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22.1.2 平行线分线段成比例 教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十二章
课题 22.1.2 平行线分线段成比例 课时 1课时
课标要求 1.掌握平行线分线段成比例的基本事实，了解平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。 2.经历观察、测量、猜想、归纳、证明的探究过程，发展几何直观与逻辑推理能力，能利用定理进行线段长度计算与简单证明。 3.会把平行线分线段成比例基本事实迁移到三角形中，体会从一般到特殊的数学思想，能够解决简单几何计算和证明问题。
教材分析 《平行线分线段成比例》是华师大版九年级上册第 22 章《图形的相似》22.1.2 内容。本节课是在学生学习成比例线段概念之后展开，是成比例线段的具体应用，也是后续学习相似三角形判定的重要理论基础。教材从横格作业本等距平行线实例引入，先探究特殊情形：等距平行线截直线得到相等线段，再拓展到一般平行线组，归纳平行线分线段成比例基本事实；再通过图形特殊化，得到三角形中的推论；搭配例 4 线段求值、例 5 比例式证明，落实定理的计算与证明应用。本节课起到承上启下作用：巩固比例线段，为相似三角形的学习搭建桥梁。
学情 分析 1. 知识基础：学生已经学习成比例线段，掌握比例的基本性质，了解平行线相关知识，具备基本的线段测量、几何识图能力。 2. 能力特点：九年级学生具备一定观察猜想能力，但把 “平行线组” 迁移到三角形图形时识图存在困难；对多条平行线、多条截线的复杂图形，不容易找准对应的线段；在利用中间比完成比例证明时逻辑链条构建薄弱。 3.认知障碍：容易混淆被截线段的对应关系；分不清基本事实和三角形推论的图形区别；对 “两边的延长线” 这种变式图形理解不到位。
核心素养目标 数学抽象：从作业本平行线实例抽象出平行线分线段成比例基本事实，理解定理文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。 几何直观：能在复杂几何图形中识别平行线分线段成比例的基本模型，分清对应线段。 逻辑推理：经历观察、测量、猜想、归纳的探究过程，会运用定理进行线段计算和简单比例证明，体会从一般到特殊的思想。
教学重点 平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论，会用定理进行简单计算与证明。
教学难点 1. 在复杂图形中准确找出成比例的对应线段。 2. 利用中间比完成比例式的证明，理解定理的变式图形（截三角形两边延长线）
教学 准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 【想一想】什么叫成比例线段？比例有哪些基本性质？ 对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 (或a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，此时也称这四条线段成比例。 比例的基本性质： 如果，那么ad=bc. 如果ad=bc ，那么 . 【想一想】观察数学横格作业本，这些横格线有什么特征 在图中任意画几条直线，使之与横格线相交。这些横格线在每一条所画的直线上截得的线段有什么规律 1. 回顾回答成比例线段相关旧知。 2. 在横格作业本动手画图、用直尺测量线段长度，观察、比较线段大小，交流自己的发现。 利用学生熟悉的作业本情境引入，动手操作激发探究兴趣，从特殊等距平行线过渡到一般情况，自然引出本节课研究主题，实现旧知到新知过渡。
二、探究 在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，得到两条线段AB、BC，那么可以发现所得的这两条线段相等，即AB=BC. 如图，再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，我们同样可以发现所得的这两条线段相等，即DE=EF. 由此，我们可以得到 选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交.如果m、n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系;如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存在类似的关系. 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： , 我们还可以发现：等. 总结归纳 这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.(简称平行线分线段成比例） 几何语言表示： 如图，∵l3 ∥ l4 ∥ l5 【思考】如图，在特殊情况下，当图中的点A与点F重合时，就形成一个三角形. 此时，AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢 如图，在△ABC中，DE∥BC，过点A作DE的平行线，那么根据平行线分线段成比例的基本事实，可以得到 等结论. 【思考】如图，当图中的直线m、n相交于第二条平行线上的点D时，是否也有类似的成比例线段呢 由此，即有如下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 【做一做】如图，DE∥AF∥BC，根据上面的结论，试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快，找得多. 【例4】如图，l1∥ l2∥ l3，AB=4，DE=3，EF=6. 求BC的长. 解：∵ l1∥ l2∥ l3， ∵AB=4，DE=3，EF=6, ∴BC=8. 【例5】如图，点E为□ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F. 求证： 动手画图测量、计算比值，小组交流讨论，尝试用自己语言表述发现的规律，记录定理内容和符号语言。 观察图形变化，理解一般图形特殊化得到三角形推论；小组合作，在图中寻找多组成比例线段，展示汇报。 跟随教师分析例题，记录解题格式；独立完成课堂练习，小组互查；说出例题 5 中每一步推理依据。 学生亲身经历 “操作 — 测量 — 猜想 — 归纳”，自主生成定理，提升几何直观，理解 “对应线段” 的含义。 体会一般到特殊数学思想，把平行线组模型迁移到三角形，拓展变式图形，突破识图难点，强化对应线段识别。 例题分层，先计算再证明，规范书写格式；例 5 渗透 “中间比” 的证明方法，落实教学重难点；练习及时巩固，纠正识图易错点。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(　A　) A.＝ B．＝ C.＝ D．＝ 2. 如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是(　B　) A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝5GC D．EG＝2GC 3.如图，已知直线a∥b∥c， 若＝，则的值为(　C　) A. B. C. D. 4. 如图是一架人字梯，已知AB∥CD∥EF，若AC＝50 cm，CE＝30 cm，DF＝27 cm，则BD的长为(　A　). A.45cm B.50cm C.55cm D.72cm 【知识技能类作业】选做题： 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4 cm，则线段AC的长是____6____cm. 6.如图，在□ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC相交于点H.若FH＝3，EH＝6，则AH：CH＝(　B　). A．1：4 B．1：5 C．2：5 D．2：7 【综合拓展类作业】 7.如图，已知点A，B，C分别在△DEF的各边上，且AB∥DF，∠EAB＝∠BCF. (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； 解：四边形ABCD是平行四边形． 理由：∵AB∥DF，∴∠EAB＝∠D. 又∵∠EAB＝∠BCF， ∴∠D＝∠BCF，∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)延长AC，BF交于点O，求证：OB2＝OE·OF. 证明：由(1)知AE∥BC，∴＝. ∵AB∥CF，∴＝，∴＝， ∴OB2＝OE·OF. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 几何语言表示： 如图，∵l3 ∥ l4 ∥ l5 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 22.1.2 平行线分线段成比例 ① 平行线分线段成比例. ② 例题讲解. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝6，AE＝2，则EC的值为(　A　). A．4 B．6 C．8 D．9 2. 折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱.如图，这是一个三层折叠花架，已知AB∥CD∥EF，AC=30 cm， CE=50 cm，BD=45 cm，则BF的长为__120cm___. 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD：DC＝1 ： 2，O是BD的中点，连结AO并延长交BC于点E.若BE＝3，则EC的长为__1.9______． 4. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，△ABE的面积与△DBE的面积之比是1：3，且AF＝2，则FC＝____12____. 【综合拓展类作业】 5.如图，在□ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶DA＝2∶5，EF＝4，求线段GC的长． 解：∵EF∥AB，∴＝＝. ∵FG∥ED，ED∥BC，∴FG∥BC，∴＝＝. 易得四边形EFGD为平行四边形， ∴DG＝EF＝4.∴DC＝10.∴GC＝DC－DG＝10－4＝6.
教学反思 本节课从作业本的生活实例引入，学生动手测量猜想，充分经历知识生成过程，学生参与度较高，较好落实几何直观、逻辑推理素养。从平行线组的一般情况过渡到三角形推论，遵循从一般到特殊，学生能够区分两种模型；例题兼顾计算和证明，重视书写格式的规范。后续教学增加识图专项小练习，让学生在复杂图形中描出平行线和被截线段，强化对应线段识别；多展示变式图形。对于中间比证明，设置梯度小问题拆解难度，先铺垫简单找中间比的小题，再做例 5。课后针对学困生，加强个别辅导；增加课堂当堂检测，及时反馈学生掌握情况；后续学习相似三角形时反复巩固本课时定理。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1. 理解相似图形、相似多边形、相似三角形的概念，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质，能准确识别相似图形及对应边、对应角。 2. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理进行线段长度的计算和比例式的推导，理解定理在相似三角形判定中的基础作用。 3. 探索并证明相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），能熟练运用判定定理判断两个三角形相似，规范书写推理过程。 4. 掌握相似三角形的性质，能运用性质进行线段、角、周长、面积的计算。 5. 了解位似图形的概念，掌握位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，能在平面直角坐标系中根据坐标变化判断位似关系，体会图形变换的思想。 6.能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测量高度、距离等），经历从实际情境中抽象出相似图形的过程，发展模型观念和应用意识。
内容分析 《图形的相似》是华师大版九年级上册第22章的内容，是初中几何的重要组成部分，承接七年级全等三角形、八年级四边形的知识，是对图形关系的进一步拓展，从“全等（形状相同、大小相等）”延伸到“相似（形状相同、大小不等）”，实现了图形认知的深化。本单元以“相似”为核心，构建了“概念—定理—判定—性质—应用”的完整知识体系，不仅是后续学习锐角三角函数、圆的相关知识的基础，也是解决实际测量问题的重要工具，在中考中占据重要地位，同时培养学生的几何推理能力和空间想象能力，为高中几何学习奠定坚实基础。
学情分析 本单元的授课对象是九年级学生，在此之前，学生已熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段的比、比例的基本性质等知识，具备一定的几何推理能力和作图能力，对图形的“全等”关系有深刻理解，为学习“相似”关系奠定了基础；同时，学生已具备一定的代数运算能力，能进行比例式的变形和计算，为相似三角形的相关计算提供支撑。但学生对“相似”的抽象概念理解不足，容易混淆相似与全等的关系，对比例线段的灵活运用能力较弱。
单元目标 （一）教学目标 1. 理解成比例线段、相似图形、相似多边形、相似三角形、位似图形的概念，掌握相关定义的本质特征，能准确识别各类图形。 2. 掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能运用性质进行比例式的变形和计算；掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段长度计算和比例推导问题。 3. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，能运用定理进行几何推理、线段和角的计算，能规范书写证明过程。 4. 掌握位似图形的性质，能利用位似将图形放大或缩小，能在平面直角坐标系中进行位似变换，掌握位似图形的坐标变化规律。 5. 能运用相似三角形的知识解决实际测量问题和综合几何问题，能从实际情境中抽象出相似图形模型，检验结果的合理性。 （二）教学重点、难点 重点 1. 平行线分线段成比例定理及其推论的理解与应用。 2. 相似三角形的判定定理与性质的掌握，能熟练运用进行推理和计算。 3. 位似图形的概念与性质，能进行简单的位似变换。 4. 运用相似三角形的知识解决实际问题和综合几何问题。 难点 1. 平行线分线段成比例定理的推导，以及在复杂图形中准确识别比例线段。 2. 相似三角形判定定理的灵活运用，尤其是在复杂几何情境中选择合适的判定方法。 3. 相似三角形性质中面积比与相似比的关系的理解与应用，避免与周长比混淆。 4. 从实际问题中抽象出相似三角形模型，建立数学关系解决问题。 5. 位似图形的坐标变化规律的掌握，以及位似变换与其他图形变换的结合应用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数22.1 成比例线段成比例线段及其基本性质； 平行线分线段成比例222.2 相似图形相似多边形的特征；识别相似图形及对应边、对应角 122.3相似三角形相似三角形；相似三角形的判定 相似三角形的性质；相似三角形的应用422.4位似图形位似图形及其性质122.5图形与坐标用坐标确定位置；图形的变换与坐标2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 成比例线段理解成比例线段的概念（能准确表述，能判断四条线段是否成比例）；比例的基本性质、合比性质、等比性质。能记住成比例线段的概念和比例的基本性质，能完成基础的比例式计算。 任务一：能熟练运用比例的性质进行比例式变形. 任务二：能准确判断四条线段是否成比例.能准确表述平行线分线段成比例定理及其推论，理解推导过程； 能运用定理进行线段长度计算和比例推导。能熟练运用定理及推论解决问题，能准确识别复杂图形中的比例线段，作业规范任务一：平行线分线段成比例定理及其推论（能准确表述、理解推导过程）； 任务二：定理的应用22.2 相似图形理解相似图形、相似多边形的概念（能准确表述，能识别相似图形）； 掌握相似多边形的性质。能准确表述，能识别相似图形；能根据定义判断两个多边形是否相似 能记住相似图形、相似多边形的概念，能运用性质解决基础计算问题 22.3相似三角形能准确表述相似三角形的三种判定定理，理解推导过程； 能根据已知条件选择合适的判定定理，规范书写证明过程。能记住判定定理，能运用定理解决简单的三角形相似证明问题，证明步骤基本完整。任务一：相似三角形的三种判定定理； 任务二：判定定理的应用；复杂几何情境中判定定理的灵活选用。探究相似三角形的性质，面积比与相似比的关系的理解与应用，能准确区分周长比与面积比能准确表述对应线段、周长、面积与相似比的关系，能运用性质进行线段、周长、面积的计算任务一：记住相似三角形的性质； 任务二：运用性质解决基础计算问题。能准确表述，能区分位似与相似的关系；能利用位似将图形放大或缩小，掌握坐标变化规律；能从实际问题中抽象出相似模型，解决测量问题能熟练掌握位似变换的方法，能准确运用坐标变化规律，能从实际问题中抽象出相似模型，解决中等难度的实际应用问题；任务一：位似图形的概念与性质）； 任务二：位似变换的应用； 任务三：相似三角形的实际应用。
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