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学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十七章
课标要求 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． 2．能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况． 3．能用反比例函数解决简单实际问题．
内容分析 反比例函数是九年级函数模块重要组成部分，在一次函数、二次函数之后开展教学，完善初中阶段函数知识体系．教材从现实反比例实例抽象出反比例函数概念，接着研究反比例函数双曲线图象与性质，最后落实反比例函数在工程、物理、生活场景的实际应用．本章延续“现实情境—抽象概念—研究图象性质—解决实际问题”的函数研究范式，巩固函数建模、数形结合的核心思想．反比例函数刻画“两个变量乘积为定值”的变化规律，区别于一次函数的均匀变化、二次函数的抛物线变化，拓展学生对函数类型的认知．既是对函数概念的再巩固，也为高中幂函数、分式函数学习做好铺垫．同时大量结合物理、生活真实情境，发展学生模型观念，提升运用函数分析现实问题的能力，在初中函数知识链中起到承上启下的作用．
学情分析 学生，已经学习一次函数、二次函数，掌握函数基本概念，熟悉描点法画函数图象，具备从实际问题提取变量、建立函数模型的基础能力．但反比例函数图象是不连续的双曲线，自变量不能取0，这和之前所学连续图象存在明显区别，学生容易忽略x≠0这个限制条件．学生能够记忆图象结论，但较难理解“在每一个象限内”这一性质限定，跨象限比较函数值大小容易出错．面对实际问题，学生不容易识别反比例数量关系，建立模型时容易忽略自变量实际取值范围．教学要多借助实例与图象，通过小组探究，强化数形结合，突破理解误区．
单元目标 （一）教学目标 1．结合现实实例，理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，会用待定系数法求反比例函数解析式，知道自变量取值范围是不等于0的全体实数． 2．会用描点法画反比例函数的双曲线图象，掌握反比例函数图象特征；理解k>0、k<0两种情况下图象位置与增减变化性质，能利用性质比较函数值大小． 3．能够结合图象、解析式判断点是否在反比例函数图象上，体会数形结合的思想方法． 4．能识别实际情境中的反比例关系，建立反比例函数模型，运用反比例函数解决工程、物理、生活类实际问题，注意自变量的实际取值限制． 5．经历“实际问题抽象函数—研究图象性质—求解实际问题”完整过程，发展模型观念、几何直观，提升分析解决问题的能力． （二）教学重点、难点 重点： 1．理解反比例函数概念，会用待定系数法确定反比例函数的解析式． 2．掌握反比例函数双曲线图象特征；掌握k>0、k<0时，图象所在象限以及每个象限内函数的增减性质． 3．能够分析实际问题中的反比例数量关系，建立反比例函数模型，解决相关实际应用问题． 难点： 1．理解反比例函数图象是由两支不连续曲线（双曲线）组成，理解自变量x≠0；理解性质中“在每一个象限内”的限定条件，会正确比较跨象限点的函数值大小． 2．结合反比例函数图象与解析式进行综合分析，实现数与形之间的相互转化． 3．在复杂实际情境中识别反比例关系，建立函数模型，结合实际意义确定自变量取值范围，解释求解得到的结果．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1反比例函数的概念12-3反比例函数的图象和性质24-6实际问题与反比例函数37数学活动——用矩形“画”双曲线与用简易密度计测量密度18章末复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1 反比例函数的概念1.结合教材实例，理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，会写出反比例函数解析式． 2.能区分正比例函数与反比例函数，明确反比例函数自变量取值范围．1.能说出反比例函数定义，能辨别一个函数是否为反比例函数． 2.会根据实际问题中的等量关系列出反比例函数解析式，确定自变量取值范围．任务一：反比例函数概念辨析 任务二：根据实例列反比例函数解析式，完成教材对应例题27.2 反比例函数的图象和性质(第1课时)1.会用描点法画出反比例函数的图象，认识双曲线． 2.通过观察图象，探究、时反比例函数图象位置与增减性质，体会数形结合思想．1.能用描点法画出、的反比例函数图象，知道图象叫双曲线． 2.能说出、时，双曲线所在象限以及在每一个象限内，随变化的规律．任务一：描点绘制、图象 任务二：观察图象，归纳时反比例函数性质 任务三：完成教材探究27.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)1.能利用待定系数法求反比例函数解析式，会根据反比例函数解析式，判断图象所在象限、函数增减变化规律． 2.能判断点是否在反比例函数图象上，能根据图象一支的位置，判断另一支所在象限、求参数取值范围，并比较同一支图象上点的函数值大小． 3.通过教材例题的探究，深化数形结合思想，体会解析式与图象之间的相互转化．1.能根据图象上已知点，求出反比例函数解析式；能根据k的符号，说出图象象限与增减性． 2.会代入坐标，检验点是否在反比例函数图象上；能由一支图象位置判断另一支象限，求出参数取值范围，比较同支图象上函数值大小．任务一：利用待定系数法求反比例函数解析式，完成教材例1 任务二：根据反比例函数图象位置确定参数范围，比较函数值大小，完成教材例227.3 实际问题与反比例函数(第1课时)1.能识别实际问题中的反比例数量关系，建立反比例函数模型． 2.会结合实际情境写出反比例函数解析式，根据实际意义确定自变量取值范围．1.能从实际问题中找到两个成反比例的变量，列出反比例函数关系式． 2.能结合实际解释自变量取值范围，会代入求值解决简单实际问题．任务一：分析工程问题中的反比例关系，完成教材例1 任务二：根据实际问题建立反比例模型，完成教材例227.3 实际问题与反比例函数(第2课时)1.识别物理压强类实际问题中的反比例关系，构建反比例函数模型． 2.能利用反比例函数解析式和图象分析实际问题，解释结果的实际意义．1.能根据压强公式找到反比例变量，列出反比例函数． 2.能利用解析式解决实际问题，能结合图象解释变量变化规律．任务一：分析压强问题中的反比例关系，完成例3 任务二：建立函数模型，完成教材例427.3 实际问题与反比例函数(第3课时)1.了解利用实验数据建立函数模型的基本思路，会绘制散点图，能根据散点分布特征判断可选用反比例函数拟合变量间的关系． 2.完整经历画散点图→建立模型→检验模型→求解预测的全过程，会利用多组数据求参数k的平均值，确定反比例函数解析式并进行求值预测． 3.通过气体压强与体积的跨学科探究，体会函数是刻画变量关系的数学模型，发展数据分析意识与模型观念．1.能根据表格中的实验数据画出散点图，根据点的分布形态判断是否适合反比例函数模型． 2.能按步骤完成反比例函数模型的建立、检验，代入数值计算，利用模型对实际问题做出预测．任务一：根据实验数据绘制散点图，观察散点分布，选择合适的函数类型 任务二：完成教材气体压强与体积的探究，建立、检验反比例模型并求解预测问题数学活动：用矩形“画”双曲线与用简易密度计测量密度1.通过矩形画图活动，从几何角度理解反比例函数的几何意义． 2.借助密度计探究活动，感受物理情境中的反比例关系，体会跨学科建模．1.能理解矩形面积不变，长与宽成反比例，能用矩形描点画出双曲线． 2.能分析密度计实验数据，识别变量间反比例关系．任务一：矩形画图，动手绘制双曲线 任务二：分析密度计数据，寻找反比例关系第27章 反比例函数 章末复习1.系统梳理反比例函数的概念、图象与性质，构建本章知识框架． 2.综合运用反比例函数知识解决概念辨析、图象分析、实际应用综合习题．1.能完整复述反比例函数知识点，理清正比例、反比例函数区别． 2.能解决反比例函数综合题型，灵活运用数形结合思想．任务一：梳理本章知识结构图 任务二：完成练习题，综合训练反比例函数相关题型
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分课时教学设计
第二课时《27.2 反比例函数的图象和性质(第1课时)》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是在学生掌握反比例函数概念之后，研究反比例函数图象与性质的第一课时. 延续前面一次函数、二次函数“描点画图—观察图象—归纳性质”的研究思路. 本节课重点研究时反比例函数、的图象，认识双曲线，归纳时图象位置与增减性. 既是对反比例函数概念的巩固，也为下节课研究的情况、后续综合应用打好基础. 课本通过描点、观察、信息技术演示，落实数形结合思想. 学生学会从解析式预判图象特征，从图象读出函数性质，提升几何直观，为后续解决综合习题与实际问题提供工具，是本章承概念启性质的关键课时.
学习者分析 学生已经掌握描点法画函数图象，学习过一次、二次函数图象性质，具备数形结合的初步经验. 但反比例函数图象是两支不相连的双曲线，自变量不能取0，和之前学习的连续图象差异较大，学生画图时容易漏掉其中一支，容易取. 学生能够观察图象表面特征，但很难理解性质描述中“在每一个象限内”这个关键限定，容易直接说“随增大而减小”，忽略跨象限的情况. 学生具备小组探究能力，教学需要借助画图活动，设置问题串引导学生发现易错点.
教学目标 1.会用描点法画出反比例函数的图象，认识双曲线． 2.通过观察图象，探究、时反比例函数图象位置与增减性质，体会数形结合思想．
教学重点 会用描点法画出反比例函数的图象，认识双曲线．
教学难点 通过观察图象，探究、时反比例函数图象位置与增减性质，体会数形结合思想．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.会用描点法画出反比例函数的图象，认识双曲线． 2.通过观察图象，探究、时反比例函数图象位置与增减性质，体会数形结合思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1.什么是反比例函数？ 答案：一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数，其中是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数. 2.我们研究一次、二次函数图象性质一般是什么步骤？ 答案：列表、描点、连线画出图象，观察图象归纳性质. 导入：与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，在建立反比例函数的概念后，我们类比上述函数图象和性质的研究方法，研究反比例函数的图象和性质．学生活动2： 独立思考，口头回答复习提问；回顾函数图象研究流程活动意图说明： 复习反比例函数概念，迁移旧函数的研究方法，为本节课描点画图、探究性质做好铺垫.环节三：新知讲解教师活动3： 思考：回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 讲解：在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式(为常数，中的分情况讨论.即分两种情况. 先研究时的情况，我们从具体的反比例函数开始. 探究：对于反比例函数与，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及随的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗 你能画出它们图象的示意图吗 解： 追问1：用描点法画出反比例函数与的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同. 解：(1)列表 ...-6-5-4-3-2-1123456......31......-236321...
(2)描点.以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. (3)连线.用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数与的图象. 追问2：因为，所以函数图象由两支曲线组成.在画示意图时，你注意到这一点了吗 图象为什么分成两支？ 答案：分为正数、负数两部分，所以分成两支曲线. 思考：观察反比例函数与的图象，回答下列问题： (1)每个函数的图象分别位于哪些象限 解：第一、第三象限. (2)在每一个象限内，随着的增大，如何变化 你能由它们的解析式说明理由吗 解：在每一个象限内，随的增大而减小. 利用信息技术工具，画反比例函数的取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗 归纳：一般地，当时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现： (1)函数图象的两支分别位于第一、第三象限； (2)在每一个象限内，随的增大而减小. 接下来，我们研究时反比例函数的图象和性质. 探究：回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数的图象和性质吗 解：当k＝－2，－4，－6时，画出对应的反比例函数的图象如图所示． 每个函数的图象分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 归纳：一般地，当时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现： (1)函数图象的两支分别位于第二、第四象限； (2)在每一个象限内，随的增大而增大. 归纳：反比例函数的图象特征和性质如下： (1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。 (2)当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小； 当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.学生活动3： 小组合作探究，小组内完成列表、描点画图，互相检查画图错误；小组讨论图象特征，小组代表汇报观察得到的性质；辨析“每一个象限内”的含义.活动意图说明： 通过探究，学生动手画图，亲身感知双曲线不连续的特点；通过问题串突破“每一个象限内”的难点，落实数形结合思想.环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：27.2 反比例函数的图象和性质(第1课时) 一、图象 二、性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．反比例函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 答案： 3．反比例函数的图象如图所示． (1)判断k是正数还是负数． (2)如果和为这个函数图象上的两点，那么与的大小关系是怎样的？ 解：（1）由图可知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ，即是正数． （2）， 当时，随的增大而减小， ，且，都在函数图象上， ． 选做题： 4．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 解：（1）∵是关于的反比例函数， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时， ∴， 解得． ∴． （2）当时，函数为， 当时，.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 答案： 3．指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)；(2)；(3)；(4)． 解：（1）∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小； （2）∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （3）∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （4）∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小． 选做题： 4．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（ ）． A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 解：（1）∵反比例函数中， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． （2） 理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点， ∴， ∵矩形，，的面积，，， ∴，，， ∴.
教学反思 本节课学生动手画图，多数同学能够画出k>0的反比例函数图象，但部分学生画图出现端点、连接两支曲线的错误. 学生容易忽略“在每一个象限内”的限定条件，直接笼统描述增减性. 后续需要增加判断题训练强化这个易错点. 小组画图时个别学生列表取值不合理，教师要巡视指导，提示正负都要取值，不能只取正数，帮助学生完整认识双曲线两支.
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