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26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教学设计
课题 26.2.1 二次函数 y=ax2 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1. 会用描点法画出 y=ax2 的图象，理解抛物线的有关概念；2. 经历探索二次函数 y=ax2 图象和性质的过程，掌握 y=ax2 的图象和性质，并会简单应用，养成观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点 理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数 y=ax2 的图象。
教学难点 用描点法画出图象，并从图象中探索、归纳二次函数 y=ax2 的性质。
教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸
课后练习 画出 y= x2 的图象并说明其性质及对应课时练习（见布置作业）。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
引入课题 一、创设情境，引入课题 【探究1】同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？ （先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质。） 【探究2】我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？ （可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象，再根据图象研究图象的特征和性质。） 【画图】用描点法画二次函数 的图象。 解：(1) 列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表： ： x … 3 2 1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2) 描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点； (3) 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示。 老师提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？ 学生观察、思考、讨论、交流，归纳为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。实际上，二次函数的图象都是这样的曲线，它们的开口或者向上或者向下。 抛物线概念：我们把二次函数 （a≠0）的图象叫作抛物线 。 顶点概念：每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的　　　　。顶点是抛物线的最低点或最高点。 参考答案：顶点。 回顾一次函数的研究路径（画图象→观察→归纳），独立完成列表、描点、连线并画出图象；从形状、开口方向、对称性、顶点等角度描述图象特征。 先复习研究函数的一般方法，对探究函数的框架进行架构，为后续二次函数图象和性质的研究铺垫；关注学生能否选取适当的自变量的值，形状不明时知道通过加密点来画图。
二、类比探究
归纳性质
（a＞0） 二、类比探究
归纳性质（a＞0） 【探究3】问题1：在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？ 问题2：在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？ 问题3：将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？ 师生活动：画图时教师引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点；共同点与区别分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识：四个函数的图象都是抛物线，都关于 y 轴对称，顶点坐标都是（0，0）；区别在于开口方向不同，a＞0 时开口向上，a＜0 时开口向下。 【总结】四个函数是函数 y=ax2 的特例，由它们的图象的共同特点，可猜想： （a≠0）的图象是一条　　　　　，它关于　　　　　对称，它的顶点坐标是　　　　　。 参考答案：抛物线；y 轴；（0，0）。 如果要更细致地研究函数 y=ax2 图象的特点和性质，应如何分类？为什么？（按 a＞0 与 a＜0 两种情况分类研究。） 让学生观察 、 的图象，填空： 当 a＞0 时，抛物线 开口　　　　，对称轴是 y 轴；在对称轴的左侧，抛物线从左到右　　　　；在对称轴的右侧，抛物线从左到右　　　　，　　　　　　是抛物线的最低点。 参考答案：向上；下降；上升；顶点（0，0）。 【追问】图象的这些特点反映了函数的什么性质？先让学生观察右图，回答以下问题： (1) xA，xB 大小关系如何？是否都小于 0？ (2) yA，yB 大小关系如何？ (3) xC，xD 大小关系如何？是否都大于 0？ (4) yC，yD 大小关系如何？ ，且 ，；；，且 ，；。 学生填空：当 x＜0 时，y 随 x 的增大而　　　　；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而　　　　；当 x＝　　　时，（a＞0）取得最小值，最小值 y＝　　　。 参考答案：减小；增大；0；0。a 越大，抛物线的开口越小。 以上结论就是当 a＞0 时，函数 y=ax2 的性质。 从特殊的数值入手，画图、观察、比较，归纳 y=ax2 的图象特征；结合图象回答对应点坐标与函数值的大小关系，填空归纳性质。 经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数 y=ax2 的图象特征，a 分为 a＞0 和 a＜0 两种情况；先找共同点，再找不同点，老师引导学生概括观察的角度和方法。
三、探索新知
归纳性质
（a＜0） 三、探索新知
归纳性质
（a＜0） 【探究】观察函数 、 的图象，试作出类似的概括：当 a＜0 时，抛物线 有些什么特点？它反映了当 a＜0 时，函数 具有哪些性质？ 学生讨论、交流，达成共识： 当 a＜0 时，抛物线 开口向下，对称轴是 y 轴；在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降，顶点（0，0）是抛物线的最高点。a 越小，抛物线的开口越小（即 |a| 越大，开口越小）。 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＝0 时， 取得最大值，最大值 y＝0。 【归纳对比】函数 y=ax2 的图象和性质： a＞0：开口向上，对称轴是 y 轴，顶点（0，0）是最低点，最小值 0；x＜0 时 y 随 x 的增大而减小，x＞0 时 y 随 x 的增大而增大。 a＜0：开口向下，对称轴是 y 轴，顶点（0，0）是最高点，最大值 0；x＜0 时 y 随 x 的增大而增大，x＞0 时 y 随 x 的增大而减小。 两种情况下，都有 |a| 越大，抛物线 y=ax2 的开口越小。 类比 a＞0 的研究方法，自主归纳 a＜0 时抛物线的特点与函数性质，讨论交流并互相补充。 由特殊到一般，分 a＞0 与 a＜0 两种情况完整归纳 y=ax2 的图象与性质，渗透分类讨论与数形结合思想。
四、学以致用
应用新知 四、学以致用，应用新知 例1　在同一直角坐标系中，画出函数 ， 的图象。 解：分别列表，再画出它们的图象，如图。 ： x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … y … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … ： x … 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 教师讲评：|a| 越大，抛物线的开口越小；描点时形状不明可加密取点。 独立列表、描点、连线，在同一坐标系中画出两个函数的图象并相互比对，体会 |a| 对开口大小的影响。 巩固描点法画图，通过对比同一坐标系中两条抛物线的图象，直观感受二次项系数对开口宽窄的影响，发展作图与观察能力。
五、随堂训练
巩固新知 五、随堂训练，巩固新知 1. 抛物线 的图象可能是（　　） A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 答案：A。（a＝ 2＜0，开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，0）；B 开口向上且顶点不在原点，C、D 不是函数图象的形状。） 2. 已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 与 的图象有可能是（　　） 答案：C。（两个函数的图象都经过原点：a＞0 时直线过一、三象限且抛物线开口向上，a＜0 时直线过二、四象限且抛物线开口向下；A 中直线不经过原点，B、D 中直线的方向与抛物线的开口方向不一致，只有 C 符合。） 3. 抛物线 的顶点坐标是（　　） A.（2，0）　　B.（1，2）　　C.（0，0）　　D.（0，2） 答案：C。（y＝ax2 的顶点都是原点（0，0）。） 4. 抛物线 的对称轴是（　　） A. x＝3　　B. x＝ 3　　C. x＝0　　D. y＝0 答案：C。（y＝ax2 的对称轴都是 y 轴，即直线 x＝0。） 5. 已知抛物线 （a＞0）过 A（ 2，），B（1，）两点，则下列关系式中一定正确的是（　　） A. y1＞0＞y2　　B. y1＞y2＞0　　C. y2＞0＞y1　　D. y2＞y1＞0 答案：B。（a＞0，开口向上：y1＝4a，y2＝a，由 a＞0 得 4a＞a＞0，即 y1＞y2＞0。） 师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；提示解二次函数性质问题最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析，结合特殊点采取“排除法”，以免解题时产生错误。 限时独立完成，小组核对；展示判断依据，学会画草图、用特殊点排除错误选项。 分 a＞0 与 a＜0 两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”；巩固数形结合思想，发展识图与推理能力。
六、课堂小结
布置作业 六、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾： 1. 如何用描点法画出函数 的图象？（列表—描点—连线） 2. 函数 具有哪些性质？（分 a＞0 与 a＜0 从开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性归纳） 理解二次函数的概念，画出二次函数的图象，并借此探究 y=ax2 的图象特点和性质，体会类比研究与数形结合的方法。 布置作业： 1. 画出函数 的图象，并根据图象说出它的性质。 参考答案：列表 x 取 3～3，对应 y 值为 9， 4， 1，0， 1， 4， 9；图象是开口向下、对称轴为 y 轴、顶点坐标为（0，0）的抛物线，顶点是最高点，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而减小，当 x＝0 时函数取得最大值 0。 2. 抛物线 的开口向　　　　，对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　　。 参考答案：上；y 轴；（0，0）。 3. 完成对应课时练习。 自主梳理研究路径“画图象→观察→归纳性质”；课后独立完成作业，及时巩固。 类似一次函数的研究过程梳理本课知识主线；作业从作图到性质表达层层递进，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 一、画 y=ax2 的图象：列表 → 描点 → 连线（描点法） 二、抛物线与顶点 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫抛物线；抛物线与对称轴的交点叫顶点 三、y=ax2 的图象和性质 a＞0：开口向上，对称轴 y 轴，顶点（0，0）最低点，最小值 0；x＜0 递减，x＞0 递增 a＜0：开口向下，对称轴 y 轴，顶点（0，0）最高点，最大值 0；x＜0 递增，x＞0 递减 两种情况：|a| 越大，开口越小 学生板演区
教学反思

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