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26.4 第1课时 最大高度问题和最大面积问题 教学设计
课题 最大高度问题和最大面积问题 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1. 经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；3. 能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题。
教学重点 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
教学难点 能分析实际问题中变量之间的二次函数关系。
教学方法 情境教学、建模探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸
课后练习 最大高度题、靠墙围矩形最大面积题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
引入课题 一、创设情境，引入课题 正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛。让我们一起去看看二次函数的实际应用吧。 【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 （0≤t≤6）。小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【分析】可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分（如图），这条抛物线的顶点是函数图象的最高点。也就是说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。 教师提出问题并引导学生观察图象，发现顶点与最高点的对应关系；学生思考、交流。 从熟悉的抛球情境入手，直观感知“顶点即最高点”，为抽象出求最值的一般方法作铺垫。
二、探索新知
归纳知识 二、探索新知，归纳知识 解：显然 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度。 当 时，。 即小球运动的时间是 3 s 时，小球最高，且最大高度是 45 m。 【归纳】一般地，当 a＞0（a＜0）时，抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当 时，二次函数 有最小（大）值 。实际问题中，先求出函数解析式，再求出使函数值最大的自变量的值。 学生尝试解答并归纳，教师总结，学生体会求二次函数最值的方法。 让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。
三、学以致用
应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）之间的关系式是 。运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 解：对于二次函数 ，当 时，。因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m。 【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园。如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20 2x) m，矩形菜园的面积 ，即 （0＜x＜10）。 当 时，。因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 平方米。 学生独立完成并交流展示，教师适时指点；引导学生先建模型（设变量、列解析式、定范围），再求最值。 例1 巩固最大高度问题，例2 体验最大面积问题中“设变量—列解析式—定范围—求最值”的建模全过程，渗透数学建模思想。
四、随堂训练
巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元。设矩形的一边长为 x m，面积为 S 平方米。 ①写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； ②请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。 答案：①∵矩形的一边长为 x m，∴另一边长为 (6 x) m，∴，其中 0＜x＜6； ②∵，∴当 x＝3，即矩形的一边长为 3 m 时，矩形面积最大，为 9 平方米，这时设计费最多，为 9×1000＝9000（元）。 2. 如图，有长为 30 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10 m），围成中间隔有一道篱笆（平行于 AB）的矩形花圃，设花圃的一边 AB 为 x m，面积为 y 平方米。 ①求 y 与 x 的函数解析式； ②y 是否有最大值？如果有，请求出 y 的最大值。 答案：①； ②∵墙的最大可用长度为 10 m，∴，即 ；又 ，即 x＜10。所以 。 ∵，其图象的对称轴为直线 x＝5，而 5 不在 内，且当 时，y 随 x 的增大而减小，∴当 时，y 有最大值 ，即 y 的最大值为 平方米。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；第2题提醒学生关注“墙的长度限制”对自变量取值范围的影响。 第1题巩固“设—列—求”的基本建模流程；第2题变式：自变量范围受实际条件限制时，最值未必在顶点处取得，培养全面思考的习惯。
五、课堂小结
自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 如何求二次函数的最小（大）值，如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？——先建模型求出解析式并确定自变量取值范围，再利用顶点坐标公式或配方法求最值；当顶点不在取值范围内时，要结合增减性在范围内确定最值。 2. 在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？——注意自变量的实际意义与取值范围，注意“设变量、列解析式、定范围、求最值、作答”的完整步骤。 学生自主梳理建模步骤与注意事项，教师补充完善。 把“最大高度”“最大面积”两类问题统一到“二次函数求最值”的模型下，形成方法体系。
六、布置作业 六、布置作业 1. 用长 24 m 的篱笆靠一面墙围成一个矩形菜园（墙足够长，中间不留隔栏）。设垂直于墙的边长为 x m，当 x 为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 参考答案：设面积为 S m，则 （0＜x＜12）。当 时，S 有最大值 。所以当垂直于墙的边长为 6 m 时，菜园面积最大，最大面积为 72 平方米。 2. 某物体从高处竖直上抛，离地面的高度 h（单位：m）与运动时间 t（单位：s）之间的关系为 （0≤t≤8）。物体何时达到最大高度？最大高度是多少？ 参考答案：当 时，h 有最大值 。所以物体抛出 4 s 时达到最大高度，最大高度是 80 m。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，按“设—列—定—求—答”的步骤书写，并用实际意义检验结果。 作业覆盖“靠墙围矩形”与“最大高度”两类模型，巩固本课的建模方法与最值求法。
板书设计
最大高度问题和最大面积问题 一、求最值的方法 当 时， 有最小（大）值 二、建模步骤 设变量 → 列解析式 → 定范围 → 求最值 → 作答 三、注意 自变量取值范围受实际条件限制时，最值未必在顶点处取得 学生板演区
教学反思

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