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《余弦定理》命题教学设计
基本教材： 人教 A 版高中数学必修二
教材分析： 本节课的内容为人教 A 版必修二第六章 6.4.3《余弦定理、正弦定理》，共 2课时，本节课为第一课时，主要内容是对余弦定理的推导和应用。在高中数学中，余弦定理是解决有关斜三角形的重要定理之一，实现了边与角的互化，为后续学习三角函数、立体几何等内容奠定了基础。 本节利用平面向量的方法证明余弦定理，这种方法体现了向量在解决几何问题中的重要作用，有利于提高学生数形结合、逻辑推理等能力，也有助于学生理解数学知识之间的联系，具有承上启下的重要作用。
学情分析： 知识基础：学生已经掌握了向量的基础知识，能够利用向量去解决平面几何问题，并且学习了勾股定理和向量在物理中的应用，这为学习余弦定理奠定了基础。 认知能力：经过前期的学习，学生已经具备了一定的抽象思维和逻辑推理能力，但思维严谨性不够，学生需要在教师的引导下，独立或合作探究解决问题。
教学目标： 1 、理解并掌握余弦定理的内容，能够运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。 2 、经历余弦定理的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维，通过对实际问题的分析和解决，提高学生的数学应用能力。 3 、通过自主探究、小组合作的过程，体会数形结合的数学思想，感悟数学抽象、逻辑推理的意义与作用，激发学生对数学的兴趣和探索精神。
教学重难点： 重点：余弦定理的内容和推导过程，运用余弦定理求解三角形的各种情况。 难点：余弦定理的推导过程和方法，灵活运用余弦定理解决复杂的三角形问题。
教法、学法：讲授法，探究法、讨论法、练习法
教学过程： （一）创设问题情景【命题的引入】 问题：隧道工程设计经常要测算山脚的长度，如图所示，修建铁路时要在山体上挖一条隧道，需要测得隧道口 A、B 之间的距离，因无法直接测量，测量人员在山的一侧选取点 C ，测得 CA 、CB 以及∠ACB ，能否由此得到 A 、B 的距离？ 设计意图：在实际问题中更能激发学生的兴趣，学生亲身经历从实际生活中找出数量关系、空间形式的过程，联系已有知识，寻找解决问题的方法，锻炼学生发现问题，提出问题的能力，并尝试分析问题、解决问题。
(
A
) B
C 结论：根据三角形全等的知识可以知道，两个三角形两边及其夹角对应相等，则这个三角形全等（SAS），换言之，当一个三角形两边及其夹角确定，那么这个三角形唯一确定。所以我们可以从定性的层面上来确定，AB 可以被测量。
（二）探索新知：【命题的证明】 在解决问题之前，我们要先将实际问题数学化，即转化为：在▲ABC 中，已知 a、b 、∠C，如何表示C2？ 设计意图：借助已学知识，从特殊到一般。从勾股定理中抽象出余弦定理，通过引导学生利用向量的数量积，讨论推导出余弦定理，学习余弦定理的符号语言和文字语言，明确余弦定理的用途。发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。
(
A
) (
a
b
B
c
) C
思考：引导学生用所学知识来解决问题（勾股定理、向量的数量积）
问题 1 ：假设∠C ＝90 °时，要如何求解c2？
A c b B C
a 解： ∠C ＝90 °时根据勾股定理可得： c2 = a2 + b2 讲授：已知 a 、b 及他们的夹角∠C ，很容易联系到我们之前所学的向量的数量积，那我们试着用向量的数量积来解决一下。 向量表示： → = → → = → CB a CA b → = → __ → AB a b 向量运算： 即：c2 = a2 + b2 __ 2abcosc 问题 2 ：已知 b 、c 、 ∠A ，如何表示a2？ 已知 a 、c 、 ∠B ，如何表示b2？ 同理可得：a2 = b2 + c2 __ 2bccosA b2 = a2 + c2 __ 2accosB 用文字语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 小结：利用余弦定理，可以从三角形已知两边及其夹角，直接求出第三边。
（三）知识巩固【命题的应用与理解】 思考：余弦定理指出三角形的三条边与其中一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 由余弦定理 ，可以得到如下推论： 根据三角形全等判定定理（SSS）可知，三角形三边确定，则这个三角形唯一确定，所以由此可以利用三角形三边直接计算出三角形的三个角。 例题 1 ：已知两边及其夹角，求第三边 在▲ABC 中，已知 a=5 ，b=2 ， 求 c。 解：由余弦定理可知： c2 = a2 + b2 - 2abcosc 将题目中的值分别代入有： 例题 2 ：已知三边，解三角形 已知在▲ABC 中，a = 2 6 ，b = 6 + 2 3 ，c = 4 3 ，求 A 、B 、C 解：由余弦定理可知： 设计意图：通过典型例题的分析，让学生进一步学习余弦定理在三角形中的应用。思考中的推论，让学生学会余弦定理的其他变形，例 1 和例 2 分别代表了余弦定理解三角形的两种问题，深化学生对余弦定理的理解，让学生体会在使用公式或定理时，不但要学会“正向使用 ”，还要学会“逆向 使用 ”，发展学生数学运算和逻辑推理的核心素养。
将题目中的条件代入有： (
（
6
+
2
3
）
+
（
2
6
）
2
-
（
4
3
）
2
cosc
=
2·
（
6
+
2
3
）
·2
6
)∵A∈（0 ，π） ∴A 同理可得： 2
（四）课堂小结 1.本节课我们学习了余弦定理及其推理。 2. 了解了余弦定理在三角形中的应用。 2.运用向量法证明余弦定理，强化了向量数量积的学习。 设计意图：学生根据课堂学习， 自主总结知识要点，以及运用思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（五）作业 1 、完成课后练习 1 、2 、3 2 、思考：推导余弦定理的其他方法。 设计意图：帮助不同层次的学生巩固知识，拓展能力。思考题的设计也能够避免作业的抄袭，学生可以亲自利用已有经验去探索余弦定理，充分拓展了学生的思维。
（六）板书设计 1 、定理：c2 = a2 + a2 = b2 + b2 = a2 + 6.4.3 余弦定理 B
b2 - 2abcosc c2 - 2bccosA c2 - 2accosB A (
a
b
C
c
)
2 、推论：cosA

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