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专题9 二次函数中的关于存在性综合问题计算
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01二次函数中面积问题的存在性问题 题型02二次函数中周长最值的存在性问题
题型03二次函数中全等三角形的存在性问题 题型04二次函数中等腰三角形的存在性问题
题型05二次函数中直角三角形的存在性问题 题型06二次函数中等腰直角三角形的存在性问题
题型07二次函数中平行四边形的存在性问题 题型08二次函数中矩形的存在性问题
题型09二次函数中菱形的存在性问题 题型10二次函数中正方形的存在性问题
题型11二次函数中角度问题的存在性问题 题型12 二次函数中线段问题的存在性问题
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：二次函数中面积问题的存在性问题
三角形面积可分为面积定值问题，面积数量关系问题，面积最值问题，其解法有割补法，铅垂法，平移法（作平行线）等。四边形面积：规则四边形可用面积公式求解，不规则图形，通常用割补法转化为已学的规则图形进行求解。
【针对训练】
【典例】已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点M的坐标为或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点使．
当时，，解得或，
∵点在点的左侧，
∴点，点；
当时，，
∴点．
∵抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴抛物线的对称轴与直线的交点为，
∴，
∵点是位于轴上方的抛物线上一点，，
∴，
设点的坐标为，
∴，整理得，解得或，
∴点的坐标为或．
知识点二：二次函数中特殊三角形存在性问题
（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。
（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。
【针对训练】
【典例】如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，，
【详解】（1）解：对于直线，
当时，；时，；
∴，，
∵，
设二次函数解析式为，
代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴，
∵，
∴；
①如图1，当时，，
∴，；
②如图2，当时，
过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：存在，，，．
知识点三：二次函数中平行四边形存在性问题
一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。
2.菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。
【针对训练】
【典例】已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由．
(3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
(3)存在，，，
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用．
（1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可；
（2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可；
（3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
把，和代入得
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点P在抛物线上，
∴可设，
过P作轴于点E，交直线于点F，如图：
∵和，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，最大值为，此时，
∴当时，最大值为；
（3）解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，
∵，和，
∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到；
当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到；
当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到；
当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到；
综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，．
知识点四：二次函数中线段、角度问题的存在性问题
线段问题可分为线段定值问题，线段数量关系问题，线段最值问题。线段最值问题常与轴对称、最短距离结合，线段数量关系问题有时会涉及相似。角度问题可分为角度定值问题、角度数量关系问题，角度
【针对训练】
【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)P点见解析；
(3)或
【详解】（1）解：把，两点，代入抛物线，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为：．
（2）如图，P点即为所求，
∵抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，代入，，
得到，
∴，
∴，
∵二次函数，
∴函数的对称轴为直线，两点关于直线对称，
∴，
∴的周长为：，
∴当三点共线时，的周长取到最小值，
此时点在对称轴上，
∴将代入，得到，
∴点坐标为．
（3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下：
当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴
解得
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图：
同理可得，
∴，
设，
∴，
解得，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，，
∴直线解析式为，
联立，
解得 ，
∴，
综上所述，Q的坐标为或．
典例精析
题型01二次函数中面积问题的存在性问题
【典例】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值；
(3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式
(2)当时，的面积有最大值，最大值为
(3)点M的坐标为或或或
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可；
（3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案．
【详解】（1）解：把代入，则，
解得：，
，
把代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）解：作轴于点D，交于点E，
设，则，
，
，
，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
；
综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为；
（3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：
过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，
在中，当时，，
解得：，
，
，
，
，
设，则，
，
，
∵的面积等于面积的一半，
，
，
或，
解得：或，
∴点M的坐标为或或或．
题型02二次函数中周长最值的存在性问题
【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点M的坐标为
【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式；
（2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
设抛物线的函数表达式为（）．
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在．理由如下：
由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和，
∴的长度保持不变，
∴当最小时，周长最小，
∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称，
故连接AC交对称轴于点M，
由三角形三边的关系可知此时周长最小，
设直线的函数关系式为（），
把代入直线的函数关系式，得：，
解得：，
∴，
把代入，得：，
∴所求点M的坐标为；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键．
题型03二次函数中全等三角形的存在性问题
【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标．
【答案】(1)
(2)满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或
【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）分情况讨论：当时，，当时，，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：把代入得；把代入得．
∴，．
把，代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图：
由题意可得，，，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，则．
当时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或．
∵，
∴或．
当时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或．
∵，
∴或．
综上所述，满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或．
题型04二次函数中等腰三角形的存在性问题
【典例】如图，直线与抛物线相交于和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当时，线段有最大值且为
(3)存在，或或或或
【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可；
（2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可．
（3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入直线得，
，
在抛物线上，
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：存在．
理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为，
，
点是线段上的动点，
，
当时，线段有最大值且为．
（3）解：存在．
设点，
①当时，，
解得：，
或．
②当时，，
解得：，
或．
③当时，，
解得：，
，
综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．
题型05二次函数中直角三角形的存在性问题
【典例】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于．
(1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积．
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形．
【答案】(1)9；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可；
（2）连接，设，根据可得，据此可得答案；
（3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，即；
在中，当时，，解得或，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，连接，
∴
；
（2）解：如图所示，连接，设，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，
∴点D的坐标为；
（3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点C为直角顶点时，
∵直线与直线垂直，直线与直线垂直，
∴直线与直线平行，
∴可设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
题型06二次函数中等腰直角三角形的存在性问题
【典例】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)的面积的最大值为8，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线经过点、，
，
解得
抛物线的解析式为，
（2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点．
，
解得，，
把代入，得，
点D的坐标为，
如图1，过点P作轴，交于点E，
则，，
，
点B的坐标是
，
当时，的面积的最大值为8，
此时．
（3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，
轴于H，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）知，
点H的坐标为，
由（1）可知，
，，
，
或，
即或，
当时，
解得或（舍去），
此时；
当时，
解得或（舍去），
此时，
综上，点P的坐标为或．
题型07二次函数中平行四边形的存在性问题
【典例】如图，抛物线的图象经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积；
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，取最大值，点P的坐标为
(3)存在，P坐标为或或
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．
（1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解；
（2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解．
（3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可．
【详解】（1）解：将，，三点代入
可得，
解得：，
故抛物线的解析式为；
∵．
∴抛物线的顶点M的坐标为．
（2）解：设直线的解析式为，把点、代入得，
解得：，
得直线的解析式为．
如图，过点E作轴，交于点F，
设点E为，则点F为，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最大值．
∴点E的坐标为．
（3）解：①若为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴或，
∴或，
∴点P坐标为或；
②若为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴与互相平分，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
题型08二次函数中矩形的存在性问题
【典例】综合与探究
如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标；
(2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，，
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标；
（2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标；
（3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线表达式为，
∵抛物线的顶点为，
∴，，，
∴抛物线的函数表达式为，
令，则，
∴，
令，则，
解得或，
∴，；
（2）解：设直线表达式为，代入，得
，
解得，
∴直线表达式为，
设点横坐标为，则，
如图，过点作轴的垂线，交于点，则，
∴，
∴，
这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值，
即当面积最大时，点的横坐标为；
（3）解：∵，，
∴，中点为即，
∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，
∴，中点为，
点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论：
①当点在轴上时，如图，
设，则，
，
∴，
解得或（此时点与点重合，舍去），
∴，
∴；
②当点在轴上时，如图，
设，则，
，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴或；
综上，点的坐标为或或．
题型09二次函数中菱形的存在性问题
【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或
(3)存在，的最小值为，此时点的坐标为
【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可；
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为
∴，A点坐标为
∴，
∴点坐标为
把点的坐标代入抛物线得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，
由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称
∴点坐标为
∴由两点距离公式可得
设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图1所示：
∴由两点距离公式可得，即
解得：
∴点F的坐标为或；
②当时，如图2所示：
∴由两点距离公式可得，即
解得：
∴点F的坐标为或；
综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．
题型10二次函数中正方形的存在性问题
【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是．
(1)求直线及抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是；
(2)3
(3)
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解；
（3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点
∴，，
∴，
∴直线的解析式为，抛物线的解析式是；
（2）解：联立方程组，
解得或，
∴点A的坐标是，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
连接，如图所示：
∴；
（3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：
此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称，
∴，，
∴，，，
∴当，时，四边形为正方形；
同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示：
∴当，时，四边形为正方形；
当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M，
∴，，
∴当，时，，四边形为正方形；
如图，当是正方形的对角线时，如图所示：
∴点P的纵坐标为
∴
∴
∵
∴
综上所述：M点坐标为．
题型11二次函数中角度问题的存在性问题
【典例】如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或
【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可；
（2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：．
（2）解：由（1）可知，，
∴直线的解析式为，
∴当时，
解得：，
∴，
将、代入中得，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
（3）解：存在，的坐标为或
①当点在直线上方时，设交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
联立直线与抛物线解析式得：，
解得：，（与点重合，舍去），
∴；
②如图，当点在直线下方时，设交轴于点，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得：，
解得：，（与点重合，舍去），
所以；
综上所述：存在点，使得，的坐标为或．
题型12 二次函数中线段问题的存在性问题
【典例】已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)、
【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标；
（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，点C的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：过点O作于一点H，如图所示：
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴点H为的中点，即，
则所在的直线方程为，
∵四边形为矩形，
∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同，
∴设所在的直线解析式为，
∵点A在直线上，
∴可求得，即所在的直线解析式为，
联立的直线方程与抛物线的解析式，
得，解得或，
其中为点A的坐标，即，
∵四边形为矩形，且，
根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标，
即．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
1．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C. D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可．
【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，
∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合，
故选：B．
2．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键．根据表格中的数据进行判断即可．
【详解】解：根据题意，设方程的一个根为，
当时，
，
当时，
，
，
，
，
故选：C．
3．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，
∵，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
故选：D．
4．已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 …
y … 2 5 5 …
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是；④当，时，，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质，涉及待定系数法求出函数解析式、二次函数解析式化为顶点式和二次函数性质，通过待定系数法求得解析式并化为顶点式，得到开口、对称轴以及顶点坐标，结合点A利用对称性求得点B，根据开口方向和离对称轴距离求得函数值大小．
【详解】解：∵二次函数过点，
∴
将，代入得解得，
∴，
则抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴①错误，②正确，
∵点A坐标为，
∴点B坐标为，③错误，
∵，，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
则，④正确
故选∶B．
5．下列实际问题中的与之间的函数解析式是二次函数的是（　　）
A．正方体集装箱的体积为，棱长为
B．高为的圆柱形储油罐的体积为，底面圆半径为
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为千克，单价为元/千克
D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海
【答案】B
【知识点】二次函数的识别
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．正方体集装箱的体积，棱长，则，故不是二次函数；
B．高为的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径，则，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海，则，故不是二次函数．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．
6．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，
整理得，，有两个相等的根，
，且，
整理得，且，
解得：，
故答案为：．
7．已知实数，若函数图象上存在点，则称该函数的图象存在“优点”，若二次函数的图象上不存在“优点”，那么的取值范围是________．
【答案】
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，结合“优点”的定义，先建立新方程，因为二次函数的图象上不存在“优点”，所以，即可作答．
【详解】解：依题意，把代入，
得，
整理得，
∵二次函数的图象上不存在“优点”，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
8．二次函数 （为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
下列结论：①；②当时，的值随的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．其中正确的是______．
【答案】①③④
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由图表中数据可得出：随的增大先增大后减小，
二次函数开口向下，，
又时，，
，所以，故正确；
二次函数开口向下，且对称轴为，
当时，的值随值的增大而减小，故错误；
时，，
，
，
，
，
是方程的一个根，故正确；
时，，
时，，
时，，且函数有最大值，
当时，，故正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：．
(1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
(2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
(3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值．
【答案】(1)，当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元；
(2)当利润达到万元时，需要减少吨或吨；
(3)满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元．
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键．
（1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解；
（2）当时，代入计算即可求解；
（3）根据题意图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：，
∴对称轴直线为，
当时，，
∴顶点坐标为，
∵，即图象的开口象限，
∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元；
（2）解：当时，，
整理得，，
∴，
解得，，
∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨；
（3）解：二次函数解析式为，
∵，顶点坐标为，
∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，
∴当时，确定最大值，
∴，
∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元．
10．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积；
(3)若点P是抛物线在第一象限内上方一动点，连接、，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在，点P的坐标为
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）代入，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）先求出直线解析式为，再根据题意得，过点作轴交于点，设，则，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：代入，得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
解得：，，
，
，
，
的面积为10．
（3）解：存在，理由如下：
设直线解析式为，
代入，得，
解得：，
直线解析式为，
由（2）得，，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
点P的坐标为．
11．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的性质、根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
12．已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（ ）
A．不存在实数a，使得
B．存在实数a，使得
C．无论非零实数a为何值，都有
D．无论非零实数a为何值，都有
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先利用抛物线与y轴的交点坐标为和C点坐标得到抛物线对称轴为直线，再利用已知条件得到，所以点A到直线的距离小于点B到直线的距离，根据二次函数的性质，画出二次函数的草图，得出当时，；当时，，然后即可作出判断．
【详解】解：∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
∵抛物线经过，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，，
∴点A到直线的距离小于点B到直线的距离，
当时， 如图：
可得，即，
∴；
当时，如图：
可得，即，
∴，
综上，无论非零实数a为何值，都有，
故选：D．
13．如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值：
… 2 8 …
… 1 …
点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③
【答案】B
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax +bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，再结合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
若时，开口向上，离对称轴越近值越小，
∵点，在该函数图象上，当时，，
∴，
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
若时，开口向下，离对称轴越近值越大，
∵点，在该函数图象上，当时，，
∴，
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
∴，当时，，当时，，故①错误，②正确；
∵，开口向上，当时，函数值随着增大而增大，把代入得，当时，，
∴，即，故③正确；
当时，二次函数的图象有最低点，当时，函数值随着增大而增大，
∵二次函数的图象记为图形，且存在直线与图形有两个交点，
∴，
∵由题意可得图形不是单调的，其中必须包含，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：B．
14．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入，得：，
将代入，得：，
设，如图：
联立，
整理得：，
当时，抛物线与直线有两个交点，即，
解得：，
当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得：，
把代入，得：，
，
解得：，
，
故选：B．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______．
【答案】或
【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解．
【详解】解：当时，，则
当时，，
解得：
∴，
∵二次函数图象的对称轴为直线，
设，
∴，，
当时，
∴
解得：（舍去）或，
∴
当时，，即．
解得，此时（与点重合，舍去）
当时，
解得，此时
综上所述：或．
故答案为：或．
16．下表记录了二次函数中两个变量x与y的三组对应值
x … 0 2 6 …
y … n 1 n …
点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数（）的图象为图形G，存在直线与图形G有两个交点，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是________．
【答案】③④
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax +bx+c的最值
【分析】根据表格的数据可得，该二次函数的对称轴为直线，从而可得点关于对称轴的对称点为，结合题意得出抛物线开口向上，即，，再由此逐项分析即可得解．
【详解】解：根据表格的数据可得，该二次函数的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵点，在该函数图象上，当时，，
∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，且离对称轴较离对称轴近，
∴抛物线开口向上，即，，
∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，，故②错误；
∵，
∴，故①错误；
∵当时，随着的增大而增大，点关于对称轴的对称点为，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵当时，二次函数由最低点，
∴当时，记二次函数（）的图象为图形G，存在直线与图形G有一个交点，
当时，存在直线与图形G有两个交点，
∵，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有③④；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的额图象与系数的关系，根据题意确定函数的对称轴和掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
17．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若对于，，，存在，则的取值范围是______________________．
【答案】/
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案为： ．
18．小明研究二次函数（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标，则s，t满足；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中正确的是______（填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】求出二次函数的顶点坐标，然后进行计算即可得出①正确；求出函数图象与x轴的交点坐标，然后根据等腰直角三角形的性质列式求解即可得出②正确；判断出点A离对称轴的距离小于点离对称轴的距离，然后根据抛物线开口向下得出，③错误；根据抛物线的对称轴和开口方向可得出④正确．
【详解】解：①∵二次函数的顶点坐标为，
∴，，
∴，①正确；
②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点，
令，得，其中，
解得：，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，，
∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形，
∴，
∴或，
∴存在或，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点，②正确；
③∵，
∴，
∵二次函数（为常数）的对称轴为直线，
∴点A离对称轴的距离小于点离对称轴的距离，
∵，且，即抛物线开口向下，
∴，③错误；
④∵二次函数（为常数）的对称轴为直线，且开口向下，
∴当，y随x的增大而增大时，m的取值范围为，④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本体的关键．对于二次函数 （a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，其顶点坐标是，对称轴为直线．
19．某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：．当投资2万元时，可获得利润万元；当投资4万元时，可获得利万元．
项目二：销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：．
(1)请求出项目一中的二次函数表达式；
(2)如果超市同时对A、B两种商品共投资10万元，且经计算发现当投资A商品4万元、B商品6万元时可使获得的总利润最大，求k的值．
【答案】(1)项目一中的二次函数表达式为
(2)k的值为
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】（1）根据题意将相关数据代入进行求解即可；
（2）设总利润为w元，投资项目一x（万元），则投资项目二万元，将解析式表达出来，再根据二次函数的性质和顶点得横坐标表达式进行求解即可．
【详解】（1）由题意可得，，
解得，
∴项目一中的二次函数表达式为；
（2）设总利润为w元，投资项目一x（万元），则投资项目二万元，
∴由题意可得
，
∴顶点横坐标为
∵，
∴当为总利润最大值，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了用待定系数法求解二次函数的解析式和二次函数的图象和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
20．如图，已知二次函数过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)平移后的解析式为，
(2)平移后的解析式为，顶点为；
(3)存在，或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键：
（1）将点，代入，求解即可得出答案；
（2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案；
（3）当时，，求出，，根据，得出，再得出，求解即可得出答案．
【详解】（1）将点，代入
得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为；
（2），
由平移规律得平移后的解析式为，
∴顶点为；
（3）当时，，
解得：，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵顶点为，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴，
解得，或，
∴或．
21．已知：二次函数．下列结论：
①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；
②当时，抛物线与轴有两个交点；
③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；
④抛物线与直线可以存在唯一公共点．
⑤若是抛物线上的两点，则．
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据的符号，对称轴判断①；根的判别式判断②；根据时，，时，，列出不等式组，求出的值，判断③；根的判别式，判断④，增减性判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大；故①正确；
当时，，
∴抛物线与轴没有交点，故②错误；
若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，
则：时，，时，，
∴，
∴；故③正确；
联立，得：，
，
∴抛物线与直线有2个交点，故④错误；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴；故⑤正确；
故选B．
22．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由图像的对称轴为直线．可得b=-2a＜0，可得，故①正确；再由当x=-1时，y=a-b+c>0，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，如图，作直线，观察图像可得，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得，再由，可得，从而得到关于a的不等式，，故⑤错误；即可求解．
【详解】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵图像的对称轴为直线．
∴，
∴b=-2a＜0，
∴，故①正确；
∵图像与轴负半轴交于，
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，
又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，
∴，故③错误；
由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，
∴抛物线解析式为，
令，则，
如图，作直线，
观察图像得：，故④正确；
根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即，
∵，
∴，
∴，解得：，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．
23．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______．
【答案】
【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、把y=ax +bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】先将二次函数配方得到对称轴和开口方向，根据开口向下时函数值大小对应点到对称轴的距离大小，列出不等式，结合的范围求解．
【详解】解：对二次函数配方得：
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∵存在，开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小，
∴点到对称轴的距离点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
即，
对：两边平方整理得：，
∵，，
∴，
对：两边平方整理得：，
∵，，
∴，
由，，得：
，
要存在，需满足，解得；
由，，得：
，
要存在，需满足，解得，
综上，的取值范围是．
24．如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分）
①；
②；
③设，则的面积S是关于x的二次函数；
④仅存在一点D，使得．
【答案】①②③④
【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算
【分析】由题意易得，则有，，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可．
【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1，
∴，
∵，
∴，，
∵D为边上的动点（不与端点重合），
∴，
∴，，故①说法正确；
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②说法正确；
设，则有，
∴，
∴，
∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确；
过点作，如图所示：
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：（负根舍去），
∴仅存在一点D，使得，故④说法正确；
综上所述：正确的有①②③④．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接、，设四边形的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的倍，若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)8
(3)2或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用和求出C点坐标，将A，B，C的坐标代入即可求解；
（2）先用待定系数法求出直线BC的表达式，设，用含t的代数式表示出DG，通过写出S关于t的函数表达式，转化为顶点式即可求出最值；
（3）作轴于点F，交直线BC于点E，作BC的垂直平分线交x轴于点N，连接CN，先通过垂直平分线的性质和勾股定理求出的值，再分和两种情况，利用三角函数和勾股定理解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
将，，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为：；
（2）解：设直线BC的解析式为，将，代入，
得，
解得，
，
如图所示，作轴交BC于点G，
设，则，
，
当时，S取最大值，最大值为8；
（3）解：如图，作轴于点F，交直线BC于点E，作BC的垂直平分线交x轴于点N，连接CN，
由垂直平分线的性质知，，
，
，
在中，，
，
解得，
，
设，
①当时，
轴，
，
，
，
，
，
解得或（舍）
点的横坐标为2；
②当时，设，
，
，
在中，，
，
，
利用勾股定理可求得，，，
，
，
，，
，
解得，
点的横坐标为，
综上，点的横坐标为2或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式，在坐标系中用铅垂法求三角形面积，添加辅助线构造二倍角，利用三角函数值和勾股定理解直角三角形等，综合性较强，难度较大，一般用于中考压轴题，第3问中需要分类讨论，注意不要漏解．
答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）专题9 二次函数中的关于存在性综合问题计算
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01二次函数中面积问题的存在性问题 题型02二次函数中周长最值的存在性问题
题型03二次函数中全等三角形的存在性问题 题型04二次函数中等腰三角形的存在性问题
题型05二次函数中直角三角形的存在性问题 题型06二次函数中等腰直角三角形的存在性问题
题型07二次函数中平行四边形的存在性问题 题型08二次函数中矩形的存在性问题
题型09二次函数中菱形的存在性问题 题型10二次函数中正方形的存在性问题
题型11二次函数中角度问题的存在性问题 题型12 二次函数中线段问题的存在性问题
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：二次函数中面积问题的存在性问题
三角形面积可分为面积定值问题，面积数量关系问题，面积最值问题，其解法有割补法，铅垂法，平移法（作平行线）等。四边形面积：规则四边形可用面积公式求解，不规则图形，通常用割补法转化为已学的规则图形进行求解。
【针对训练】
【典例】已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
知识点二：二次函数中特殊三角形存在性问题
（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。
（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。
【针对训练】
【典例】如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
知识点三：二次函数中平行四边形存在性问题
一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。
2.菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。
【针对训练】
【典例】已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由．
(3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
知识点四：二次函数中线段、角度问题的存在性问题
线段问题可分为线段定值问题，线段数量关系问题，线段最值问题。线段最值问题常与轴对称、最短距离结合，线段数量关系问题有时会涉及相似。角度问题可分为角度定值问题、角度数量关系问题，角度
【针对训练】
【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
典例精析
题型01二次函数中面积问题的存在性问题
【典例】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值；
(3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型02二次函数中周长最值的存在性问题
【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型03二次函数中全等三角形的存在性问题
【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标．
题型04二次函数中等腰三角形的存在性问题
【典例】如图，直线与抛物线相交于和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型05二次函数中直角三角形的存在性问题
【典例】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于．
(1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积．
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形．
题型06二次函数中等腰直角三角形的存在性问题
【典例】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
题型07二次函数中平行四边形的存在性问题
【典例】如图，抛物线的图象经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积；
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型08二次函数中矩形的存在性问题
【典例】综合与探究
如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标；
(2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型09二次函数中菱形的存在性问题
【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
题型10二次函数中正方形的存在性问题
【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是．
(1)求直线及抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由
题型11二次函数中角度问题的存在性问题
【典例】如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12 二次函数中线段问题的存在性问题
【典例】已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．

1．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
2．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（ ）
A．0 B． C． D．
3．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．
4．已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 …
y … 2 5 5 …
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是；④当，时，，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③④
5．下列实际问题中的与之间的函数解析式是二次函数的是（　　）
A．正方体集装箱的体积为，棱长为
B．高为的圆柱形储油罐的体积为，底面圆半径为
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为千克，单价为元/千克
D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海
6．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________．
7．已知实数，若函数图象上存在点，则称该函数的图象存在“优点”，若二次函数的图象上不存在“优点”，那么的取值范围是________．
8．二次函数 （为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
下列结论：①；②当时，的值随的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．其中正确的是______．
9．为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：．
(1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
(2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
(3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值．
10．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积；
(3)若点P是抛物线在第一象限内上方一动点，连接、，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（ ）
A．不存在实数a，使得
B．存在实数a，使得
C．无论非零实数a为何值，都有
D．无论非零实数a为何值，都有
13．如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值：
… 2 8 …
… 1 …
点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③
14．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______．
16．下表记录了二次函数中两个变量x与y的三组对应值
x … 0 2 6 …
y … n 1 n …
点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数（）的图象为图形G，存在直线与图形G有两个交点，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是________．
17．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若对于，，，存在，则的取值范围是______________________．
18．小明研究二次函数（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标，则s，t满足；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中正确的是______（填写序号）．
19．某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：．当投资2万元时，可获得利润万元；当投资4万元时，可获得利万元．
项目二：销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：．
(1)请求出项目一中的二次函数表达式；
(2)如果超市同时对A、B两种商品共投资10万元，且经计算发现当投资A商品4万元、B商品6万元时可使获得的总利润最大，求k的值．
20．如图，已知二次函数过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
21．已知：二次函数．下列结论：
①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；
②当时，抛物线与轴有两个交点；
③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；
④抛物线与直线可以存在唯一公共点．
⑤若是抛物线上的两点，则．
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
23．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______．
24．如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分）
①；
②；
③设，则的面积S是关于x的二次函数；
④仅存在一点D，使得．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接、，设四边形的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的倍，若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页（共3页）
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