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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 2.4　等腰三角形的判定定理
课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 10 日
学习核心内容 理解等腰三角形的判定与证明，掌握等腰三角形的判定.区分等腰三角形的性质与判定，并能正确应用.让学生参与探索发现，领略知识形成过程.让学生学会用等腰三角形判定来证明两条线段相等，它是三角形中直角相等转化为边相等的重要依据.
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.掌握并会运用“等角对等边”判定等腰三角形. 2.探索等边三角形的判定定理. 3.通过推理证明等腰三角形的判定方法,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力. 1.体会解决等腰三角形问题的常用辅助线. 2.引导学生观察、发现等腰三角形的判定方法,让学生从观察中获得成功,在这个过程中体验学习的乐趣.
学习过程设计
环节一：引入新课 复习旧知，情境导入 1.上节课我们学习了等腰三角形的两条重要性质,它们分别是什么 2.解决与等腰三角形有关的证明题或者计算题,经常添加什么辅助线 如图2-4-23,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点 (不考虑风浪因素) 图2-4-23 学生首先独立思考,然后分组讨论,观察问题中的条件,发现问题的本质是在条件∠A=∠B下,线段AO和BO是否相等.证明两条线段相等,可以考虑证明这两条线段所在的两个三角形全等,而图中没有别的三角形,因此需要构造全等的两个三角形. 设计意图：应用问题情境引入,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发学生的学习兴趣. 二、新知讲解 【探究1】 等腰三角形的判定定理 由等腰三角形性质定理的条件和结论的变化,引出本节要研究的内容:在△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC吗 (1)作一个有两个角相等的三角形,然后观察两等角所对的边有什么关系; (2)教师引导学生根据图形,写出已知、求证,并引导学生作出辅助线. 如图2-4-24,在△ABC中,∠B=∠C,你能证明AB=AC吗 图2-4-24 ①作BC边上的高线AD可以吗 ②作∠BAC的平分线AD呢 ③作BC边上的中线AD呢 师生共同归纳:通过论证得到,在△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC,即等腰三角形的判定定理(板书):有两个角相等的三角形是等腰三角形. 上述判定定理可以简单地说成:在同一个三角形中,等角对等边. 【探究2】 将一个三角形分割成两个等腰三角形 如图2-4-25,有甲、乙两个三角形,甲三角形的三个内角分别为10°,20°,150°;乙三角形的三个内角分别为80°,25°,75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗 画一画,并标出各角的度数. 图2-4-25 小结:将一个三角形分割成两个等腰三角形的关键是底角的确定. 【探究3】 等边三角形的判定定理 等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:如图2-4-26,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 图2-4-26 证明:因为∠A=∠B, 所以BC=AC. 因为∠B=∠C,所以AC=AB, 所以AB=AC=BC, 所以△ABC是等边三角形. 等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明:因为已知60°的角可能是等腰三角形的底角,也可能是顶角, 所以分两种情形: (1)若60°的角是等腰三角形的底角,则另一个底角也等于60°,所以顶角为180°-2×60°=60°,可得这个等腰三角形的三个角都相等,所以这个等腰三角形是等边三角形. (2)若60°的角是等腰三角形的顶角,则它的两个底角都等于=60°,可得这个等腰三角形的三个角都相等,所以这个三角形是等边三角形. 【知识拓展】 过让学生观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法,培养学生的推理能力,体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴. 证明两条线段相等的方法:(1)若要证明相等的两条线段在两个三角形中,则证明这两个三角形全等;(2)若要证明相等的两条线段在同一个三角形中,则运用等腰三角形“等角对等边”的性质. 环节三：典例精析 例1　一次数学实践活动的内容是测量河宽,如图2-4-27,即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长,它就是河的宽度(即点A,B之间的距离).这个方法正确吗 请说明理由. 图2-4-27 解:这个方法正确.理由如下: 因为∠CAD=∠B+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和), 而∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°, 则∠B=∠C, 所以AB=AC(在同一个三角形中,等角对等边). 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是(　　) A.∠A=40°，∠B=70°，△ABC是等腰三角形 B.a=3，b=7，两条线段a和一条线段b首尾相接组成等腰三角形 C.∠A=30°，∠B=60°，△ABC是等腰三角形 D.AB=2，周长是6，△ABC是等腰三角形 2.下列三角形中，不能判定为等边三角形的是(　　) A.有一个内角是60°的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形 C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形 选做题： 3.将两个全等的各有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是　　。 4.有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形。其中是等边三角形的有　　 (填序号)。 【综合拓展类作业】 5.在学习三角形时，小舟和小海讨论一个证明题：“如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。求证：BD=DC。”你觉得谁说的对？请写出正确的证明过程。 小海 我准备连结AD来证明，下面是我的证明过程：
证明：如图，连结AD。
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=DC。　　　　
小舟 你这个方法不正确，应当连结BC证明。
环节五：课堂总结 (1)会运用“等角对等边”判定一个三角形是等腰三角形. (2)掌握证明两条线段相等的常用方法.
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知在△ABC中，AH为边BC上的高线，再添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A.BH=HC B.∠BAH=∠CAH C.∠B=∠HAC D.S△ABH=S△AHC 选做题： 2.如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处。从A，B处分别望向灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离为　　海里。
3.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°。在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　　。
【综合拓展类作业】 4.如图，在△ABC中，AB=AC。分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形。 (1)BD，CE分别是两腰上的高线。 (2)BD，CE分别是两腰上的中线。 (3)BD，CE分别是两底角的平分线。 5.[推理能力]如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。 (1)(5分)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。 (2)(5分)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
参考答案： 课堂练习： 1.A 2. A 3. 3 4.①②③④ 5. 解：小舟说的对。正确的证明过程如下： 如答图，连结BC。 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。 又∵∠ABD=∠ACD， ∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB， ∴∠DBC=∠DCB， ∴BD=DC。 作业内容： 1.C2. 30 3.70°或40°或20° 4.解：∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠BCA。 (1)∵BD，CE分别是腰AC，AB上的高线， ∴∠BEC=∠CDB=90°， ∴∠OBC=90°－∠ACB=90°－∠ABC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴△OBC为等腰三角形。 (2)∵BD，CE分别是腰AC，AB上的中线， ∴BE=AB=AC=CD。 在△BEC和△CDB中， ∵ ∴△BEC≌△CDB(SAS)， ∴∠OCB=∠OBC， ∴△OBC为等腰三角形。 (3)∵BD，CE分别平分∠ABC，∠BCA， ∴∠OBC=∠OCB， ∴△OBC为等腰三角形。 5.解：(1)△AOD是直角三角形。理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴OC=DC，∠ODC=∠OCD=60°。 ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， ∴∠BCO=∠ACD=60°－∠ACO。 在△BOC和△ADC中， ∵ ∴△BOC≌△ADC(SAS)， ∴∠BOC=∠ADC。 ∵∠BOC=α=150°， ∴∠ADC=150°， ∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°， ∴△AOD是直角三角形。 (2)在△AOD中，易知∠AOD=360°－110°－α－60°=190°－α，∠ADO=α－60°， ∴∠OAD=180°－(190°－α)－(α－60°)=50°。 分三种情况讨论： ①当AO=AD时，∠AOD=∠ADO， 即190°－α=α－60°，∴α=125°； ②当OA=OD时，∠OAD=∠ADO， 即50°=α－60°，∴α=110°； ③当OD=AD时，∠AOD=∠OAD， 即190°－α=50°，∴α=140°。 综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：课题 概念 例题 应用
教学反思：依托等腰三角形的性质的推导、叙述、图示等学习等腰三角形的判定,在两个知识点的相互联系与比较中,加强认识,在应用中又相互配合,体现了知识的统一性.作图题的思路学生不熟悉,教师要指导学生如何分析作图题:假设图形已经作好,图形有哪些特征,怎样用已知条件满足这些特征.
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