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《有理数的乘除》教学设计
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第一单元
课题 1.5.3 有理数的除法 课时 一课时
课标要求 1. 掌握有理数除法的运算法则，能熟练进行有理数除法运算，理解除法与乘法之间的转化关系。 2. 经历探索有理数除法法则的过程，体会转化、归纳的数学思想，发展符号意识与运算能力。 3. 能运用有理数除法解决简单实际问题，养成规范运算、仔细验算的良好学习习惯。
教材分析 1. 本节课是有理数乘法之后的内容，除法是乘法的逆运算，承接倒数、有理数乘法知识，是有理数四则运算的重要组成部分。 2. 教材通过表格对比乘法与除法算式，引导学生自主归纳除法法则，同时给出“除以一个数等于乘它的倒数”这条转化路径，体现由具体到抽象的编排思路。 3. 本节内容是后续学习有理数混合运算、整式运算的基础，在整个初中数与代数知识体系中起到承上启下的作用。
学情 分析 1. 学生在小学已经学习正数除法，知道除法可以转化为乘倒数，具备除法运算的基础认知，但没有接触负数参与的除法。 2. 学生已经掌握有理数乘法法则、倒数概念，能判断乘法结果符号，但是容易混淆除法的符号规律，计算时符号出错是高频问题。 3. 七年级学生初步具备归纳、观察的能力，但抽象思维较弱，容易机械记公式，不容易理解“除法转化为乘法”背后的数学道理。
核心素养目标 1.依托乘除逆运算探究有理数除法，发展符号意识与抽象能力，从符号、绝对值角度观察运算，培养数感。 2.通过归纳推理得到除法法则，发展推理意识，能熟练进行有理数除法、乘除混合运算，提高运算能力。 3.理解除法转化为乘法的数学模型，建立模型意识，会运用有理数除法解决简单问题，发展应用意识。
教学重点 掌握有理数除法法则，能正确进行有理数除法及乘除混合运算。
教学难点 在有理数乘除混合运算中准确判断结果符号，理解除法转化为乘法的转化思想。
教学 准备 1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔，用于展示表格、例题，板书重难点。 2. 学具：导学单、草稿本、笔，供学生填表、演算、记录。 3. 素材准备：乘除对比表格、课堂例题、随堂练习、易错习题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1. 提问回顾：有理数乘法有哪三条运算律？多个有理数相乘，积的符号如何确定？有因数为0时积是什么？板书运算律公式。 2. 出示2道有理数乘法口算题，指名学生作答，追问计算的先后步骤。 3. 提出问题：什么是倒数？请举例求数的倒数，着重强调0没有倒数。 1. 独立思考，举手作答，说出交换律、结合律、分配律，说明多个有理数相乘的符号判定规则。 2. 快速口算习题，回答运算顺序：先确定符号，再计算绝对值。 3. 口述倒数定义，举例求出对应数的倒数，识记0没有倒数。 1. 唤醒旧知，巩固有理数乘法运算律与多因数相乘符号法则，搭建新旧知识桥梁。 2. 强化“先定符号，再算绝对值”的运算思路，为有理数除法学习提供统一思考方法。 3. 复习倒数知识，“除以一个数等于乘它的倒数”是本节课核心转化依据，提前铺垫，突破难点。
二、引新 创设情境，引入课题 1. 课件出示乘除对比表格，抛出核心问题：两个有理数相除，该如何计算？点明除法是乘法的逆运算，引导学生利用这个关系完成表格填空。 2. 巡视课堂，观察学生填表情况，挑选学生展示填写结果，核对表格答案。 3. 引导学生观察表格中算式，提问：对比左右两组算式，你发现商的符号、绝对值有什么规律？顺势引出本节课课题——有理数的除法。 1. 观察表格里的乘法算式，借助乘除互逆关系，独立完成右侧除法算式填空。 2. 核对答案，互相交流计算结果。 3. 观察、对比多组乘除式子，小组讨论，尝试归纳有理数除法的符号与数值规律，跟随教师引导进入新课学习。 1. 利用乘法逆运算引入除法，衔接前面所学有理数乘法知识，实现新旧知识自然过渡。 2. 通过填表计算，让学生自主感知有理数除法的运算特点，体会从具体例子归纳法则的过程，培养观察归纳能力。 3. 设置问题激发学生探究兴趣，引出本节课课题，明确本节课学习任务。
三、探究 合作探究，活动领悟 1. 课件出示探究问题，组织学生小组讨论：结合前面表格算式，说一说有理数除法和乘法是什么关系，尝试归纳有理数除法法则一。巡视各小组，倾听学生讨论，适时引导学生从符号、绝对值两个角度观察算式。 2. 抛出交流问题：小学除法如何转化为乘法？有理数范围还适用吗？组织小组交流，引导学生推导法则二，板书公式a÷b=a·（b≠0），强调除数不为0、0没有倒数。 3. 提出思考问题：什么时候用法则一、什么时候用法则二？乘除混合运算该怎么处理？引导小组总结运算步骤，梳理易错点，邀请小组代表汇报探究成果。 4. 针对学生汇报内容进行点评、补充，纠正理解偏差，示范例题计算，强调先定符号再算绝对值的运算习惯。 1. 小组合作，观察乘除算式，讨论交流，从符号、绝对值两方面归纳有理数除法法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以不为0的数得0。 2. 回忆小学知识，小组内讨论，将“除以一个数等于乘倒数”拓展到有理数范围，理解法则二，记住公式，明确转化方法：被除数不变，除号变乘号，除数换成倒数。 3. 小组探讨两种法则适用场景，梳理乘除混合运算的步骤，整理运算易错点；小组代表发言，展示本组探究结论。 4. 认真倾听点评，对照例题理解计算方法，记录法则要点与易错地方。 1. 通过小组合作探究，让学生自主经历观察、猜想、归纳法则的过程，发挥学生主体地位，培养归纳概括与合作交流能力。 2. 借助小学旧知迁移到有理数新知识，体会转化思想，将除法转化为熟悉的乘法，实现化未知为已知，降低学习难度。 3. 对比两条除法法则，区分不同计算场景的选择方法，梳理乘除混合运算流程，提前识别易错点，突破本节课重难点。 4. 学生展示汇报，锻炼数学语言表达能力，教师及时点评，帮助学生巩固新知，完善知识体系。
四、变式 师生互动，变式深化 1. 课件出示例1三道计算题，引导学生观察题目特征，提问：这三道题分别适合选用哪一条除法法则进行计算？指名学生口述解题思路。 2. 带领学生分步板书示范第(1)(2)小题，重点强调除法转化乘法的要点：被除数不变，除号变乘号，除数取倒数；针对第(3)乘除混合运算，提醒学生要统一转化为乘法，从左往右依次运算，先判断符号再算绝对值。 3. 出示变式练习题，组织学生独立演算，巡视课堂，收集学生典型错误，例如符号判断出错、颠倒被除数取倒数、运算顺序混乱等问题。 例1：计算. （1）（-8）÷（- ）； （2）（- ）÷10； （3）（-4）÷（- ）×（-5）. 解：（1）（-8）÷（- ）=（-8）×（- ）=12； （2）（- ）÷10=（- ）× = - ； （3）（-4）÷（- ）×（-5）=（-4）×（- ）×（-5） = -（4××5）=-50. 4. 挑选学生上台板演，组织全班互评，针对板演出现的错误进行精讲，追问错因，总结乘除运算的解题步骤与避坑要点。 1. 观察例题，思考两道除法算式与乘除混合算式的特点，主动举手回答，说明选用法则的理由。 2. 跟随教师一起口述解题步骤，理解转化思想，规范书写解题格式，牢记除法变乘法的转化规则。 3. 独立完成变式习题，认真演算，在草稿纸上写出完整过程。 4. 上台板演，其余同学对照答案检查，参与互评，辨析错题，说出错误原因，整理笔记，牢记运算易错点。 1. 通过典例示范，巩固两条除法法则，让学生学会根据题型选择合适的计算方法，规范解题书写格式。 2. 借助变式训练，强化乘除混合运算“全部转化为乘法再计算”的思路，落实“先定符号，再算绝对值”的运算习惯。 3. 利用课堂板演、互评纠错，暴露学生常见计算误区，及时纠正符号、倒数相关错误，突破本节课计算难点。 4. 通过师生问答互动，锻炼学生数学语言表达，提升学生有理数除法的运算能力。
五、尝试 尝试练习，巩固提高 【知识技能类作业】必做题： 1.-3×2-8÷（-2）计算的结果是（ ） A．2 B．-2 C．-10 D．7 2.下列等式成立的是（ ） A．100 ÷ ×（-6）=100÷[ ×（-6）] B．100 ÷ ×（-6）=100×6×（-6） C．100 ÷ ×（-6）=100× ×6 D．100÷ ×（-6）=100×6×6 3.下列计算①（-1）×（-2）×（-3）=6；②（-36）÷9= -4；③×（- ）÷（-1）= ； ④（-4）÷ ×（-2）=16，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.如图，兰兰有5张写着不同数字的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数字相除，所得到的商最小，则最小的商是（ ） A．-2 B．- C．-9 D．-4 【知识技能类作业】选做题： 1.如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4个分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数-2023将与圆周上的数字（ ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 2.一辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有_____种组合，如果前轮有32齿，后轮有20齿，那么前轮转一圈，后轮转_____圈． 3.一个数的是-6，则这个数是_____． 4.计算： （1）-1.75÷（-3）× （2）÷[ - （ - ）] （3）166 ÷ 41 【综合拓展类作业】 1.近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足的记为“-”，刚好50km的记为“0”． (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少km？ (3)已知汽油车每行驶100km需用汽油7升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少元？ 2.分类讨论思想是一种重要的数学思想，请尝试运用分类讨论思想，解答下面的问题． (1)当ab<0时，若b>0，|a|<|b|，则a+b______0． (2)当abc<0时，若ab>0，则c______0． (3)已知a，b，c是非零有理数，直接写出 + + 的值． 答案 【知识技能类作业】必做题 1.B 2.B 3.C 4.C 【知识技能类作业】选做题 1.A 2.12；1.6 3.-8 4.（1）；（2）；（3） 【综合拓展类作业】 1.（1）48； （2）60km； （3）比原来节省846元． 2.（1）＞（2）＜（3）±3或±1 完成课堂练习题目。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.利用乘法与除法互为逆运算完成填表计算，回顾小学分数除法旧知，由此引入有理数除法的探究学习。 2.掌握有理数除法两条法则。法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以不为0的数结果为0。法则二：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，实现除法向乘法的转化。 3.有理数除法有两种计算途径，可直接相除，也可转化为乘法运算；牢记0不能作除数，0不存在倒数；乘除混合运算先确定符号，再计算绝对值。 4.结合例题练习有理数除法、乘除混合运算，根据题型灵活选择运算法则，做题时重点留意符号，减少计算错误。 1. 自主回顾本节课学习内容，独立思考本节课学到的知识，在草稿纸上简单梳理知识点框架。 2. 主动举手发言，分享本节课收获：回忆乘除互逆的关系，口述有理数除法两条法则，说出两条法则各自的适用场景。 3. 集体交流补充，互相提醒重点注意事项：0不能作除数、0没有倒数，乘除混合运算要先定符号再计算绝对值。 4. 结合例题，反思自己计算时容易出错的地方，总结运算技巧，完善课堂笔记，梳理知识之间的逻辑关系。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.下列说法正确的是（ ） A. 0除以任何数都得0 B. 互为倒数的两个数的乘积为1 C. 若两个数的商为0，则被除数一定为0 D. 一个数除以它的倒数，商为1 2.小航在计算 8÷a时，误将“÷”看成“+”得到的结果是 6，则 8÷a的正确结果是（ ） A． 4 B． 2 C．2 D． 2 3.有一栋居民住宅楼，每两层楼之间的楼梯都是由17级台阶组成的，小明一口气从一楼一级台阶一级台阶地跑到最高一层，紧接着又一级台阶一级台阶地回到一楼，他一边数一边跑，当他数到238时，恰好回到了一楼，那么这栋楼有（ ） A．7层 B．8层 C．6层 D．9层 4.有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示. 若b+d=0，则下列结论正确的是（ ） A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b| 【知识技能类作业】选做题： 1. 若|x-1|+|y+2|=0，则x+y÷xy=（ ），则结果是（ ） A.- B. C. D.- 2. 若，则的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 按如下程序进行计算：输入x→x2→+x→÷x→ x→输出结果，则无论x取任何非零值时，输出的结果都是______。 【综合拓展类作业】 1. 阅读下面材料，解决问题： 计算：。 解法一：。 解法二：原式的倒数为，所以原式。 请比较两种解法，利用你认为比较简便的方法计算下面题目： 。 现有四个有理数，，，，运用有理数的四则混合运算写出不同的算式，使结果等于，要求每个数都要用到，且只能用一次，请写出至少两种不同的运算式。 答案 【知识技能类作业】必做题 1.C 2.A 3.B 4.D 【知识技能类作业】选做题 1.C 2.B 3.1 【综合拓展类作业】 1.取原式的倒数计算： ，所以原式。 2.解：答案不唯一，例如：；；，任选两种即可。
教学反思 本节课学习有理数的除法，依托乘除互逆关系展开教学，基本完成教学目标。教学中从小学除法、有理数乘法旧知引入，借助表格让学生自主探究，归纳出两条除法法则，渗透转化思想。通过例题、变式练习、板演互评，引导学生掌握运算方法，重点强调符号判断、0不能作除数等易错点，突出学生主体地位。 课堂仍存在不足：部分学生对符号判断容易出错，乘除混合运算转化时，会误将被除数取倒数。小组讨论时，少数学生参与度不高。练习时间分配稍紧张，对学困生的个别指导不够充分。 后续教学，要增加符号专项小练习，简化运算步骤提示；优化小组任务，带动学困生参与；预留更多当堂练习时间，及时发现问题，加强针对性辅导，帮助学生减少计算失误。
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学 科 数学 年 级 七年级上册 设计者
教材版本 沪科版 册、章 第1册第1章
课标要求 （一）内容要求 1.负数与有理数认识
（1）理解负数产生的现实意义，能在温度、海拔、收支、运动方向等真实情境中识别、列举具有相反意义的量，会用正、负数表示两类相反意义的量；明确0既不是正数也不是负数，0可作为计量基准，不只是代表“没有”。
（2）理解有理数的定义：整数与分数统称为有理数；掌握有理数两种分类标准（按定义分、按正负性质分），能准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数，能对给定有理数进行集合归类。 2.数轴、相反数、绝对值核心概念
（1）掌握数轴三要素：原点、正方向、单位长度；能规范画出数轴，会读出数轴上点对应的有理数，能根据有理数在数轴描点；理解“所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示”，建立数形结合直观认知。
（2）借助数轴几何意义理解相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；互为相反数的两点在原点两侧、到原点距离相等；会求任意有理数的相反数，熟练完成多重符号化简，能用字母表示任意数的相反数。
（3）借助数轴上点到原点的距离定义绝对值，记作；掌握绝对值分段性质：正数绝对值是本身、负数绝对值是相反数、0的绝对值为0；会计算整数、分数、小数的绝对值；理解互为相反数绝对值相等。 3.有理数大小比较
（1）会利用数轴比较任意有理数大小：数轴右侧的数始终大于左侧的数；牢记正数＞0＞负数，正数大于一切负数。
（2）掌握两个负数比较大小规则：绝对值大的负数数值反而更小；规范掌握“求绝对值→比绝对值→定原数大小”完整解题步骤，能比较整数、分数、小数形式负数。 4.有理数四则运算与运算律
（1）掌握有理数加法、减法、乘法、除法完整运算法则；理解加减互逆、乘除互逆关系；减法统一转化为加相反数，除法统一转化为乘倒数，渗透化归思想。
（2）理解有理数范围内加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律全部成立；能灵活运用运算律简化多步加减、乘除混合计算。
（3）掌握多个有理数相乘符号判定方法：负因数偶数个积为正，奇数个积为负；任意因数为0则乘积为0；明确0不能作除数，0除以非0数结果为0。
（4）理解倒数概念：乘积为1的两个非0有理数互为倒数，会求整数、分数、小数的倒数。 5.乘方、混合运算、科学记数法、近似数
（1）理解乘方定义：求个相同因数积的运算；分清底数、指数、幂，掌握乘方读法与书写规范；掌握乘方符号规律：正数任意次幂为正，负数奇次幂负、偶次幂正。
（2）牢记有理数混合运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；多层括号由内向外计算；能规范完成三步以内综合混合运算，区分与的本质区别，规避符号易错点。
（3）掌握科学记数法：将绝对值大于10的大数表示为（，为正整数）；能将“万、亿”单位大数改写为标准科学记数法，理解科学记数法简化大数书写的实用价值。
（4）区分准确数与近似数；理解误差、精确度含义；会判断普通小数、带单位数、科学记数法近似数精确位数；能按指定精确度四舍五入取近似值，结合生活场景进行估算。 6.实际应用
能运用有理数概念、各类运算解决温差、收支盈亏、行程、增长率、统计大数估算、误差测量等简单实际问题，建立数学模型观念。
内容分析 （一）整体知识结构 本单元是七年级上册开篇大单元，按照概念引入→核心工具（数轴 / 相反数 / 绝对值）→大小比较→四则运算→运算律→乘方→混合运算→大数表示与近似逻辑递进，形成完整有理数知识链条： 1.概念奠基模块：正数和负数→有理数定义与分类；完成数域从 “正数、0” 扩充至有理数，建立相反意义量、有理数分类基础认知。 2.数形结合工具模块：数轴→相反数→绝对值→有理数大小比较；以数轴为核心载体，串联全部基础概念，是理解运算、比较大小的直观工具。 3.加减运算模块：有理数加法→加法运算律→有理数减法→加减混合运算；统一减法为加法，依托运算律简化多步加减计算。 4.乘除运算模块：有理数乘法→乘法运算律→有理数除法；引入倒数，统一除法为乘法，拓展多因数符号判断简便方法。 5.高阶运算模块：有理数乘方→有理数混合运算；新增三级运算（乘方），建立完整运算顺序规则，综合运用前面所有运算知识。 6.数的表示与估算模块：科学记数法→近似数；解决大数书写、测量估算现实需求，完善有理数在统计、测量场景的应用。 （二）各模块内在逻辑关联 1.递进关系：前一课时知识是后一课时必备基础。无正负数概念则无法定义有理数；无数轴则难以直观理解相反数、绝对值；不掌握加减乘除单一运算法则，无法开展混合运算；无乘方基础则无法学习科学记数法。 2.统一转化思想贯穿全单元：减法转化为加相反数、除法转化为乘倒数、乘方转化为重复乘法，全部新运算最终划归为小学已掌握的正数加减乘除，降低认知难度。 3.数学思想串联全单元
（1）数形结合：数轴贯穿相反数、绝对值、大小比较、运算法则推导全流程；
（2）分类讨论：有理数两种分类、绝对值分段性质、两负数比较、多因数乘积符号判断均使用分类思想；
（3）化归转化：减法、除法向加法、乘法转化，混合运算逐级拆解为基础运算；
（4）模型思想：所有课时均搭配生活情境（气温、海拔、收支、统计），建立 “现实问题→有理数算式→计算求解→回归实际” 解题模型。 （三）单元前后教材地位与作用 1.承接小学知识：小学仅学习正整数、正分数、0 及其运算，本单元引入负数完成数域第一次正式扩充，衔接小学算术到初中代数。 2.初中数学奠基作用
（1）是后续整式加减乘除、一元一次方程、不等式、函数、实数全部内容的运算基础；所有代数计算均以有理数运算规则为底层逻辑。
（2）数轴是后续平面直角坐标系、不等式解集、函数图像的核心工具，数形结合思想从本单元正式系统培养。
（3）符号意识、分类讨论、推理能力、运算习惯在本单元定型，2.直接影响整个初中数学学习质量。 4.跨学科应用价值：科学记数法、近似数应用于物理、化学、地理大数据；正负数表示温度、海拔、误差；有理数运算用于物理速度、化学配比计算。
学情分析 （一）已有知识基础 1.数的认知：熟练掌握正整数、正小数、正分数概念，能区分整数、分数；认识 0，知道 0 表示 “没有”；能完成正数范围内四则运算。 2.运算能力：具备正数加减乘除基础计算能力，了解加法、乘法交换律、结合律；会简单估算、四舍五入。 3.生活经验：见过零下温度、海拔高度差、收支盈亏、电梯上下楼层等相反意义场景，对 “相反” 有直观生活感知。 4.图形基础：小学学习直线、刻度直尺，具备在直线上标记数字的直观经验，可迁移至数轴学习。 （二）认知薄弱点与学习障碍（核心难点） 1.抽象思维不足，难以理解负数意义
小学长期只接触正数，思维固化；很难理解 “小于 0 的数” 有实际意义，容易混淆 “负号” 与减号；无法快速接受 0 作为分界基准，认为 0 只是 “没有”。 2.数形结合思想空白
小学很少将数字与直线上的点绑定，难以建立 “数 = 点、符号 = 方向、绝对值 = 距离” 的对应关系；单独背诵相反数、绝对值定义容易遗忘，不会借助数轴辅助解题。 3.符号运算极易出错
（1）分不清多重符号化简规则，如、符号判断混乱；
（2）负数加减、两负数相乘除符号判断失误；
（3）混淆与，忽略括号对乘方符号的影响；
（4）混合运算顺序混乱，跳步计算，漏写负号、括号。 4.分类讨论逻辑不严谨
有理数分类容易遗漏 0；绝对值分段取值不会分情况讨论；多个负数相乘时，不会准确统计负因数个数判断积的符号。 5.化归转化思想不熟练
不能主动将减法转加法、除法转乘法，习惯直接硬算，不会利用运算律简便计算，计算步骤繁琐、正确率低。 6.小学学习习惯不适应初中
（1）依赖具象数字计算，排斥字母表示（如的相反数是难以理解）；
（2）计算不写步骤，口算为主，缺乏规范书写习惯；
（3）被动听课为主，缺少自主探究、归纳法则的意识；
（4）审题忽略生活情境，只会机械计算，不会结合实际解释结果。 （三）学生认知发展规律 七年级学生仍以具象形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展；教学必须依托温度、海拔、数轴图形等直观素材，逐步过渡到抽象符号运算。 对数的认知遵循 “生活实例→直观图形→符号定义→运算规则→综合应用” 顺序，单元 17 课时完全贴合该认知路径。 运算能力形成需要分层训练：单一法则基础计算→简便运算→三步混合运算→实际应用题，循序渐进降低学习坡度。
单元目标 一、教学目标 （一）数学眼光：全面发展抽象能力（数感、量感、符号意识）、几何直观、创新意识 1.发展抽象能力（数感、量感、符号意识）：学生能够主动观察现实世界中温度升降、资金收支、海拔高低、楼层上下等具备相反属性的数量场景，感知原有正数体系无法完整刻画生活数量，直观体会负数产生的必要性，建立负数量感；能够精准分辨生活中可计数的准确数量、测量估算得到的近似数量，感受极小负数、普通有理数、极大统计大数之间的量级差异，形成完整、连贯的有理数数感；能够理解有理数“整数与分数统称”的核心定义，熟练按照两种分类标准对数字划分归类，做到分类不重不漏；具备成熟符号意识，能够准确运用“+、-”区分相反意义的两类量，读懂并规范书写绝对值符号|a|、乘方符号an、科学记数法标准形式±a×10n，理解字母a可代表任意有理数，-a仅表示a的相反数，不一定是负数，能借助符号文字概括有理数全部运算法则与五大运算律，脱离具象数字完成符号层面的概念理解。 2.发展几何直观：学生能够牢牢掌握数轴原点、正方向、单位长度三大核心要素，独立规范绘制标准数轴；建立“有理数与数轴上点一一对应”的数形认知，看到任意有理数能快速在数轴定位，看到数轴上任意点能读出对应数值；能够依托数轴图形直观解读相反数、绝对值的几何本质：互为相反数的点分居原点两侧、到原点距离相等，绝对值是点到原点的距离，天然具备非负性；能利用数轴直观对比任意两个有理数大小，借助数轴示意图推导有理数加法运算过程；在处理多重符号化简、负数比较、绝对值求值等易混淆题型时，主动画图辅助分析，形成“以形释数、以形助解”稳定思维习惯。 3.发展创新意识：学生不局限课本给出的案例，能自主挖掘生活、体育、地理、物理、财经等领域全新相反意义量实例，自主创设生活情境解释负数、近似数、大数的实用价值；面对多步加减、乘除混合算式，主动观察数字特征，自主创新凑整、抵消相反数、分组结合等简便计算思路，不局限固定解题模板；针对负数大小比较、多重符号化简等题型，自主探索两种及以上不同解题路径，主动对比不同方法优劣，敢于提出个性化简化思路；在科学记数法、近似数探究活动中，自主思考简化大数记录、优化测量估算精度的创新方案。 （二）数学思维：扎实提升运算能力、推理能力 1.提升运算能力：学生能完整熟记有理数加、减、乘、除、乘方全部运算法则，精准判断每一步运算结果的符号，熟练完成整数、正负数、分数、小数的单一基础运算；灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律对多步算式变形简化，自主优化运算步骤，提升计算速度与正确率；牢固掌握化归运算逻辑，能自主将减法统一转化为加上相反数、除法统一转化为乘倒数，把陌生负数运算划归为熟悉的正数运算；严格遵循有理数混合运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，多层括号由内向外逐层计算，清晰区分-an与(-a)n的运算顺序与符号差异，书写完整规范计算步骤，杜绝跳步、漏符号、漏括号等计算失误；熟练完成大数与科学记数法双向改写，掌握”万、亿”单位换算技巧，能按照指定精确度使用四舍五入求取近似数，规范处理测量、统计类数值计算。 2.提升推理能力：一是形成完整合情推理能力，通过多组算式列举、数轴直观演示、生活情境演算，自主观察、归纳、猜想有理数运算法则、相反数与绝对值性质、乘方符号规律、两负数大小比较规律，完整清晰口述归纳推导全过程；二是形成严谨演绎推理能力，每一步有理数计算、符号化简、数值大小对比都能精准说出对应的定义、法则、运算律作为推理依据，做到步步有据；在判断近似数精确度、有理数集合分类题型中，依托概念定义严谨说理，逻辑清晰；三是熟练掌握分类推理思维，在有理数分类、绝对值分段讨论、多个非零有理数相乘判断积的符号等问题中，主动划分讨论范围，做到分类标准统一、结果不重不漏，形成条理化、严谨化的数学推理习惯。 （三）数学语言：稳步培育数据观念、模型观念、应用意识 1.培育数据观念：学生能够清晰区分生活中统计计数得到的准确数据，尺子、温度计、仪器测量产生的近似数据，理解测量工具精度限制会产生误差，客观辩证看待近似数据；能够读懂人口、国土、天文、地理等场景中的海量大数，熟练运用科学记数法统一简化记录大规模数据；能够根据实际使用需求，自主选择不同精确度对测量、统计数据进行四舍五入取近似值，懂得合理取舍数据以适配生活应用场景，具备处理现实量化数据的基本素养。 2.培育模型观念：学生能够精准识别生活中增减、盈亏、温差、升降、涨跌等数量关系，把现实文字描述抽象转化为有理数加减、乘除、乘方算式，构建有理数运算数学模型；清晰认知三类核心数学模型：数轴是直观表示全体有理数的几何模型，科学记数法是简化超大数字书写的表达模型，近似数与精确度是刻画测量数据误差的估算模型；解决实际应用题时，形成固定完整建模流程：提取文字中的关键数量关系→搭建有理数算式模型→规范运算求解→结合现实场景解读计算结果的实际含义，建立用数学模型解决现实问题的稳定思路。 3.培育应用意识：学生能够主动发掘日常生活、物理、化学、地理等跨学科场景中有理数的应用场景，运用本单元概念解释零下气温、海拔落差、账户盈亏、比赛积分、人口普查大数、实验测量误差等生活现象；独立完成温差计算、收支核算、海量数据统计、实验数值估算等各类实际应用题，能主动检验计算结果是否贴合现实逻辑，剔除不符合生活常识的错误答案；小组合作探究活动中，熟练运用规范文字、数学符号、数轴图形三类数学语言完整表达自己的解题思路，与同伴交流不同实际问题的建模、计算方法，条理清晰、完整准确地表达数学思考过程。 二、教学重点、难点 （一）单元教学重点 1.概念重点
（1）相反意义的量，正负数、0 的含义；有理数定义与两种分类方法；
（2）数轴三要素，有理数与数轴上点的对应关系；
（3）相反数定义、几何意义与化简；绝对值定义、分段性质、求值；
（4）有理数大小比较法则，尤其是两个负数比较大小方法。 2.运算重点
（1）有理数加法、减法、乘法、除法运算法则，符号判定；
（2）减法转加相反数、除法转乘倒数的转化方法；
（3）五条有理数运算律，运用运算律简便计算；
（4）乘方概念与符号规律，有理数混合运算顺序；
（5）科学记数法标准形式，近似数精确度判断与四舍五入。 3.思想方法重点：数形结合思想、化归转化思想、分类讨论思想；利用有理数运算解决简单实际问题。 （二）单元教学难点 1.概念理解难点
（1）理解负数的实际意义，突破 “只有正数才有实际大小” 的思维定式；理解 0 作为分界基准的双重含义；
（2）绝对值几何意义（距离非负性），含字母分段讨论；
（3）多重符号化简逻辑，区分不一定是负数；
（4）近似数、精确度的理解，科学记数法形式下精确位数判断。 2.运算难点
（1）负数参与加减、乘除时符号判断，是全单元最核心易错难点；
（2）两负数比较大小，“绝对值大反而小” 反向逻辑理解与运用；
（3）乘方区分与，括号对符号的影响；
（4）混合运算综合运用：乘方、乘除、加减多层顺序叠加，符号、括号、运算律综合混淆；
（5）灵活选择运算律进行多步加减、乘除简便运算，不会观察算式特征分组凑整、抵消相反数。 3.思想方法运用难点
（1）主动借助数轴数形结合解决相反数、绝对值、大小比较问题，而非死记硬背定义；
（2）自主运用化归思想将减法、除法转化熟悉运算；
（3）结合生活情境建立有理数数学模型，能解释运算结果的实际含义，不只会纯数字计算。 4.学习习惯难点：规范书写完整运算步骤，克服口算跳步、漏写负号、省略括号的不良习惯。 （二）学业质量要求 1.抽象能力：学生能从气温、海拔、收支、升降等现实情境中剥离具体事物，抽象出具有相反意义的量，感知负数引入的必要性，同步发展数感与量感；能够理解有理数由整数和分数组成，按照两种分类标准对数字进行归类概括；具备符号意识，读懂正负号、绝对值、乘方、字母等数学符号的含义，能用符号概括相反数、绝对值、运算法则，完成从生活具象数量到有理数抽象数系的认知升级。 2.几何直观：学生能以数轴为直观载体，可视化呈现正数、0、负数的分布，借助数轴图形解释相反数分居原点两侧、绝对值代表点到原点距离、数轴右侧数字更大等规律；在负数大小比较、多重符号化简、有理数加法推导等题型中，主动绘制数轴辅助分析，依靠图形化解抽象数字难点，形成“以形助数”的稳定思考方式。 3.空间观念与创新意识：空间观念层面，学生能感知数轴一维直线的空间结构，区分原点左右正负区间，依据单位长度判断点与原点的空间距离，建立线性位置认知，为平面直角坐标系学习铺垫基础；创新意识层面，学生可自主挖掘课本外生活、跨学科相反意义量实例，自主设计简便运算分组思路，针对同类题型探索多种解题方法，在大数表示、近似估算活动中提出个性化简化方案。 4.运算能力：学生熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方全部运算法则，准确判断运算结果符号；能够灵活运用五大运算律简化多步算式，掌握减法化加法、除法化乘法的化归运算思路；严格遵循“先乘方，再乘除，后加减，括号优先”的混合运算顺序，精准区分-an与(-a)n的运算差异，规范书写完整计算步骤；能完成大数、科学记数法互化，按要求对数值四舍五入取近似值，降低符号、括号类计算错误。 5.推理意识或推理能力：合情推理上，学生通过多组算式、数轴演示自主观察归纳有理数运算法则、绝对值性质、乘方符号规律；演绎推理上，每一步计算、化简、大小对比都能对应说出定义、法则作为依据，做到步步有据；分类推理上，在有理数分类、绝对值分段讨论、多因数乘积符号判断时，主动划分讨论范围，逻辑完整、不重不漏，逐步形成严谨的数学推理习惯。 6.数据意识或数据观念：学生能够清晰地区分计数产生的准确数据、仪器测量产生的近似数据，理解测量误差的来源；能读懂人口、地理、天文领域海量大数，熟练使用科学记数法简化大数据记录；可结合实际场景需求，自主选择合理精确度对统计、测量数据取近似值，客观理性处理现实量化数据。 7.模型意识或模型观念：学生能将生活中增减、盈亏、温差等文字数量关系转化为有理数运算算式，建立数字运算模型；认识数轴、科学记数法、近似数三类专用数学模型，分别对应有理数几何表示、大数简化书写、测量误差刻画；解决实际问题时，形成“提取数量关系—搭建有理数算式模型—运算求解—解读现实含义”完整建模流程。 8.应用意识：学生能主动发现日常生活、物理、化学、地理中的有理数应用场景，利用负数、有理数运算、科学记数法、近似数解释气温、海拔、收支、统计、实验测量等现实现象；独立完成温差、收支、大数统计、数值估算等应用题，主动检验计算结果是否符合生活逻辑；小组交流中，使用文字、符号、数轴图形完整表达解题思路，运用有理数知识解决真实生活问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数课时1正数和负数1课时2有理数1课时3数轴1课时4相反数1课时5绝对值1课时6有理数的大小1课时7有理数的加法1课时8有理数加法的运算律1课时9有理数的减法1课时10有理数加减混合运算1课时11有理数的乘法1课时12有理数乘法运算律1课时13有理数的除法1课时14有理数的乘方1课时15有理数的混合运算1课时16科学计数法1课时17近似数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务正数和负数能识别生活中相反意义的量，会用正、负数表示数量，明确0既不是正数也不是负数。能准确区分相反意义量，规范书写正负数，清晰说出0的双重含义。完成生活情境填空，标注每组相反意义量并选用正负号表示。有理数掌握有理数定义与两种分类标准，能正确区分整数、分数、正数、负数、0。可无遗漏、不重复将数字归入对应数集，准确口述有理数分类依据。完成有理数集合归类填表，自主梳理两种分类框架。数轴牢记数轴三要素，规范画数轴，实现有理数与数轴上点的互相对应。画出标准数轴，能根据点读数、根据数字找点，理解一一对应关系。独立绘制数轴，完成描点、读数两类基础练习题。相反数理解相反数概念与数轴几何特征，熟练求任意有理数相反数并化简多重符号。快速求出任意数相反数，准确化简多层正负符号，能结合数轴解释相反数特点。完成相反数书写、多重符号化简两类计算题。绝对值借助数轴理解绝对值是距离，掌握绝对值分段性质，会求各类有理数绝对值。能准确计算整数、分数、小数的绝对值，借助数轴解释绝对值非负性。完成绝对值求值习题，结合数轴说明|a|的几何意义。有理数的大小掌握数轴比较法与负数绝对值比较法，规范比较任意两个有理数大小。能灵活选用两种方法比较数的大小，完整写出两负数比大小解题步骤。利用“＞、＜”完成数值比较，规范书写负数比大小完整过程。有理数的加法理解有理数加法三类法则，能正确完成同号、异号、与0相加的运算。精准判断和的符号与绝对值，无符号错误完成各类有理数加法计算。分层完成同号、异号、含0加法计算题，标注每道题运算法则。有理数加法的运算律掌握加法交换律、结合律，会分组凑整简化多步有理数连加运算。能观察算式特征灵活分组，运用运算律简化计算，提升运算正确率。完成多步连加简便运算，标注每一步使用的加法运算律。有理数的减法理解减法法则，能将减法统一转化为加相反数进行计算。熟练完成“减变加、减数变相反数”转化，准确计算各类有理数减法。将减法算式改写为加法形式并完整计算。 有理数加减混合运算会把加减混合算式统一为加法，省略括号符号并利用运算律简便计算。能正确简写省略加号形式，合理分组快速完成混合运算。将加减混合算式改写为省略括号形式，简便求值。有理数的乘法掌握有理数乘法符号法则，理解倒数定义，熟练完成两数乘法运算。快速判断积的符号，准确求出非零数的倒数，正确计算有理数乘法。完成整数、分数乘法计算，写出各数对应的倒数。有理数乘法运算律掌握三条乘法运算律，能判断多个非零数乘积符号，利用运算律简算。准确统计负因数个数判断积的符号，灵活使用分配律简化计算。多因数连乘计算，运用乘法分配律完成分数简便运算。有理数的除法掌握两条除法法则，能将除法转化为乘倒数，规范完成乘除混合计算。能自主选择两种除法方法计算，清晰区分0不能作除数。将除法转化为乘法并完成求值，辨析含0除法易错题型。有理数的乘方理解乘方、底数、指数、幂概念，掌握乘方符号规律，能把乘方化为乘法计算。准确区分(-a)n与-an，依据符号规律快速计算简单乘方。书写乘方各部分名称，完成正、负数乘方计算题。有理数的混合运算牢记混合运算顺序，能综合乘方、乘除、加减规范分步计算。严格遵循运算顺序解题，无顺序、符号、括号类计算错误。完成三步及以内综合混合运算，完整书写分步计算过程。科学计数法掌握标准科学记数法形式，能实现大数与科学记数法互相改写。准确确定a与n的值，规范改写带万、亿单位的大数。通大数、“万/亿”单位数改写为标准科学记数法。 近似数区分准确数与近似数，会判断精确度，按要求四舍五入取近似值。能辨别两类数据，精准判断不同形式数的精确数位，正确取近似值。区分准确数、近似数，按指定精确度对数值四舍五入。
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