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分课时教学设计
第7课时《5.3.2二次函数的应用(2) 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系；体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值；能够运用二次函数的知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力.
学习者分析 几何图形中的有关面积最大值的问题,关键是根据图形的特点,综合运用所学知识,如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等来寻求等量关系,从而构造出二次函数,再利用二次函数的性质即可求解.
教学目标 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学重点 经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 情境引入 (1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ 想一想：如何求出二次函数 y = ax2+bx+c的最小（大）值？ 由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当x= 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值y= 当自变量的取值范围是全体实数时， (1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值； a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 环节二：新知探究 例1 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40 m，AE=30 m， (1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,列出y关于x的函数关系式，写出x的取值范围。（多媒体呈现） （3）当x取何值时,y有最大值 最大值是多少？ 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：（1）由题意，得DC=AB=x m，DC∥AB，， ∴AD=AE－DE=AE－DCtan F=m。 （2）由题意，得y=x(30－x）(0＜x＜40）。 （3）y=x(30－x）=－x2+30x=－（x－20）2+300， 所以，当x=20时，y最大=300。 教师：如果将矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 学生：由勾股定理，得大直角三角形的斜边为50 m，斜边上的高24 m。 设矩形的一边AD = x m，另一边AB = a m，则，得。 所以，矩形的面积为： 。 因此，当x = 25时，。 教师：综上，如果我们要求一个矩形的最大面积，我们的解题思路是什么？ 学生：设未知数x表示矩形的一边长——用含未知数x的代数式表示另一边长，并求出自变量x的取值范围——列出面积y与未知数x之间的二次函数表达式——在取值范围内求出二次函数的最值。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 学生自主解答，教师适时的进行提示 小组交流，引导学生从 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，探究利用二次函数解决矩形面积最值问题的一般思路。 环节三：典例精析 例2 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少 (结果精确到0.01m2) 师生活动：教师出示问题，学生思考交流回答。 学生：∵7x+4y+πx=15， ∴。 ∵0板书设计 课题 例题 小结
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，小明的父亲想用长为60 m 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m ，则可围成的菜园的最大面积是( ) A.420 m2 B.450 m2 C.480 m2 D.500 m2 选做题： 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，设EB＝BF＝GD＝DH＝x，则四边形EFGH的最大面积为____。 【综合拓展类作业】 3. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？
课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 经历探究几何图形最大面积问题，会将最大面积问题转化为函数最值问题； 经历探究抛物线型问题的过程，能够建立合适的坐标系，将抛物线型问题转化为确定函数表达式以及求横、纵坐标问题。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.一个矩形的周长为64 cm ，则这个矩形的面积不可能是( ) A.220 cm2 B.240 cm2 C.256 cm2 D.320 cm2 选做题： 2. 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，矩形的面积为y m2，y关于x的函数关系式为 【综合拓展类作业】 3. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2. （1）写出 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；（2）当 AB， BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大 最大面积是多少 答案： 【课堂练习】 B 2.2 3.解：设AB=x，则AD= ， ∴S=·x=-x +3x=-(x-1) + ∴当x=1时，S有最大值 . 即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2. 【作业设计】 D y= - （x-15） +300 3.解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x 由题意0＜80－2x≤50 ∴15≤x＜40 （2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x =-2(x-20)2+800 ∴当x=20时， S 有最大值800. 即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.
教学反思 本节课通过“理解问题—分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系—用数学的方式表示它们之间的关系—做数学求解—检验结果的合理性并给出问题的解答”的教学流程，使学生不仅获得了书本上的知识，而且拓展知识应用，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力。
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