段之和＞最长线段 最长线段－最短线段＜第三边 三、三角形的稳定性 边长确定→形状唯一→具有稳定性 例题板演　例1～例8 学生板演区
教学反思
本节课从学生熟悉的生活情境（人字型屋顶钢架、风筝骨架）入手，通过抽象图形引入三角形，激发学习兴趣；再以复习导入回顾三角形的边、顶点、内角等概念，为探究三边关系作铺垫。 在探究环节，引导学生从“从点B出发沿三角形的边到点C的路线”这一实际问题出发，通过比较线路长短归纳出三角形两边之和大于第三边，再由三边关系推出两边之差小于第三边，并总结判断三条线段能否组成三角形的简便方法。例题与练习围绕三边关系的直接应用、等腰三角形分类讨论、三边关系与绝对值的综合、三角形的稳定性等命题角度展开，帮助学生灵活运用所学知识。 教学中应注重让学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的过程，体会分类讨论思想与转化思想；同时结合三角形的稳定性在生活中的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系。

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