资源简介

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高　教学设计
课题 13.2　与三角形有关的线段·13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 学科 数学
年级 八年级 教材版本 人教版（2024）
课时 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课型 新授课
教学目标 1. 掌握三角形的中线、角平分线、高的性质，并会运用这些性质解决问题； 2. 准确画出三角形的中线、角平分线、高； 3. 理解三角形的中线、角平分线、高分别是线段、射线、直线中的哪一种，体会它们与相关概念的区别与联系。
教学重点 三角形的中线、角平分线、高的性质。
教学难点 三角形的中线、角平分线、高的应用。
教学方法 讲授法、探究法、动手操作、合作学习 教学准备 多媒体课件、三角板、折纸三角形
课后练习 教材P9习题13.2第3、4、7题 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
导入新课 1. 类比导入 如图，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD，AE，…）中，有没有特殊位置的线段？ （1）在这些线段中，线段AD经过边BC的中点； （2）线段AE平分∠BAC； （3）线段AF垂直于边BC。 同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的中线、角平分线和高。这三条线段是三角形的重要线段。 【点拨】从“一般线段”中找出“特殊位置线段”，体会从一般到特殊的转化思想，自然引出三角形的重要线段。 2. 复习导入 1. 过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？ 2. 已知在△ABC中，BC＝5 cm，高AD＝4 cm，求△ABC的面积。 3. 请自学三角形的中线、角平分线、高的概念，你能将它们画出来吗？ 学生自主学习课本的内容，画一画，弄清下面的问题： （1）什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？三条中线的位置有什么关系？ （2）什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？三条角平分线的位置有什么关系？ （3）什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？三角形的三条高所在直线的位置有什么关系？ （4）三角形的中线、角平分线和高分别是线段、射线、直线中的哪一种？ 【点拨】通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的中线、角平分线、高的画法；让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的学习。 观察线段端点沿BC边移动的动态过程，找出经过中点、平分角、垂直于边的特殊线段；自学三角形重要线段的概念并画一画，回答四个问题。 以动态类比导入引出三角形的重要线段，通过自学与画图初步理解中线、角平分线、高的概念。
二、探究新知
活动1、2、3 活动1：新课导入 问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来。 答：图中共有5个三角形，分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE。 问题2：利用长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？ 答：可以组成3个三角形。从四条线段中任选三条，共有四种选法：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③2 cm，3 cm，5 cm；④2 cm，4 cm，5 cm。其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组。 活动2：探究新知 1. 给出一个△ABC，请你作出该三角形的中线。 提出问题： （1）如何作一个三角形的中线？ （2）一个三角形有几条中线？ （3）分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？ 学生完成并交流展示。 2. 给出一个△ABC，请你作出该三角形的角平分线。 提出问题： （1）如何作一个三角形的角平分线？ （2）一个三角形有几条角平分线？ （3）三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？ （4）不同的三角形，它们的角平分线有何特点？ 学生完成并交流展示。 3. 给出一个△ABC，请你作出该三角形的高。 提出问题： （1）如何作三角形的高？ （2）一个三角形有几条高？ （3）能用折纸的方法折出你准备好的三角形的高吗？ （4）通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？ 学生完成并交流展示。 【点拨】三角形的中线、角平分线、高都是线段；三角形有三条中线（交于重心）、三条角平分线、三条高（锐角三角形的高在内部，直角三角形两直角边为高，钝角三角形两条高在外部）。 活动3：知识归纳 数三角形并用符号表示，用三边关系判断四条线段组成三角形的选法；动手作出三角形的中线、角平分线、高，讨论位置关系，归纳三个定义。 通过数形结合的探究与动手作图，理解三角形三条重要线段的定义与性质，突破重难点。
三、例题与练习 命题角度1　利用三角形的中线解决倍数问题 利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题，也可以解决面积的相等或倍数关系问题。 答案：5（设腰长为x cm，底边长为y cm。若x＋＝12，则＋y＝21，解得x＝8，y＝17，此时8＋8＜17，不能构成三角形，舍去；若x＋＝21，则＋y＝12，解得x＝14，y＝5，满足三边关系。所以底边长为5 cm。） 答案：2（D是BC的中点，S△ABD＝S△ABC＝4；E是AD的中点，S△ABE＝S△BDE＝S△ABD＝2，阴影部分面积即S△ABE＝2。） 命题角度2　利用三角形的高解决三角形面积问题 当已知三角形的两条高及其中一条高对应的边长，求另一条高对应的边长或已知两边及其中一边对应的高，求另一边对应的高时，常用面积作为中间量。 答案：AB；CD；AB；10；5（S△AEC＝×AE×CD＝×5×4＝10；又S△AEC＝×EC×AB＝×EC×4＝10，得CE＝5。） 命题角度3　三角形的中线、角平分线、高的综合应用 （1）关于角度的计算，如果有三角形的高这一条件时，要利用90°的角；见到角平分线这一条件时，要利用角相等； （2）关于线段、周长或面积比值的问题，要利用线段的中线或高线； （3）要利用方程思想、分类思想。 答案：（S△ADC＝×AC×DE＝×5×2＝5；AD是中线，S△ABD＝S△ADC＝5；设点D到AB的距离为h，则×AB×h＝×3×h＝5，h＝。） 例5（备课素材）：如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，∠BAC＝90°。 （1）求AD的长； （2）求△ABE的面积； （3）求△ACE和△ABE的周长的差。 解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，∴AB·AC＝BC·AD（等面积法），∴AD＝＝＝＝2.4（cm）。 （2）∵AE是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ABC＝××3×4＝3（cm ）。 （3）∵AE为斜边BC的中线，∴BE＝CE。∴△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1（cm）。 【讲评要点】等面积法是已知两条高及一条对应边求另一条高的通用方法；中线将三角形分成面积相等的两部分，是面积计算的常用突破口。 高效课堂例题 例1（高效课堂）：下列说法正确的是（　　） ①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线。 A.③④　B.③　C.②③　D.①④ 答案：B（①角平分线应为线段；②高也是线段；④中线是线段不是直线；③正确，故选B。） 例2（高效课堂）：如图，已知△ABC，根据要求画图。 （1）画BC边上的高； （2）画∠ACB的平分线； （3）将△ABC分成面积相等的两部分。 解：如图。（1）线段AD即为所求； （2）CE即为∠ACB的平分线； （3）中线BF将△ABC分成面积相等的两部分（答案不唯一）。 【讲评要点】画三角形的高要过顶点向对边所在直线作垂线（必要时延长对边）；三角形的中线平分面积是画“面积相等两部分”的常用方法。 练习 1. 教材P8～9练习第1，2题。 2. 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空： （1）BE＝CE＝BC（用符号表示）；（2）∠BAD＝∠DAC＝∠BAC（用符号表示）；（3）∠AFB＝∠AFC＝90°；（4）S△AEC＝3。 答案：（1）CE；BC（E为BC中点）；（2）∠DAC；∠BAC（AD平分∠BAC）；（3）∠AFC（AF⊥BC）；（4）S△AEC＝×CE×AF＝×2×3＝3。 3. 如图，已知△ABC。 （1）画出△ABC的∠ABC的平分线，交AC边于点D，并指出相等的角； （2）画出△ABC的AC边上的中线BE，并指出相等的线段； （3）画出△ABC的BC边上的高AF，并指出图中所有的直角三角形。 解：（1）如图，BD是△ABC的∠ABC的平分线，∠ABD＝∠CBD； （2）如图，BE是△ABC的AC边上的中线，AE＝CE； （3）如图，线段AF为△ABC的BC边上的高。图中的直角三角形有△AFB和△AFC。 【点拨】角平分线、中线、高都是“从顶点出发”的线段，作图时先确定顶点与对边，再按定义作图。 利用中线解决周长分割、面积倍数问题，用等面积法求高，综合运用三条重要线段解题，完成高效课堂例1、例2与练习2、3的画图填空。 通过三个命题角度的例题与练习，落实中线、角平分线、高的性质及应用，突破难点。
四、课堂小结 1. 三角形的中线、角平分线、高的性质。 2. 三角形的中线、角平分线、高的综合应用。 中线平分对边、平分面积；角平分线平分内角；高垂直于对边所在直线，是求面积的必需元素。 回顾三角形的中线、角平分线、高的定义、性质与画法，复述综合应用要点。 系统整理本节知识要点，帮助学生形成完整认知，为后续学习三角形内角与外角作铺垫。
五、布置作业 1. 作业布置 （1）教材P9习题13.2第3，4，7题； （2）对应课时练习。 记录作业内容。 通过课本习题与课时练习巩固三角形重要线段的性质与应用，检验课堂学习效果。
板书设计
13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 一、三角形的中线 连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于重心 平分对边、平分面积 二、三角形的角平分线 内角平分线与对边交点的线段；三条角平分线交于一点 三、三角形的高 顶点向对边所在直线作垂线；锐角在内部、直角在直角边、钝角在外部 例题板演　例1～例5 学生板演区
教学反思
本节课从“线段端点由B沿BC边移动到C”的动态类比导入出发，让学生在观察无数条线段中找出具有特殊位置的线段——经过中点的中线、平分角的角平分线、垂直于边的垂线，自然引出三角形的重要线段，渗透从一般到特殊的转化思想。 在探究环节，放手让学生自学中线、角平分线、高的概念并动手画一画，通过画图体会三条中线、三条角平分线、三条高所在直线的位置关系，辨析中线与中点的连线、角平分线与平分角的射线、高与垂线的区别与联系。例题围绕中线解决倍数问题、高解决面积问题及三者综合应用展开，帮助学生熟练运用这些重要线段解决问题。 教学中应注重学生动手操作与表达交流，通过画图理解概念本质，体会方程思想、分类思想在几何计算中的应用。

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