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专题12 二次函数根的判别式和系数综合计算
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 题型02 判断含参方程根的情况
题型03 已知一元二次方程根的情况求参数 题型04 已知一元二次方程根的情况求参数
题型05 根的判别式与函数综合 题型06 根的判别式与代数综合
题型07 利用根与系数的关系直接求解 题型08 利用根与系数的关系降次求值
题型09 利用根与系数的关系求参 题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程
题型11 根的判别式与根与系数综合 题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：根的判别式（Δ=b 4ac）
对于一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）：
Δ>0：两个不相等的实数根；
Δ=0：两个相等的实数根；
Δ<0：无实数根。
作用：定根的个数、求待定系数、判断方程与函数/几何的关系。
注意：
1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用。
2.找错 符号：方程没化成一般式， 带负号漏掉负号，导致 计算全错。
3.化简 不彻底，不会配方：算出 后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。
4.认为 就一定有两个根：只有 时， 才有两个实数根；若 只有一个根。
5.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。
6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”： 是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”。
【针对训练】
已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【详解】解：对于一元二次方程，，
根据图象可得，，
，
，
，即，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一实数根为3，求m的值；
(2)求证：无论m取何值，方程总有实数根．
【详解】（1）解：方程有一实数根为3，
∴，
解得；
（2）证明：∵关于x的一元二次方程
，
无论取何值，方程总有实数根．
为实数，关于的方程为．
(1)求证：原方程一定有实数根．
(2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值．
【详解】（1）证明：当时，．
此时原方程为．有实数根．
当时，
，
∴原方程有两个实数根，
综上，原方程一定有实数根．
（2）解：由（1），原方程的根．
则，
．
由，知是6的因数．
，
．
当，即时，（舍）．
当，即时，（舍）．
当，即时，．
当，即时，．
综上，a的值为2或5．
知识点二：根与系数的关系（韦达定理）
若方程 ax +bx+c=0（a≠0） 的两根为x 、x ，则：
两根之和：
两根之积：
前提：a≠0且Δ≥0（必须有实根）。
易错点1：忽略二次项系数
题目含参数 时，默认是一元二次方程，一定要先写 限制参数范围，否则会多出增根。
易错点2：只用韦达定理，不检验
只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，必须先 求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错。
易错点3：混淆韦达定理符号
记死：和是 ，积是 ；最常见错：把两根和写成 ，符号反了全盘错。
易错点4：代数式变形出错
求 忘记 减 ；求 忘记 减 。
易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做
题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：① 一次方程 ；② 二次方程 。
易错点6：分式求值不考虑分母不为0
求 类，要隐含 ，即 。
常见代数式变形（韦达定理常用）
（x x ≠0）
【针对训练】
1.已知关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值．
【详解】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：由（1）知，则原方程变为，
设这个方程的两个根是，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得．
已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵、是原方程的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
3.已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
(3)在（2）的条件下，求的值．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：，
解得或（不符合题意，舍去）
∴；
（3）解： ，
将，代入上式得，
∴（负值已舍）．
典例精析
题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况
【典例1】不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程
∴
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式1】下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、∵在方程中，，
∴这个方程根的判别式为，没有实数根；
B、∵在方程中，，
∴这个方程根的判别式为，没有实数根；
C、∵在方程中，，
∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根；
D、∵在方程中，，
∴这个方程根的判别式为，没有实数根．
题型02 判断含参方程根的情况
【典例2】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论.
【详解】解：∵对于一元二次方程，，，
∴判别式，
又∵任意实数的平方非负，即，
∴，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
【变式1】对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况．
【详解】解：根据新运算定义可得：，
整理方程得，
∴，
∵对任意实数，都有，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
题型03 已知一元二次方程根的情况求参数
【典例3】若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（ ）
A．3 B． C．0 D．2
【答案】A
【详解】解：由题可得，，，，
∵一元二次方程没有实数根，
∴，
解得．
∴k的值可以为3.
【变式1】定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围．
【详解】解：∵定义运算，
∴，
∵，
∴，
即，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
化简得，
解得．
题型04 已知一元二次方程根的情况求参数
【典例4】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得：且．
【变式1】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可.
【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程，
∴，
对于一元二次方程 ，，代入得：
，
由得 ，解得，
由得，
因此a的取值范围是且，
结合选项，只有B选项的满足该范围.
题型05 根的判别式与函数综合
【典例5】正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限，
∴．
在一元二次方程中，
则，
∵，
∴，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
【变式1】已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数．
【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限，
∴，，
分两种情况讨论：
当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根；
当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得，
∵，，
∴，
∴，即方程有2个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1个或2个．
题型06 根的判别式与代数综合
【典例6】已知实数，，满足，，则的值为________．
【答案】
【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，为方程的的两实根，
∴，
∴，，，
∴，即，解得：，
∴，
∴．
【变式1】已知实数、、满足，，则实数的最大值为______．
【答案】
2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一元二次方程．
由已知条件，将和视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件判别式非负，求解的取值范围，从而得到最大值．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，且和为实数，
以、为根的二次方程有实数根，
即判别式，
将，代入，
得，
解得，
即的最大值为2．
故答案为：2．
题型07 利用根与系数的关系直接求解
【典例7】已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______．
【答案】 /
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果．
【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，
根据根与系数的关系可得：，，
∴；
；
，
．
【变式1】若方程的两个根是，，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为，
根据根与系数的关系可得： ，
∵
∴将，代入得：原式．
题型08 利用根与系数的关系降次求值
【典例8】设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】2026
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，即，
对所求代数式变形：，
是一元二次方程的两个实数根，
根据根与系数的关系可得，
代入得原式．
【变式1】若一元二次方程的两根为、，则的值为______．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2025．
题型09 利用根与系数的关系求参
【典例9】已知一元二次方程的根为，若，则的值为______．
【答案】
【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值．
【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，，
对通分，得：，
已知，代入得：，
化简，约去（），得，
解得．
【变式1】已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解．
【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴．
题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程
【典例10】已知满足，满足，且，则 ______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案．
【详解】解：实数、满足，，且，
实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，
．
故答案为：．
【变式1】已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______．
【答案】
【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案．
【详解】解：∵不相等的实数，满足，，
∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴
．
题型11 根的判别式与根与系数综合
【典例11】关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．
【答案】(1)
证明：∵原方程为，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
的值为或
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
代入得：，
整理得，
解得或．
【变式1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根；
(2)若，是该方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)另一个实数根为
(2)或
【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案；
（2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m，
由根与系数的关系得，
解得，
∴另一个实数根为；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
综上所述，a的值为或．
题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布
【典例12】已知关于x的方程
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则；
（2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即．
【详解】（1）解：∵方程有实根，
若方程为一元二次方程，则，
即，
解得且；
若方程为一元一次方程，则，
解得；
综上所述，；
（2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足，
即，
解得且；
又∵方程有两个正实根，
∴，
即，
解不等式①得或,
解得或；
解不等式②得或，
解得或，
则不等式组的解集为或，
综上所述．
1．如图，抛物线与y轴负半轴相交，下列描述不正确的为（　　）
抛物线的对称轴为直线 B．方程的根的判别式
C．当时，函数值y随x的增大而增大 D．不等式的解集为
【答案】D
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式．观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，可得抛物线的对称轴为直线，可判断A；再由抛物线与x轴有2个交点，可判断B；然后二次函数的增减性可判断C；再由观察图象得：当或时，，可判断D．
【详解】解：观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，故A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴方程有2个不相等实数根，
∴方程的根的判别式，故B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴当时，函数值y随x的增大而增大，故C正确，不符合题意；
观察图象得：当或时，，
∴不等式的解集为或，故D不正确，符合题意；
故选：D
2．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的识别
【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．
【详解】解：，
∴二次项系数是2，一次项系数是，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．
3．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】先把二次函数化成一般形式，再根据二次项系数与一次项系数的和为，差为列出方程组解出的值，即可求出常数项
【详解】二次函数可整理为：
由题意
解得：
所以常数项
故答案选A
4．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．
【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，
则方程的一个根在和之间，时的y值比时更接近0，
方程的一个近似根为：．
故选：C．
5．一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】变形原方程得到即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键．
6．如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（ ）

A．图象的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而减小
C．若图象上两点为，则
D．一元二次方程的两个根是和3
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点求法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、对称轴为直线，正确，故本选项不符合题意；
B、对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项符合题意；
D、∵抛物线交x轴于，两点，
∴一元二次方程的两个根是和3，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．已知二次函数的部分图象如图，该抛物线的图象过点，，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，理解数形结合的思想是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系得出答案即可．
【详解】解： 一元二次方程的两个根即二次函数与直线的交点，二次函数的图象过点，，
原方程的解是，．
故选：A．
8．对于二次函数（），如果其图象与轴有交点，那么交点的纵坐标等于零，于是交点的横坐标就是对应的一元二次方程的实数根．因此，二次函数的图象与轴的相交情况，可以转化为二次方程实数根的情况．而一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式，故我们可以用根的判别式来判断二次函数的图象与轴的相交情况，具体如下：
（1）当时，抛物线（）与轴有___________，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有________________的实数根；
（2）当时，抛物线（）与轴_____，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有_________的实数根；
（3）当时，抛物线（）与轴_____交点，反过来亦成立，此时一元二次方程（）________实数根．
【答案】 有两个交点 两个不相等 有且只有一个交点 两个相等 没有 没有
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】根据抛物线与x轴的交点和一元二次方程的解的关系可直接得出答案．
【详解】解：（1）当时，抛物线（）与轴有两个交点
，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有两个不相等的实数根；
（2）当时，抛物线（）与轴有且只有一个交点，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有两个相等的实数根；
（3）当时，抛物线（）与轴没有交点，反过来亦成立，此时一元二次方程（）没有实数根．
故答案为：（1）有两个交点，两个不相等；（2）有且只有一个交点，两个相等；（3）没有，没有．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，体现了数形结合的思想，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②抛物线与轴一定有两个交点；
③关于的方程有两个根；
④若，当或时，；
其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
①由直线经过点可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故答案为：①②③．
10．已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和______．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意得，二次函数的对称轴是直线，根据对称性可得，再结合求出的值即可．
【详解】解：已知二次函数的顶点坐标，
∴对称轴是直线，
由题意得，点与点关于直线对称，
∴，即，
解得．
故答案为：．
11．某体育用品店销售一种跳绳，已知这种跳绳的成本价为每根30元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量y（根）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种跳绳每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为35元，那么跳绳每天的销售量是_________条；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种跳绳销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)30
(2)
(3)该种跳绳销售单价定为40元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax +bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）在中，令得：，
故答案为：30；
（2）根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
（3），
，
当时，取最大值，最大值为200，
答：该种跳绳销售单价定为40元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
12．利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试．
【答案】，．
【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示：
由图可知，交点坐标为，，
所以一元二次方程的近似根为，．
13．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，
对称轴在 轴右侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
抛物线与轴有两个不同的交点，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
综上所述，，，．
14．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
【答案】B
【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】根据二次函数的图象特征解答．
【详解】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
15．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的解的估算
【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近．
【详解】解：设方程的两个根为，，
，，，
由一元二次方程根与系数关系可知，
已知在0.5与之间，
，
当x在0.5和1之间时，
另一根在与之间，
取，
，
当时，，
在与之间，
到的距离，
到的距离，
到的距离小于到的距离，
与另一根更接近的是．
16．已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、已知两点坐标求两点距离
【分析】由对称轴可得出即可判断①，由对称轴直线和与轴的一个交点的坐标即可得判断②③，结合函数图象可判断④，求出，作点C关于对称的点，，当点B，P，C共线时，最小，此时，求出即可判断⑤．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误，
∵对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，
∴与轴的一个交点的坐标为，
∴一元二次方程的两个根分别是和3；故②错误，
∴当时，，故③错误，
结合函数图象可知，当时，随的增大而增大；故④正确；
当时，则，
∴，
作点C关于对称的点，
∴，
当点B，P，C共线时，最小，此时，
∴，
∴的最小值为．故⑤正确．
综上：④⑤正确．
17．若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．
如果设二次函数的图象与轴的两个交点为，，利用根与系数关系定理可以得到， 两个交点间的距离为． 参考以上定理和结论，设二次函数的图象与轴的两个交点为，，图象的顶点为，当为等腰直角三角形时，＝（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．8
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角的性质等知识，先求出顶点C的坐标为，然后根据等腰直角三角形的性质性质得出，求出或，判断时，不存在，即可得出答案．
【详解】解：的顶点C的坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
化简得，
解得或，
∴或，
当时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，则不存在，故舍去，
∴，
故选：B．
18．二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… t …
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是______(填正确的序号)．
【答案】
②③
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的对称性、顶点坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系及函数值的计算，解题的关键是利用和时函数值相等求出对称轴，再结合时函数值大于0确定二次项系数的取值范围，进而分析各结论．
由和时，得对称轴，结合对称轴公式得；由时得，函数式化为；将代入，解得；分析①：顶点纵坐标为负，顶点在第四象限，①错误；分析②：由对称性得时另一根为3，②正确；分析③：计算，得，结合得，③正确．
【详解】解：由表格可知，当时，；当时，，故二次函数对称轴为．
∵ 对称轴，
∴
又∵ 当时，，
∴ 二次函数解析式为．
∵ 当时，，
∴ ，即，解得．
分析①：顶点横坐标为，顶点纵坐标为，
∵ ，
∴ ，顶点在第四象限，故①错误．
分析②：方程的根，即时的取值．
已知时，由对称轴，得另一根为，故和是方程的根，②正确．
分析③：当时，；
当时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确．
故答案为：②③．
19．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③；
④若，和，是抛物线上的两点，则当时，；
⑤方程的两个根为，．
其中正确的有：______．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号；②根据对称轴是直线和时，，即可得到和的关系；③当时，，当时，，可得，即可得出结论；④由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大；⑤由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②对称轴是直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确．
③抛物线图象开口向上，对称轴是直线，图象过点，
图象过点，
当时，，当时，，
，
，
，
，
故③正确．
④，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故④错误．
⑤由可得方程的解，，
的抛物线与轴交于点，，
方程的两个根为，1，
，，
，
，，
而若方程的两个根为，，
则，，故⑤错误．
所以正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
20．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的_____．（填序号）
【答案】②③
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
将、、代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
由知抛物线的开口向上，故①错误；
当时，，解得或，故②正确；
当时，，解得或，
方程的根为0和2，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，故④错误；
故答案为：②③．
21．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … t m n …
且当时，．
（1）关于x的一元二次方程的两个根为，________；
（2）点和都在抛物线上，且，则当时，________．（填“”或“”）
【答案】 3
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的对称性，解一元一次不等式，因式分解，不等式的性质，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）先求出二次函数图象的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，即可求解；
（2）当时，，当时，，可得，，即可求解．
【详解】解：（1）根据表格得：二次函数图象的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴关于x的一元二次方程的两个根为，；
故答案为：3；
（2）根据表格得：当时，，
∵次函数图象的对称轴为直线，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴
∵，，，
∴，
即．
故答案为：．
22．新考向 通过实验研究发现：当音量x（单位：）满足时，听觉舒适度y与音量x之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示．
音量x/ 40 45 50 55 60 65 70
听觉舒适度y 1 6 9 10 9 6 1
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(3)在家听音乐时，王林听到的音量x与所坐位置到音箱的距离d（单位：m）的关系如图2所示．若他希望听觉舒适度不小于6，根据此实验研究结果，求出王林所坐位置到音箱的距离d的取值范围（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)
函数图象如下：
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax +bx+c的图象、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，
（2）根据表格数据和（1）中解析式画出二次函数的图象即可；
（3）由表格数据，当时，或65，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：由二次函数点的坐标对称性质可设该二次函数的解析式为：，
∵经过点，
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：，
（2）略
（3）解：由（1）知函数解析式为，
根据表格或图像可知：当时，或65，
若王林希望听觉舒适度不小于6，
根据数形结合可知：，
由图2知，当时，对应的距离d约为；
当时，对应的距离d约为；
．（注：本题答案不唯一，答案在合理区间即可，d的最小值在0.5～0.8之间，d的最大值在6.5～7.2之间）
23．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
又，
∴，
∵抛物线与轴的交点在正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间，
∴与x轴的另一个交点在2和3之间，
∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确；
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，的最大值为，
∴对于任意实数，都有，
∴对于任意实数，，即，故④正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
又，
∴，
∴,故⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共4个．
24．如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】根据对称轴公式判断，利用抛物线的对称性及与轴交点位置判断②，根据时的函数值判断③，利用对称性判断④即可．
【详解】解： 抛物线的对称轴为直线，
，
，即，故①正确；
抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
方程一定有一个根在和之间，故②错误；
抛物线开口向下，与轴的右侧交点在和之间，
当时，， 即，故③错误；
抛物线的对称轴为直线，与轴交点的纵坐标是2，即过点，
点关于直线的对称点为，
当时，，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④，共2个．
25．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴,
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
26．已知，恰好是关于的一元二次方程的两个实数根，若，请根据二次函数图象与轴的交点和一元二次方程的根之间的联系推断，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题利用二次函数与一元二次方程的关系，将方程转化为二次函数，结合二次函数开口方向和函数值的大小判断根的位置．
【详解】解：设二次函数 ，
∵ 该二次函数二次项系数为，
∴抛物线开口向上，且抛物线与轴交于和；
由题意得 是方程的两个实数根，
即当时对应的值为；
∵ 当时，开口向上的抛物线在轴下方，即此时，
∴ 对应的两个自变量分别在区间两侧 ，
又∵， ，
∴ ，，即．
27．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____．
【答案】4
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断．
【详解】解：∵图像开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线交于轴正半轴，
∴，
∴，故①正确；
由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，
∴当时，，
即，故②正确；
∵根据图像可知，当时，，
即，
∴，
∴结合，有，
∴，故③正确；
∵时，有，且此时y值达到最大，
又∵时，有，
∴，
∴成立，故④正确．
根据有四个根，
可得和各有两个根，
当时，有，此时有，
当时，有，此时有，
则有，
∵，
∴，即：的四个根和为4，故⑤错误．
综上：①②③④正确，共4个．
28．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，与其对应的函数值，有下列结论：
… 0 1 2 …
… …
①函数图象的顶点在第四象限内；②和是关于的方程的两个根；③若点，点在二次函数图象上，则；④；⑤方程有四个不相等的实数根，则，其中，正确的结论是_______．
【答案】①②③
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】根据表格信息，推导出，对称轴为直线，根据题干描述，推导出，
结合二次函数的图象和性质，得出函数图象的顶点坐标情况，判断结论①；由函数对称的性质，判断出结论②和③；由，结合，判断结论④；由有四个不相等的实数根，得出，即，结合，判断结论⑤．
【详解】解：观察表格，当时，，
即可得出，
又∵和时，对应函数值相同，
即点与点关于函数对称轴对称，
可得函数对称轴为直线，
故，
∴，
原函数表达式可为，
当时，函数，
化简得，
解得，即，
故函数开口向上，对称轴为直线，
∴其顶点坐标纵坐标一定小于，
故函数图象的顶点在第四象限内，结论①正确；
∵函数对称轴为直线，
故横坐标为的点关于直线对称的点横坐标为，
故和是关于的方程的两个根，结论②正确；
对于点，点，
∵函数开口向上，对称轴为直线，
明显点到对称轴的距离更远，
故，结论③正确；
当时，，
当时，，
∴，
∵，
∴，故结论④错误；
当时，函数，
若有四个不相等的实数根，
则有四个不相等的实数根，
则，
∴，
即，
∵，
∴无上限，故结论⑤错误；
综上，正确的结论是①②③．
29．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于不同的两点，、，，其中、，且该二次函数的图象的顶点 E 在矩形的边上，其对称轴与轴、对角线分别交于点、，与轴相交于点，且满足．

(1)用含有的式子表示线段BC的长；
(2)求关于的一元二次方程的根的判别式的值；
(3)若，令，求的最小值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）证明出四边形是矩形，可得，即可求出；
（2）表示出的长，借助即可求出；
（3）根据和可得，即可求解.
【详解】（1）解：∵ E是抛物线的顶点
∴
∴，
又∵直线是抛物线的对称轴，
∴四边形是矩形，
∴ ；
（2）解：由题可知，点是抛物线与轴的交点
是的两个解
∵且
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
；
（3）解：
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴

∴
当时，
答：T的最小值是；
【点睛】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系, 平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，根据点的坐标表示出线段是解决问题的关键.
30．如图，抛物线经过点，．
(1)写出，的关系；
(2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围；
(3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，，．
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点，设交点式解析式并展开为一般式，对比系数即可得到与的关系．
（2）先由交点坐标求出原抛物线的对称轴，结合平移规律得到新抛物线的对称轴；根据开口向下的二次函数的增减性，将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，列不等式求解的取值范围．
（3）将方程的整数根转化为抛物线与直线交点的横坐标为整数，利用抛物线的对称性，结合的条件枚举整数根，代入解析式求出对应的值．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
设抛物线解析式为．
．
∵，
∴；
（2）解：抛物线经过点，，
原抛物线的对称轴为直线．
抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，
抛物线的对称轴为直线．
，
抛物线开口向下，点到对称轴距离越远，函数值越小．
点，在抛物线上，且，
．
．
，
，
．
①当时，，
解得，
．
②当时，，
解得．
综上，的取值范围为；
（3）解：由（1）得抛物线解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
方程的根都是整数，
抛物线与直线的交点横坐标为整数，且关于直线对称．
，
整数根的可能情况为重根，或两根为和，或两根为和．
当时，，
．
当时，，
．
当时，，
．
的取值为，，．
试卷第1页（共2页）
试卷第1页（共2页）专题12 二次函数根的判别式和系数综合计算
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 题型02 判断含参方程根的情况
题型03 已知一元二次方程根的情况求参数 题型04 已知一元二次方程根的情况求参数
题型05 根的判别式与函数综合 题型06 根的判别式与代数综合
题型07 利用根与系数的关系直接求解 题型08 利用根与系数的关系降次求值
题型09 利用根与系数的关系求参 题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程
题型11 根的判别式与根与系数综合 题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一：根的判别式（Δ=b 4ac）
对于一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）：
Δ>0：两个不相等的实数根；
Δ=0：两个相等的实数根；
Δ<0：无实数根。
作用：定根的个数、求待定系数、判断方程与函数/几何的关系。
注意：
1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用。
2.找错 符号：方程没化成一般式， 带负号漏掉负号，导致 计算全错。
3.化简 不彻底，不会配方：算出 后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。
4.认为 就一定有两个根：只有 时， 才有两个实数根；若 只有一个根。
5.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。
6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”： 是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”。
【针对训练】
已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2. 已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一实数根为3，求m的值；
(2)求证：无论m取何值，方程总有实数根．
3.为实数，关于的方程为．
(1)求证：原方程一定有实数根．
(2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值．
知识点二：根与系数的关系（韦达定理）
若方程 ax +bx+c=0（a≠0） 的两根为x 、x ，则：
两根之和：
两根之积：
前提：a≠0且Δ≥0（必须有实根）。
易错点1：忽略二次项系数
题目含参数 时，默认是一元二次方程，一定要先写 限制参数范围，否则会多出增根。
易错点2：只用韦达定理，不检验
只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，必须先 求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错。
易错点3：混淆韦达定理符号
记死：和是 ，积是 ；最常见错：把两根和写成 ，符号反了全盘错。
易错点4：代数式变形出错
求 忘记 减 ；求 忘记 减 。
易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做
题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：① 一次方程 ；② 二次方程 。
易错点6：分式求值不考虑分母不为0
求 类，要隐含 ，即 。
常见代数式变形（韦达定理常用）
（x x ≠0）
【针对训练】
已知关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值．
已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值．
已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
(3)在（2）的条件下，求的值．
典例精析
题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况
【典例1】不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________．
【变式1】下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 判断含参方程根的情况
【典例2】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式1】对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
题型03 已知一元二次方程根的情况求参数
【典例3】若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（ ）
A．3 B． C．0 D．2
【变式1】定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型04 已知一元二次方程根的情况求参数
【典例4】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
【变式1】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ）
A． B．2 C． D．
题型05 根的判别式与函数综合
【典例5】正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___．
【变式1】已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
题型06 根的判别式与代数综合
【典例6】已知实数，，满足，，则的值为________．
【变式1】已知实数、、满足，，则实数的最大值为______．
题型07 利用根与系数的关系直接求解
【典例7】已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______．
【变式1】若方程的两个根是，，则的值为________．
题型08 利用根与系数的关系降次求值
【典例8】设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____．
【变式1】若一元二次方程的两根为、，则的值为______．
题型09 利用根与系数的关系求参
【典例9】已知一元二次方程的根为，若，则的值为______．
【变式1】已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____．
题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程
【典例10】已知满足，满足，且，则 ______．
【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______．
题型11 根的判别式与根与系数综合
【典例11】 关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．
【变式1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根；
(2)若，是该方程的两个根，且，求的值．
题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布
【典例12】已知关于x的方程
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围．
1．如图，抛物线与y轴负半轴相交，下列描述不正确的为（　　）
A．抛物线的对称轴为直线 B．方程的根的判别式
C．当时，函数值y随x的增大而增大 D．不等式的解集为
2．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（ ）
A． B． C． D．
4．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
5．一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
6．如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（ ）

A．图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小
C．若图象上两点为，则 D．一元二次方程的两个根是和3
7．已知二次函数的部分图象如图，该抛物线的图象过点，，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．3
8．对于二次函数（），如果其图象与轴有交点，那么交点的纵坐标等于零，于是交点的横坐标就是对应的一元二次方程的实数根．因此，二次函数的图象与轴的相交情况，可以转化为二次方程实数根的情况．而一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式，故我们可以用根的判别式来判断二次函数的图象与轴的相交情况，具体如下：
（1）当时，抛物线（）与轴有___________，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有________________的实数根；
（2）当时，抛物线（）与轴_____，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有_________的实数根；
（3）当时，抛物线（）与轴_____交点，反过来亦成立，此时一元二次方程（）________实数根．
9．直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②抛物线与轴一定有两个交点；
③关于的方程有两个根；
④若，当或时，；
其中正确的结论是______．（填序号）
10．已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和______．
11．某体育用品店销售一种跳绳，已知这种跳绳的成本价为每根30元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量y（根）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种跳绳每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为35元，那么跳绳每天的销售量是_________条；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种跳绳销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
12．利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试．
13．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
15．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ）
A． B． C． D．
16．已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．
如果设二次函数的图象与轴的两个交点为，，利用根与系数关系定理可以得到， 两个交点间的距离为． 参考以上定理和结论，设二次函数的图象与轴的两个交点为，，图象的顶点为，当为等腰直角三角形时，＝（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．8
18．二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… t …
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是______(填正确的序号)．
19．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③；
④若，和，是抛物线上的两点，则当时，；
⑤方程的两个根为，．
其中正确的有：______．（填序号）
20．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的_____．（填序号）
21．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … t m n …
且当时，．
（1）关于x的一元二次方程的两个根为，________；
（2）点和都在抛物线上，且，则当时，________．（填“”或“”）
22．新考向 通过实验研究发现：当音量x（单位：）满足时，听觉舒适度y与音量x之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示．
音量x/ 40 45 50 55 60 65 70
听觉舒适度y 1 6 9 10 9 6 1
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(3)在家听音乐时，王林听到的音量x与所坐位置到音箱的距离d（单位：m）的关系如图2所示．若他希望听觉舒适度不小于6，根据此实验研究结果，求出王林所坐位置到音箱的距离d的取值范围（结果保留小数点后一位）．
23．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
24．如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．已知，恰好是关于的一元二次方程的两个实数根，若，请根据二次函数图象与轴的交点和一元二次方程的根之间的联系推断，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____．
28．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，与其对应的函数值，有下列结论：
… 0 1 2 …
… …
①函数图象的顶点在第四象限内；②和是关于的方程的两个根；③若点，点在二次函数图象上，则；④；⑤方程有四个不相等的实数根，则，其中，正确的结论是_______．
29．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于不同的两点，、，，其中、，且该二次函数的图象的顶点 E 在矩形的边上，其对称轴与轴、对角线分别交于点、，与轴相交于点，且满足．

(1)用含有的式子表示线段BC的长；
(2)求关于的一元二次方程的根的判别式的值；
(3)若，令，求的最小值．
30．如图，抛物线经过点，．
(1)写出，的关系；
(2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围；
(3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）．
试卷第1页（共3页）
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