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分课时教学设计
第9课时《5.4.1二次函数的应用(1) 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数． 通过二次函数图像与一元二次方程之间关系的探究活动，体会二次函数与一元二次方程之间的联系，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴交点的个数、掌握方程与函数间的转化.
学习者分析 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图像与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索归纳能力，进一步培养学生的数形结合思想.
教学目标 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系； 2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
教学重点 探索二次函数图像与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.
教学难点 函数→方程→x轴交点，三者之间的理解与运用.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答，教师总结引出课题。 教师：同学们，本题中h与t的关系式是什么？ 学生：h与t的关系式是h=﹣5t2+40t。 教师：那么小球经过多少秒后落地 学生：通过图象可以看出，小球经过8 s后落地。 教师：还有其他方法可以判断小球落地时间吗？ 学生：因为小球落地时，h=0，所以0=﹣5t2+40t，解得t1=0，t2=8，所以小球经过8 s后落地。 教师：同学们，根据图象判断和解方程，得到的结论是否相同？ 学生：相同。 教师：是的，我们可以发现，二次函数h=﹣5t2+40t的图象与x轴交点的横坐标与方程0=﹣5t2+40t的根是相同的，那么方程的根与函数之间还有哪些关系呢？ 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 环节二：新知探究 【复习回顾】一元二次方程根与系数的关系 师生活动：教师提出问题，学生思考回答。 教师：同学们还记得一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系吗，请回答下面问题。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。 当△﹥0时，方程根的情况是 ； 当△=0时，方程根的情况是 ； 当△﹤0时，方程根的情况是 。（多媒体呈现） 学生：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2－4ac 。 当△﹥0时，方程根的情况是 有两个不相等的实数根 ； 当△=0时，方程根的情况是 有两个相等的实数根 ； 当△﹤0时，方程根的情况是 没有实数根 。 【探究】二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x，y=x2－2x+1，y=x2－2x+2的图象如图所示。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答，教师引导补充。 教师：请同学们独立思考并完成下表，然后与同伴交流。 二次函数图象图象与x轴的交点一元二次方程方程的根 y=x2+2x学生：（﹣2，0），（0，0）x2+2x=0学生：x1=﹣2，x2=0 y=x2－2x+1学生：（1，0）x2－2x+1=1学生：x1=x2=1 y=x2－2x+2学生：函数图象与x轴没有交点x2－2x+2=0学生：方程没有实数根
（多媒体呈现） 教师：那么，同学们，思考一下，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数有什么关系？ 学生： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数有两个交点有两个不相等的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根
教师追问：那么我们是不是可以通过二次函数对应方程的根的判别式来判断二次函数图象与x轴的交点个数？ 学生：可以。 教师：进一步思考，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 学生：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。 教师：在本节一开始的小球上抛问题中，能否知道小球离地面的高度是60 m时的时间？说说你的方法。 学生：令h=60，则﹣5t2+40t=60，解得t1=2，t2=6。所以第2 s和第6 s时，小球的高度是60 m。 教师：还有其他方法吗？ 学生：过点（0，60）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，发现两个垂足的横坐标分别是2，6。所以所以第2 s和第6 s时，小球的高度是60 m。 教师：也就是说直线y=60与二次函数h=﹣5t2+40t的图象的交点的横坐标与方程﹣5t2+40t=60的根是一样的，那么，同学们，猜想下，直线y=h与抛物线y=ax2+bx+c的交点的横坐标与方程h=ax2+bx+c的根有什么关系？为什么？ 学生：相同。因为要求交点的横坐标，就是将直线y=h与抛物线y=ax2+bx+c的表达式联立，所得方程就是h=ax2+bx+c，所以直线y=h与抛物线y=ax2+bx+c的交点的横坐标与方程h=ax2+bx+c的根一定是相同的。 【归纳总结】 教师：通过以上的探究学习，我们发现二次函数与一元二次方程之间有什么关系？ 学生：①二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数一致； ②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根相同； ③二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=h的根的个数一致； ④二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=h的根相同。学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 学生自主解答，教师适时的进行提示 小组交流，引导学生从 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根。环节三：典例精析 例：已知二次函数y=-x +2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x +2x+m=0的解为 。 x =-1，x =3 学生活动3： 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数之间的关系。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.抛物线y＝－3x －x＋4与坐标轴的交点个数是(　 　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 选做题： 2.已知方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1= 1，x2=3，那么可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为 。 【综合拓展类作业】 3.已知二次函数y=2x2 mx m2 。 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x 轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且点A 的坐标为 (1,0)，求点B 的坐标。
课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 理解了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标。 理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h交点的横坐标。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c 为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=m 有一正实数根和一负实数根的条件是( ) A.m>5 B.m≥0 C.m≥ 4 D.m≥6 选做题： 2.若抛物线y=x2 x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c 的取值范围 是______。 3. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，利用图象解答下列各题： （1）方程ax2+bx+c= 3 的根是_______________； （2）方程ax2+bx+c=5 的根是_________________； （3）方程ax2+bx+c= 6 的根的情况是什么？ 【综合拓展类作业】 4.个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位：m)可以用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t(单位：s)表示小球被弹出后经过的时间. (1)画出函数h＝－4.9t2＋19.6t的图象.(2)小球被弹出后1 s的高度是多少？2 s时呢？ (3)方程－4.9t2＋19.6t＝0，－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义分别是什么？请结合图象说明. 答案： 【课堂练习】 A 2. (-1，0)，(3，0) 3.（1）解:证明:因为( m)2 4×2×( m^2)=9m2≥0 ， 所以对于任意实数m，该二次函数图象与x 轴总有公共点。 （2）把(1,0)代入二次函数表达式，得0=2 m m2 ， 解得m1= 2，m2=1 。 当m= 2时，二次函数表达式为y=2x2+2x 4 。 令y=0，则2x2+2x 4=0 ， 解得x1=1，x2= 2 ， 所以B( 2,0) 。 当m=1时，二次函数表达式为y=2x2 x 1 。 令y=0，则2x2 x 1=0，解得x1=1，x2= ，所以B( ,0) 。 综上所述，点B的坐标为( 2,0)或( ,0) 。 【作业设计】 A 2.c>1/4 3. （1） x1=0，x2=2 （2）x1= 2，x2=4 （3）解：此方程无实数根。 4.（1））函数h＝－4.9t2＋19.6t的图象如图所示. （2）把t＝1，t＝2分别代入h＝－4.9t2＋19.6t，得 h＝－4.9＋19.6＝14.7， h＝－4.9×22＋19.6×2＝19.6. 故小球被弹出后1 s的高度是14.7 m，2 s时的高度是19.6 m. （3）解－4.9t2＋19.6t＝0，得t1＝0，t2＝4，其中t1＝0表示小球离开地面的时间，t2＝4表示小球落地的时间； 解－4.9t2＋19.6t＝14.7，得t3＝1，t4＝3，其中t3＝1表示小球离开地面的高度14.7 m时的时间，t4＝3表示小球离开地面的高度是14.7 m时的时间.
教学反思 本节课以小球竖直上抛为切入点，引出函数与方程的关系，学生通过三组对二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的对比，探讨得出一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的关系，进而在教师的引导下，拓展得出一元二次方程ax2+bx+c=h的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h交点的关系。整节课以学生为主体，教师适当引导，层层推进，使学生充分参与到课堂中来，同时也达成了预期的教学目标。
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