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专题11 二次函数含参数压轴计算题
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01抛物线与x轴交点个数求字母参数的值或范围 题型02抛物线与坐标轴交点个数求字母参数的值或范围
题型03一元二次方程解的情况求字母参数的值或范围 题型04抛物线与直线y=kx+b的交点个数求参数字母的取值范围
题型05字母参数的值或范围求最值 题型06最值求字母参数的值或范围
题型07由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的值或范围 题型08 由字母参数的值或范围确定函数值的大小关系
题型09由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值 题型10 抛物线与线段的公共点个数确定参数范围或参数的值
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：含参二次函数的概念：
二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，或自变量取值范围不确定的二次函数。
如：；；中x的范围－1＜x≤a
【针对训练】
【典例1】若是关于x的二次函数，则m的值为______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件．
【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即，
解方程得，
所以或 ，
又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去，
因此．当时，函数为，满足二次函数定义．
故答案为：2．
【变式1】若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ）
A．3 B．-1 C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，即，
解得：或，
∵二次函数开口向上，
∴，
∴，
∴m的值为，
故选：B．
【变式2】已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的关系式，
根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解．
【详解】解：∵二次函数的常数项为零，
∴，
即，
∴或．
又∵函数为二次函数，
∴二次项系数，
∴，
∴．
故选：B．
知识点二：含参二次函数的最值
【针对训练】
【典例2】当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______．
【答案】
【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线，
∵ ，即对称轴在给定区间内，
当时，二次函数取得最小值，
当时，；
当时，；
比较得，二次函数的最大值，
因此．
【变式1】已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________．
【答案】或．
【分析】先求出二次函数（）的对称轴为，再根据的正负性分情况讨论函数在上的最小值情况，进而求解的值．
【详解】解：对于二次函数（），
其对称轴公式为，这里，，
对称轴，
当时，
抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值，
在内，
当时，取得最小值，
把代入函数得：
，
函数最小值为，
，
解得，符合的条件，
当时
抛物线开口向下，在上，离对称轴越远的点，函数值越小，
计算和到对称轴的距离：
到的距离为，
到的距离为，
，
当时，函数取得最小值，
把代入函数得：
，
函数最小值为，
，
解得，符合的条件．
综上，的值为或．
【变式2】当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，分类讨论是解题的关键．
二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，根据参数的取值范围分类讨论顶点是否在区间内，利用二次函数的性质求最值，由最值差为4建立方程求解．
【详解】解：二次函数可化为，开口向下，顶点为，
∵，，
（1）当时，顶点在内，最大值，
最小值在端点处：当时，，
当时，，
①当时，，最小值，
差为，
解得：，（舍去）；
②当时，，最小值，
差为，无解；
（2）当时，顶点不在内，函数y在上随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
差为，
故无解，
综上，满足条件，
故答案为：．
知识点三：抛物线与直线交点问题
抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定．可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；③ 当方程组无解时两函数图像没有交点．
抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定．可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；③ 当方程组无解时两函数图像没有交点．
【针对训练】
【典例3】已知直线与抛物线．
(1)若它们没有交点，则的取值范围是_______；
(2)若当时它们有交点，则的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键．
（1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围；
（2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵直线与抛物线没有交点，
∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点，
∴的取值范围是，
故答案为：．
（2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上，
当时，y有最小值，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，，y有最大值1，
∵直线与抛物线，当时它们有交点，
∴a的取值范围是，
故答案为：．
【变式1】在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，．
（1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______．
（2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答．
（2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）∵抛物线的解析式为．
观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件，
可得；
当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立①②得
并整理得： ，
∵，
∴，
∴满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为或，
故答案为：或．
【变式2】二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．
【答案】且
【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围．
【详解】解： 是二次函数，
．
二次函数的图象与坐标系横轴有交点，
一元二次方程 有实数根，
根的判别式 ．
将 代入得，
，
解不等式得 ．
综上， 的取值范围是 且．
知识点四：整点问题
【典例4】定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点为，
∵，
∴可以大致画出图象如图，
∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）
∴点、、、必在区域内．
当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为，
这样区域内有6个整点，
当代入抛物线解析式，得，
解得：，
当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为，
这样区域有8个整点，
将代入抛物线解析式，得，
解得：，
∴当时，区域恰有6个整点．
故选：D．
【变式1】如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，；
淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人均对 D．两人均错
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，利用对称轴和与x轴的交点，解一元二次方程，判断嘉嘉的说法；结合图像及条件，判断x、y的取值范围，判断淇淇的说法．
【详解】解：已知抛物线的对称轴为，已知过点，
根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点为，
所以一元二次方程的解为∶ ，，
嘉嘉的说法正确．
一元二次方程的解为∶ ，，
．
顶点坐标为．
由图可知为负数．
与轴围成封闭区域（边界除外）x的范围是，
可取的整数为0、1、2．
当时，．
的范围是；
当时，
的范围是；
当时，
的范围是．
要使整点个数为7，结合顶点纵坐标，当时，顶点纵坐标为4，此时∶
时，y可取1、2；
时，y可取1、2、3；
时，y可取1、2；
共7个数．
淇淇的说法正确．
故选：C．
【变式2】若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是_____
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键．
由题意知，，顶点坐标为，对称轴是直线．则该抛物线开口向上，点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可．
【详解】解：由题意知，，
∴顶点坐标为，对称轴是直线，
∵抛物线与x轴交于点M、N两点，
∴该抛物线开口向上，
∴点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．
①当该抛物线经过点和时，如图1．
将代入得，，
解得，
∴此时抛物线解析式为．
当时，，
解得，，
∴x轴上的点，，符合题意．
∴当时，恰好有 ，，，、，，，共7个整点符合题意．
∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，
∴．
②当该抛物线经过点和点时，如图2．
此时x轴上的点 ，，符合题意．
将代入得，，
解得．
∴此时抛物线解析式为．
当时，．
∴符合题意．
当时，得．
∴符合题意．
综上可知：当时，点，，，，，，，，，都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴不符合题．
∴．
综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：．
典例精析
题型01抛物线与x轴交点个数求字母参数的值或范围
【典例】关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，难度很大，利用转化和数形结合思想是解决本题的关键．将函数转化为，换元处理，令，则，令，则，得到，令，，则问题转化为函数与图象有3个不同的交点，后面就是画图分析即可．
【详解】解：∵函数，
∴
，
令，
在原函数转化为：，
令，则，
∴，
令，
∴问题转化为函数与图象有3个不同的交点，
对于函数，可知，
∴函数图象经过点，
对于函数，可化简为：，
当，，则函数与y轴交于点，
画出函数与图象如图：
当直线经过点时，符合题意，如图：
则，
∴；
当直线与函数的y轴右侧部分图象相切时，符合题意，如图：
则联立函数解析式得：，
整理得：，
则，
解得：（舍）或，
综上所述，或，
故答案为：或．
【变式】已知二次函数的图象经过，两点．
(1)求的值；
(2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围；
(3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出的值；
（2）根据题意点，关于对称轴对称，可得到的值，根据已知不等式可得到的取值范围，然后利用图象上点的坐标特征即可求得的取值；
（3）分当时和当时两种情况讨论，根据是该函数的图象与轴的一个公共点，且，分别确定的取值范围．
【详解】（1）解：把，代入中， 得：
，
两式相减得，
；
（2）解：当时，，
将代入得，，解得，
，
对称轴为直线，
函数的图象同时经过点，，
，
，
，
，即，
，
，
对于函数，
当时，，
当时，，
当时，，
的取值范围是．
（3）解：由（1）知，中，
将代入得，，
，
，
当时，如图，
当时，；
当时，，解得；
即；
当时，如图，
当时，；
当时，，解得；
即；
综上，的取值范围为或．
题型02抛物线与坐标轴交点个数求字母参数的值或范围
【典例】函数与坐标轴有个交点，则的值为___________．
【答案】，，
【分析】本题考查了一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题．函数与坐标轴有个交点，需分函数为一次函数和二次函数讨论；一次函数时需不经过原点；二次函数时需满足判别式为零且不与原点重合，或常数项为零（经过原点）且与轴有另一个交点
【详解】解：函数与坐标轴有个交点，分情况讨论：
（1）当时，，函数为一次函数，与轴交于点，与轴交于点，有个交点，符合
（2）当时，函数为二次函数，与轴交于点
判别式
①若，即，，此时与轴有一个交点，与轴交于点，两点不同，有个交点，符合
②若常数项，即，函数为，令，得或，与轴交于点和，与轴交于点，共有个，符合
其他情况如且常数项不为，则有个交点，不符合
故的值为，，
故答案为：，，．
【变式】函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图像及性质，分两种情况讨论：当时，当时，，即可求解．
【详解】解：当时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；
当时，函数为二次函数，其图像与y轴恒有一个交点，
若要与坐标轴至少有两个交点，则必须与x轴有交点，故，解得，
因此，此种情况下m的取值为且，
综上所述，结合的情况，满足题意的m的取值范围为，
故选：A．
题型03一元二次方程解的情况求字母参数的值或范围
【典例】已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和．
【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点，
∴原二次函数的对称轴为直线，
∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数，
∴的对称轴为直线，
∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称，
∴，整理得；
而的值不确定，因此只有B选项正确．
【变式】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的性质，首先根据题意得到抛物线开口向下，得到，对称轴为直线，然后得到，代入得到，进而求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，
∴抛物线开口向下，
∴，对称轴为直线，
∴，
∵与轴一个交点的横坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
故答案为：．
题型04抛物线与直线y=kx+b的交点个数求参数字母的取值范围
【典例】已知：二次函数（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图像的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图像在的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）≤a＜2
【分析】（1）根据二次函数一般式的对称轴为，代入数值即可；
（2）根据二次函数当，有最小值7，代入求出a的值即可；
（3）根据二次函数的图象与一次函数y＝2x 1的图象有两个交点，则x2 4x＋3a＋2＝2x 1的方程的Δ＞0，求得a＜2，把x＝4和代入y＝2x 1，求得函数值7，把（4，7）代入y＝x2 4x＋3a＋2，得到关于a的方程，解方程求得a＝，根据题意求出a的取值即可．
【详解】解：（1）∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为：，
即：；
（2）当时，有最小值7，
即，
解得：；
（3）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x 1的图象有两个交点，
∴x2 4x＋3a＋2＝2x 1，
整理为：x2 6x＋3a＋3＝0，
∴△＝36 4（3a＋3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x 1，解得y＝2×4 1＝7，
把（4，7）代入y＝x2 4x＋3a＋2得7＝16 16＋3a＋2，解得a＝，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x 1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的性质，根据题意得出的取值是解题的关键．
【变式】已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
题型05字母参数的值或范围求最值
【典例】已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则的取值范围为______，代数式的最小值是______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，结合题意可得，求出抛物线与轴的交点坐标为，结合线段的长不大于4，得出，求出，从而可得的最小值为，代入所求式子即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线过点，两点，
∴，
当时，，
∴，，
即点A、B的横坐标为，，
∵线段的长不大于4，
∴，
∴，
∴的最小值为，此时代数式，即代数式的最小值为，
故答案为：，．
【变式】已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案.
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，即，对称轴为直线．
∴，
∵二次函数过和两点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，的最小值为，
故选：A
题型06最值求字母参数的值或范围
【典例】已知二次函数（为常数）的图象过点．
(1)求该二次函数的表达式和顶点坐标．
(2)已知，为二次函数图象上两点，其中，．
①当且时，求点的坐标．
②若与的差的最大值为9，求的值．
【答案】(1)，
(2)①点坐标为，②
【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可；
（2）①，当时，，分类求解．
②分和时，求解．
【详解】（1）解： 二次函数的图象过点，
，
解得，
该二次函数的表达式为．
，
图象的顶点坐标为．
（2）解：（2）①，
当时，，
当时，取得最大值0，
当时，，
当时，取得最大值3，
，
又，
与同时取得最大值．
点坐标为．
②情况一：当时，
，
当时，取得最小值为．
，
当时，取得最大值为．
，
又的最大值为9，
该情况不成立．
情况二：当时，
，
当时，取得最小值为．
，
时，取得最大值为，
的最大值为9．
，
解得（舍）或．
综上所述：．
【变式】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数（）的对称轴直线 ，图象具有如下性质：①当时，抛物线（）的开口向上， 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当时，抛物线（）的开口向下， 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出．
【详解】解：∵二次函数（其中是自变量），
∴对称轴是直线 ，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
∵时，的最大值为，
∴时，，
∴，
∴，或（不合题意舍去）．
故选：A．
题型07由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的值或范围
【典例】在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，写出抛物线的解析式并求出顶点坐标；
(2)如图，当时，抛物线与直线交于和点，在直线下方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在求出点的坐标并求出面积的最大值；
(3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)，顶点；
(2)，
(3)或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的对称性，最值问题，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
（1）把代入，根据顶点式得到顶点坐标；
（2）先求出点B坐标，进而求出直线的解析式，作轴交于点H，设，则，根据即可求解；
（3）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
抛物线的解析式为，顶点；
（2）解：当时，，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于点H，
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时点P的纵坐标为，
，的最大值为；
（3）解： ，
抛物线的对称轴为直线，
分以下两种情况讨论：
当时，如图：
，，，且当时，y随x的增大而增大，
，
解得，
又 ，
；
当时，如图：
由题意得关于对称轴对称的点的坐标为，
，，，且当时，y随x的增大而减小，
，
解得，
又 ，
；
综上可知，a的取值范围为或．
【变式】已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过作差法分解因式，判断因式符号后，根据恒成立条件即可求出a的取值范围.
【详解】解：∵， 在抛物线 上，
∴，，
∴，
∵ 对任意 ，都有 ，即 ，
∵，，
∴ ，
∴ 要满足，需对所有恒成立，
∴，
∴，解得.
题型08 由字母参数的值或范围确定函数值的大小关系
【典例】已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴．
【变式】已知抛物线，点、、、均在此抛物线上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】先求得抛物线的对称轴为，再抛物线开口向上，最后根据判断离对称轴比较近，从而判断出与的大小关系．
【详解】解：点、均在此抛物线上，
，
抛物线的顶点坐标为，
，
开口向上，
、均在此抛物线上，且，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
题型09由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值
【典例】已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是．
∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，
∴，
解得．
故选：B．
【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得，
代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意．
【详解】解：设过和，且，
∴方程有解，
∴，
当时，开口向上，
∴当时，的取值范围为，
∵当时，的取值范围为，
∴，，
即过和，
∴对称轴为直线，
整理得，
把代入得，解得或；
此时；
当时，开口向下，
∴当时，的取值范围为或，
∵当时，的取值范围为，
∴不合题意，
综上所述，．
故选：C．
题型10 抛物线与线段的公共点个数确定参数范围或参数的值
【典例】已知二次函数．
(1)将此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值；
(2)设点在该二次函数的图象上，且，求实数m的取值范围；
(3)已知点，线段与此函数图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
(3)且．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线和的交点问题以及不等式解法，二次函数的平移问题以及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）先求出顶点坐标，再根据平移的性质结合平移后图象的顶点落在x轴上，得到，解绝对值方程即可；
（2）根据抛物线的对称性，分，，两种情况，结合抛物线的增减性即可解答；
（3）求出直线表达式为，根据抛物线与线段只有一个公共点，分，，两种情况，根据图象，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：．
∴顶点为，
∵此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，
∴，
①当时，则，
解得；
②当时，则，无解；
故；
（2）解：由题可知对称轴为直线，
①当时，抛物线开口向上
当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∵，
∴点M更加靠近对称轴，
∴；
②当时，抛物线开口向下
很明显，
此时点M离对称轴更远，
∴；
∴
综上，且；
（3）解：设表达式为，将点代入得，
，解得；
∴，
当时，二次函数开口向上，
把代入
得
把代入
得
∵线段与抛物线图象只有一个公共点
∴或
∴或
∴
又∵
∴
当时，二次函数开口向下，
把代入
得
把代入
得
∵线段与抛物线图象只有一个公共点
∴或
∴或
∴
又∵
∴
综上，且．
【变式】如图，在平面直角坐标系中有两点，如果抛物线与线段有公共点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】解：把A（1，1）代入y=ax2得a=1，
把B（3，1）代入y=ax2得a=，
所以a的取值范围为.
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据二次函数的交点式得出b，c与a的关系式，再根据与y轴交点的位置得出c的取值范围，从而得出a的取值范围，从而确定五个不等式是否正确．
【详解】解：∵二次函数（）的图象与x轴交于点，
∴与x轴另一个交点为
∴由交点式可得：此二次函数的解析式也为：，
即：
∴，
又∵该抛物线与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），
∴，即
解得：
∵，，，
∴，故①正确．
②∵，，
∴，故②错误．
③∵， ，
∴
∴，故③正确．
④前面已得出，故④正确．
⑤∵， ，
∴．
∴，故⑤正确．
故正确的有：①③④⑤．
故选D．
2．“如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于x的方程的两个根，且，则的大小关系是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】令，根据抛物线与直线及x轴的交点坐标，结合图像求解．
【详解】
解：令，则为抛物线与x轴交点，
∵是关于x的方程的两个根，
∴抛物线与直线的交点坐标为，
如图：
可得，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
3．下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（　　）
A．①二次函数，②一次函数 B．①一次函数，②二次函数
C．①二次函数，②二次函数 D．①一次函数，②一次函数
【答案】B
【知识点】识别一次函数、二次函数的识别
【分析】根据题意分别求出对应的函数关系式，即可进行判断．
【详解】解：①，是一次函数；
②，是二次函数；
故选：B
【点睛】本题考查函数类型的识别．正确列出函数关系式是解题关键．
4．如图，已知的顶点坐标分别为，，，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】其他问题(二次函数综合)
【分析】根据与y轴交于点，且与点C关于直线对称，则对称轴在直线左边时，二次函数与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围．
【详解】解：因为与y轴交于点，且与点C关于直线对称，
∴当对称轴在直线左边时时，二次函数与阴影部分一定有交点，
，解得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，找到与y轴交于点与点C关于直线对称是解题的关键．
5．“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解．解决下面问题：若，是关于的一元二次方程的两个根且，则实数，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与方程的关系，并数形结合是解题的关键．
令，则，为抛物线与轴的交点坐标，作函数图象，由题意知，，是直线与抛物线交点的横坐标，如图，然后结合图象判断大小关系即可．
【详解】解：令，
∴，为抛物线与轴的交点坐标，且函数图象开口向上，如图，作的图象，
∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴，即，
∴，是直线与抛物线交点的横坐标，如图，
由图象可知，，
故选：A．
6．图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题，如图所示，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为和1，则下列结论：①；②；③；④的图象向右平移一个单位，再向上或向下平移合适单位可以得到的图象；⑤不等式的解集是．其中正确的有几个？（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集
【分析】先根据抛物线开口方向得出，再根据对称轴的位置可知，由图象的位置可知，可判断①；根据抛物线与x轴交点的个数可判断②；将，代入可判断③；然后根据平移可判断④；最后根据图象在x轴上方的部分确定自变量取值范围，判断⑤即可．
【详解】先根据抛物线开口向下，可知，
∵，
∴．
由图象的位置可知，
∴．
则①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴．
则②正确；
将，代入，得．
则③不正确；
将抛物线的图象向右平移一个单位长度，再向下平移若干个单位长度得到的图象．
则④正确；
根据图象在x轴上方的部分函数值大于0，
即当时，．
则⑤正确．
其中正确的有4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
7．“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】依题意画出函数与的图象草图，再根据二次函数的增减性以及函数图象之间的交点位置，即可得到结论．
【详解】解：依题意，画出函数与的图象，如图．
二次函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（）．
把方程转化为，
则方程的两根是抛物线与直线的两个交点的横坐标．
由，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减小，则有；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有．
综上所述，．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，是解题的关键．
8．图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及y随x的变化规律，也可以看出x取某个值时，y的取值情况．已知二次函数y=ax +bx+1的图象如图所示，有以下结论；①ab>0；②a-b>0；③a+b +1<0；④9a-3b+1>0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号
【分析】根据抛物线开口方向确定a的正负，再通过对称轴确定b的正负即可；②通过对称轴得到b与a的数量关系，再把化成a的代数式，进而根据a的正负判断即可；③根据时，，得出的正负；④根据函数图像当时，，得出的正负；
【详解】由图像可知，，对称轴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
由图像知时，，
∴，故③正确；
根据函数图像当时，，
∴，故④不正确；
综上所述，正确的是①②③；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、求扇形面积、解直角三角形的相关计算、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了二次函数的定义即函数图象与性质，涉及扇形面积的计算公式，解直角三角形，根据题意分别求出每个问题中的关系，再结合二次函数的图形求解即可．
【详解】解：①含角的直角三角形中，
∵斜边长x，
∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为，
∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意；
②设一个正数为，则拆成两个正数中另一个正数为，
则，该函数图象开口向下，符合题意；
③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为，
∴扇形的弧长为：，
∴扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意；
故选：C．
10．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
【答案】B
【知识点】二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
11．已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为，______（请用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴所在范围、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可．
【详解】解：二次函数的图象经过点两点，
图象开口向下，对称轴为直线，即，
，
，
当时，函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，
，，
，
故答案为：．
12．已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为_____；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围_____．（用含k的式子表示）
【答案】 1 a＜k﹣3或a＞k+2
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集
【分析】（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出k的不等式，进而求得k的最小整数值；
（2）代入M（k+2，s），N（a，b）求得b与s的解析式，再由s＜b列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可．
【详解】解：（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k，
∴对称轴为x＝k，开口向上，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1；
（2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6，
b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k，
∵s＜b，
∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6，
∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时，
a＝k﹣3或a=k+2，
∴a＜k﹣3或a＞k+2，
故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质和解不等式是解题关键．
13．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数；
(2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合)
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论．
（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得；
（2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
解方程，得，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
；
（2）解：当时，，，，，
当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点，
，，，
，
设，
，
解得，
；
当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点，
，
同理可得，
设，
，即
解得，
；
综上所述，的坐标为或．
14．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：
①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及知识点：二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、判别式、函数值的符号．解题方法是利用对称轴确定系数关系，结合与坐标轴的交点范围分析系数的取值、函数值的符号及判别式的正负；解题关键是通过对称轴转化系数，结合交点范围列不等式，易错点是系数关系的转化与不等式的推导．
【详解】由对称轴得，代入得，即．
结论①：，因抛物线开口向下，故，或者当时，观察二次函数图像位于轴上方，所以，故①正确；
结论②：抛物线与轴有两个交点，故，即成立，故②正确；
结论③：轴交点，即，解得，故③错误；
结论④：，，因，故，，且，即，故④正确．
综上，正确结论是①②④．
故选：B．
15．数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（）
A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求
C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求
【答案】A
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论．
【详解】解：二次函数，
该抛物线的对称轴为直线，且，
当，
当时，二次函数有最大值为：，即，
当时，二次函数有最小值为：，即，
当，
当时，二次函数有最大值为：，
当时，二次函数有最小值为：，即，
当，
此时当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，即，
，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即，
，当或1时．函数有最大值，
当时，函数有最小值，即，
的值与有关，但与无关，
故选：．
16．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据交点及对称轴、根的判别式即可判断③；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【详解】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y==0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1，
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣=4 a （﹣3a）﹣=＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣＜8a，故③错误；
④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，
∴-2＜c＜-1
∵-，
∴b=-2a，
∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
∴-2＜-3a＜-1，
∴＜a＜；故④正确
⑤∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴b-c=a，
∵a＞0，
∴b-c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选C．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
17．已知二次函数（a，b为常数，且），并与一次函数的图象交于点，则_______（用含a的代数式表示）．若，当时，的最大值为m，最小值为n，则的最小值为_______．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax +bx+c的最值
【分析】已知一次函数过点，将代入一次函数可求出k的值，再将该点代入二次函数，进而得到b关于a的表达式；先根据b关于a的表达式写出二次函数的表达式，再根据对称轴公式求出对称轴，根据a的取值范围确定对称轴的范围，分析二次函数在给定区间上的最大值和最小值，进而求出最大值m和最小值n，最后再计算的表达式，结合a的取值范围求出的最小值．
【详解】解：由题意知，∵一次函数为，
∴令，则，
∴一次函数过，
又∵二次函数（a，b为常数，且），并与一次函数的图象交于点，
∴，且为，
∴，
∴，
由题意得，二次函数为：，
∴函数对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵时，的最大值为m，最小值为n，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的性质以及二次函数最值的求解．
18．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为．
（1）点的坐标为___________（用含字母的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为___________．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴顶点的坐标为．
故答案为：；
（2）原抛物线顶点纵坐标为，
将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有：
，
此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∵，
∴当时，有最小值，为，
即该抛物线顶点纵坐标的最小值为，
故答案为：．
19．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
(3)如图3，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接、，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，的最大值为
(3)P点坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
（1）在中求出的长，从而确定点坐标，将二次函数设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
（2）作于，交于，根据，，表示出的长，根据，得出，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
（3）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点，可表示出的面积，作交于E，先求出直线，从而得到E点坐标，从而表示出的面积，根据，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
点，
设二次函数的解析式为：，
，
，
；
（2）解：如图2，
作于，交于，
设直线的解析式为
把点B，C代入得：，解得：
∴直线的解析式为
，
∴，
，
，
，
，
当时，．
（3）解：设点，如图所示，当点P在第三象限时，即，作交于E，
∵直线的解析式为：，
∴当时，，
∴
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为，轴，，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
当时，，
∴，
如图，当点P在第一象限时，即，作轴于点E，交直线于F，
∴，
∴
，
∴，
解得，（舍去）；
当时，，
∴
综上所述，P点坐标为或；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．
20．已知函数（k是常数）
(1)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
(2)若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围（用含k的式子表示）；
(3)当时，设抛物线与x轴交于，两点，且，与y轴交于点C，动点P在抛物线的对称轴上，当最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)或
(2)，
(3)
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求反比例函数解析式、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）分和两者中情况分类讨论，时求解即可．
（2）首先根据反比例函数的性质得到，然后在条件下根据二次函数的性质分析增减性即可．
（3）先求出三点坐标，然后找到点关于对称轴的对称点，作直线，与对称轴交于点，求出点坐标即可，根据三角形三边关系，此时最大，等于．
【详解】（1）解：若，则是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
若，则（）是二次函数，
由，
得．
∴或；
（2）解：设反比例函数解析式为：，
∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
∴．
∴．
由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：．
二次函数y=kx2+4x+3抛物线开口向下，其对称轴为直线，
当y随x的增大而增大时，须满足条件．
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：；
（3）解：当时，抛物线的解析式为，
令，则，令，则，，
∴，，，抛物线的对称轴为直线，
∴关于抛物线的对称轴的对称点为，
连接交对称轴于点P，则此时最大，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
∴当最大时，点P的坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相关知识点有：待定系数法求函数表达式、点的轴对称、三角形三边关系等，熟练运用函数的性质是解题关键．
21．如图，顶点为（）的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，直线交二次函数图象对称轴于点，点、关于点对称，连接、．
（1）求该二次函数的关系式（用含的式子表示）．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
②求证：．
【答案】（1）；（2）①等腰直角三角形，见解析；②见解析
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）抛物线过点，，利用待定系数法设即可得到答案；
（2）①，对称轴轴，可得，可证是等腰直角三角形，可得，可得，可证≌（SAS），可求即可；
②设，，可求方程为，求出，由可得直线的方程为，确定，，三点共线即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过点，，
∴设抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，代入点得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①∵，对称轴轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
又∵、关于点对称，且、、共线，
∴，
∴以为圆心，为半径作圆，则、、三点共圆，
又∵、、共线，所以为圆直径，
∴，
在△OCN和△CAN中，
∵，，，
∴≌（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
②设，
∴可得直线方程为，
联立抛物线方程：
，
解得，，
∴，
可得直线的方程为，
当时，代入方程得，
∴在上，即，，三点共线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，三点共线，一次函数解析式，掌握待定系数法求解析式，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定，三点共线证明方法是解题关键．
22．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
【答案】(1)
(2)
证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点，
∴和是一元二次方程的两个根．
由根与系数的关系可得：，，
两式联立可得：，
∴，
∵，
∴，
整理得．
(3)①；②或；③．
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据抛物线轴对称的性质即可得出其对称轴为，据此列式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后结合即可证明结论；
（3）①由点在直线上先求出m的值，然后结合（2）求出a，b的值，进而求出二次函数表达式；②设点P坐标为，根据三角形面积公式得到，解方程求出n值即可得到答案；③根据平移规律求出平移后的二次函数表达式，联立直线得到一元二次方程，再由根与系数的关系求出，即可得出线段为定值．
【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为．
（2）略
（3）解：①∵点在直线上．
∴，则．
由（2）可得．
故二次函数表达式为：．
②联立直线和二次函数可得：．
解得：或2，
∴，
设点P坐标为．
∴．
整理得：．
解得：或1．
∴点P的坐标或．
③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度．
对于二次函数：，其顶点式为：．
∴根据平移的性质新的抛物线解析式为，
联立直线可得：，
整理得：．
设，，则，，
由根与系数的关系可得：，．
∴．
∴．
∴
，
∴．
∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）专题11 二次函数含参数压轴计算题
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01抛物线与x轴交点个数求字母参数的值或范围 题型02抛物线与坐标轴交点个数求字母参数的值或范围
题型03一元二次方程解的情况求字母参数的值或范围 题型04抛物线与直线y=kx+b的交点个数求参数字母的取值范围
题型05字母参数的值或范围求最值 题型06最值求字母参数的值或范围
题型07由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的值或范围 题型08 由字母参数的值或范围确定函数值的大小关系
题型09由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值 题型10 抛物线与线段的公共点个数确定参数范围或参数的值
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：含参二次函数的概念
二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，或自变量取值范围不确定的二次函数。
如：；；中x的范围－1＜x≤a
【针对训练】
【典例1】若是关于x的二次函数，则m的值为______．
【变式1】若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ）
A．3 B．-1 C． D．4
【变式2】已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点二：含参二次函数的最值
【针对训练】
【典例2】当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______．
【变式1】已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________．
【变式2】当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
知识点三：抛物线与直线交点问题
抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定．可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；③ 当方程组无解时两函数图像没有交点．
【针对训练】
【典例3】已知直线与抛物线．
(1)若它们没有交点，则的取值范围是_______；
(2)若当时它们有交点，则的取值范围是______．
【变式1】在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，．
（1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______．
（2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______．
【变式2】二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．
知识点四：整点问题
【典例4】定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，；
淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人均对 D．两人均错
【变式2】若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是_____
典例精析
题型01抛物线与x轴交点个数求字母参数的值或范围
【典例】关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____．
【变式】已知二次函数的图象经过，两点．
(1)求的值；
(2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围；
(3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围．
题型02抛物线与坐标轴交点个数求字母参数的值或范围
【典例】函数与坐标轴有个交点，则的值为___________．
【变式】函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
题型03一元二次方程解的情况求字母参数的值或范围
【典例】已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是_______．
题型04抛物线与直线y=kx+b的交点个数求参数字母的取值范围
【典例】已知：二次函数（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图像的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图像在的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围．
【变式】已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A．B． C． D．或
题型05字母参数的值或范围求最值
【典例】已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则的取值范围为______，代数式的最小值是______．
【变式】已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1
题型06最值求字母参数的值或范围
【典例】已知二次函数（为常数）的图象过点．
(1)求该二次函数的表达式和顶点坐标．
(2)已知，为二次函数图象上两点，其中，．
①当且时，求点的坐标．
②若与的差的最大值为9，求的值．
【变式】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或
题型07由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的值或范围
【典例】在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，写出抛物线的解析式并求出顶点坐标；
(2)如图，当时，抛物线与直线交于和点，在直线下方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在求出点的坐标并求出面积的最大值；
(3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
【变式】已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型08 由字母参数的值或范围确定函数值的大小关系
【典例】已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知抛物线，点、、、均在此抛物线上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
题型09由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值
【典例】已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　）
A． B． C． D．
题型10 抛物线与线段的公共点个数确定参数范围或参数的值
【典例】已知二次函数．
(1)将此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值；
(2)设点在该二次函数的图象上，且，求实数m的取值范围；
(3)已知点，线段与此函数图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【变式】如图，在平面直角坐标系中有两点，如果抛物线与线段有公共点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤
2．“如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于x的方程的两个根，且，则的大小关系是（　　　）
A． B． C． D．
3．下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（　　）
A．①二次函数，②一次函数 B．①一次函数，②二次函数
C．①二次函数，②二次函数 D．①一次函数，②一次函数
4．如图，已知的顶点坐标分别为，，，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解．解决下面问题：若，是关于的一元二次方程的两个根且，则实数，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题，如图所示，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为和1，则下列结论：①；②；③；④的图象向右平移一个单位，再向上或向下平移合适单位可以得到的图象；⑤不等式的解集是．其中正确的有几个？（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及y随x的变化规律，也可以看出x取某个值时，y的取值情况．已知二次函数y=ax +bx+1的图象如图所示，有以下结论；①ab>0；②a-b>0；③a+b +1<0；④9a-3b+1>0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
11．已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为，______（请用含的代数式表示）．
12．已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为_____；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围_____．（用含k的式子表示）
13．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数；
(2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标．
14．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：
①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
15．数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（）
A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求
C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求
16．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
17．已知二次函数（a，b为常数，且），并与一次函数的图象交于点，则_______（用含a的代数式表示）．若，当时，的最大值为m，最小值为n，则的最小值为_______．
18．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为．
（1）点的坐标为___________（用含字母的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为___________．
19．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
(3)如图3，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接、，若，求点P的坐标．
20．已知函数（k是常数）
(1)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
(2)若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围（用含k的式子表示）；
(3)当时，设抛物线与x轴交于，两点，且，与y轴交于点C，动点P在抛物线的对称轴上，当最大时，求点P的坐标．
21．如图，顶点为（）的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，直线交二次函数图象对称轴于点，点、关于点对称，连接、．
（1）求该二次函数的关系式（用含的式子表示）．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
②求证：．
22．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
试卷第1页（共2页）
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