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人教2019数学A版必修第一册《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》教学评一体化设计（全套教案＋学案＋测评案｜全程渗透学法指导｜分层教学｜对标高考）
第一部分 教案
一、基本信息
课题：人教2019数学A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式
课时安排：2课时（每课时45分钟）
授课年级：高一
学科：数学
学情分析
学生在前两节已经系统学习了一元二次函数的概念、图象与性质，能够熟练绘制二次函数图象并判断其开口方向、对称轴、顶点坐标，具备用函数观点分析问题的初步意识。学生在初中阶段已经学习了一元二次方程的解法（因式分解法、配方法、公式法），对一元二次不等式的解法有零散接触，但未形成系统的"三个二次"统一认知框架。
学生现存核心短板分为四大类：第一，知识割裂，将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式视为三个孤立知识点，不能从函数观点统一理解三者之间的内在联系；第二，图象与不等式脱节，能画二次函数图象，但不会利用图象直观判断不等式解集，数形结合意识薄弱；第三，含参问题分类讨论混乱，面对含参数的一元二次不等式时，不会根据判别式、根的大小关系进行有序分类讨论；第四，实际应用建模能力不足，不能将实际问题中的不等关系准确转化为一元二次不等式模型并求解。
本节课以二次函数图象为核心纽带，引导学生经历"从函数观点看方程与不等式→图象法解不等式→含参分类讨论→实际应用建模"的完整认知过程，落实一元二次不等式的解法、"三个二次"的关系、含参一元二次不等式的分类讨论三大核心知识点，分层突破图象与解集的对应关系、分类讨论的完备性、实际问题的数学建模三大教学难点，承接前两节函数基础知识，为后续函数与方程、不等式等综合应用筑牢基础，全程实施课堂即时评价、分层训练评价、课后作业评价，构建完整教、学、评一体化课堂闭环。
学科核心素养目标
（1）数学抽象
① 从二次函数图象与x轴的位置关系中，抽象出一元二次不等式解集与判别式、根的关系，理解"三个二次"的内在统一性。
② 从具体不等式的求解过程中，抽象出一元二次不等式求解的一般程序，形成程序化思维。
（2）逻辑推理
① 经历从图象特征到解集表达的完整推理过程，形成"图象→根→解集"的步步有据的推理习惯。
② 在含参不等式的分类讨论中，理解分类标准的确定依据（判别式符号、根的大小），形成有序思考、完备讨论的逻辑素养。
（3）数学运算
① 熟练完成一元二次方程的求解（因式分解、配方、公式法），准确计算判别式并判断符号。
② 能规范求出各类一元二次不等式的解集，并能用区间或集合语言正确表达。
（4）直观想象
借助二次函数图象直观判断不等式解集，实现"以形助数、以数驭形"的双向转化，强化数形结合思想。
（5）数学建模
能够将实际情境中的不等关系（如利润最大化、面积最值、增长率范围等）抽象为一元二次不等式模型，用数学语言描述限制条件并求解。
教学重难点
（1）教学重点
① 一元二次不等式的解法及其解集的区间表示。
② "三个二次"（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的内在联系。
③ 含参一元二次不等式的分类讨论方法。
（2）教学难点
① 从二次函数图象与x轴的位置关系出发，正确写出对应一元二次不等式的解集（特别是判别式Δ≤0的情形）。
② 含参一元二次不等式分类讨论中分类标准的确定与讨论的完备性。
③ 实际问题中不等关系向一元二次不等式模型的准确转化。
教学准备：多媒体PPT课件、GeoGebra动态演示（二次函数图象与x轴交点变化过程）、"三个二次"关系对照表、含参不等式分类讨论专项练习纸、课堂小组积分评价表、当堂错题收集卡、分层随堂练习题、二次函数图象手绘模板
教学方法：情境导入法、数形结合法、类比探究法、任务驱动教学法、讲练结合法、概念形成教学法、错题归纳法
学法指导预设
全程渗透"画图象→找交点→定解集→验端点"标准化学习流程；总结"一元二次不等式求解四步法——化正、求根、画图、写解集"解题口诀；指导学生整理"三个二次"关系对照表、含参不等式分类讨论流程图，建立错题台账，重点纠正判别式Δ<0时解集判断错误、分类讨论遗漏、解集端点取舍失误、实际应用建模偏差等高频问题，养成严谨规范的数学表达习惯。
二、教学过程
第一课时：一元二次不等式的解法与"三个二次"的关系
（一）复习衔接 导入激趣启思（5分钟）
旧知回顾：快速回顾二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴交点），展示二次函数y=x -2x-3的图象（如图1所示），提问：该图象与x轴有几个交点？交点坐标是什么？对应的一元二次方程x -2x-3=0的根是什么？
情境设问：展示一个实际问题——某工厂生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(10-x)万元，问年产量x满足什么条件时，年销售收入不低于16万元？引导学生列出不等式x(10-x)≥16，整理得x -10x+16≤0，引出"一元二次不等式"概念。
点明课题：本节课系统学习一元二次不等式的解法，揭示二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系，学会用函数观点统一处理三者关系。
学法渗透：研究"三个二次"关系的一般方法是"从函数图象出发→找方程根→定不等式解集"，先通过图象获得直观认识，再用精确的数学语言表达解集，最后用程序化方法解决各类问题。
图1 二次函数 y=x -2x-3 的图象与"三个二次"数形结合示意（交点(-1,0)、(3,0)，x轴上方与下方分别对应不等式的解集）
（二）概念精讲 扫清认知障碍（12分钟·重点落实）
概念分层领学
环节一：一元二次不等式的定义
（1）观察引例：不等式x -10x+16≤0中，未知数x的最高次数为2，且不等号为"≤"。
（2）给出定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式为ax +bx+c>0或ax +bx+c<0或ax +bx+c≥0或ax +bx+c≤0，其中a≠0。
（3）强调：a≠0是必要条件；不等号可以是>、<、≥、≤四种。
环节二："三个二次"的内在联系
（1）观察引例：在同一坐标系中画出二次函数y=x -2x-3的图象（如图1所示），观察图象与x轴的交点。
（2）问题驱动：一元二次方程x -2x-3=0的根与二次函数y=x -2x-3的图象与x轴的交点有什么关系？一元二次不等式x -2x-3>0的解集与图象有什么关系？
（3）引导学生发现：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标；不等式x -2x-3>0的解集就是函数图象在x轴上方部分对应的x的取值范围；不等式x -2x-3<0的解集就是函数图象在x轴下方部分对应的x的取值范围。
（4）总结"三个二次"关系：
① 从函数观点看：一元二次方程ax +bx+c=0的根就是二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点的横坐标。
② 一元二次不等式ax +bx+c>0（a>0）的解集就是二次函数y=ax +bx+c的图象在x轴上方部分对应的x的集合。
③ 一元二次不等式ax +bx+c<0（a>0）的解集就是二次函数y=ax +bx+c的图象在x轴下方部分对应的x的集合。
环节三：一元二次不等式的求解程序
（1）以ax +bx+c>0（a>0）为例，给出求解四步法：
① 化正：将二次项系数化为正数（若a<0，不等式两边同乘-1，注意不等号方向改变）。
② 求根：解一元二次方程ax +bx+c=0，求出判别式Δ=b -4ac，若Δ>0，求出两个不等实根x ③ 画图：画出对应二次函数y=ax +bx+c的草图，根据开口方向和与x轴交点情况画出图象。
④ 写解集：根据图象写出不等式解集。
（2）三种情形的解集对照（以a>0为例，如图2所示）：
① Δ>0：ax +bx+c>0的解集为{x|xx }；ax +bx+c<0的解集为{x|x ② Δ=0：ax +bx+c>0的解集为{x|x≠x }；ax +bx+c<0的解集为 。
③ Δ<0：ax +bx+c>0的解集为R；ax +bx+c<0的解集为 。
（3）若a<0，先化为正系数再按上述程序求解。
图2 a>0时三种判别式情形下的二次函数图象与解集对照（Δ>0两根、Δ=0重根、Δ<0无实根）
易混点深度辨析
（1）判别式Δ<0时解集的判断：当a>0且Δ<0时，二次函数图象全部在x轴上方，故ax +bx+c>0的解集为R，ax +bx+c<0的解集为 。学生易误将Δ<0与解集为 直接对应，需强调看不等号方向。
（2）解集端点的取舍：对于>或<，解集端点不包含；对于≥或≤，解集端点包含。学生易忽略端点取舍或混淆。
（3）化正时不等号方向：当a<0时，两边同乘-1，不等号方向必须改变。学生易忘记改变方向。
正反实例对照
正例：解不等式x -2x-3>0。解：Δ=4+12=16>0，方程x -2x-3=0的根为x =-1，x =3。函数y=x -2x-3开口向上，与x轴交于(-1,0)和(3,0)，图象在x轴上方对应的x<-1或x>3（参见图1），故解集为{x|x<-1或x>3}。
反例：解不等式x -2x+3>0。学生易误判Δ=4-12=-8<0，认为方程无根，故不等式无解。正确解法：Δ<0且a=1>0，函数图象全部在x轴上方（参见图2第三幅），故不等式解集为R。
课堂互动抢答：教师给出不同二次函数图象，学生快速判断对应一元二次不等式的解集，强化"看图写解集"能力。
学法小结：三个二次本一家，函数图象是核心；方程求根定交点，不等式看上下方；化正求根画图象，根据方向写解集。
（三）题型精讲 分层例题训练（18分钟·重难点突破）
三类基础题型分类梳理
题型一：解简单的一元二次不等式。解题要点：严格遵循"化正→求根→画图→写解集"四步法，特别注意判别式符号与解集的对应关系。
题型二：由一元二次不等式的解集求参数。解题要点：根据解集端点与方程根的关系，利用韦达定理建立参数方程或不等式组求解。
题型三："三个二次"关系的综合应用。解题要点：利用函数图象与x轴交点情况判断方程根的情况，利用不等式解集反推函数图象特征。
分层例题精讲
基础例题：
解下列不等式：
（1）x -5x+6>0；
（2）-x +2x+3≥0；
（3）x -4x+4>0；
（4）x +2x+3<0。
规范解答：
（1）Δ=25-24=1>0，方程x -5x+6=0的根为x =2，x =3。函数开口向上，图象在x轴上方对应x<2或x>3，故解集为{x|x<2或x>3}。
（2）化正：x -2x-3≤0。Δ=4+12=16>0，方程x -2x-3=0的根为x =-1，x =3。函数开口向上，图象在x轴下方或x轴上对应-1≤x≤3，故解集为{x|-1≤x≤3}。
（3）Δ=16-16=0，方程x -4x+4=0的根为x =2。函数开口向上，图象在x轴上方除顶点外，故解集为{x|x≠2}。
（4）Δ=4-12=-8<0，函数开口向上，图象全部在x轴上方，故不等式x +2x+3<0无解，解集为 。
提升例题（含参不等式）：解关于x的不等式x -(a+1)x+a<0（a∈R）。
规范解答：原不等式可化为(x-1)(x-a)<0。① 当a>1时，不等式的解集为{x|11时解集为{x|1图3 含参不等式 (x-1)(x-a)<0 的分类讨论图象（a>1、a=1、a<1 三种情形对应不同的解集区间）
难点例题（由解集求参数）：已知不等式ax +bx+c>0的解集为{x|20的解集。
规范解答：由题意知a<0，且方程ax +bx+c=0的两根为2和3。由韦达定理：2+3=-b/a，2×3=c/a，即b=-5a，c=6a。代入cx +bx+a>0得6ax -5ax+a>0。因为a<0，两边同除以a（注意变号）得6x -5x+1<0。解方程6x -5x+1=0得x =1/3，x =1/2。故解集为{x|1/3小组辨析任务：四人一组，各小组分别完成"简单不等式求解""含参不等式讨论""由解集求参数"三类题型的辨析与总结，全班展示交流。
规范书写训练：专项强化"化正→求根→画图→写解集"四步格式，要求每一步都要写清楚依据。
当堂习题过关：分层完成简单不等式、含参不等式、由解集求参数三类习题，当堂纠错、全员过关。
学法小结：解不等式四步走，化正求根画图象，根据方向写解集，端点取舍要看清；含参问题找标准，判别式与根大小，分类讨论要完备，综上总结不能少。
（四）变式操练 综合输出（7分钟·难点巩固）
基础仿写练习：给定一个一元二次不等式，要求学生按四步法写出完整求解过程，并画出对应函数草图。
双人互查纠错：两人结对互批求解过程，检查"化正"是否改变不等号方向、判别式是否计算正确、解集端点取舍是否准确。
成果展示点评：选取学生板书作业展示，全班统一点评纠错，固化一元二次不等式求解规范格式。
错题整理积累：整理典型错题，标注错误类型、正确解法、易错警示，形成个人易错清单。
（五）课堂小结（3分钟）
知识小结：掌握一元二次不等式的定义；理解"三个二次"的内在联系；掌握一元二次不等式求解四步法及三种判别式情形下的解集规律。
方法小结：形成"画图象→找交点→定解集→验端点"的研究路径；掌握"化正→求根→画图→写解集"的求解程序；初步了解含参问题的分类讨论方法。
素养小结：强化数学抽象、逻辑推理、直观想象核心素养，养成数形结合、分类讨论、规范表达的数学思维习惯。
（六）当堂检测（1分钟）
熟记一元二次不等式求解四步法及三种判别式情形下的解集规律；
掌握"三个二次"的内在联系。
（七）分层作业布置（1分钟）
基础层（基础薄弱生）
熟记一元二次不等式求解四步法，完成教材基础习题——解简单的一元二次不等式；
完成判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情形的解集对照表；
绘制"三个二次"关系思维导图。
提升层（中等生）
整理一元二次不等式求解规范模板，各举一例说明三种判别式情形；
完成含参一元二次不等式的分类讨论分层习题，规范书写解题过程；
能够独立分析由解集求参数的问题，并说明每一步依据。
拓展层（优等生）
总结含参一元二次不等式分类讨论的标准确定方法（判别式、根的大小、二次项系数符号）；
探究由一元二次不等式解集反求参数的综合问题；
自主设计一个实际应用问题（如利润最大化、面积最值等），转化为一元二次不等式模型并求解。
三、板书设计
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式定义：ax +bx+c>0（<0，≥0，≤0），a≠0
"三个二次"关系：
方程根 = 函数图象与x轴交点横坐标
不等式解集 = 函数图象在x轴上方/下方对应x的集合
求解四步法：化正→求根→画图→写解集
解集规律（a>0）：
Δ>0：>0解集{x|xx }；<0解集{x|x Δ=0：>0解集{x|x≠x }；<0解集
Δ<0：>0解集R；<0解集
易错警示：化正变号、端点取舍、Δ<0时看方向
四、教后反思
本节课通过实际问题引入、函数图象观察、"三个二次"关系建构、求解程序示范的模式开展教学，贴合高一学生从具体到抽象的认知规律，课堂梯度清晰、评价贯穿全程，多数学生能够理解"三个二次"关系并用四步法完成简单一元二次不等式的求解，基本达成教学目标。
课堂突出问题：部分学生对判别式Δ<0时解集的判断仍存在困难，容易将Δ<0与解集为 直接对应而忽略不等号方向；含参不等式分类讨论中，部分学生不能完整确定分类标准，遗漏a=0或判别式Δ=0的情形；由解集求参数问题中，韦达定理的应用不够熟练；解集端点取舍仍有混淆。
后续改进：增设判别式三种情形的对比专项训练，通过正反例强化理解；强化含参问题分类讨论的标准确定训练，形成程序化讨论流程；在由解集求参数教学中强调韦达定理的规范应用；持续规范解集书写格式，完善教评一体化闭环，筑牢"三个二次"学习基础。
第二课时：含参一元二次不等式与一元二次不等式的实际应用
一、复习衔接 导入激趣启思（5分钟）
旧知回顾：快速回顾一元二次不等式求解四步法及三种判别式情形下的解集规律；展示上节课含参不等式x -(a+1)x+a<0的求解过程（图象可参照图3），提问：分类讨论的标准是什么？如何确定分类标准？
情境设问：展示一个实际问题——某公司生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(20-x)万元，年总成本为(4x+20)万元，问年产量x满足什么条件时，年利润不低于20万元？引导学生列出不等式x(20-x)-(4x+20)≥20，整理得x -16x+40≤0，引出含参不等式与实际应用问题。
点明课题：本节课系统学习含参一元二次不等式的分类讨论方法和一元二次不等式的实际应用，学会用程序化方法处理含参问题，用数学建模方法解决实际问题。
学法渗透：研究含参问题的一般方法是"确定分类标准→逐类讨论→综上总结"；研究实际问题的一般方法是"设变量→列不等式→解不等式→检验实际意义"。
二、概念精讲 扫清认知障碍（10分钟·重点落实）
含参一元二次不等式的分类讨论
（1）分类讨论的标准确定：
① 二次项系数含参：首先讨论二次项系数是否为0，若为0则化为一次不等式；若不为0，再讨论正负。
② 判别式含参：计算Δ，讨论Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情形。
③ 根的大小含参：若Δ>0，求出两根后讨论两根的大小关系。
（2）分类讨论的程序：
① 确定分类标准：根据参数对不等式类型、判别式符号、根的大小的影响确定分类标准。
② 逐类讨论：在每个标准下分别求解，注意各类情形的解集表达。
③ 综上总结：将各类结果综合，形成完整解答。
（3）典型示例：解关于x的不等式ax -(a+1)x+1<0（a∈R）。
① 当a=0时，不等式化为-x+1<0，即x>1，解集为{x|x>1}。
② 当a≠0时，不等式可化为(ax-1)(x-1)<0。
当a>0时，方程(ax-1)(x-1)=0的两根为1/a和1。
若1/a>1即01，解集为{x|1/a当a<0时，不等式可化为(x-1/a)(x-1)>0（注意变号），两根为1/a和1，且1/a<1，解集为{x|x<1/a或x>1}。
综上：a<0时解集为{x|x<1/a或x>1}；a=0时解集为{x|x>1}；01时解集为{x|1/a一元二次不等式的实际应用
（1）建模程序：
① 设变量：根据实际问题设出未知数，注意变量的实际意义和取值范围。
② 列不等式：根据实际问题中的不等关系列出一元二次不等式。
③ 解不等式：按四步法求解一元二次不等式。
④ 检验实际意义：根据变量的实际意义对解集进行取舍，得出实际问题的答案。
（2）典型示例：某工厂生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(20-x)万元，年总成本为(4x+20)万元，问年产量x满足什么条件时，年利润不低于20万元？
解：年销售收入为x(20-x)万元，年利润为x(20-x)-(4x+20)万元。由题意得x(20-x)-(4x+20)≥20，整理得x -16x+40≤0。解方程x -16x+40=0得x =8-2√6，x =8+2√6。不等式x -16x+40≤0的解集为{x|8-2√6≤x≤8+2√6}（图象如图4所示，阴影部分即所求解集）。又因为年产量x>0且每件售价20-x>0，所以0图4 利润模型对应二次函数 y=x -16x+40 的图象（阴影区间 [8-2√6, 8+2√6] 即为利润不低于20万元的年产量范围）
易混点深度辨析
（1）分类讨论的完备性：含参问题中，容易遗漏二次项系数为0的情形、判别式Δ=0的情形、根相等的情形。需强调分类标准要覆盖所有可能。
（2）实际应用中的变量范围：实际问题中变量往往有实际意义限制（如产量为正、售价为正等），解不等式后必须结合实际意义取舍。
（3）含参问题中不等号方向：当二次项系数含参时，若系数为负，化正时需改变不等号方向，容易遗漏。
课堂互动抢答：教师给出含参不等式，学生快速判断分类标准；给出实际问题，学生快速列出不等式模型。
学法小结：含参问题找标准，系数判别根大小；逐类讨论要完备，综上总结不能少；实际问题设变量，列解检验四步走。
三、题型精讲 分层例题训练（20分钟·重难点突破）
三类基础题型分类梳理
题型一：含参一元二次不等式的分类讨论。解题要点：按二次项系数是否为0、判别式符号、根的大小关系确定分类标准，逐类讨论后综上总结。
题型二：一元二次不等式的实际应用。解题要点：按"设变量→列不等式→解不等式→检验实际意义"四步建模程序求解。
题型三：与一元二次不等式相关的综合问题。解题要点：综合运用"三个二次"关系、韦达定理、分类讨论等方法解决问题。
分层例题精讲
基础例题：解关于x的不等式x -2ax+a -1<0（a∈R）。
规范解答：原不等式可化为(x-a) -1<0，即(x-a-1)(x-a+1)<0。方程(x-a-1)(x-a+1)=0的两根为x =a-1，x =a+1。因为a-1提升例题（实际应用）：某公司生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(30-x)万元，年总成本为(10x+50)万元，问年产量x满足什么条件时，年利润不低于50万元？
规范解答：年销售收入为x(30-x)万元，年利润为x(30-x)-(10x+50)万元。由题意得x(30-x)-(10x+50)≥50，整理得x -20x+100≤0。解方程x -20x+100=0得x =x =10。不等式x -20x+100≤0的解集为{x|x=10}。又因为年产量x>0且每件售价30-x>0，所以0难点例题（综合问题）：已知不等式ax +bx+c>0的解集为{x|10的解集。
规范解答：由题意知a<0，且方程ax +bx+c=0的两根为1和2。由韦达定理：1+2=-b/a，1×2=c/a，即b=-3a，c=2a。代入ax -bx+c>0得ax +3ax+2a>0。因为a<0，两边同除以a（注意变号）得x +3x+2<0。解方程x +3x+2=0得x =-2，x =-1。故解集为{x|-2小组辨析任务：四人一组，各小组分别完成"含参不等式讨论""实际应用建模""综合问题求解"三类题型的辨析与总结，全班展示交流。
规范书写训练：专项强化含参问题分类讨论的规范格式，要求分类标准明确、讨论完备、综上总结清晰。
当堂习题过关：分层完成含参不等式、实际应用、综合问题三类习题，当堂纠错、全员过关。
学法小结：含参问题找标准，系数判别根大小；逐类讨论要完备，综上总结不能少；实际问题设变量，列解检验四步走。
四、变式操练 综合输出（7分钟·难点巩固）
基础仿写练习：给定一个含参一元二次不等式，要求学生写出完整分类讨论过程。
双人互查纠错：两人结对互批分类讨论过程，检查分类标准是否完备、各类讨论是否完整、综上总结是否清晰。
成果展示点评：选取学生板书作业展示，全班统一点评纠错，固化含参问题分类讨论规范格式。
错题整理积累：整理典型错题，标注错误类型、正确解法、易错警示，形成个人易错清单。
五、课堂小结（3分钟）
知识小结：掌握含参一元二次不等式的分类讨论方法；掌握一元二次不等式实际应用的建模程序；掌握与一元二次不等式相关的综合问题的求解方法。
方法小结：形成"确定分类标准→逐类讨论→综上总结"的含参问题处理路径；形成"设变量→列不等式→解不等式→检验实际意义"的实际应用建模程序。
素养小结：强化数学抽象、逻辑推理、数学建模核心素养，养成分类讨论、完备思考、规范表达的数学思维习惯。
六、当堂检测（1分钟）
熟记含参一元二次不等式分类讨论的标准确定方法；
掌握一元二次不等式实际应用的建模程序。
七、分层作业布置（1分钟）
基础层（基础薄弱生）
熟记含参不等式分类讨论的基本程序，完成教材基础习题——解简单的含参一元二次不等式；
完成一个简单实际应用问题的建模与求解；
绘制含参不等式分类讨论流程图。
提升层（中等生）
整理含参一元二次不等式分类讨论的规范模板，各举一例说明；
完成实际应用问题的分层习题，规范书写建模与求解过程；
能够独立分析含参综合问题，并说明每一步依据。
拓展层（优等生）
总结含参一元二次不等式分类讨论的标准确定方法（二次项系数、判别式、根的大小）；
探究与一元二次不等式相关的综合问题（如由解集求参数、不等式恒成立问题等）；
自主设计一个实际应用问题（如利润最大化、面积最值等），转化为一元二次不等式模型并求解。
八、板书设计
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）
含参不等式分类讨论：
分类标准：二次项系数是否为0、判别式符号、根的大小
讨论程序：确定标准→逐类讨论→综上总结
实际应用建模程序：
设变量→列不等式→解不等式→检验实际意义
易错警示：分类完备、变号注意、实际意义取舍
九、教后反思
本节课通过含参问题引入、分类讨论示范、实际应用建模的模式开展教学，贴合高一学生从具体到抽象、从理论到应用的认知规律，课堂梯度清晰、评价贯穿全程，多数学生能够理解含参问题的分类讨论方法并完成简单实际应用问题的建模与求解，基本达成教学目标。
课堂突出问题：部分学生对含参问题分类标准的确定仍存在困难，容易遗漏二次项系数为0或判别式Δ=0的情形；分类讨论中各类情形的解集表达不够规范；实际应用问题中变量实际意义的取舍容易忽略；由解集求参数问题中韦达定理的应用不够熟练。
后续改进：增设含参问题分类讨论标准的专项训练，通过典型例题强化分类完备性意识；强化实际应用问题建模程序的规范训练，强调实际意义检验；在综合问题教学中强调韦达定理的规范应用；持续规范分类讨论书写格式，完善教评一体化闭环，筑牢"三个二次"学习基础。
第二部分 学案
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 导学案
班级：________ 姓名：______ 学号：_______ 得分：_______
一、学习目标
理解一元二次不等式的定义，掌握"三个二次"的内在联系，会用函数观点统一理解三者关系。
掌握一元二次不等式求解四步法（化正→求根→画图→写解集），能熟练求解各类一元二次不等式。
理解含参一元二次不等式的分类讨论方法，能确定分类标准并完备讨论。
掌握一元二次不等式实际应用的建模程序，能解决简单的实际应用问题。
二、预习导学
（一）概念填空预习
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式为____________，其中____。
一元二次方程ax +bx+c=0的根就是二次函数y=ax +bx+c的图象与____交点的____。
一元二次不等式ax +bx+c>0（a>0）的解集就是二次函数y=ax +bx+c的图象在____部分对应的x的集合。
一元二次不等式求解四步法：____→____→____→____。
当a>0且Δ>0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
当a>0且Δ=0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
当a>0且Δ<0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
（二）基础判断预习（对 ，错×）
不等式x +2x+3>0的解集为R。（　）
不等式x -4x+4<0的解集为 。（　）
不等式-x +2x+3≥0的解集为{x|-1≤x≤3}。（　）
若不等式ax +bx+c>0的解集为{x|1含参一元二次不等式分类讨论中，只需讨论判别式Δ的符号。（　）
（三）预习疑点
通读教材一元二次不等式及"三个二次"关系相关定义与例题，圈画解集规律、分类讨论标准、实际应用建模等疑难问题，课堂重点探究突破。
三、课中合作探究
（一）"三个二次"关系探究
观察二次函数y=x -2x-3的图象（可参照图1），与x轴的交点坐标为____，对应方程x -2x-3=0的根为____。
不等式x -2x-3>0的解集为____，不等式x -2x-3<0的解集为____。
总结"三个二次"关系：方程根=函数图象与x轴交点的____；不等式解集=函数图象在x轴上方/下方对应x的集合。
（二）一元二次不等式求解探究
用四步法解不等式-x +2x+3≥0。解：① 化正：____ ② 求根：____ ③ 画图：____ ④ 写解集：____
（三）含参不等式分类讨论探究
解关于x的不等式x -(a+1)x+a<0（a∈R）。解：① 确定分类标准：____ ② 逐类讨论：____ ③ 综上总结：____
（四）实际应用建模探究
某公司生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(20-x)万元，年总成本为(4x+20)万元，问年产量x满足什么条件时，年利润不低于20万元？解：① 设变量：____ ② 列不等式：____ ③ 解不等式：____ ④ 检验实际意义：____
四、课堂达标自测
（一）概念填空（20分）
一元二次不等式求解四步法：____→____→____→____。
当a>0且Δ<0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
含参一元二次不等式分类讨论的标准包括：____、____、____。
一元二次不等式实际应用建模程序：____→____→____→____。
（二）判断与简答（30分）
判断以下说法是否正确，并说明理由（15分）：
（1）不等式x +2x+3>0的解集为R。
（2）不等式x -4x+4<0的解集为 。
（3）解不等式x -5x+6>0，并画出对应函数草图（15分）。
（三）证明与计算（50分）
1.解关于x的不等式ax -(a+1)x+1<0（a∈R）。（25分）
2.某工厂生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(30-x)万元，年总成本为(10x+50)万元，问年产量x满足什么条件时，年利润不低于50万元？（25分）
导学案参考答案
二、预习导学
（一）
1.2；ax +bx+c>0（<0，≥0，≤0）；a≠0
2.x轴；横坐标
3. x轴上方
4. 化正；求根；画图；写解集
5. {x|xx }；{x|x 6. {x|x≠x }；
7. R；
（二）1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×
三、课中合作探究
（一）
1. (-1,0)和(3,0)；x =-1，x =3
2. {x|x<-1或x>3}；{x|-13. 横坐标
（二）
① 化正：x -2x-3≤0
② 求根：Δ=16>0，x =-1，x =3
③ 画图：开口向上，与x轴交于(-1,0)和(3,0)
④ 写解集：{x|-1≤x≤3}
（三）
① 分类标准：方程(x-1)(x-a)=0的两根为1和a，需比较1和a的大小
② 逐类讨论：a>1时解集为{x|1③ 综上总结：a>1时解集为{x|1（四）
① 设变量：年产量为x万件
② 列不等式：x(20-x)-(4x+20)≥20，即x -16x+40≤0
③ 解不等式：8-2√6≤x≤8+2√6
④ 检验实际意义：0四、课堂达标自测
（一）
1. 化正；求根；画图；写解集
2. R；
3. 二次项系数是否为0；判别式符号；根的大小
4. 设变量；列不等式；解不等式；检验实际意义
（二）
1.（1）正确，Δ=4-12=-8<0且a=1>0，图象全部在x轴上方；
（2）正确，Δ=16-16=0，不等式x -4x+4<0无解。
2. 解集为{x|x<2或x>3}，草图如图5所示。
图5 基础练习 x -5x+6>0 对应函数 y=x -5x+6 的草图（开口向上，与 x 轴交于(2,0)、(3,0)，解集为 x<2 或 x>3）
（三）
1.解：① 当a=0时，不等式化为-x+1<0，即x>1，解集为{x|x>1}。
② 当a≠0时，不等式可化为(ax-1)(x-1)<0。
当a>0时，两根为1/a和1；若01，解集为{x|1/a当a<0时，不等式可化为(x-1/a)(x-1)>0，两根为1/a和1，且1/a<1，解集为{x|x<1/a或x>1}。
综上：
a<0时解集为{x|x<1/a或x>1}；
a=0时解集为{x|x>1}；
0a=1时解集为 ；
a>1时解集为{x|1/a2. 解：年销售收入为x(30-x)万元，年利润为x(30-x)-(10x+50)万元。由题意得
x(30-x)-(10x+50)≥50，
整理得x -20x+100≤0。
解方程x -20x+100=0得
x =x =10。
不等式解集为{x|x=10}。
又因为0故x=10。
答：年产量为10万件时，年利润不低于50万元。
第三部分 测评
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 同步测评
满分：100分 时间：40分钟
一、概念填空与规则运用（20分）
1.一元二次不等式的一般形式为____________，其中____。
2.一元二次不等式求解四步法：____→____→____→____。
3.当a>0且Δ>0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
4.当a>0且Δ=0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
5.当a>0且Δ<0时，ax +bx+c>0的解集为____；ax +bx+c<0的解集为____。
二、基础判断题（每题4分，共20分，对打 ，错打×）
6.不等式x +2x+3>0的解集为R。（　）
7.不等式x -4x+4<0的解集为 。（　）
8.不等式-x +2x+3≥0的解集为{x|-1≤x≤3}。（　）
9.若不等式ax +bx+c>0的解集为{x|10。（　）
10.含参一元二次不等式分类讨论中，只需讨论判别式Δ的符号。（ ）
三、解答题（30分）
11.解不等式x -5x+6>0，并画出对应函数草图。（15分）
12.解关于x的不等式x -(a+1)x+a<0（a∈R）。（15分）
四、综合应用题（15分）
13.某公司生产某种产品的年产量为x万件，每件售价为(20-x)万元，年总成本为(4x+20)万元，问年产量x满足什么条件时，年利润不低于20万元？
五、综合辨析简答（15分）
14.简述"三个二次"的内在联系，结合一个用四步法解一元二次不等式的实例说明"化正→求根→画图→写解集"的操作要领，并指出学习一元二次不等式时的高频易错点。
测评案参考答案
一、概念填空与规则运用
1.ax +bx+c>0（<0，≥0，≤0）；a≠0
2.化正；求根；画图；写解集
3.{x|xx }；{x|x 4.{x|x≠x }；
5.R；
二、基础判断题
6. √ 7. √ 8. √ 9. × 10. ×
三、解答题
11.解：
Δ=25-24=1>0，
方程x -5x+6=0的根为
x =2，x =3。
函数开口向上，图象在x轴上方对应x<2或x>3，故解集为{x|x<2或x>3}。
草图如图6所示。
图6 解答题 x -5x+6>0 对应函数 y=x -5x+6 的草图（开口向上，与 x 轴交于(2,0)、(3,0)，解集为 x<2 或 x>3）
12.解：原不等式可化为(x-1)(x-a)<0。① 当a>1时，解集为{x|11时解集为{x|1四、综合应用题
13.解：年销售收入为x(20-x)万元，年利润为x(20-x)-(4x+20)万元。由题意得
x(20-x)-(4x+20)≥20，
整理得x -16x+40≤0。
解方程x -16x+40=0
得x =8-2√6，x =8+2√6。
不等式解集为{x|8-2√6≤x≤8+2√6}。
又因为0故8-2√6≤x≤8+2√6。
答：年产量在[8-2√6，8+2√6]万件范围内时，年利润不低于20万元。
五、综合辨析简答
14."三个二次"的内在联系：一元二次方程ax +bx+c=0的根就是二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点的横坐标；一元二次不等式ax +bx+c>0（a>0）的解集就是二次函数图象在x轴上方部分对应的x的集合；ax +bx+c<0（a>0）的解集就是图象在x轴下方部分对应的x的集合。
四步法操作要领：以解不等式-x +2x+3≥0为例。① 化正：两边同乘-1得x -2x-3≤0；② 求根：Δ=16>0，方程x -2x-3=0的根为x =-1，x =3；③ 画图：函数开口向上，与x轴交于(-1,0)和(3,0)；④ 写解集：图象在x轴下方或x轴上对应-1≤x≤3，故解集为{x|-1≤x≤3}。
高频易错点：
① 化正时忘记改变不等号方向；
② 判别式Δ<0时解集判断错误（忽略不等号方向）；
③ 解集端点取舍失误（>与≥混淆）；
④ 含参问题分类讨论不完备（遗漏二次项系数为0或Δ=0的情形）；
⑤ 实际应用问题忽略变量实际意义取舍。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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