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分课时教学设计
第十课时《数学活动：探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版九年级上册第二十五章一元二次方程这一章的数学活动课，安排在本章新知识学习完成之后，是对一元二次方程解法、根的性质、根与系数关系等知识的综合拓展与升华．本节课设置两个探究活动，活动1从代数角度探究三个一元二次方程有公共解的参数条件，锻炼学生联立方程、代数推理的能力；活动2将代数方程与线段分割的几何问题结合，建立代数与几何之间的联系，体现一元二次方程的几何应用．这节活动课跳出基础解方程训练，重在数学探究、逻辑推理，为后续二次函数、几何综合题的学习铺垫思想方法．同时引导学生体会方程模型，感受代数推理、数形结合思想，培养学生自主探究、合作交流的数学素养，落实课标中对综合运用方程知识解决问题的要求．
学习者分析 学生，已经掌握一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数关系，具备基础的代数运算能力，能独立解一元二次方程．学生可以完成基础解方程习题，但联立多个方程做代数推理、从几何情境抽象出代数方程的能力不足．面对这种探究型数学活动，学生不容易找到突破口，容易出现不会设未知数、代数式变形困难的问题．对于活动2，学生很难同时满足两个等式条件，容易混淆数量关系．学生具备小组合作探究的经验，在教师问题串引导下，可以逐步完成推导，在探究中提升逻辑推理和数形结合意识．
教学目标 1.联立两个一元二次方程，探究存在公共解时参数满足的条件，提升代数推理能力． 2.通过线段分割建立方程，推导黄金分割比例，感受一元二次方程的几何应用． 3.在探究活动中综合运用解方程、根与系数关系知识，体会方程的综合价值．
教学重点 探究方程存在公共解的参数条件；建立线段分割的代数方程，完成代数几何综合探究．
教学难点 多个方程联立进行代数推理；在几何情境中，同时满足多个等量关系，完成代数式变形推导．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.联立两个一元二次方程，探究存在公共解时参数满足的条件，提升代数推理能力． 2.通过线段分割建立方程，推导黄金分割比例，感受一元二次方程的几何应用． 3.在探究活动中综合运用解方程、根与系数关系知识，体会方程的综合价值．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题1：一元二次方程的一般形式是什么？ 答案： 问题2：如果两个一元二次方程有一个公共解，这个公共解代入两个方程，会成立吗？ 答案：成立，公共解同时满足两个方程． 引入：今天我们利用一元二次方程知识，完成两个数学探究活动．学生活动2： 学生独立思考，积极回答问题活动意图说明： 通过复习一元二次方程相关基础知识点，为本节课两个探究活动做好知识铺垫，引出本节课课题，激发学生探究兴趣．环节三：新知讲解教师活动3： 活动1：探究方程有公共解的条件 已知，方程 ，① ，② ，③ 恰有一个公共解． 给出满足的条件，并求出方程①②③的解． 问题1：设公共解为，那么同时代入三个方程，能得到哪三个等式？ 答案： 问题2：把三个等式相加，整理式子，得到什么？ 解：把三个等式相加，得 ()+()+()=0 提取公因式，得 追问：能等于0吗？为什么？ 预设：不能为0， 因为=(+)2+>0 所以 所以． 问题3：如果 ，那么，代入方程①，你能求出方程①的根． 解：把代入， ， 因式分解， 解得，． 问题4：这三个方程恰有一个公共解，你能说明这个公共解是多少吗？ 解：公共解只能是． 将代入方程②、③，都满足． 因此公共解是，条件为． 追问：你能求出这三个方程的解是多少吗？ 解：由一元二次方程的根与系数的关系可知，方程①的两根积为，且有一个解为1，所以另一个解为，即方程①的解为1，． 同理可得，方程②的解为1，； 方程③的解为1，． 归纳：方程公共解问题：设公共解、代入推导，核心是构造系数关系． 活动2：神奇的线段分割 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧.你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗 李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为，且，你能找到合适的，使和同时成立吗 王芳：这可能吗？ 李明：当然，不过要费一番脑筋． 现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出李明提出的问题中线段的两个分点． 解：王芳提出的问题： 解：依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为L=a+b+c，当a=b+c时，先找到原线段中点，中点把原线段分成两半，取其中一半作为最长线段a；再把剩下的另一半，分成两段不相等的b、c. 这样三段a，b，c就满足a=b+c，且a，b，c两两不等，可实现共线的三段分割. 李明提出的问题： 把代入，得 ， ， ， c(2b+c)=b +bc c +bc-b =0 两边除以b ， ， 设(t＞1)，得 t +t-1=0 解得 即c=b，a=b+c=b. 比如取b=2，那c=a=b+c=，这样就满足条件. 思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？ 作法： （1）作线段AB(即b)，过A作AB的垂线，截取AE=AB； （2）连接BE，以E为圆心，AE为半径画弧，交BE于F； （3）以B为圆心，BF为半径画弧，交AB于D，此时BD(即c)=AB； （4）在AD的延长线上截取DC，使DC(即a)=AD，得到第二个分点C． 归纳：线段分割问题：根据几何等量条件设出线段长度，转化分式方程，化简整理为一元二次方程，求解得到线段之间的比例关系，还可以利用所得比例完成尺规作图，核心是几何问题代数化（数形结合，建立方程模型）学生活动3： 小组合作探究，分组列式，进行代数式变形，组内互相讲解推导过程，小组代表上台展示交流 活动意图说明： 在活动1中通过递进式问题串，降低代数推理难度．小组合作探究，锻炼学生联立方程、代数式变形的能力，提升代数推理素养，体会方程公共解的含义．在活动2中将几何线段问题转化一元二次方程，体会数形结合，感受一元二次方程在几何中的应用，感受黄金分割，提升建模能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：数学活动：探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 一、探究方程有公共解的条件 二、神奇的线段分割教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知关于的两个一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 答案：C 解： 是的解， ， 方程两边同时乘以可得：， 把代入得：， ∵， ∴ 是方程的一个解，故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 方程的公共解为：或，故乙同学的观点正确． 选做题： 2．已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为______． 答案：或 解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， 因为， 所以或， 当时，， 原式 ； 当时，，， ， ， 原式 ， 综上，代数式的值为或． 故答案为：或． 【综合拓展类练习】 3．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点C把线段分成，两部分，如果，那么称点C是线段的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图2，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是_____． 答案： 解：∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴ ∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴ ∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴． 故答案为：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 答案：C 解：设C点为的黄金分割点， 当时，如图， 根据黄金分割点的定义得，， 即，， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴米； 当时，同理可得，米， ∴米， ∵ ∴主持人至少走米才最理想． 故选：C． 选做题： 2．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是____． 答案：①③ 解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【综合拓展类作业】 3．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 故方程，总有实数解， 故一元二次方程与它的倒方程有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意．
教学反思 本节课为数学探究活动课，学生参与小组探究积极性较高，但代数推理环节对学生门槛较高，部分学生在联立方程变形时容易出错．活动1推导过程抽象，需要教师分层设问降低难度．活动2几何与代数结合，学生能够列出方程，但在分式化简、解方程时计算失误较多．课堂上要多给学生展示推导过程的机会，鼓励学生说出思路．后续教学可提前铺垫代数式变形技巧，增加同类简化探究习题，兼顾不同层次学生，更好落实代数推理与数形结合思想．
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学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十五章
课标要求 1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等． 3．了解一元二次方程的根与系数的关系． 4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
内容分析 一元二次方程是初中代数整式方程模块的收尾内容，承接一元一次方程、整式乘法、因式分解、平方根等前置知识，同时为后续二次函数、一元二次不等式、相似图形、解直角三角形等内容奠定运算与建模基础，是衔接初中代数与函数几何的核心桥梁．本章以实际情境引入方程模型，贯穿降次转化思想，完善学生整式方程知识体系，让学生掌握只含一个未知数、最高次数为2的整式方程完整解法．教材融合黄金分割、增长率、传播、几何面积等现实问题，强化数学建模能力，落实核心素养．配方法作为通用方法，不仅用于解方程，更是研究二次函数顶点式的关键工具；根与系数的关系拓展方程研究视角，判别式实现根的情况预判．同时本章渗透转化、分类讨论、数学建模思想，提升学生运算、逻辑推理与解决实际问题的能力，是中考核心考查板块，兼具工具性与思想育人价值．
学情分析 学生已熟练掌握一元一次方程的定义、解法与应用题建模，会整式乘除、因式分解、平方根运算，具备基础的方程转化意识，但存在明显短板：一是对“降次”转化思想理解浅薄，难以自主将二次方程转化为一次方程；二是配方时易漏常数项、混淆符号，公式法计算易出错；三是处理实际问题时，不会准确提取等量关系，忽略方程根的实际意义，盲目保留负根．学生抽象思维逐步发展，但面对判别式、根与系数综合题型、复杂几何应用题时逻辑梳理困难，分类讨论意识薄弱．同时学生擅长直观计算，对代数推理类内容接受较慢，教学中需依托实例、分层练习突破难点．
单元目标 （一）教学目标 1．理解一元二次方程概念，能识别一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），准确区分二次项、一次项、常数项及对应系数． 2．掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，理解“降次”核心思想，能根据方程特点选择简便解法． 3．理解根的判别式（Δ=b2-4ac），会判断一元二次方程实数根的三种情况，能结合参数求解取值范围． 4．掌握韦达定理（根与系数关系），不解方程求两根和、积，能变形求解含两根代数式的值． 5．能根据几何、增长率、传播、比赛场次等实际问题列一元二次方程，检验并舍去不符合实际的根，建立数学模型． 6．体会转化、分类讨论、数学建模思想，提升代数运算、逻辑推理与解决实际问题的能力． （二）教学重点、难点 重点： 1．熟练运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，理解配方法的推导过程． 2．利用根的判别式判断方程根的情况，运用根与系数的关系进行简单代数式求值． 3．分析实际问题中的等量关系，列一元二次方程解决面积、增长率、传播、几何等应用问题． 难点： 1．配方法的原理与操作，二次项系数不为1时的配方步骤，理解配方实现降次的转化逻辑． 2．结合判别式、韦达定理开展含参数综合题型推理，灵活变形两根代数式． 3．复杂实际情境中提取等量关系列方程，根据现实意义取舍方程的根，建立完整建模思维．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1一元二次方程的概念12-6降次——解一元二次方程57-9实际问题与一元二次方程310数学活动——探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割111章末复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务25.1 一元二次方程的概念1．结合实际问题列整式方程，对比一元一次方程，理解一元二次方程的定义． 2．掌握一元二次方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及各项系数． 3．能依据定义判断方程是否为一元二次方程，会将整式方程整理为标准一般形式．1．能完整说出一元二次方程的三要素：只含一个未知数、整式方程、未知数最高次数为2． 2．能准确指出一般形式中各项名称与对应系数，牢记二次项系数的限制条件． 3．能独立整理方程并判断是否为一元二次方程，完成基础辨析习题．任务一：结合实际情境列方程，归纳一元二次方程定义； 任务二：辨析各类整式、分式方程，将方程化为一般形式并标注各项系数． 25.2.1 配方法（第1课时）1．依据平方根的意义，理解形如型方程的降次思路． 2．掌握直接开平方法解方程的步骤，能区分时根的不同情况． 3．体会“降次”转化思想，能规范书写直接开平方法解方程完整步骤．1．能说出直接开平方法的理论依据是平方根定义，解释负数不能开平方． 2．会用直接开平方法解简单一元二次方程，正确写出两个实数根． 3．能判断方程有无实数根，规范完成教材基础例题与随堂练习．任务一：复习平方根概念，推导直接开平方法解题思路； 任务二：完成教材例题，分层练习与两类方程求解． 25.2.1 配方法（第2课时）1．探究完全平方式结构，掌握二次项系数为1时配方的核心操作：加一次项系数一半的平方． 2．学会将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解． 3．理解配方本质是构造完全平方式实现降次，感受转化、化归数学思想．1．能快速补全二次项系数为1的二次三项式，使其成为完全平方式． 2．能独立完成二次项系数为1的方程配方全过程，规范解方程． 3．能口述配方每一步变形依据，准确完成教材配套例题． 任务一：填空补全完全平方式，总结配方规律； 任务二：学习教材例题，分步用配方法解一元二次方程． 25.2.2 公式法1．对一般形式配方，推导求根公式． 2．理解根的判别式，能根据的正负判断方程实数根的三种情况． 3．掌握公式法解方程完整步骤，能选择公式法求解任意一元二次方程．1．能完整推导求根公式，说出配方推导过程中的关键变形． 2．会计算判别式，准确判断方程有无实数根、根是否相等． 3．能规范套用求根公式解方程，计算过程符号、数值无明显错误．任务一：对一般式配方推导求根公式，认识判别式； 任务二：运用判别式判断根的情况，用公式法完成例题与练习题． 25.2.3 因式分解法1．依据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，理解因式分解法解方程原理． 2．掌握提公因式、平方差、完全平方分解方程左边多项式，快速求解方程． 3．对比四种解法，能根据方程结构特征选择最简捷的解方程方法．1．能说出因式分解法解方程的理论依据，区分适用题型． 2．熟练将方程整理为一边为0、另一边因式分解的形式并求根． 3．能对比直接开平、配方、公式、因式分解法，合理选择最优解法．任务一：探究乘积为0的等式性质，学习因式分解法定义； 任务二：分解多项式解方程，对比多种解法完成分层习题．25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．通过求根公式推导韦达定理，掌握两根之和、两根之积． 2．不解方程，利用根与系数关系求两根和、积，以及含两根简单代数式的值． 3．能已知两根，构造对应的一元二次方程，体会方程根与系数内在联系．1．能独立推导根与系数关系公式，牢记符号规律． 2．会整体代换，变形求解等代数式． 3．给定两个数，能快速写出以其为根的一元二次方程．任务一：结合求根公式推导根与系数的关系； 任务二：不解方程求两根代数式的值，根据两根构造方程． 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）1．梳理矩形、正方形、道路边框等图形的边长、面积等量关系，建立一元二次方程模型． 2．能结合图形示意图，准确提取长、宽、面积之间的数量关系，列出方程． 3．求解方程后，结合线段长度为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根．1．能根据几何图形题意画出示意图，标注各边长代数式． 2．准确利用面积公式列出一元二次方程并正确求解． 3．能检验方程两根，舍去负数、超出范围的不合理解．任务一：分析面积类几何例题，寻找图形中等量关系； 任务二：完成教材几何应用题，规范建模、解方程、检验取舍完整流程．25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）1．分析病毒传播、平均增长率两类问题的变化规律，建立对应方程模型． 2．掌握增长率公式：原有量增长率两次增长后总量，理解传播裂变规律． 3．区分传播问题与增长率问题的数量逻辑，检验根的实际现实意义．1．能分步梳理传播人数、增长前后数量变化过程，找出等量关系． 2．熟练列传播、增长率类一元二次方程，准确计算． 3．能说明舍去负根、大于100%不合理增长率的理由．任务一：探究传播、增长率问题变化规律，总结建模方法； 任务二：完成教材例题，独立列式求解两类实际应用题．25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）1．区分单循环、双循环比赛场次计算逻辑，推导场次等量关系． 2．结合握手、互赠礼物、球赛等同类题型，归纳组合类问题建模思路． 3．建立一元二次方程解决场次问题，结合人数为正整数取舍方程的根．1．能说出单循环、双循环场次计算公式的区别与由来． 2．能根据比赛规则列出对应一元二次方程并正确求解． 3．能根据实际人数要求，筛选出符合题意的正整数解． 任务一：列举少量队伍推演比赛场次，总结场次等量关系； 任务二：完成球赛例题，拓展握手、互赠礼品同类变式练习．数学活动：探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割1．联立两个一元二次方程，探究存在公共解时参数满足的条件，提升代数推理能力． 2．通过线段分割建立方程，推导黄金分割比例，感受一元二次方程的几何应用． 3．在探究活动中综合运用解方程、根与系数关系知识，体会方程的综合价值． 1．会联立方程求公共解，根据参数取值范围完成推理． 2．能根据线段分割题意列出方程，求解并得到黄金比近似值． 3．能完整口述两次数学活动的探究过程与结论． 任务一：小组探究两方程存在公共解的参数条件； 任务二：动手线段分割，列方程计算黄金分割比值． 第25章 一元二次方程 章末复习1．梳理本章知识框架：一元二次方程概念、四种解法、判别式、韦达定理、实际应用． 2．能根据题型灵活选择解方程方法，熟练处理含参数、几何、增长、场次综合应用题． 3．查漏补缺，纠正配方、公式计算、实际问题舍根等常见易错点，完善知识体系．1．能画出本章知识结构图，清晰说出各知识点内在联系． 2．快速、准确解各类一元二次方程，熟练完成综合代数、应用题型． 3．能主动辨析易错题型，说明错误成因并规范订正． 任务一：小组合作，梳理本章知识框架； 任务二：完成典型例题； 任务三：完成练习，查漏补缺．
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