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专题8 二次函数中的最值的综合计算
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01几何图形中线段最值问题 题型02两线段和的最值问题
题型03面积的最值问题 题型04周长的最值问题
题型05线段和差倍分的最值 题型06 由二次函数性质求二次函数的最值
题型07由二次函数的最值求字母的值 题型08二次函数的最值求字母的取值范围。
题型09 新情境问题 题型10 实物中抽象出二次函数模型
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：二次函数最值的概念
当二次函数的图象开口向上时，其最小值在顶点处取得，开口向下时，其最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为x=- ，代入函数解析式求最值。
【针对训练】
【典例1】二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D． 9
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的最值，掌握配方法将二次函数转化为顶点式是解题的关键．
将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，利用二次函数开口向上时顶点纵坐标为最小值的性质求解．
【详解】解：
∵二次项系数，抛物线开口向上，
∴当时，函数取得最小值，最小值为，
故选D．
【变式1】已知抛物线，当为（ ），y值最大
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的最值，灵活运用二次函数的性质及顶点横坐标公式是解题的关键，根据判断出抛物线开口向下，进而利用求出使式子取得最大值时的值．
【详解】解：抛物线解析式为，其中，，
，
抛物线开口向下，在顶点处值取得最大值，
根据二次函数顶点横坐标公式，
，
即当时，值最大．
故选：．
知识点二:配方法求最值
将二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式y ,其中h=- ,k为顶点的纵坐标。
【针对训练】
【典例1】甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（ ）
A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值
C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵甲，
∴，顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，当时，甲有最小值，最小值为30；
∵乙，
∴，顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，当时，乙有最大值，最大值为30；
∴选项错误，正确．
故选：．
【变式1】已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值．
根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线，
∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当时，当时，，
当时，，
∴，
解得；
当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当时，当时，，
当时，，
∴，
解得；
故答案为：或．
知识点三：公式法求最值
直接利用顶点坐标公式得到最值,二次函数y=ax2+bx+c中，顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=
【针对训练】
【典例1】已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　）
A．5或1 B．5或 C．或1 D．或
【答案】D
【分析】根据题意，得到二次函数的顶点坐标，以及当或时，，结合二次函数的图象，得到结果．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵当时，
即，
∴，
∴或，
即当或时，，
∴二次函数的图象如下：
∵当时，二次函数的最小值为，
∴或，
即实数a的值为或．
【变式1】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或 B．或2 C． D．
【答案】C
【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可．
【详解】∵二次函数中，二次项系数，
∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论：
若对称轴在区间左侧，即，得，
∵在范围内，y随x增大而增大，
∴最小值在处，代入得，此情况不成立；
若对称轴在区间内，即，得，
∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得：
，
令，得，整理得，解得，
∵，
∴，符合条件；
若对称轴在区间右侧，即，得，
∵在范围内，y随x增大而减小，
∴最小值在处，代入得，解得，
∵，不符合的前提，故舍去．
综上，只有符合条件，因此选C．
【详解】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故选：D．
典例精析
题型01几何图形中线段最值问题。
【典例】2．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．．
过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值．
【详解】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，， ，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故选：B．
【变式】【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．
【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．
【答案】【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1
【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形；
[解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解；
小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值；
[深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值；
【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，，
，
当时，有最小值，
的最小值为；
小红：如图1，延长至点，使得，
此时，且为等腰直角三角形，
，
点在过点且与的夹角为的直线上运动，
当于点时，最小，
此时，
的最小值为

[深入探究]；
设，则，
∵，
∴
∴
∴当时，取得最小值，最小值为
∵是的中点，
∴
∴的最小值为
题型02两线段和的最值问题
【典例】已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
(2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线．
①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标．
②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解；
②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点，
∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D，
∴点，
把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点E的坐标为；
（2）解：①如图，连接，
∵，，
∴轴，，
∴，
∴点，，
∵，
∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，
对于，
当时，，
∴点，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴点M为的中点，
∴点M的坐标为；
②如图，在射线上取点G，使，连接，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴轴，即，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
即的最小值为．
【变式】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，在的左上方以为边作正方形．
①如图，当时，求正方形的面积；
②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
(3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．
【答案】(1)
(2)①8；②
(3)，
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可；
②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解；
（3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答．
【详解】（1）解∶∵抛物线过点，点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：①由点，可得，，
，
，
，
．
②如图，过点作轴，垂足为，
则．
四边形为正方形，
，，
∵，
∴，
，，，
∴，
，
设，则，
点
点在抛物线上，
，解得，（不满足，舍去），
点．
（3）解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，，
四边形为平行四边形，
，．
连接，
，
当，，三点共线时，，如图，
即的最小值等于的长．
令时，，
解得，，，
点，
∴点．
点，
，
，
∴在中，，
的最小值为
设直线的表达式为，
∵直线过点，，
，解得，
直线的表达式为，
点，
，
点，
当取最小值时，．
题型03面积的最值问题
【典例】阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
(1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)、小、
(2)、大、5
(3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；
（2）根据阅读材料即可求解；
（3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）当时，代数式有最小值；
（2）代数式
当时，代数式有最大值5．
（3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为 ，花园的面积为 ．根据题意，得
，当时，有最大值32，
答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是．
【变式】如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，点的坐标为，最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的解析式为，又两点之间线段最短，得此时取最小值，最小值为线段的长度．令，求解即可；
（3）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示．先求出直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而利用面积公式构造二次函数即可得解．
【详解】（1）解：将点，代入，得
解得
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：如图，作关于轴对称点，连接交轴于点，
中，令，则，
∴．
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵两点之间线段最短，
∴此时取最小值，最小值为线段的长度．
令，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示．
设直线的解析式为（），
∵点，．
∴解得
∴直线的解析式为．
∵该抛物线的解析式为，
∴设点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴
，
∵，
∴当时，点的坐标为，取最大值，为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数，求一次函数解析式，两点之间，线段最短，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
题型04周长的最值问题
【典例】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点．
(1)若，求点的坐标；
(2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________．
【答案】(1)点C的坐标为或或或；
(2)13
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴交点问题、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先求出点E坐标，进而利用面积公式求出点C纵坐标，代入二次函数求解即可；
（2）设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：令得，或6，
∴，即，
∴，
解得，
当时，即，
解得，
∴或；
当时，即，
解得或4，
∴或；
综上，点C的坐标为或或或；
（2）解：设点，
∴．
又抛物线的对称轴是直线，
∴C的横坐标为．
∴．
∴矩形的周长．
∴当时，周长L有最大值13．
故答案为：13．
【变式】如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：设，则：，
∵均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
作点关于的对称点，连接，则：，，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴的周长，
∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点，
则：，
∴，，
∴为定值，
∴当的长最小时，的周长的值最小，
∵，
∴当时，最小为，此时最小为，
∴的周长的最小值为：；
故选：A．
题型05线段和差倍分的最值
【典例】已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标；
(3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)点的坐标为，这个最小值为
【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可；
（2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可；
（3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴顶点坐标；
（2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示：
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴此时点E符合题意，
∵F为的中点，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
同理根据，可得直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点E的坐标为；
（3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线，
(1)求抛物线的表达式；
(2)平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值；
【答案】(1)
(2)的最小值
【分析】（1）根据可得，根据对称轴可得，运用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数图象的性质，分别求出点的坐标，确定直线的解析式为，可得，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且，可得，设，用含的式子表示出的值，根据二次函数求最值的方法确定点的坐标及，如图所示，连接，根据三角形三边数量关系可得当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小，由此即可求解；
【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴是直线，
∴，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：已知，对称轴为，
∴，即，
解得，，
∴，
在抛物线中，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，且，
∴，则，
∵是的角平分线，
∴，
如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且，
∵，轴，，
∴，
∴在中，，
已知点是直线上方抛物线上的一动点，
∴设，则，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，则，
∴，
∴，
∵，对称轴为，
∴当时，有最大值，
∴，即，
如图所示，连接，且，
∴在中，，
当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小，
∴的最小值为；
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数与图形的综合，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用，三角形三边数量关系确定线段最小值，二次函数图象的平移，二次函数与二元一次方程组计算交点等问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，与几何图形的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
题型06 由二次函数性质求二次函数的最值
【典例】如图，抛物线与抛物线交于点，，若无论取任何值，总取，中的最小值，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．1
【答案】A
【分析】观察函数图象找出函数y图象的最高点，由此即可得出y的最大值，此题得解．
【详解】解：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，
∵点A坐标为，
∴y的最大值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，观察函数图象，找出二次函数的最高点是解题的关键．
【变式】已知二次函数，其中．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值；
(3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【答案】(1)直线
(2)4
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论．
（1）根据二次函数性质进行解答即可；
（2）令a分别等于，得出，，联立两个式子得出，根据，的值与a无关，得出，求出x的值即可；
（3）分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：令a分别等于，得：
，，
联立两式子得：，
化简得：，
∵，的值与a无关，
∴，
解得：，，
∴．
（3）解：当时，原式：，对称轴为直线，
①当时，，，
根据题意得：，
即，
解得；
②当时，，，
根据题意得：，
即，
解得：；
③当时，，；
根据题意得：，
即，
解得：（舍去），（舍去），
④当时，，；
根据题意得：，
即，
解得：（舍去），（舍去），
综上所述：或．
题型07由二次函数的最值求字母的值
【典例】已知二次函数．
(1)若该函数的图象过原点．
①求的值．
②点在该函数图象上，当时，，求的范围．
(2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)①；②或
(2)的值为或．
【分析】（1）①直接将代入函数解析式计算即可；
②求出函数解析式，进而求出函数与x轴交点横坐标，根据二次函数的性质作答即可；
（2）先求出二次函数对称轴，进而得到对称轴的取值范围，分两种情况根据二次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：①∵该函数的图象过原点，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
当时，
解得：，
∵，
∴函数开口方向向下，
∵点在该函数图象上，当时，，
∴或，
∴或；
（2）解：二次函数对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
当即时，
∵，
∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大，
可知当时，最大值，
当时，最小值，
∵函数最大值与最小值的差为，
∴，
解得：；
当即时，
∵，
∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大，
可知当时，最大值，
当时，最小值，
∵函数最大值与最小值的差为，
∴，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为或．
【变式】已知关于x的二次函数．
(1)该二次函数的对称轴为______．
(2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)正确
(3)或
【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可；
（2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可；
（3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可．
【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴．
（2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为．
令，则．
∵，
∴该值为最小值，即亮亮的判断正确．
（3）解：或，
理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为，
平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为，
①若，
∵，
∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间，
当时，时取得最大值．
∴，
解得或（不合题意，舍去）；
当时，时取得最大值，
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
②若 ，
则新二次函数在的范围内的最大值始终为，
根据题意，得，
解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在．
综上可知，m的值为或．
题型08二次函数的最值求字母的取值范围。
【典例】已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题：
(1)抛物线的解析式为___________；
(2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________；
(3)当时，的取值范围是___________；
(4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴列方程求出，再代入原抛物线解析式即可；
（2）联立抛物线与直线方程，消去后得到一元二次方程，再结合抛物线与直线恰好只有一个交点，可知其判别式，进而求解即可；
（3）先对抛物线解析式因式分解，求出与轴的交点坐标，再结合函数图像分析即可；
（4）抛物线开口向上，对称轴是最小值点，因此需包含对称轴，又因为时取最大值，根据二次函数对称性，的对称点为，所以不能超过3，从而确定的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
解得，
将代入，得，
抛物线的解析式为．
（2）解：将代入，
得到，
整理得，
抛物线与直线恰好只有一个交点，
，
解得．
（3）解：当时，即，
，
二次函数开口向上，与轴交点为和，
当时，在两个交点之间，即．
（4）解：抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，取最小值，
，
又 时，取最大值，
根据二次函数对称性，关于对称轴得对称点为，
，
．
【变式】如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像．
(1)求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围；
(2)求图像上到轴的距离为3的点的坐标；
(3)在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)
【分析】（1）根据，可得顶点坐标和随增大而减小的值的范围；
（2）分，两种情况解答；
（3）根据顶点和函数与y轴交点 ，可知图像K的函数值范围为，最大值最小值不受自变量变化影响，根据时，，当时，，得，得，或，即得．
【详解】（1）解：∵，
开口向上，对称轴为直线，的顶点坐标为，
∴当时，随增大而减小，
∵，
∴随增大而减小的x取值范围是；
（2）解：对，令，则，
解得，，，
，
对，令，则，
解得，（舍），；
，
综上，满足图像上到轴的距离为3的点的坐标有，，；
（3）解：对，，，开口向上，顶点，
∴当时y有最小值2，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∵当时，，
∴图像与y轴交点 ；
对，，，开口向下，顶点不在范围，当时，y随x的增大而增大；
∴当图象K的函数取值范围为，最大值和最小值不受自变量变化而变化，
当时，
解得或（舍去），
当时，
解得，
当时，解得或，
若，则，不合题意，
若，则，此时，不合题意，
∴，
或，
即，
综上，的取值范围为．
【点睛】本题考查分段二次函数．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的对称性和增减性，点到x轴的距离，二次函数与一元二次方程，分类讨论，是解本题的关键．
1．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
2．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】先求出二次函数的增减性，再分两种情况：①和②，分别求出最大值与最小值，据此求解即可．
【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取得最大值，最大值为5，
当时，，
当时，，
①当时，则在内，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值，
又∵当且时，的最小值为，最大值为，
∴，，即，，
∴，是一元二次方程的两个实数根，
解得，，
∴；
②当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为5，
又∵当且时，的最大值为，
∴，
解得，不符合题设，舍去；
综上，．
3．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为______．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：已知二次函数，
∴对称轴为：，
∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等，
∴当时的函数值大于时的函数值，
∴当时，，
∴，
解得，，
故答案为： ．
4．二次函数中，当时，的最小值是_________．
【答案】1
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的最值、把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，当时取最小值，最小值为，
故答案为：1
5．已知二次函数，当时，函数的最大值为________．
【答案】5
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题．
【详解】解：由二次函数的表达式为可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数取得最小值，且，
则当时，，
当时，，
∴在中，函数的最大值为，
故答案为：．
6．已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________．
【答案】或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，局部最值，利用分类思想，结合增减性计算即可．
【详解】∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大，
∵，
∴时，函数局部有最大值，此时函数值为，
∵二次函数在时有最大值3，
∴，
解得；符合题意；
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小，
∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内，
∴时，函数局部有最大值，此时函数值为，
∵二次函数在时有最大值3，
∴，
解得；符合题意；
故答案为：或．
7．已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为____________．
【答案】4
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，，
∵，开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵当时，y取得最大值为15，
∴当时，，
∴，
解得：或（舍去），
故a的值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
8．当时，函数的最小值为1，则的值为______．
【答案】2或
【知识点】y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时，求的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
【详解】解：当时，有，
解得：，．
∵当时，函数有最小值1，
∴或，
∴或，
故答案为：2或．
9．已知二次函数（为常数），
(1)若二次函数的图像经过点，则___________；
(2)在（1）的条件下，当时，则的取值范围是 ___________；
(3)若二次函数在时有最大值，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，时取最小值，时取最大值；
（3）根据开口方向分类讨论，利用最大值列方程求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）知：该二次函数y的表达式为，
，
抛物线开口向上，顶点为，
时，，
当，，
当时，的取值范围是：，
故答案为：；
（3）解：将二次函数化为顶点式得：，
二次函数在时有最大值，
当时，开口向上，
当时，有最大值，最大值为，
，
；
当时，开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
，
；
综上，的值是或．
10．已知二次函数
(1)若 当 时，y的最小值为 y 的最大值为4，求 的值；
(2)若该二次函数的图象经过点和, 当 时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
【答案】(1)2
(2)或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解二次函数的增减性，准确计算．
（1）根据抛物线的对称轴和开口方向得出当时，y有最小值，当时，y有最大值，得出即，求出即可得出答案；
（2）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当在对称轴的同侧时，当在对称轴的异侧时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵，对称轴为，
∴x的值离对称轴越远，y的值越小，
∵
∴当时，y有最小值，当时，y有最大值．
即，
解得，
∴；
（2）解：由题意，得，
解得
∴二次函数的解析式为，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵
∴①当在对称轴的左侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理的
解得（不在m的范围内，舍去）．
②当在对称轴的右侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理得：（不在m的范围内，舍去）．
③当在对称轴的两侧时即时，
∵y的最大值与最小值的差8，最小值为0．
∴，
解得：，（不在范围舍去），
解得：（舍去）．
综上所述，m的值为或．
11．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求的值；
(2)当时，的最大值是，求的值；
(3)当时，若在函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数的最值．
（1）把点代入中，求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，根据最大值是，求解即可；
（3）根据当时，， 得出，，求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，得
，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为，
当时，∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得；
当时，∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得；
∴综上所述，a的值为或；
（3）解：抛物线的对称轴为，
当时，∵，
∴，
∴．
12．已知二次函数（a，b是常数，），它的图象过点．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)若，此二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为3，求m的值；
(3)若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】（1）将点代入函数解析式即可得；
（2）先求出二次函数的解析式，求出当时，的值，然后利用二次函数的性质分①在的左侧和②在的右侧两种情况，由此即可得；
（3）先根据求出，再利用根的判别式判断出抛物线与轴有两个不同的交点，从而可得抛物线的开口向下，且顶点的横坐标小于0，由此可得，然后根据即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
则．
（2）解：，
，
，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，，解得或，
①在的左侧，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为3，
∴；
②在的右侧，随的增大而减小，
∴当时，有最大值为3，
∴．
综上，或．
（3）解：∵，，
∴，解得，
关于的方程的根的判别式，
∴函数图象与轴有2个不同的交点，
函数图象的顶点在第二象限，
抛物线的开口向下，且顶点的横坐标小于0，
，解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
13．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论．
【详解】解：判断结论①：
观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误；
判断结论②：
抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误；
判断结论③：
设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确；
判断结论④：
抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确；
判断结论⑤：
当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误；
判断结论⑥：
若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误．
综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意．
14．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax +bx+c的图象与性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，
对称轴在 轴右侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
抛物线与轴有两个不同的交点，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
综上所述，，，．
15．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】B
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】结合二次函数的性质对各项逐一判断．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，，
∴一元二次方程的根为，，故①错误；
∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴，即，故②正确；
∵抛物线对称轴为直线，，
∴抛物线开口向上，当时，；
∵方程（）的根为整数，
∴根的取值范围为，其中整数为，，，
结合对称性，与对应函数值相等，对应一个值；
对应顶点函数值，对应另一个值，故的值只有两个，③正确；
∵点关于对称轴的对称点为，时，时随增大而增大，
又，
∴，即，故④正确．
16．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、利用不等式求自变量或函数值的范围、抛物线与x轴的交点问题
【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴在对称轴处函数有最大值，
∵对称轴为直线，
∴把代入得，
∴函数的最大值为，故①正确；
∵二次函数与交于点，
∴当时，，故②错误；
∵二次函数与x轴交于点A、点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，故③正确；
由对称性可知，点A的坐标为，
∴由函数图象可知，当时，，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个．
17．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________．
【答案】
【知识点】折叠问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围．
【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点，
令，解得：或2，即，，
∴翻折抛物线的表达式为：，
∴顶点C的坐标为，
当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是．
18．如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：①；②若，则；③对于任意实数m，一定有④一元二次方程的两根为和，其中正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的图象及性质、二次函数的最值，根据函数图象与轴的交点，将函数解析式化为交点式，进而可判断①，当时，代入，再将函数解析式化为顶点式，利用函数的性质即可判断②，根据函数的顶点坐标及开口方向即可判断③，方程化为：，整理得，进而可判断④，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象经过点、点，
抛物线解析式为：，即：，
，，
，故①正确；
当时，，
，
顶点坐标为：，
抛物线的开口向下，
当时，则，故②错误；
，
抛物线的开口向下，
当时，该二次函数有最大值，
∴，
∴，
∴，故③正确；
方程化为：，
整理得：，
解得：，，故④正确，
则正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
19．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______．
【答案】
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、把y=ax +bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】先将二次函数配方得到对称轴和开口方向，根据开口向下时函数值大小对应点到对称轴的距离大小，列出不等式，结合的范围求解．
【详解】解：对二次函数配方得：
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∵存在，开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小，
∴点到对称轴的距离点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
即，
对：两边平方整理得：，
∵，，
∴，
对：两边平方整理得：，
∵，，
∴，
由，，得：
，
要存在，需满足，解得；
由，，得：
，
要存在，需满足，解得，
综上，的取值范围是．
20．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（ 2， 2），当时，二次函数的最值是 2，求k的取值范围；
(4)当a= 1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
【答案】(1)4a
(2)0
(3) 6≤k≤0
(4) 4≤c＜5
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题
【分析】（1）根据题意可得，即可求解；
（2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2 4ac=0，进而得到c=4a，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线的顶点是（ 2， 2），再由当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，可得，即可求解；
（4）根据题意可得关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a，
故答案为：4a；
（2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ=b2 4ac=0，
∴16a2 4ac=0，
∵a≠0，
∴4a c=0，即c=4a，
∴c b=4a 4a=0；
（3）解：∵抛物线过点（ 2， 2），且对称轴为直线x= 2，
∴抛物线的顶点是（ 2， 2），
∵当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，
∴，解得： 6≤k≤0；
（4）解：当a= 1时，b= 4，
∴抛物线y= x2 4x+c，
∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，
c=x2+4x，
可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2 4与直线y=c在 3＜x＜1的范围内有交点，
当x= 2时，y=4 8= 4，x=1时，y=1+4=5，
如图所示，由图象得：c的取值范围： 4≤c＜5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
21．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”
(1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由；
(2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)求直线的最值点．
【答案】(1)不存在，理由如下：
设抛物线M的解析式为，
∵抛物线M经过和点和，
∴，解得
∴抛物线M的解析式为，
∴抛物线M的开口向上，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大，
∴随x的增大而增大，即不存在最大值，
∴抛物线M上不存在最值点．
(2)
(3)
【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答；
（2）结合图象即可求解；
（3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：略．
（2）解：∵直线交抛物线M于，两点，
∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为．
（3）解：对于直线，有
，
∴当时，有最大值，
此时，
∴直线的最值点为．
【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键．
22．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数”
(1)判断二次函数是不是“邻交函数”
(2)若二次函数是“邻交函数”，求的值．
(3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值．
【答案】(1)是“邻交函数”
(2)
(3)的最大值为
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax +bx+c的最值
【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案；
（2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值；
（3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
解得，
∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为，
∵，
∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1，
∴二次函数是“邻交函数”；
（2）解：∵二次函数是“邻交函数”，
∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1，
设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
综上所述，；
（3）解：∵二次函数是“邻交函数”，
∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1，
在中，当时，，
解得，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，t有最大值，最大值为9．
23．我们不妨约定：若函数的图象与，轴的交点中，至少存在两个不同的点到原点的距离相等，则称该函数为“共函数”，这两个点称为“共点”．
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①一次函数是“共函数”；（ ）
②是“共函数”；（ ）
③是“共函数”；（ ）
(2)关于的二次函数（a，b，c是常数， ）是“共函数”，函数图象与轴交于点和点，与轴交于点，且点，为“共点”．
①过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，若，求该二次函数的解析式；
②若，求的取值范围．
【答案】(1)①√②；③√
(2)①或；②
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、求x轴与抛物线的截线长、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）紧扣新定义分别求出三个函数与坐标轴交点，利用坐标轴上点到原点距离等于坐标绝对值，逐一对比距离是否相等，进而判断正误．
（2）①解先设出x轴、y轴上交点B、C坐标，由共c点定义得两点到原点距离相等，结合推出坐标绝对值关系；利用抛物线性质，平行于x轴的两点关于抛物线对称轴对称，由得出对称轴到y轴水平距离为；按对称轴在y轴左侧、右侧分两种情况，用抛物线对称轴公式求出B点坐标，再求出c的值；设抛物线交点式解析式，代入已知点求出a，整理得到两个解析式．
（2）②由条件判断，只保留①中开口向上的一组a值；把a和定点代入抛物线解析式，建立b、c关系式；代入不等关系，解不等式求出b的取值范围；将a、c用b表示后代入t的表达式，换元转化为二次函数，利用二次函数性质，求出t的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，函数图象与x轴、y轴的交点中，至少存在两个不同的点到原点的距离相等，则该函数为“共c函数”．
与轴交点为，到原点距离为；
与轴交点为，到原点距离为．
两点到原点距离相等，故①正确．
是反比例函数，图象无限靠近坐标轴，与轴、轴均没有交点，不满足定义要求，故②错误．
与轴交点为，到原点距离为；
与轴交点为，，其中点到原点距离为．
与到原点距离相等，满足定义，故③正确．
综上：①√；②×；③√．
（2）①解： 点是二次函数与轴的交点，
．
点B是二次函数与x轴的交点，设．
、C为“共c点”，两点到原点的距离相等，
．
，
，即．
轴，且C、D都在二次函数图象上，两点纵坐标相同，
、D关于抛物线的对称轴对称．
，
抛物线对称轴到点C的水平距离为．
抛物线开口方向不确定，下面分两种情况讨论：
情况1：抛物线对称轴在轴左侧
由对称轴到y轴水平距离为，得对称轴为直线
对称轴为直线．
抛物线与轴交于、，
由对称轴公式，
解得，即．
由，得，
，即．
设二次函数解析式为，
把代入解析式，
，
解得．
二次函数解析式为，
整理得．
情况2：抛物线对称轴在y轴右侧
由对称轴到y轴水平距离为，得对称轴为直线．
由对称轴公式，
解得，即．
由，得，
，即．
设二次函数解析式为，
把代入解析式，
，
解得．
二次函数解析式为，
整理得．
综上，二次函数的解析式为或．
②解：，
，抛物线开口向上，舍去对应的解析式，只取．
二次函数图象过点，
．
把代入上式，
，
整理得．
将代入不等式，
得．
化简不等式右边：
，
．
结合，
．
把，代入，
展开并整理：
设，
，
．
代入得：
二次项系数，抛物线开口向上，
对称轴为直线，在取值范围左侧，
在范围内，随的增大而增大．
当时，；
当时，．
的取值范围是．
24．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
【答案】(1)
(2)
证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点，
∴和是一元二次方程的两个根．
由根与系数的关系可得：，，
两式联立可得：，
∴，
∵，
∴，
整理得．
(3)①；②或；③．
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax +bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题
【分析】（1）根据抛物线轴对称的性质即可得出其对称轴为，据此列式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后结合即可证明结论；
（3）①由点在直线上先求出m的值，然后结合（2）求出a，b的值，进而求出二次函数表达式；②设点P坐标为，根据三角形面积公式得到，解方程求出n值即可得到答案；③根据平移规律求出平移后的二次函数表达式，联立直线得到一元二次方程，再由根与系数的关系求出，即可得出线段为定值．
【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为．
（2）略
（3）解：①∵点在直线上．
∴，则．
由（2）可得．
故二次函数表达式为：．
②联立直线和二次函数可得：．
解得：或2，
∴，
设点P坐标为．
∴．
整理得：．
解得：或1．
∴点P的坐标或．
③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度．
对于二次函数：，其顶点式为：．
∴根据平移的性质新的抛物线解析式为，
联立直线可得：，
整理得：．
设，，则，，
由根与系数的关系可得：，．
∴．
∴．
∴
，
∴．
∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值．
25．如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，直线经过，两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．当时，求点的横坐标；
(3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值．
【答案】(1)二次函数的解析式为
(2)点P的横坐标为或
(3)当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或
【知识点】求一次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）由、得，再用待定系数法可得二次函数的解析式；
（2）根据题意得直线l的表达式，进而表示出，，根据两点之间距离公式得到，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案；
（3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，由题意作出图象，得到当直线经过点A或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点B时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，
将，代入，
得：，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线l：，直线经过，两点，
将，代入，
得：，解得，
直线l的表达式为，
如图所示，
点P为线段上一点，设其横坐标为t，则，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
或，
则或，
解得或或或，
，
点P的横坐标为或；
（3）解：在中，
令得，
解得或，
，，
，
抛物线的顶点为，
将抛物线的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，
则翻折上来的部分抛物线顶点为，
翻折上来的部分抛物线解析式为，
直线向上平移n个单位长度得到直线：，
如图所示，
当直线经过点A或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；
当直线经过点B时，直线与新图象恰好有一个交点，
①当直线经过点时，把代入：
得：，解得，
即当时，直线与这个新图象有3个公共点；
②当直线：与相切时，
只有一组公共解，即方程的判别式为0，
，解得，
即当时，直线与这个新图象有3个公共点；
③当直线经过点时，把代入：
得：，解得，
即当时，直线与这个新图象有1个公共点；
④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点；
⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点；
⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点；
⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点；
综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）专题8 二次函数中的最值的综合计算
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01几何图形中线段最值问题 题型02两线段和的最值问题
题型03面积的最值问题 题型04周长的最值问题
题型05线段和差倍分的最值 题型06 由二次函数性质求二次函数的最值
题型07由二次函数的最值求字母的值 题型08二次函数的最值求字母的取值范围。
题型09 新情境问题 题型10 实物中抽象出二次函数模型
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：二次函数最值的概念
当二次函数的图象开口向上时，其最小值在顶点处取得，开口向下时，其最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为x=- ，代入函数解析式求最值。
【针对训练】
【典例1】.二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D． 9
【变式1】已知抛物线，当为（ ），y值最大
A． B． C． D．
知识点二:配方法求最值
将二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式y ,其中h=- ,k为顶点的纵坐标。
【针对训练】
【典例1】甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（ ）
A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值
C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值
【变式1】已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________．
知识点三：公式法求最值
直接利用顶点坐标公式得到最值,二次函数y=ax2+bx+c中，顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=
【针对训练】
【典例1】已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　）
A．5或1 B．5或 C．或1 D．或
【变式1】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或 B．或2 C． D．
典例精析
题型01几何图形中线段最值问题
【典例】2．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式】【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．
【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．
题型02两线段和的最值问题
【典例】已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
(2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线．
①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标．
②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值．
【变式】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，在的左上方以为边作正方形．
①如图，当时，求正方形的面积；
②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
(3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．
题型03面积的最值问题
【典例】阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
(1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【变式】如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积．
题型04周长的最值问题
【典例】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点．
(1)若，求点的坐标；
(2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________．
【变式】如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．
题型05线段和差倍分的最值
【典例】已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标；
(3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值．
【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线，
(1)求抛物线的表达式；
(2)平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值；
题型06 由二次函数性质求二次函数的最值
【典例】如图，抛物线与抛物线交于点，，若无论取任何值，总取，中的最小值，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．1
【变式】已知二次函数，其中．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值；
(3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
题型07由二次函数的最值求字母的值
【典例】已知二次函数．
(1)若该函数的图象过原点．
①求的值．
②点在该函数图象上，当时，，求的范围．
(2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值．
【变式】已知关于x的二次函数．
(1)该二次函数的对称轴为______．
(2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值．
题型08二次函数的最值求字母的取值范围
【典例】已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题：
(1)抛物线的解析式为___________；
(2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________；
(3)当时，的取值范围是___________；
(4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________．
【变式】如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像．
(1)求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围；
(2)求图像上到轴的距离为3的点的坐标；
(3)在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围．
1．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
2．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为______．
4．二次函数中，当时，的最小值是_________．
5．已知二次函数，当时，函数的最大值为________．
6．已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________．
7．已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为____________．
8．当时，函数的最小值为1，则的值为______．
9．已知二次函数（为常数），
(1)若二次函数的图像经过点，则___________；
(2)在（1）的条件下，当时，则的取值范围是 ___________；
(3)若二次函数在时有最大值，求的值．
10．已知二次函数
(1)若 当 时，y的最小值为 y 的最大值为4，求 的值；
(2)若该二次函数的图象经过点和, 当 时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
11．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求的值；
(2)当时，的最大值是，求的值；
(3)当时，若在函数图象上，且，求的取值范围．
12．已知二次函数（a，b是常数，），它的图象过点．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)若，此二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为3，求m的值；
(3)若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．
13．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
15．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
16．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________．
18．如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：①；②若，则；③对于任意实数m，一定有④一元二次方程的两根为和，其中正确结论的序号是______．
19．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______．
20．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（ 2， 2），当时，二次函数的最值是 2，求k的取值范围；
(4)当a= 1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
21．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”
(1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由；
(2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)求直线的最值点．
22．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数”
(1)判断二次函数是不是“邻交函数”
(2)若二次函数是“邻交函数”，求的值．
(3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值．
23．我们不妨约定：若函数的图象与，轴的交点中，至少存在两个不同的点到原点的距离相等，则称该函数为“共函数”，这两个点称为“共点”．
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①一次函数是“共函数”；（ ）
②是“共函数”；（ ）
③是“共函数”；（ ）
(2)关于的二次函数（a，b，c是常数， ）是“共函数”，函数图象与轴交于点和点，与轴交于点，且点，为“共点”．
①过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，若，求该二次函数的解析式；
②若，求的取值范围．
24．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
25．如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，直线经过，两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．当时，求点的横坐标；
(3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值．
试卷第1页（共2页）
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