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3.1 列代数式表示数量关系
学习目标与重难点
1、理解代数式的意义，能识别代数式并说明其实际含义。
2、掌握列代数式的基本方法，能用字母和运算符号表示简单实际问题中的数量关系。
3、体会从具体到抽象的过程，发展符号意识。
重点：列代数式表示实际问题中的数量关系；正确理解代数式的意义。
难点：准确分析实际问题中的数量关系，正确列出代数式；注意运算顺序和书写规范。
核心考点题型◆归纳
知识梳理 针对训练
题型01 直接用字母表示已知数量关系 题型02 列代数式
题型03 代数式的书写规范 题型04 代数式表示的实际意义
题型05 正（反）比例关系 题型06 用代数式表示数、图形的规律
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
洞悉◆教材核心知识
知识点01 代数式
代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接起的式子．单独的一个数和一个字母也是代数式.
注意：书写规则是代数式的规范要求，不规范的书写容易产生歧义，比如a÷2要写成，不能保留除号；当表示“a与b的和的3倍”时，结果是3(a+b)，若题目要求带单位，要写成3(a+b) 米，不能写成3a+b米，避免单位只加在最后一项上产生错误。
【针对训练】
1．，两数的平方差用代数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵题目要求表示，两数的平方差，
∴运算顺序为：先分别求，的平方，再求两个平方的差，
∵的平方为，的平方为，
∴两数的平方差可表示为．
2．李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱．
【答案】/
【详解】解：由题意，得买斗酒，碟花生米一共需要贯钱．
知识点02 正反比例关系
2.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
3.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy = k或来表示，其中k叫作比例系数
正比例：两个量同增同减，比值固定（ y=kxy=kx ）。
反比例：一个增一个减，乘积固定（ xy=kxy=k ）
注意：正比例关系的核心是“比值一定”，判断时不能只看变化趋势，一种量扩大另一种量也扩大不一定是正比例，必须满足相对应的两个数的商不变。
反比例的核心是“乘积一定”，不要和“和一定”混淆，比如“和为10的两个加数”，虽然一个增加另一个减少，但二者是和一定不是乘积一定，因此不成反比例。另外，反比例关系中两种量的变化方向相反，一个扩大另一个缩小，但变化方向相反不一定就是反比例，关键还是看乘积是否为定值。
【针对训练】
3．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（ ）
A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价
B．圆柱的底面积一定，它的体积和高
C．长方形的周长一定，长和宽
D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间
【答案】A
【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可．
【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值．
∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例；
∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例；
∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例；
∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例．
4．三角形的面积一定，它的底和高成__________比例；如果，那么和成__________比例．
【答案】 反 正
【分析】判断两个相关联的量成何种比例，依据为：若两个量的乘积一定，则成反比例，若两个量的比值一定，则成正比例，分别推导出两个问题中两个量的关系即可判断．
【详解】解：设三角形的面积为，底为，高为，
由三角形面积公式得：，
因为为定值，
所以整理得，是定值，即底和高的乘积一定，因此底和高成反比例；
∵，
∴，
∴，即和的比值一定，因此和成正比例
知识点03 开放性问题中的代数式构造与图形规律
拓展点会设计开放性问题，不给出固定结论，要求学生自主构造代数式，探究规律。比如：“请写出一个同时满足：含有两个变量x、y，y和x成反比例，当x=2时y=3三个条件的代数式；再思考：能不能构造出一个代数式，使得y和x成反比例，y和z也成反比例，那么x和z成什么比例？请举例验证”。开放性问题没有标准答案，需要自主结合条件构造，再推导验证，充分锻炼了发散思维与探究能力。
再比如“找规律：用代数式表示下列数列的第n项：1，3，5，7……；2，4，8，16……；1，4，9，16……，并判断第n项和n成什么比例关系”，需要先归纳规律写出代数式，再判断比例，将数列规律和比例关系结合，深化了对代数式和比例的理解。
注意：1. 先列出前几组对应数字，标出序号n，分开观察不变常量与随n变化的变量。 2. 图形规律拆分成行数、列数、增减部分，分别找等差、乘方、倍数类变化关系。 3. 对比相邻两项差值或比值，匹配一次、二次、乘方类代数式，写出通用式子。 4. 用序号代入代数式验算，验证多组数据，修正规律表达式避免片面错误。
【针对训练】
5．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：50张白纸会有49个间隔，故粘合后长度会减少，则总长度为．
6．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加．
前3个图形的构造规律如下：
图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5．
图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13．
图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21．
……
按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________．
【答案】
【详解】解：图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为．
图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为．
图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为．
……
图形n的总点数为
高频考题典例精析
题型01 直接用字母表示已知数量关系
【例题】一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理．
根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数．
【详解】解：∵十位数字是，
∴表示；
∵个位数字是，
∴表示；
∴这个两位数为．
故选：D．
【变式训练】万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米．
A． B．at C． D．
【答案】A
【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键．
泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间．
【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时，
∴进水量为立方米，
∴总水量为立方米．
故选：A．
题型02 列代数式
【例题】亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【详解】∵购买羽毛球的数量是筒，每筒单价是元，
又∵总价=单价×数量，
∴总费用为元．
【变式训练】一件商品进价a元，按进价提高标价，再打八折销售，则售价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】先求出提高后的标价，再计算打八折后的售价即可．
【详解】解：∵商品进价为元，按进价提高标价，
∴标价为（元），
∵再打八折销售，打八折即按标价的销售，
∴售价为（元）．
题型03 代数式的书写规范
【例题】下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．人 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查代数式的正确书写格式，需掌握核心规范：①带单位的和/差形式代数式需添加括号；②带分数与字母相乘时要转化为假分数；③数字与字母相乘时，数字前置且省略乘号；④除法运算需写成分数形式．
【详解】解：∵选项A中，带单位的差形式代数式应写为人，不符合书写格式；
选项B中，带分数与字母相乘应化为假分数形式，即，不符合书写格式；
选项C中，数字与字母相乘应写为，不符合书写格式；
选项D中，除法运算写成分数形式，符合代数式书写格式；
故选：D．
【变式训练】，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________．
【答案】
【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可．
【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个，
应该写成或，应该写成， 应该写成中，
故答案为：．
题型04 代数式表示的实际意义
【例题】代数式的意义可以是（ ）
A．与的和 B．与的差
C．个相加 D．个相乘
【答案】C
【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案.
【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误；
B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误；
C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确；
D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误.
【变式训练】已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________．
【答案】3个足球的总价格
【详解】解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格．
题型05 正（反）比例关系
【例题】下列问题中的两个量成反比例关系的是（）
A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时）
B．长方形的周长一定，长方形的长与宽
C．长方形的面积一定，长方形的长与宽
D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数
【答案】C
【分析】本题考查了反比例关系．判断两个量是否成反比例关系，需检查它们的乘积是否为常数．
【详解】解：A∶行驶里程=平均时速×时间，时间固定为3小时，∴行驶里程与平均时速成正比，不成反比．
B∶周长=2(长+宽)，周长一定，∴长+宽=常数，和一定，不成反比．
C∶面积=长×宽，面积一定，∴长×宽=常数，成反比例关系．
D∶阅读总时长=每天阅读时间×天数，每天阅读时间固定为0.5小时，∴阅读总时长与天数成正比，不成反比．
故选：C．
【变式训练】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表：
每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ···
运输的天数 1 2 3 4 5 6 ···
若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例关系的应用．
从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a．
【详解】解：由表可知，，
故货物总吨数为300吨，
若每天运输吨，则运输天数为天．
故答案为：．
题型06 用代数式表示数、图形的规律
【例题】按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别找出系数、的指数的变化规律，推导得到第个代数式，对应选项判断即可．
【详解】解：分别观察系数和的指数的变化规律：
当时，第1个代数式为；
当时，第2个代数式为；
当时，第3个代数式为；
当时，第4个代数式为；
∴第个代数式是．
【变式训练】如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（ ）
A．245个 B．246个 C．254个 D．255个
【答案】C
【分析】观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多5个小正方形，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个图形共有小正方形个，
第2个图形共有小正方形个，
第3个图形共有小正方形个，
……，
以此类推，可知第n个图形共有小正方形个，
∴第50个图形中小正方形的总个数为个．
1．在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用字母表示数、列代数式
【分析】分别计算三种商品的费用，相加得总支付金额．
【详解】解：个“麋鹿王”费用为元，个“盐小勺”费用为元，个“盐小饼”费用为元，
总金额为元．
2．某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【知识点】列代数式
【详解】解：根据题意得，商品现在的售价为元．
3．下面数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的长一定，它的面积与宽的关系
B．总价一定，单价和数量的关系
C．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的关系
D．速度一定，路程和时间的关系
【答案】B
【知识点】正（反）比例关系
【分析】判断反比例关系的核心是两种相关联的量对应数值的乘积一定
【详解】解：A. ∵长方形的面积等于长乘以宽，长一定，即面积与宽的比值一定，∴成正比例关系，不符合题意；
B. ∵总价等于单价乘以数量，总价一定，即单价与数量的乘积一定，∴成反比例关系，符合题意；
C. ∵出勤人数加上缺勤人数等于全班人数，是和一定，∴不成比例，不符合题意；
D. ∵路程等于速度乘以时间，速度一定，即路程与时间的比值一定，∴成正比例关系，不符合题意．
4．观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是，
小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，
∴第n个数小数部分是，
∴第n个数是，
故选：A．
5．在式子：10，中，代数式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可．
【详解】解：10，
10，，，是代数式；
故选：B．
6．在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】代数式书写方法
【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键．
【详解】解：符合代数式书写要求；
应改为；
符合代数式书写要求；
符合代数式书写要求；
应改为；
综上可知符合代数式书写要求的有，，，共个，
故选：．
7．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　）
A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长
C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元
【答案】C
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查了代数式．根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得．
【详解】解：A、若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意；
D、某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）．
【答案】
【知识点】列代数式
【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润．
【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元），
则售出a个布老虎增加的利润为．
故答案为：．
9．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是_____（填序号）．
【答案】①④/④①
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查代数式的写法；在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“ ”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号；据上逐一判断即可，解题的关键是掌握代数式的书写要求．
【详解】解：①，书写规范，符合代数式的书写；
②应写成或，原写法不规范，不符合代数式的书写；
③应写成，原写法不规范，不符合代数式的书写；
④，书写规范，符合代数式的书写；
⑤米，应写成米，原写法不规范，不符合代数式的书写；
故答案为：①④．
10．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______．
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．
【答案】
【知识点】列代数式
【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案；
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：；
11．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 60
(1)将表格补充完整．
(2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由．
(3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？
【答案】(1)
补充表格如下：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 144 120 60
(2)
解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下：
根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例.
(3)
页
【知识点】用反比例函数描述数量关系、根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数.
【详解】（1）解：总页数为：（页）；
当页数为页时，本数为：（本）；
当页数为页时，本数为：（本）；
（2）略
（3）解：（页）．
故每本练习本有页．
12．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用字母表示数、列代数式、代数式的概念
【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间．
【详解】A地到B地的路程：，
提速后的速度：，
提速后的时间：，
∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：，
故选：C．
13．如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列代数式
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，利用扇形的面积（长方形的面积半圆的面积）计算即可求解，正确识图是解题的关键
【详解】解：∵扇形的面积，半圆的面积，长方形的面积，
∴扇形的面积（长方形的面积半圆的面积）
，
故选：．
14．下列选项中的两个量成反比例关系的是（ ）
A．一批水果价格一定，购买的斤数与所花的金额
B．900名同学排队参观辛亥革命馆，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数
C．长方体的底面积一定，长方体的体积与高
D．张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间
【答案】B
【知识点】 正比例的意义及辨识、 反比例的意义及辨识、正（反）比例关系
【分析】本题考查了正比例关系、反比例关系，理解两个量之间的关系是解题关键．根据两个量之间的计算关系式逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为所花的金额水果价格购买的斤数，
所以一批水果价格一定，购买的斤数与所花的金额成正比例关系，则此项不符合题意；
B、因为每排的人数排数，
所以900名同学排队参观辛亥革命馆，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数成反比例关系，则此项符合题意；
C、因为长方体的体积长方体的底面积高，
所以长方体的底面积一定，长方体的体积与高成正比例关系，则此项不符合题意；
D、因为制作的小红花朵数制作时间，
所以张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间成正比例关系，则此项不符合题意；
故选：B．
15．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【知识点】用代数式表示数、图形的规律
【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
16．惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（ ）
A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数
C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数
【答案】B
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键．
用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义．
【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人，
则第二天比第一天多的游客人数（人），
∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数．
故选：B．
17．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______．
【答案】，其中为正整数
【知识点】列代数式
【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式；
【详解】解：∵购买个篮球，满足，
∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用，
计算前15个的费用：元，
超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元，
因此超过部分的总费用为元，
∴总费用，
展开整理得：
，
即与的关系式为；
18．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为．
设是一个四位数，
(1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）；
(2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除．
【答案】(1)
(2)
，
因为可以被9整除，
所以可以被9整除，
所以这个四位数可以被9整除．
【知识点】列代数式、数的整除
【分析】（1）根据题意表示出四位数即可；
（2）根据题意列出代数式，即可作出判断．
【详解】（1）解： ；
（2）略
19．按要求完成下列各题：
(1)某种电视机每台定价为m元，商店在节日搞促销活动，降价，促销期间每台实际售价多少元？
(2)将小题（1）的解答与例2中小题（3）的解答比较一下，你有什么发现？有什么想法？（例2中小题（3）解答：某机关原有工作人员m人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有人）
(3)请尝试编制一道与小题（1）的解答类似的题目，与同伴交流．
【答案】(1)元．
(2)
发现：降价与抽调虽然情境不同，但数量关系相同，均可表示为原量的或；
想法：代数式能简洁统一地表示一类数量关系，具有一般性．
(3)示例：某农场去年产小麦吨，今年减产，今年产小麦多少吨？（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】（1）以定价为单位“1”，降价即现价为原价的，据此列代数式；
（2）对比两个代数式的形式与实际意义，总结代数式的一般性特点；
（3）围绕“求比一个数少百分之几的数”的数量关系编制实际问题．
【详解】（1）解：∵电视机每台定价为元，降价，
∴促销期间每台实际售价为元；
（2）略；
（3）略．
20．现有张大长方形和张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列代数式
【分析】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键．
设小长方形的长和宽分别为，，分别根据两种摆放方式表示出大长方形的长，进而得到对应的等式，从而得到答案．
【详解】解：设小长方形的长和宽分别为，，
由方式一可知大长方形的高为，
由方式二可知大长方形的高为，
可得，
化简得，
得，
故选A．
21．数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（ ）
A． B． C．4057 D．4055
【答案】D
【知识点】用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个，即可求解．
【详解】解：由所给图形可知，
当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：；
当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：；
当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：；
……；
所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个，
所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为．
故选：D．
22．甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于_________．
【答案】
【知识点】乘方的应用、列代数式
【分析】本题考查幂的运算，根据操作步骤表示出三只袋最终的球数，结合最终个数相同得到与的值，即可求出，找准数量关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，总球数为（个）. 调整后三只袋中球的个数相同，因此每袋球数为（个），
分别表示调整后各袋的球数：甲袋：个，
乙袋：个，丙袋：个，
令丙袋球数等于，得，解得，即，
令乙袋球数等于，得，解得，即，
验证甲袋：（个），符合题意，
因此．
23．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________．
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律
【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果．
【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为．
∴可表示为．
24．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
(1)则___________；
(2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示)
(3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系．
【答案】(1)8
(2)
(3)当时，；当时，
【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、数轴上点的平移（动点问题）
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段的长度、代数式表示动点位置以及分类讨论思想，关键是根据运动速度和时间表示出各点表示的数，再结合距离公式推导数量关系．
（1）数轴上两点距离为右边的数减去左边的数，点表示，点表示6，直接计算；
（2）先表示运动秒后点、的表示的数：点向左运动，表示的数为；点向右运动，表示的数为．两点距离为右边表示的数减左边表示的数，即；
（3）先表示运动秒后点、、的表示的数：A为，为，为．分别计算、、的距离表达式：，，，再分情况讨论即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：8；
（2）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，
故；
（3）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．
∴，，．
当时，，则；
当时，，则；
综上，当时，；当时，．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）3.1 列代数式表示数量关系
学习目标与重难点
1、理解代数式的意义，能识别代数式并说明其实际含义。
2、掌握列代数式的基本方法，能用字母和运算符号表示简单实际问题中的数量关系。
3、体会从具体到抽象的过程，发展符号意识。
重点：列代数式表示实际问题中的数量关系；正确理解代数式的意义。
难点：准确分析实际问题中的数量关系，正确列出代数式；注意运算顺序和书写规范。
核心考点题型◆归纳
知识梳理 针对训练
题型01 直接用字母表示已知数量关系 题型02 列代数式
题型03 代数式的书写规范 题型04 代数式表示的实际意义
题型05 正（反）比例关系 题型06 用代数式表示数、图形的规律
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
洞悉◆教材核心知识
知识点01 代数式
代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接起的式子．单独的一个数和一个字母也是代数式.
注意：书写规则是代数式的规范要求，不规范的书写容易产生歧义，比如a÷2要写成，不能保留除号；当表示“a与b的和的3倍”时，结果是3(a+b)，若题目要求带单位，要写成3(a+b) 米，不能写成3a+b米，避免单位只加在最后一项上产生错误。
【针对训练】
1．，两数的平方差用代数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱．
知识点02 正反比例关系
1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy = k或来表示，其中k叫作比例系数
正比例：两个量同增同减，比值固定（ y=kxy=kx ）。
反比例：一个增一个减，乘积固定（ xy=kxy=k ）
注意：正比例关系的核心是“比值一定”，判断时不能只看变化趋势，一种量扩大另一种量也扩大不一定是正比例，必须满足相对应的两个数的商不变。
反比例的核心是“乘积一定”，不要和“和一定”混淆，比如“和为10的两个加数”，虽然一个增加另一个减少，但二者是和一定不是乘积一定，因此不成反比例。另外，反比例关系中两种量的变化方向相反，一个扩大另一个缩小，但变化方向相反不一定就是反比例，关键还是看乘积是否为定值。
【针对训练】
3．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（ ）
A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高
C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间
4．三角形的面积一定，它的底和高成__________比例；如果，那么和成__________比例．
知识点03 开放性问题中的代数式构造与图形规律
拓展点会设计开放性问题，不给出固定结论，要求学生自主构造代数式，探究规律。比如：“请写出一个同时满足：含有两个变量x、y，y和x成反比例，当x=2时y=3三个条件的代数式；再思考：能不能构造出一个代数式，使得y和x成反比例，y和z也成反比例，那么x和z成什么比例？请举例验证”。开放性问题没有标准答案，需要自主结合条件构造，再推导验证，充分锻炼了发散思维与探究能力。
再比如“找规律：用代数式表示下列数列的第n项：1，3，5，7……；2，4，8，16……；1，4，9，16……，并判断第n项和n成什么比例关系”，需要先归纳规律写出代数式，再判断比例，将数列规律和比例关系结合，深化了对代数式和比例的理解。
注意：1. 先列出前几组对应数字，标出序号n，分开观察不变常量与随n变化的变量。 2. 图形规律拆分成行数、列数、增减部分，分别找等差、乘方、倍数类变化关系。 3. 对比相邻两项差值或比值，匹配一次、二次、乘方类代数式，写出通用式子。 4. 用序号代入代数式验算，验证多组数据，修正规律表达式避免片面错误。
【针对训练】
5．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为
A． B． C． D．
6．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加．
前3个图形的构造规律如下：
图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5．
图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13．
图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21．
……
按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________．
高频考题典例精析
题型01 直接用字母表示已知数量关系
【例题】 一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（ ）
A． B． C． D．
题型02 列代数式
【例题】亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式训练】一件商品进价a元，按进价提高标价，再打八折销售，则售价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
题型03 代数式的书写规范
【例题】下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．人 B． C． D．
【变式训练】，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________．
题型04 代数式表示的实际意义
【例题】代数式的意义可以是（ ）
A．与的和 B．与的差
C．个相加 D．个相乘
【变式训练】已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________．
题型05 正（反）比例关系
【例题】 下列问题中的两个量成反比例关系的是（）
A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时）
B．长方形的周长一定，长方形的长与宽
C．长方形的面积一定，长方形的长与宽
D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数
【变式训练】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表：
每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ···
运输的天数 1 2 3 4 5 6 ···
若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）．
题型06 用代数式表示数、图形的规律
【例题】按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（ ）
A．245个 B．246个 C．254个 D．255个
1．在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（ ）
A． B． C． D．
2．某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．下面数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的长一定，它的面积与宽的关系
B．总价一定，单价和数量的关系
C．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的关系
D．速度一定，路程和时间的关系
4．观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
5．在式子：10，中，代数式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　）
A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长
C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元
8．近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）．
9．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是_____（填序号）．
10．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______．
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．
11．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 60
(1)将表格补充完整．
(2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由．
(3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？
12．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　）
A． B． C． D．
13．如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．下列选项中的两个量成反比例关系的是（ ）
A．一批水果价格一定，购买的斤数与所花的金额
B．900名同学排队参观辛亥革命馆，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数
C．长方体的底面积一定，长方体的体积与高
D．张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间
15．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
16．惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（ ）
A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数
C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数
17．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______．
18．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为．
设是一个四位数，
(1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）；
(2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除．
19．按要求完成下列各题：
(1)某种电视机每台定价为m元，商店在节日搞促销活动，降价，促销期间每台实际售价多少元？
(2)将小题（1）的解答与例2中小题（3）的解答比较一下，你有什么发现？有什么想法？（例2中小题（3）解答：某机关原有工作人员m人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有人）
(3)请尝试编制一道与小题（1）的解答类似的题目，与同伴交流．
20．现有张大长方形和张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
21．数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（ ）
A． B． C．4057 D．4055
22．甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于_________．
23．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________．
24．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
(1)则___________；
(2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示)
(3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系．
试卷第1页（共2页）
试卷第1页（共2页）

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