资源简介

26.4 第2课时 最大利润问题 教学设计
课题 最大利润问题 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 1. 能够用二次函数知识解决商品最大利润问题；2. 能够根据实际问题构建二次函数模型。
教学重点 用二次函数知识解决商品最大利润问题。
教学难点 建立二次函数模型。
教学方法 情境教学、探究发现、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸
课后练习 定价决策题、日利润最值题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境
引入课题 一、创设情境，引入课题 正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛。某商品价格调整，销量会随之变化，调整价格包括涨价与降价两种情况。如何定价才能获得最大利润呢？让我们一起来探究。 【探究】某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：若调整单价（单价为整数），每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考回答：若设每件涨价 x 元（或降价 x 元），获得的利润为 y 元，则每星期卖出多少件？每件利润是多少？由此得到的函数解析式是什么？自变量 x 的取值范围如何确定？何时有最大利润，最大利润为多少元？ 教师提出问题，学生回答，梳理“单件利润、销量、总利润”之间的数量关系。 以真实的定价决策问题引入，让学生感受二次函数在商品利润问题中的广泛应用，激发探究欲望。
二、合作探究
解决问题 二、合作探究，解决问题 模式一：涨价销售 ①每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元，则每件商品的利润为 (20+x) 元，每星期卖出 (300 10x) 件，所得利润为 ，即 。 ②营销规律是价格上涨、销量下降，销量不能为负，故 ，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤30。 ③当 时，。即定价为 65 元时，最大利润是 6250 元。 模式二：降价销售 ①每件降价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元，则每件商品的利润为 (20 x) 元，每星期卖出 (300+20x) 件，所得利润为 ，即 。 ②营销规律是价格下降、销量上升，因此售价不能低于成本，故 ，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤20。 ③当 时，。但题设单价为整数，定价 60 2.5＝57.5 元不合题意，故取最接近的整数解：当 x＝2 或 x＝3 时，，即降价销售时最大利润是 6120 元。 （3）综合涨价和降价两种情况可知，定价为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元。 学生分组完成两种模式的建模与求解，交流展示；教师引导学生比较两种模式的最大利润，作出定价决策。 经历“涨价、降价”两种情况的完整建模过程，体会分类讨论与决策思想；关注自变量取值范围的实际约束（整数定价），培养严谨务实的态度。
三、探索新知
归纳知识 三、探索新知，归纳知识 1. 商品单件利润＝售价 进价；总利润＝单件利润×销售总数量。 2. 结合实际意义，确定自变量的取值范围（如销量非负、售价不低于成本、单价为整数等）。 3. 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出。 学生在教师引导下自主归纳利润问题的数量关系与求解步骤。 把探究过程提炼为可迁移的方法模型，突出“建模—定范围—求最值—作决策”的主线。
四、学以致用
应用新知 四、学以致用，应用新知 【例1】春节期间，物价局规定花生油最低价格为 4.1 元/L，最高价格为 4.5 元/L。小王按 4.1 元/L 购入，若原价卖出，则每天平均可卖出 200 L；若价格每上涨 0.1 元，则每天少卖 20 L 油。问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为 x 元/L 时获利 y 元。油价上涨 (x 4.1) 元时，每天少卖 L，则 ，即 。 ∵4.1≤x≤4.5，抛物线的对称轴为直线 x＝4.6，当 x＜4.6 时 y 随 x 的增大而增大，∴当 x＝4.5 时，，即油价定为 4.5 元/L 时，每天获利最大，最大获利为 48 元。 【例2】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第 1 月至第 12 月，这种水果每千克售价 （元）与销售时间第 x 月之间存在如图①所示（一条线段）的变化趋势，每千克成本 （元）与销售时间第 x 月满足函数关系式 ，其变化趋势如图②所示。 （1）求 y2 的解析式； （2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）由题意可得，函数 的图象经过两点 (3，6)，(7，7)，∴，，解得 ，。∴（1≤x≤12）。 （2）设 。∵函数 的图象过两点 (4，11)，(8，10)，∴，，解得 ，。∴（1≤x≤12）。 设这种水果每千克所获得的利润为 w 元，则 ，即 （1≤x≤12）。∴当 x＝3 时，w 取最大值 。∴第 3 月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是 元/千克。 学生独立完成并交流，教师适时指点；例1 价格只有上涨一种情况，利用解析式求最大利润；例2 借助函数图象获取数据求最大利润。 例1 巩固“范围受限时结合增减性求最值”；例2 融合一次函数与二次函数，训练从图象中读取点的坐标、待定系数法求解析式及利润最值的综合应用。
五、随堂训练
巩固新知 五、随堂训练，巩固新知 1. 将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元一个售出时，每天能卖出 20 个；若这种商品在一定范围内每降价 1 元，每日销量就增加 1 个。为了获得最大利润，则应该降价（　　） A．5 元　　B．10 元　　C．15 元　　D．20 元 答案：A。（设降价 x 元，利润 ，当 时 y 最大，故降价 5 元。） 2. 某商品单个利润 y（元）与变化的单价 x（元）之间的关系为 ，当 0.5≤x≤2 时，最大利润是　　　　　　元。 答案：5。（，顶点 x＝1 在 0.5≤x≤2 内，最大值为 5。） 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 两道题分别巩固“顶点在范围内直接求最值”与“含顶点的区间最值”，填空题训练规范作答。
六、课堂小结
自我完善 六、课堂小结，自我完善 1. 用二次函数解决商品利润问题的方法：①设降价（或涨价）x 元；②用含 x 的式子表示单件利润与销量；③列出总利润与 x 的函数解析式；④结合实际意义确定 x 的取值范围；⑤在范围内求最大利润并作答。 2. 解决利润相关问题中需要注意的问题：单件利润＝售价 进价；总利润＝单件利润×销量；自变量取值范围要符合实际（销量非负、售价不低于成本、单价为整数等）；当顶点不在取值范围内时，要结合增减性确定最值。 学生自主梳理利润问题的建模步骤与易错点，教师补充完善。 经历将实际问题转化为函数问题并利用函数的性质进行决策，形成“建模—定范围—求最值—作决策”的方法体系。
七、布置作业 七、布置作业 1. 某商品进价每件 50 元，售价为每件 60 元时，每星期可卖出 100 件；每涨价 1 元，每星期少卖出 5 件。设涨价 x 元，每星期利润为 y 元，问售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 参考答案：（0≤x≤20）。当 时，y 有最大值 。所以售价定为 65 元时利润最大，最大利润为 1125 元。 2. 某网络店铺销售某种玩具，成本每件 20 元。销售中发现：售价为 30 元时每天可售出 40 件；售价每提高 1 元，日销量减少 2 件。设售价为 x 元（x≥30），日利润为 y 元。①求 y 与 x 之间的函数解析式；②售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ 参考答案：①，即 （x≥30，且 40 2(x 30)＞0，即 30≤x＜50）；②当 时，y 有最大值 。所以售价定为 35 元时日利润最大，最大日利润为 450 元。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，按“设—列—定—求—答”的步骤书写，注意自变量取值范围的实际约束。 作业从“涨价模式”到“涨价且范围受限模式”，层层递进，巩固利润问题的建模方法与决策思想。
板书设计
最大利润问题 一、基本关系 单件利润＝售价 进价；总利润＝单件利润×销量 二、求解步骤 设变量 → 列解析式 → 定范围 → 求最值 → 作决策 三、注意 自变量范围受实际约束；顶点不在范围内时结合增减性求最值 学生板演区
教学反思

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