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26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学设计
课题 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1. 能利用描点法正确作出函数 y=ax2+k 的图象；2. 经历二次函数 y=ax2+k 性质探究的过程，理解二次函数 y=ax2+k 的性质及它与函数 y=ax2 的关系。
教学重点 会用描点法画出二次函数 y=ax2+k 的图象，理解其性质，理解函数 y=ax2+k 与函数 y=ax2 的相互关系。
教学难点 正确理解二次函数 y=ax2+k 的性质，理解抛物线 y=ax2+k 与抛物线 y=ax2 的关系。
教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸
课后练习 抛物线识别选择题、最值与平移填空题、篮球投篮应用题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、回顾复习
引入课题 一、回顾复习，引入课题 复习提问：前面我们已经学习了二次函数 y=ax2 的图象和性质，同学们能说出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及增减性吗？ 填一填：抛物线 的开口　　　，对称轴是　　　，顶点坐标是　　　　；抛物线 有最　　值，为　　　。 参考答案：向上；y 轴；（0，0）；大；0。 今天我们将学习只含二次项和常数项的二次函数 的图象和性质。 口述 y=ax2 的图象特征与性质，完成复习填空，为类比学习新知作铺垫。 复习旧知，唤醒 y=ax2 的研究经验（图象、性质、研究方法），为类比探究 y=ax2+k 作铺垫。
二、探索新知
归纳知识 二、探索新知，归纳知识 【探究1】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象。 先列表： ： x … 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … ： x … 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … 7 3.5 1 0.5 1 0.5 1 3.5 7 … 描点、连线，作出函数图象如图： 【追问1】这两个二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 抛物线 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，1）；抛物线 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0， 1）。 【追问2】抛物线 上的点是 ，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 将点 的纵坐标加1（减1），得到点 （），它们在抛物线 （）上。也就是说，将抛物线 向上（下）平移1个单位长度，就得到抛物线 （）。 【总结】当 k＞0 时，把抛物线 向上平移 k 个单位长度，就得到抛物线 ；当 k＜0 时，把抛物线 向下平移 |k| 个单位长度，就得到抛物线 。 【归纳】抛物线 与 形状相同，对称轴都是 y 轴，顶点坐标是（0，k）：a＞0 时开口向上，顶点（0，k）是最低点，最小值为 k，x＜0 时 y 随 x 的增大而减小，x＞0 时 y 随 x 的增大而增大；a＜0 时开口向下，顶点（0，k）是最高点，最大值为 k，x＜0 时 y 随 x 的增大而增大，x＞0 时 y 随 x 的增大而减小。 列表、描点、连线画出两条抛物线；观察图象指出开口方向、对称轴和顶点；从解析式、函数对应值表和图象三个角度综合对比，得出形状相同、位置上下平移的结论，并类比归纳性质。 老师引导学生观察 y=2x2+1 与 y=2x2 的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同，从三个角度对比归纳抛物线 y=ax2+k 与 y=ax2 的关系；由特殊到一般，渗透类比与数形结合思想。
三、学以致用
应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】抛物线 的图象大致是（　　） A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D 答案：C。（抛物线 的 a＝1＞0，开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，1）；A 的顶点在（0， 1），B、D 开口向下，只有 C 符合。） 【例2】二次函数 有最　　　值为　　　。 参考答案：大；5。（a＝ 1＜0，开口向下，顶点（0，5）是最高点，故有最大值 5。） 【例3】函数 的图象可由 的图象向　　　平移　　　个单位长度得到；函数 的图象可由 的图象向　　　平移　　　个单位长度得到。 参考答案：上；5；上；16。（k＞0 向上平移 |k|；5 ( 11)＝16。） 结合开口方向、对称轴、顶点与平移规律作出判断和填空，先直观形象地巩固 y=ax2+k 的图象和性质，再巩固它与 y=ax2 的平移关系。 先直观形象地巩固抛物线 y=ax2+k 的图象和性质，再巩固抛物线 y=ax2+k 和 y=ax2 的关系；抛物线 y=ax2+k 与 y=ax2 开口大小、方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到。
四、随堂训练
巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 抛物线 与抛物线 的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标为（0，5），该抛物线的解析式是（　　） A．　　B． C．　　D． 答案：C。（与 形状相同、开口相反，故 a＝5；顶点（0，5）故 k＝5。） 2. 二次函数 的图象顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线 相同。 ① 确定 a，k 的值； ② 画出二次函数 y=ax2+k 的图象。 解：① 由形状及开口方向与 相同，所以 ；由顶点是（0，2），得 k＝2。 ② 的函数图象如图： 3. 抛物线 与 的形状大小、开口方向都相同，且顶点坐标是（0，3），求抛物线的表达式，它是由抛物线 怎样得到的？ 解：抛物线 与 的形状、大小相同，开口方向也相同，所以 ；又其顶点坐标为（0，3），所以 。故 。它是由抛物线 向上平移3个单位得到的。 4. 如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内。已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m。 ① 球在空中运行的最大高度为多少？ ② 如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25 m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 解：① 因为 的顶点坐标为（0，3.5），所以球在空中运行的最大高度为3.5 m。 ② 在 中，当 y＝3.05 时，，解得 。因为篮筐在第一象限内，所以篮筐中心的横坐标 x＝1.5。当 y＝2.25 时，，解得 。因为运动员在第二象限内，所以运动员的横坐标 x＝ 2.5。故该运动员距离篮筐中心的水平距离为 1.5 ( 2.5)＝4（m）。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；应用题先建坐标系再代入求值，注意根据实际意义取舍根。 四道题分别巩固“由形状与顶点定解析式”“画图”“识别与平移”“实际应用”，全面检验本课目标的达成，发展数形结合与建模能力。
五、课堂小结
自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 平移规律：当 k＞0 时，把抛物线 向上平移 k 个单位长度得 ；当 k＜0 时，向下平移 |k| 个单位长度。 2. 性质：抛物线 的对称轴是 y 轴，顶点（0，k）；a＞0 时开口向上、有最小值 k，a＜0 时开口向下、有最大值 k。 3. 理解在同一直角坐标系中，函数 y=ax2+k 的图象与函数 y=ax2 的图象的关系；能说出函数 y=ax2+k 具有的性质。 自主梳理平移规律与 y=ax2+k 的性质，把新模型纳入 y=ax2 的研究体系。 从开口方向、对称轴和顶点坐标等角度探究抛物线 y=ax2+k 的图象与性质，探究函数的平移问题，完善知识结构。
六、布置作业 六、布置作业 1. 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标是（0， 3），且经过点（1， 1）。求这个二次函数的解析式，并说明它的图象由怎样的抛物线经过怎样的平移得到。 参考答案：开口向上，故 a＞0；由图象经过点（1， 1）且顶点为（0， 3），得 即 ，所以 ，k＝ 3，解析式为 。它的图象由抛物线 向下平移3个单位长度得到。 2. 已知二次函数 。说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，并说明 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大、何时减小；它由抛物线 经过怎样的平移得到？ 参考答案：a＝＜0，开口向下，对称轴是 y 轴，顶点（0，4）是最高点，最大值为4；x＜0 时 y 随 x 的增大而增大，x＞0 时 y 随 x 的增大而减小；由抛物线 向上平移4个单位长度得到。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，先由条件确定 a、k，再运用性质与平移规律解答并核对。 作业从“定解析式”到“说性质、说平移”层层递进，及时巩固本课的图象、性质与平移规律。
板书设计
二次函数y=ax2+k的图象和性质 一、平移规律 k＞0： 向上平移 k 个单位；k＜0：向下平移 |k| 个单位 二、y=ax2+k 的图象特征 对称轴是 y 轴，顶点（0，k），与 形状相同 三、y=ax2+k 的性质 a＞0：开口向上，最小值 k；a＜0：开口向下，最大值 k a＞0：x＜0 递减，x＞0 递增；a＜0：x＜0 递增，x＞0 递减 学生板演区
教学反思

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