资源简介

26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 教学设计
课题 二次函数与一元二次方程（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系；2. 能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高用数学的意识；3. 进一步培养综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。
教学难点 进一步培养综合解题能力，渗透数形结合的思想。
教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸
课后练习 交点与方程的解、判别式与交点个数、图象与不等式解集等题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
引入课题 一、创设情境，引入课题 我们已经知道一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间联系密切。那么，二次函数与一元二次方程（不等式）之间是否也有类似的联系呢？今天我们一起来探究。 【思考】观察下列二次函数的图象（如图），它们与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能说出方程 ，， 的根的情况吗？ （1）；（2）；（3）。 可以看出：（1）抛物线 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是 2，1。当 x 取公共点的横坐标时，函数值都是 0。由此得出方程 的根是 ，。 （2）抛物线 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是 3。当 x＝3 时，函数值是 0。由此得出方程 有两个相等的实数根 。 （3）抛物线 与 x 轴没有公共点，由此可知，方程 没有实数根。 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切。请各小组讨论：二次函数与一元二次方程的解之间有什么关系？ 例如：已知二次函数 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程 （即 ）；反过来，解方程 ，又可以看作已知二次函数 的值为 0，求自变量 x 的值。 【总结】一般地，如果二次函数 的图象与 x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 的根。 先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答问题；教师总结，学生体会。 由于学习过一次函数与一元一次方程的关系，本环节老师可以大致引导，让学生有研究方向，自主参与研究；应能了解一元二次方程的根的几何意义。
二、探索新知
归纳知识 二、探索新知，归纳知识 一般地，从二次函数 的图象可知： （1）如果抛物线 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数值是 0，因此 就是方程 的一个根。 （2）二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况。 两个公共点 两个不相等的实数根；一个公共点 两个相等的实数根；没有公共点 没有实数根。 学生小组讨论、归纳，教师借助课件演示三种位置关系，引导学生把“形”的公共点个数与“数”的根的情况对应起来。 抛物线与 x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况，让学生体会知识间的相互转化和相互联系，渗透数形结合思想。
三、学以致用
应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系 。考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到 15 m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到 20 m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：球的飞行高度 h 与飞行时间 t 的关系是二次函数 ，将问题中 h 的值代入解析式，得到关于 t 的一元二次方程。从图象角度看，就是求直线 （m≥0）与抛物线 的公共点的横坐标：如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中 h 的值，否则不能达到。 解：（1）解方程 ，即 ，得 ，。当球飞行 1 s 和 3 s 时，它的高度为 15 m。 （2）解方程 ，即 ，得 。当球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m。 （3）解方程 ，即 。因为判别式 ，所以方程无实数解，球的飞行高度不能达到 20.5 m。 （4）解方程 ，得 ，。当球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m，即 0 s 时球从地面飞出，4 s 时球落回地面，所以球从飞出到落地要用 4 s。 【方法点拨】由配方可得 ，抛物线顶点为（2，20），所以球飞行 2 s 时达到最大高度 20 m；高度能否达到某个值，取决于水平线 与抛物线是否有公共点，这正是函数与方程联系的体现。 学生独立分析、尝试求解，教师引导学生把每一个问题都转化为“解方程”，再回归图象解释公共点的实际意义。 几个问题均可以用一元二次方程解决，从函数图象看，就是求直线 h=m（m≥0）与抛物线 h=20t-5t2 的公共点的横坐标，让学生经历“实际问题—方程—图象”的双向转化。
四、随堂训练
巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 小明画了二次函数 的图象（如图所示），则关于 x 的方程 的解为（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 答案：A。（抛物线与 x 轴交点的横坐标就是方程 的解，由图可知交点为（ 3，0）和（1，0），所以 ，。） 2. 下列函数的图象与 x 轴只有一个交点的是（　　） A．　　B． C．　　D． 答案：D。（A 中判别式 ，图象与 x 轴有两个交点；B 中判别式 ，没有交点；C 中判别式 ，没有交点；D 中判别式 ，图象与 x 轴恰有一个交点。故选 D。 3. 小兰画了一个函数 的图象（如图所示），则关于 x 的方程 的解是（　　） A．无解　　B．x＝1　　C．x＝ 4　　D．x＝ 1 或 x＝4 答案：D。（抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0）和（4，0），交点的横坐标就是方程 的解，所以 x＝ 1 或 x＝4。） 4. 抛物线 （a＜0）如图所示，则关于 x 的不等式 的解集是（　　） A．x＜2　　B．x＞ 3　　C． 3＜x＜1　　D．x＜ 3 或 x＞1 答案：C。（抛物线开口向下，与 x 轴交于（ 3，0）和（1，0）。抛物线在 x 轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有取值就是不等式 的解集，所以解集为 3＜x＜1。） 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；提醒易错点：不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系，会导致无法求解。 四道题分别巩固“交点横坐标即方程的解”、判别式与交点个数、图象信息读取与不等式解集：抛物线在 x 轴上方部分对应不等式的解集，在 x 轴下方部分亦同理，层层递进检验目标达成。
五、课堂小结
自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 二次函数与一元二次方程的联系：抛物线 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 的根。 2. 三种位置关系对应根的三种情况：两个公共点 两个不相等的实数根；一个公共点 两个相等的实数根；没有公共点 没有实数根。 3. 抛物线在 x 轴上方部分的点的纵坐标为正，对应的 x 的取值集合就是不等式 的解集；在 x 轴下方部分对应不等式 的解集。 学生自主梳理“交点—根—不等式解集”三者之间的联系，教师补充完善。 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，渗透数形结合思想，完善知识结构。
六、布置作业 六、布置作业 1. 不画图象，判断抛物线 与 x 轴的公共点个数；若有公共点，求出公共点的坐标。 参考答案：令 ，即 ，判别式 ，方程有两个不相等的实数根 ，，所以抛物线与 x 轴有两个公共点，坐标为（ 1，0）和（3，0）。 2. 若抛物线 与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值，并写出公共点的坐标。 参考答案：由题意知方程 有两个相等的实数根，所以判别式 ，解得 m＝4。此时公共点为抛物线的顶点，令 ，得 ，所以公共点的坐标为（2，0）。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，先由判别式定交点个数，再求根得坐标，最后对照图象检验。 作业从“判别式定形”到“求根得交点”再到“顶点型唯一交点”，层层递进，巩固本课的函数与方程联系。
板书设计
二次函数与一元二次方程（第1课时） 一、位置关系与根的情况 两个公共点 对应 两个不相等的实数根；一个公共点 对应 两个相等的实数根 没有公共点 对应 没有实数根 二、联系的本质 与 x 轴交点的横坐标 = 的根 三、拓展 x 轴上方 对应 ；x 轴下方 对应 学生板演区
教学反思

展开更多......

收起↑