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第二十六章 二次函数《易错点讲义》单元复习
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01 二次函数的定义及形式互化 题型02 二次函数的图象与基本性质
题型03 二次函数的几何变换（平移和对称） 题型04 待定系数法求二次函数解析式
题型05 二次函数的图象与系数的关系 题型06 二次函数与一元二次方程
题型07 二次函数与不等式 题型08 二次函数的实际应用
题型09 二次函数的综合应用 单元提升卷
必备知识
1.二次函数的定义
一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。
其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。
2.二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有二次函数与轴有交点，即时，二次函数的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。
【针对训练】
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0．
【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式，
A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义，
B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义，
C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义，
D：含分式项，右边不是整式，不符合定义．
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2．
【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意；
选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意；
选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意；
选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意．
3．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.
【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数.
∵选项A中是一次函数，
∴A不符合题意；
∵选项B中 ，符合二次函数的定义，
∴B符合题意；
∵选项C中，未说明，当时不是二次函数，
∴C不符合题意；
∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义，
∴D不符合题意.
1.二次函数的性质与图像
形式 一般式： 顶点式
的符号
开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下
对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边，
最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值
顶点坐标
增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小；
2.二次函数的平移
①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。
(1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或）
(2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或）
【针对训练】
1．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______．
【答案】或
【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．
【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，
∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，
∴，，
又∵这条抛物线与抛物线形状相同，
∴，即，
∴这条抛物线的解析式为：或，
故答案为：或．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　)
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
3．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
1.二次函数与一元二次方程
①若二次函数与轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 。
②若二次函数与轴只有一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根 。
③若二次函数与轴没有交点 一元二次方程没有实数根 。
④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。
2.二次函数与不等式（组）
若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；
的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围
【针对训练】
1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，其中，，
∵
∴抛物线开口向上，故选项A错误．
∵对称轴为直线
∴选项B错误．
∵当时，，即抛物线与轴交点为，而与轴交点需满足，故选项C错误．
∵将解析式配方得
∴顶点坐标为，故选项D正确．
2．抛物线与轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对
【答案】C
【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数．
【详解】解：当时，
，
∴该方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴交点的个数为2．
3．如图为二次函数的图象，下列表述正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为轴
B．当时，的值随值的增大而增大
C．一元二次方程的两个根均为正数
D．一元二次方程的一个根在3和3.5之间
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质．
根据二次函数解析式可求解对称轴可判断A选项，根据函数的对称轴可判断函数的增减性可判断B选项，根据二次函数的图象与x轴的交点可判断CD选项．
【详解】解：A选项，二次函数为，
∴对称轴为，不是轴，故错误；
B选项，当时，的值随值的增大而增大，
而，故错误；
C选项，一元二次方程的两个根即为二次函数与x轴的交点，
由图象可知，该函数与x轴的交点一正一负，
∴一元二次方程的两个根一正一负，故错误；
D选项，根据图象可知，二次函数与x轴正半轴的交点位于3和3.5之间，
∴一元二次方程的一个根在3和3.5之间，故正确 ．
故选：D ．
列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系；
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式；
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题；
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论；
⑥答：写出答案。
【针对训练】
1．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：设，则，
墙长，，
，，
解得，
花园的面积，
∴当时，花园面积最大，最大面积为．
2．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？
(2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？
【答案】(1)米或米
(2)米，米
【分析】（1）根据面积列方程进行解答即可；
（2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
依题意得，
解得，，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米；
（2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米，
，
墙的最大可用长度为米，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米．
3．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值．
【详解】解：，
，
的底边长为，边上的高为，它的面积为，
，
，
当时，有最大值，为．
典例精析
题型01 二次函数的定义及形式互化
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【答案】C
【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【变式1】若函数是二次函数，则m的值一定是（ ）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
【答案】B
【解答】解：∵此函数是二次函数，
∴，
解得m＝0．
故选：B．
题型02 二次函数的图象与基本性质
【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，故此选项错误，
B：当x＝0，y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误，
C：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
∴D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
故选：D．
【变式1】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解答】解：由条件可知a＝2，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为（﹣1，﹣4）的抛物线，
故选：D．
题型03 二次函数的几何变换（平移和对称）
【典例1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式．
【详解】解：原抛物线解析式为
∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为
再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为．
【变式1】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位，
∴新抛物线解析式为，
整理得 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为．
题型04 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式．
【详解】解:点关于直线的对称点是，
设抛物线的解析式为.
把点的坐标代入解析式，得
，
解得.
抛物线的解析式为.
【变式1】已知抛物线过点、和，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算．
【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等，
对称轴为：，
设抛物线的顶点式为：．
将点，代入，得方程组：
，
化简：，
两式相减，得：，，
将代入，得：
，，
将顶点式展开：，
，，，
．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴x0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项A错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故选项B错误；
∵抛物线的对称轴为x1，
∴b＝﹣2a，故选项C错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确；
故选：D．
【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确；
③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵c＜0，
∴c（a﹣b+c）＜0，
即ac﹣bc+c2＜0，④正确；
综上可得：②③④正确，
故选：C．
题型06 二次函数与一元二次方程
【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3c＝0，
解得c．
故答案为：．
【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：根据题意，Δ＝（﹣3）2﹣4a×2＞0，且a≠0，
解得，且a≠0，
故选：B．
题型07 二次函数与不等式
【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，函数值大于0．
A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6
【答案】A
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴当x＜﹣2或x＞6时，y＞0．
故选：A．
【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：（﹣3，0），
从图象看，当y＞0时自变量x的取值范围为：﹣3＜x＜1，
故选：C．
题型08 二次函数的实际应用
【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y m．
（1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
【答案】（1）y＝72﹣2x（0＜x＜24）；
（2）AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2．
【解答】解：（1）y＝70+2﹣2x＝72﹣2x，
由题意得：，
解得：0＜x＜24，
∴y＝72﹣2x（0＜x＜24）；
（2）S＝x（72﹣2x）＝﹣2x2+72x，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝18，
∵0＜x＜24，
∴当x＝18时，S有最大值，最大值为18×36＝648（m2）．
答：AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2．
【变式1】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离．
【答案】（1）y＝﹣0.2（x﹣5）2+8；（2）6.2m．
【解答】解：（1）由题意，∵矩形的长OA为10m，隧道顶端D到路面的距离为8m，
∴抛物线的顶点为（5，8）．
∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2+8．
又∵B（0，3），
∴3＝a（0﹣5）2+8．
∴a＝﹣0.2．
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8．
（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8，且摄像头到OB的水平距离为8m，
∴令x＝8，则y＝﹣0.2（8﹣5）2+8＝6.2．
∴摄像头到地面的竖直距离为6.2m．
题型09 二次函数的综合应用
【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求该二次函数的表达式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，与面积的综合问题．
（1）先令求解，再由三角形面积公式求解，即可得到点坐标；
（2）将点代入即可求解．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴，即
∵的面积为6，
∴，即，
∴，
∴
（2）解：将点代入，
则，
解得，
∴该二次函数的表达式为．
【变式1】如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标；
(3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为
(2)满足的值为最小的点P坐标为
(3)存在，点E的坐标为或
【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴；
（2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P；
（3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标．
【详解】（1）把点、代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
函数的对称轴为直线．
（2）如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为，
易得C点的坐标为，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得，
直线BC的表达式为：，
当时，，
故点．
（3）存在，理由：
如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形，
则，
点E在第四象限，则，
将该坐标代入二次函数表达式得：．
解得：或4，
故点E的坐标为或．
第二十六章《二次函数》单元提升卷
注意事项：
1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。
2.考试范围：九年级数学第二十六章易错点
第一部分 选择题(共30分)
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．下列关于的函数中二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意；
B．不是二次函数，则B不符合题意；
C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意；
D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意；
故选：A．
2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】y=ax 的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的性质．
将代入解析式即可求出a的值．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
即，
∴．
故选：A．
3．已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴抛物线开口向下．
点到对称轴的距离分别为：
．
∵抛物线的开口向下，
∴距离越大函数值越小．
∴．
故选 C．
4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：设，则，
墙长，，
，，
解得，
花园的面积，
∴当时，花园面积最大，最大面积为．
5．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】根据二次函数的定义求参数、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键．
二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零．
【详解】∵ 函数为二次函数，
∴ .
∵ 图象与x轴有两个不同的交点，
∴ 方程 有两个不同的实数根，
∴ 判别式 ，
解得 .
∴ 且 ．
故选：D．
6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，，
∴将代入解析式得： ，
化简得 ，
解得，
∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大，
∴抛物线对称轴不大于，
∵抛物线对称轴为，
∴ ，
解得：，
综上，的取值范围是．
7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
平移该抛物线的顶点始终在直线上，
设平移后抛物线的顶点坐标为，
平移后抛物线的解析式为，
当时，
可得：，
整理得：，
，
有最大值，
即当时，取最大值，最大值为．
故选：A．
8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案．
【详解】解：联立得：，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，当时，，
∴二次函数与一次函数相交于点和，
∴只有D选项图象符合题意．
9．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
则下列关于该二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．当 时， 的取值范围为
C．一元二次方程 有两个相等的实数根
D．图象的对称轴是直线
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：把，和 代入得，
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴图象开口向下，故选项错误；
∵图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误；
∴当时，可知时函数取最大值，
又由表格知，时，
∴当 时，的取值范围为，故选项错误；
∵二次函数顶点坐标为，
∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确．
10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）．
A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．
①利用对称轴，即可得到系数的关系；
②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论；
③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论；
④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到；
⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，故①正确；
∵时，，
∴，即，故②错误；
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵当时，，达到最大值，
当时，，
∴，
∴，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴抛物线解析式为，
∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论有①③⑤．
第二部分 非选择题 (共90分)
二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分)
11．已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____．
【答案】
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】将方程在给定区间内有两个不同实数根的问题，转化为二次函数与平行于x轴的直线的交点个数问题，通过配方得到二次函数的顶点坐标，计算区间端点的函数值，结合二次函数的图像性质确定t的取值范围
【详解】解：方程在范围内有个不同的实数根，等价于函数与直线有个不同的交点，
对二次函数配方得：
该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
当时，；当时，；
结合二次函数的图像性质可得，要使直线与在范围内有两个不同交点，需满足
12．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ．
【答案】或
【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，
∴， 解得；抛物线的对称轴为直线；
∴二次函数的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称，
∴点B的横坐标为，纵坐标为3，
∴点B的坐标为，
由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交，
∴满足的x的取值范围是或．
13．如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________．
【答案】2.25
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可．
【详解】解：由题意可知，，，
，
解得，
，
∵，
∴当时，，
羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为．
14．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________．
【答案】①②③④
【知识点】y=ax +bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3
∴y的最大值为3，故①正确；
∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，
∴当时，，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∵对称轴是直线，
∴
∴，故④正确．
综上所述，正确的序号为①②③④．
三、解答题(15～18题每小题6分，19～22题每小题10分，23题14分，共78分)
15．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标．
【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式
【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
所以抛物线解析式为，
而，
所以抛物线的顶点坐标为．
16．已知抛物线的对称轴是直线．
(1)求证：；
(2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根．
【答案】(1)
已知抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴．
(2)
方程的另一个根为
【知识点】由一元二次方程的解求参数、y=ax +bx+c的图象与性质、因式分解法解一元二次方程
【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解；
（2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵关于的方程的一个根为2，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，
整理得，，
解得，，
∴方程的另一个根为．
17．已知二次函数的图象经过，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】y=ax +bx+c的最值、把y=ax +bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式；
（2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）解：将二次函数配方得，
函数的对称轴为直线
∵
∴二次函数开口向上，
∴当时，y取得最小值；
当时，，
当时，；
即在时，y的取值范围是．
18．已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若图象经过原点，求二次函数的解析式．
【答案】
（1）证明：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）y＝x2﹣2x．
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式大于零即可证明二次函数的图像与x轴都有两个交点；
（2）因为函数图象经过原点，将（0，0）代入函数解析式求得m的值即可.
【详解】（1）略
（2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣mx+m﹣2得m﹣2＝0，解得m＝2，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x．
【点睛】本题主要考查了根据根的判别式判断二次函数的图像与轴的交点的个数以及待定系数法求函数解析式.
19．线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积．

【答案】(1) y＝－(x＋1)2；(2)3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)
【详解】分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积-三角形ACD面积-三角形AOB面积，求出即可．
本题解析： (1)依题意可知A(－1，0)．由OB＝OA，得B(0，－1)．
将点B(0，－1)代入y＝a(x＋1)2，得－1＝a(0＋1)2，解得a＝－1.
所以y＝－(x＋1)2.
（2）过C作CD⊥x轴，

则S△ABC=S梯形OBCD-S△ACD-S△AOB=12×3×(4+1)-12×4×2-12×1×1=3．
(2)将C(－3，m)代入y＝－(x＋1)2，得m＝－(－3＋1)2，即m＝－4.所以C(－3，－4)．
所以S△ABC＝＝×1×4＋×1×3－×1×1＝3.
点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为．
(1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？
(2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？
【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米；
(2)当花园面积最大时，的长为8米．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键．
（1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解；
（2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴当时，花园面积最大，为100平方米；
（2）由题意，得，
解得；
∵，
∴时，随着的增大而增大，
∴当时，有最大值，
∴当花园面积最大时，的长为8米．
21．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线．
(1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由．
【答案】(1)
(2)乒乓球发球器此次发出的球无效，
由题意可知点A的横坐标为1.4，
当时，，
，
乒乓球越过了球网．
令，则，
解得（舍去），．
，
乒乓球没有落在球台上．
综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效．
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可．
（2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效．
【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入上式，得，
解得，
乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）．
（2）略．
22．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？
【答案】[建立模型]；[运用模型]张
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
[建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答．
[运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答．
【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示：
∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度
∴
设抛物线函数关系式为
∵抛物线经过点
∴
解得
即；
[运用模型]∵，且椅子高度，宽度
∴
解得
则的距离为2；
∵椅子数量为正整数
∴最多可摆放的椅子数量为张．
23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．
(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)；；
(2)1秒后
(3)解：不能，理由如下：
当的面积等于时，则，
整理，得，
∴，
∴方程没有实数根，
故的面积不能等于；
(4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、动态几何问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果；
（4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：由题意，得，
∴；
（2）解：∵，，，
∴的面积，
解得或，
当时，（不符合题意，舍去）；
∴，
答：1秒后，的面积等于；
（3）略
（4）解：当点运动到点时，秒；
由题意，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，的值最大为；
故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）第二十六章 二次函数《易错点讲义》单元复习
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01 二次函数的定义及形式互化 题型02 二次函数的图象与基本性质
题型03 二次函数的几何变换（平移和对称） 题型04 待定系数法求二次函数解析式
题型05 二次函数的图象与系数的关系 题型06 二次函数与一元二次方程
题型07 二次函数与不等式 题型08 二次函数的实际应用
题型09 二次函数的综合应用 单元提升卷
必备知识
1.二次函数的定义
一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。
其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。
2.二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有二次函数与轴有交点，即时，二次函数的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。
【针对训练】
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
1.二次函数的性质与图像
形式 一般式： 顶点式
的符号
开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下
对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边，
最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值
顶点坐标
增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小；
2.二次函数的平移
①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。
(1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或）
(2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或）
【针对训练】
1．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　）
B． C． D．
1.二次函数与一元二次方程
①若二次函数与轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 。
②若二次函数与轴只有一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根 。
③若二次函数与轴没有交点 一元二次方程没有实数根 。
④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。
2.二次函数与不等式（组）
若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；
的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
【针对训练】
1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
2．抛物线与轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对
3．如图为二次函数的图象，下列表述正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为轴
B．当时，的值随值的增大而增大
C．一元二次方程的两个根均为正数
D．一元二次方程的一个根在3和3.5之间
列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系；
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式；
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题；
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论；
⑥答：写出答案。
【针对训练】
1．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？
(2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？
3．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______．
典例精析
题型01 二次函数的定义及形式互化
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【变式1】若函数是二次函数，则m的值一定是（ ）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
题型02 二次函数的图象与基本性质
【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【变式1】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
题型03 二次函数的几何变换（平移和对称）
【典例1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( )
A． B．
C． D．
【变式1】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型04 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式．
【变式1】已知抛物线过点、和，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型05 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0
【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型06 二次函数与一元二次方程
【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ．
【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型07 二次函数与不等式
【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，函数值大于0．
A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6
【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
题型08 二次函数的实际应用
【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y m．
（1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
【变式1】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离．
题型09 二次函数的综合应用
【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求该二次函数的表达式．
【变式1】如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标；
(3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
第二十六章《二次函数》单元提升卷
注意事项：
1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。
2.考试范围：九年级数学第二十六章易错点
第一部分 选择题(共30分)
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．下列关于的函数中二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
9．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
则下列关于该二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．当 时， 的取值范围为
C．一元二次方程 有两个相等的实数根
D．图象的对称轴是直线
10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）．
A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤
第二部分 非选择题 (共90分)
二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分)
11．已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____．
12．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ．
13．如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________．
14．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________．
三、解答题(15～18题每小题6分，19～22题每小题10分，23题14分，共78分)
15．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标．
16．已知抛物线的对称轴是直线．
(1)求证：；
(2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根．
17．已知二次函数的图象经过，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
18．已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若图象经过原点，求二次函数的解析式．
19．线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积．

20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为．
(1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？
(2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？
21．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线．
(1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由．
22．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？
23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．
(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
试卷第1页（共2页）
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