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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 5.1　常量与变量
课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 11 日
学习核心内容 理解“常量”与“变量”的概念，识别在某一过程中哪些量保持不变，哪些量发生变化，并能用数学语言描述这些关系。通过实际问题如圆的面积计算、钟点工工资计算、快递费用计算等，帮助学生建立常量与变量的初步概念，为后续学习函数奠定基础。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
通过分析典型实例中的数量关系和变化规律，感受一个变化过程中量的“变”与“不变”； 2.了解常量、变量的意义与概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在； 3.学会用数学的眼光观察现实世界、用动态的观点思考问题的意识，发展抽象能力。 1.理解常量与变量的概念，能识别实际问题中的常量和变量。 2.从具体情境中抽象出常量与变量，理解其相对性，发展数学建模的初步意识。
学习过程设计
环节一：引入新课 复习旧知，情境导入 马从起点跑到终点，全程哪些量不变？哪些量在变？ 当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的量，如物体运动中的速度、时间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；某城市一天中各时刻变化着的气温；某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中，有些量固定不变，有些量不断改变。 设计意图：通过学生熟悉的实际情境引入，激发兴趣，引导学生初步感知“变”与“不变”的数学概念，为目标1的达成做铺垫。 二、新知讲解 1、请讨论下面的问题 （1）圆的周长公式为，请取的一些不同的值，算出相应的的值： cm cm cm cm cm cm cm cm …… 教师讲授： 在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变，哪些量不变？ （2）假设钟点工的工资标准为25元/时，设工作时数为t,应得工资额为m,则 =25 取一些不同的的值，求出相应的的值： h h h h …… 教师讲授： 在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量在改变？哪些量不变？ 设问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？ 引导学生观察发现：是量的数值变与不变。 2、变量与常量的概念形成： 在一个过程中，固定不变的量称为常量，如上面两题中，圆周率和钟点工的工资标准25元/时。可以取不同数值的量称为变量，如上面两题中，半径和圆面积s，工作时数t和工资额都是变量。又如购买同一种商品时，商品的单价就是常量，购买商品数量和相应的总价就是变量；某段河道一天中各时刻变化着的水位也是变量。 注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。 3、巩固概念： （1）向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆，①在这个变化过程中有哪些是变量？②若面积用，半径用表示，则和的关系是什么？是常量还是变量？③若周长用C，半径用表示，则C和的关系是什么？ （2）在行程问题中，当汽车在匀速行驶的过程中，速度、行驶的时间和路程哪些是常量，哪些是变量？若一辆汽车从甲地向乙地行驶，所需的时间、行驶速度和路程哪些是常量，哪些又是变量？ 常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。 【知识拓展】 变量与常量是相对于某一个变化过程而言，是相对的。一个量可能在某个变化过程中是常量，在另一个变化过程中是变量。 环节三：典例精析 例.一家快递公司的收费标准如图.用t表示邮件的质量,p表示每件快递费,n表示快递邮件的件数. 教师讲授： (1)填写下表. (2)在投寄快递邮件的事项中,t,p,n是常量，还是变量 若0<1≤10,投寄n件邮件的快递费记为w，此时t,p,n,w中哪些是常量 哪些是变量 答： 在投寄快递邮件的事项中,p,n都是变量，若0<1≤10,则p为常量,t,n,w均为变量. 教师讲授：“变量”是可以变化的，而“常量”是已知数 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.利用圆的周长公式C=2πr计算不同半径的圆的周长，下列说法中，正确的是(　　) A.π，r是变量，2是常量 B.C，r是变量，2，π是常量 C.r是变量，2，π，C是常量 D.C是变量，2，π，r是常量 2.某校计划用100元钱买乒乓球，下列关于所购买乒乓球的个数m与单价n(元)的关系式m= 的说法，正确的是(　　) A.100是常量，m，n是变量 B.100，m是常量，是变量 C.100，n是常量，m是变量 D.100，n是变量，m是常量 选做题： 3.解决以下问题： (1)某人以a(m/min)的固定速度经过t(min)跑了s(m)，其中常量是　　，变量是　　。 (2)在t(min)内，不同的人以不同的速度a(m/min)跑了s(m)，其中常量是　　，变量是　　。 (3)s(m)的路程，不同的人以不同的速度a(m/min)各需跑t(min)，其中常量是　　，变量是　　。 (4)根据以上叙述，写一句关于常量与变量的结论：　　。 【综合拓展类作业】 4.某港口某天从0时到12时的水深情况如下表所示(其中t表示时刻，h表示水深)： t/时036912h/米21.52.42.51.4
上述过程中，字母t，h表示的是变量还是常量，简述你的理由。 5.指出下列关系式中的变量和常量。 (1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式为S=4πR2。 (2)一物体自高处自由落下，这个物体运动的路程 h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为h=gt2(其中g=9.8 m/s2)。 环节五：课堂总结
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.李师傅到公司附近的加油站加油，如图所示为当时加油机上的计价器数据，这个过程中的常量是(　　) A.金额 B.数量 C.单价 D.数量和单价 选做题： 2.根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H(时)可用公式H=(N是人的年龄)计算。用这个公式计算不同年龄的人每天所需睡眠时间时，变量是　　，13岁的小明每天需要睡眠的时间是　　小时。
【综合拓展类作业】 3.某快递公司寄包裹的收费标准如图所示，x表示包裹质量，y表示运费。 (1)此图反映的是运费和包裹质量之间的关系，变量是　　，包裹质量大于1 kg时，其质量每增加0.5 kg，运费增加2元，2元是　　量。 (2)根据图象完成下列表格： x/kg0.511.62.32.5＜x≤3y/元10
(3)小明帮爸爸寄一个包裹，包裹质量是2.5 kg，请问小明应该付多少元的运费？
参考答案： 课堂练习： B 2.A 3.（1）a，t，s（2）t，s a，s （3）s a，t （4）常量与变量是相对的，在一种条件下的变量可能是另一种条件下的常量 4.解：字母t，h表示的是变量。因为水深h随着时间t的变化而变化。 5.解：(1)变量是S，R，常量是4，π。 (2)变量是h，t，常量是，g。 作业内容： 1.C 2.H，N 9.7 3.解：（1）x，y 常 (2)根据图象可知， 当x=0.5时，y=10； 当x=1.6时，y=14； 当x=2.3时，y=16； 当2.5＜x≤3时，y=18。 (3)小明帮爸爸寄一个包裹，包裹质量是2.5 kg，小明应该付16元的运费。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：5.1 常量与变量
一、概念
- 常量：在某一过程中固定不变的量
- 变量：在某一过程中可以取不同数值的量
二、特点
- 相对性：同一量在不同过程中可能不同
三、举例（教师板演）
- 圆的面积与半径
- 动车行驶中的速度、时间、路程
- 快递收费模型
教学反思：情境设计贴近生活：通过“圆的面积变化”“加油计价”“动车行驶”等学生熟悉的情境引入，有效激发了学习兴趣，降低了抽象概念的理解难度。 注重过程体验：通过填表、画图、举例等活动，让学生亲身参与“变”与“不变”的发现过程，强化了对概念本质的理解。 强调相对性思维：通过同一量在不同过程中的角色变化（如速度在匀速行驶中是常量，在变速过程中是变量），帮助学生建立起“常量与变量是相对的”这一重要观念。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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