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26.1 二次函数的概念 教学设计
课题 26.1 二次函数的概念 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1. 理解、掌握二次函数的概念和一般形式；2. 会利用二次函数的概念解决问题；3. 能列二次函数解析式解决实际问题，体会函数模型的价值。
教学重点 二次函数的概念与一般形式，能指出二次项系数、一次项系数和常数项。
教学难点 根据实际问题列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。
教学方法 情境探究、类比归纳、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 教材 P31 练习第 1～3 题及对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
引入课题 一、创设情境，引入课题 【探究1】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y。显然，对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数。y 与 x 之间的具体关系是什么？ 师生互动：老师提示从“六个面”入手；学生思考后回答；老师追问：反过来，对于 y 的每一个值，x 都有唯一的值与之对应吗？学生回答、交流后总结：y 是 x 的函数，具体关系可表示为： 【探究2】n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 之间有什么关系？ 分析：每个队要与其他（n 1）个球队各比赛一场，那么 n 个球队要比赛 n（n 1）场，但甲队对乙队与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛总场数为： 即　。 【探究3】某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量，每年都比上一年增加 x 倍，那么两年后的产量 y（单位：t）将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 分析：原产量为 20 t，一年后的产量是 20（1＋x）t，再经过一年后的产量是 20（1＋x）（1＋x）t，即两年后的产量： 即　。 老师提问：观察上面三个问题中的函数，它们有什么共同点？ 学生从自变量的个数、式子的次数等方面入手，讨论交流，发表自己的意见；老师点评并总结。 在具体情境中寻找数量关系，尝试列式；观察三个关系式，对比异同，交流发言。 由正方体表面积、比赛场次、产品产量三个实际问题引入，经历“具体问题→数量关系→函数模型”的抽象过程，让学生初步感受二次函数源于实际需要。
二、类比探究
归纳概念 二、类比探究，归纳概念 【思考】上面三个问题中的函数①②③有什么共同点？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。 一般地，形如 （a、b、c 是常数，a≠0） 的函数，叫作二次函数。其中 x 是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的　　　　　　、　　　　　　和　　　　　　。 参考答案：二次项系数；一次项系数；常数项。 定义要点提示： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的　　　　； （2）a、b、c 为常数，且 a　　　0； （3）等式右边自变量的　　　　为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 参考答案：（1）整式；（2）≠；（3）最高次数。 类比一元二次方程的一般形式与一次函数的概念，自主归纳二次函数的定义；同桌互查“整式、最高次数为2、a≠0”三个关键词。 学生已具备一元二次方程一般形式的知识，并学过一次函数的意义，通过类比使学生对二次函数的意义有进一步理解，紧扣定义特征突破概念。
三、学以致用
应用新知 三、学以致用，应用新知 例　(1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于底面半径 r 的函数解析式。 解：圆柱的表面积是两个底面积与侧面积的和，即 。 (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率为 x。写出两年后产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式。 解：一年后的年销售量为 8（1 x）万件，两年后的年销售量为 8（1 x）（1 x）万件，所以 ，即 。 独立列式并板演，说明每一步的实际意义；其余学生补充、质疑，规范书写格式。 运用二次函数概念建立实际问题的模型，巩固“由实际情境列解析式”的方法，体会系数的实际含义。
四、随堂训练
巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：C。（A 化简后是一次函数；B 化简后 y＝3x，是一次函数；D 未注明 a≠0，不一定是二次函数；C 化简为 ，符合定义。） 2. 已知二次函数 ，则二次项系数 a＝　　　　，一次项系数 b＝　　　　，常数项 c＝　　　　。 答案：3； 5；1。（先化为一般形式，系数要连同前面的符号一起看。） 3. 如图，某公园内有一块长为 100 m、宽为 80 m 的矩形场地，计划修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分种植花卉。设道路的宽为 x m，种植花卉的面积为 y ，那么 y 与 x 之间的函数解析式为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 答案：C。（把两条道路向边平移，剩余部分可拼成长为（100 x）m、宽为（80 x）m 的矩形。） 4. 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100 件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加 10 件。若设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，求 y 与 x 的函数解析式。 分析：如果不降低售价，每件利润是 10 8＝2（元），一天总的利润是（10 8）×100＝200（元）。若每件商品降价 x 元，则每件商品的利润是（2 x）元，一天可销售约（100＋100x）件商品。 解：，即 （0≤x≤2）。 师生活动：限时独立完成，小组核对；教师讲评第 1、2 题“紧扣定义特征、系数连同符号看”，第 3 题“平移转化”，第 4 题“利润＝（售价 进价）×销售量”与自变量取值范围 0≤x≤2。 限时独立完成，小组核对答案；展示第 1、3 题的判断依据与第 4 题的等量关系，集中订正。 第 1、2 题紧扣定义的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为 2 的整式；第 3 题渗透平移转化思想；第 4 题巩固利润模型，强调自变量取值范围。学生独立完成，教师巡视指导，了解掌握情况。
五、课堂小结
自我完善 五、课堂小结，自我完善 （1）请叙述二次函数的定义，并指出一般形式中各项的名称。 （2）许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数解析式。 教师引导学生梳理：判断一个函数是否为二次函数的三个条件——右边是整式、自变量的最高次数为 2、二次项系数不为 0。 自主梳理本节课知识，同桌互述定义；展示自编应用题并互评，完善知识结构。 通过小结帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆；开放编题促进学以致用，发展建模能力。
六、布置作业 六、布置作业 1. 教材 P31 练习第 1 题：写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）；（2）；（3）；（4）。 参考答案：（1）8， 16，8；（2）1，0，0；（3）1，5，0；（4）2， 4， 3。 2. 教材 P31 练习第 2 题：矩形绿地长 30 m、宽 20 m，两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y ，写出 y 关于 x 的函数解析式。 参考答案：，即 。 3. 教材 P31 练习第 3 题：提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示。（答案不唯一，如：正方形的边长为 x cm，它的面积为 y ，则 。答案须满足二次函数定义。） 4. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，及时复习巩固；开放题鼓励多角度构思。 作业覆盖“识别系数—建立模型—开放编题”三个层次，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
26.1 二次函数的概念 一、二次函数的定义 一般地，形如 （a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫二次函数。 二、三个特征 ①右边是关于自变量 x 的整式；②自变量的最高次数为 2；③二次项系数 a≠0 三、主要任务 二次函数的识别；确定二次函数中待定字母的取值（范围）；求函数值及自变量的取值范围；根据实际问题建立二次函数模型 学生板演区
教学反思

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