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3.2 代数式的值
学习目标与重难点
1、理解代数式的值的意义，知道代数式的值由字母的取值确定。
2、会求代数式的值，能根据给定的字母值正确代入并计算。
3、能结合实际问题解释代数式的值，体会代数式在解决实际问题中的作用。
重点：求代数式的值；掌握代入和计算的基本步骤。
难点：正确代入数值，注意符号和运算顺序；根据实际问题确定字母的取值范围。
高频考点题型◆归纳
知识梳理 针对训练
题型01 直接代入求值 题型02 整体代入求值
题型03 程序框图输入输出型求值 题型04 与非负数性质结合的求值
题型05 新定义求值 题型06 数字类规律探索
题型07 图形类规律探索
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
洞悉◆教材核心知识
知识点一　代数式的值
1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。
2. 求代数式的值的步骤：①代入数值；②计算结果。
【针对训练】
1．若，，则等于（ ）．
A． B．0 C．18 D．12
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴．
2．已知，则的结果是（ 　 ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】利用已知得出，，，进而代入求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴
．
3．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
知识点二：数字与图形探究规律
1．探究规律
（1）探究图形的规律：主要探究相邻两个图形的变化规律；
（2）探究数字的规律：主要探究相邻两个数的变化规律，可以通过作差、作商、平方或立方来探索．
2．常见的规律模型
规律模型 运用策略 示例
循环模型 确定循环节和对应的结果 的末尾数字是___________；
等差模型 确定相邻两数的差 2，6，10，14，18，，第100个数是___________；
等比模型 确定相邻两数的比值 1，3，9，27，，第100个数是___________；
差等变模型 计算相邻两数的差，再确定相邻的差的差 1，3，7，13，21，，第10个数是___________；
正负交替模型 确定是“奇正偶负”还是“奇负偶正”，再用的奇偶次幂表示 1，-2，3，-4，5，-6，第100个数是___________；
平方数、立方数相关模型 确定与方数和立方数的差值 2，5，10，17，26，第10个数是___________；
【针对训练】
1．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将数列中各分数的分子统一为4，观察分母的变化规律．
【详解】解：把数列中各分数的分子统一为4，得，，，，．观察可得分母依次增加3．
∴第个数的分母为．
即第个数为．
当时，．
2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论．
【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意；
B、，
该选项不符合题意；
C、，
该选项不符合题意；
D、；
该选项不符合题意．
3．下列是由一些火柴搭成的图案：图用了根火柴，图用了根火柴，图用了根火柴，按照这种方式摆下去，摆第个图案用多少根火柴棒（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形可知，每增加一个五边形，火柴棒数量增加4根，据此归纳出第个图案火柴棒数量的通项公式，将代入计算即可.
【详解】解：图①用了5根火柴，即；
图②用了9根火柴，即；
图③用了13根火柴，即；
……
∴第个图案用的火柴根数为.
当时，火柴根数为．
高频考题典例精析
题型01 直接代入求值
【例题】当时，代数式的值为（ ）
A．1 B．7 C． 1 D． 5
【答案】A
【详解】解：将代入代数式得．
【变式训练】当，时，代数式________．
【答案】
【分析】将，代入中，计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
题型02 整体代入求值
【例题】若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．2
【答案】B
【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴.
【变式训练】已知 与 互为相反数，求 的值．
【答案】
【分析】根据相反数的定义，代入即可求解．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴，
原式．
题型03 程序框图输入输出型求值
【例题】如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴需把再次代入，可得，
∵，
∴输出的结果为．
【变式训练】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____．
【答案】
【分析】观察程序计算图，根据输入的值，找出与的关系式，将其值代入即可求出答案，计算过程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号并将绝对值相加）．
【详解】解：输入的值是，
将代入中，
．
题型04 与非负数性质结合的求值
【例题】若x，y为有理数，且，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出的值后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，且，，
∴，，
∴
解得，，
将，代入得，
故选：D．
【变式训练】已知 ，则_______．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性与平方的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出，的值，再代入计算即可．
【详解】解： ，，且
，
解得，
．
题型05 新定义求值
【例题】定义一种新运算，则的结果为（ ）
A． B．17 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键．
根据新运算的定义，分别计算和，然后将二者作差即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∴．
故选：A．
【变式训练】a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)5
【分析】（1）根据题目中给出的信息列式计算即可；
（2）根据题目中给出的信息列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型06 数字类规律探索
【例题】有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式．
【详解】解：观察已知代数式可得：
第个代数式：，
第个代数式：，
第个代数式：，
第个代数式为 ．
【变式训练】找规律
(1)观察：，，，，……
你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？
(2)利用（1）中的规律计算．
(3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例．
【答案】(1)
（为非负整数）
(2)
(3)
示例：，（答案不唯一，符合规律即可）
【分析】（1）根据个例题的计算过程找到规律，用含的代数式表示出规律即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可；
（3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规律的算式．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
根据规律可得：（为非负整数）；
（2）解：根据规律可得：
；
（3）解：，
（答案不唯一）．
题型07 图形类规律探索
【例题】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可．
【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个．
∴第个图中圆点的个数为．
当时，圆点个数为．
【变式训练】1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图．
(1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人．
(2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人．
(3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）．
【答案】(1)2
(2)22
(3)
【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人．
（2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子．
（人）
因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人．
（3）解：人
因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人．
1．当时，代数式的值等于（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】观察到时，代入计算更简便．
【详解】解：当时，．
2．若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、有理数四则混合运算
【分析】根据相反数与倒数的意义得到、的值，结合m的取值代入代数式计算．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴，
∵c，d互为倒数，
∴，
∵m是最大的负整数，
∴，
∴．
3．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
4．观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】乘方的应用、数字类规律探索、有理数的乘方运算
【分析】先观察2的正整数次幂的末位数字，找出循环周期；再用指数除以周期，根据余数判断的末位数字．
【详解】解：，末位数字，
，末位数字，
，末位数字，
，末位数字，
，末位数字，
，末位数字，
，
末位数字以，，，循环，周期为
∵，
∴的末位数字是8．
5．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形类规律探索
【分析】根据图形中小个数的变化规律求出第个图形的小的个数．
【详解】解：第个图形的小共有个，
第个图形的小共有个，
第个图形的小共有个，
，
第个图形的小共有个．
6．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，第2016个格子中数为 _______ ．
【答案】2
【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索
【分析】根据题意，任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，根据有理数的加法运算列出等式，可求得的值，进而求得的值，再根据规律找到第2016个格子中的数．
【详解】解：因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
所以，
所以，
，
所以，
所以，数据从左到右依次为，
第6个数与第3个数相同，第9个数与第6个数相同，所以，
所以，每3个数“”为一个循环组依次循环，
因为，
所以第2016个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为2．
7．若有理数、满足，则_________．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】利用绝对值的非负性，得到两个绝对值分别为0，求出和的值，再计算．
【详解】解：∵任意有理数的绝对值都是非负数，即，，且
∴，
解得，，
∴．
8．如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________．
【答案】2
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、图形类规律探索
【分析】由前三个正方形可看出规律为，从左上到左下再到左上为三个连续奇数，且右上角的数乘以左下角的数减去左上角的数等于右下角的数．
【详解】解：由规律补齐空缺为，
即左下为，右上为，
．
9．观察下列各式的计算结果：
(1)用你发现的规律填空： ； ；
(2)猜想并写出： ；
(3)用你发现的规律计算：．
【答案】(1)，；，；
(2)；
(3)．
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】（1）观察题干给出的等式，总结规律：，将、代入规律直接填空．
（2）把上面发现的规律推广到一般形式，用字母表示，写出代数式．
（3）先利用猜想得到的公式把每一项拆成两个分数相乘，再展开连乘算式，通过约分化简式子，最后计算结果．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：∵，
，
，
，
，，
，
∴；
（3）解：
．
10．已知是最小正整数，，是有理数，且有，解答下列问题：
(1)求，，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【知识点】绝对值非负性、有理数的加减混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】（1）由最小的正整数为即可得出的值，根据非负数的性质计算即可得出和的值；
（2）将（1）中，，的值代入式子计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∵是最小正整数，
∴；
（2）解：由（1）可得，，，
∴．
11．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果．
【详解】解：令，代入等式，
∴左边，
右边，
∴ ，
故选：B．
12．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2019
【答案】B
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值．
【详解】解：当时，代数式的值为，
，
当时，，
把代入，则，
∴当时，这个代数式的值为．
13．如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值
【分析】根据题意找出规律，进而解题．
【详解】解：第三次输入4，输出的数为；
第四次输入1，输出的数为；
第五次输入4，输出的数为；
......
∴输出的数分别为，
即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4，
∴第2026次输出的值是．
14．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），…
利用以上规律计算结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．不能确定
【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索
【分析】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可．
【详解】解：∵，，，，…；
，，，，…
∴，，
∴，
∴
15．如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形类规律探索
【分析】通过观察所给图形，找出用不同数量等边三角形拼接而成的四边形周长规律，进而根据规律求解．
【详解】解：根据题图可知，
用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：，
用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：，
用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：，
则用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为，
当时，，
用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为．
16．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）．
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
实际生产量
(1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个；
(2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额；
(3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由．
【答案】(1)
(2)元
(3)，
，
∵，
∴实行每周计件工资制此小组的工资总额更多
【知识点】列代数式、有理数四则混合运算的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电子产品的数量，再求和即可；
（2）天的生产电子产品的总数元超出部分的奖励罚款，可得工人这一周的工资总额；
（3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可．
【详解】（1）解：，
∴本周天生产电子产品的总量为个；
（2）解：当时，，
，
∴该厂工人这一周的工资总额是9250元；
（3）略
17．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值．
【答案】当时，原式的值为；当时，原式的值为
【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、有理数的乘方运算
【分析】根据相反数、负倒数、倒数的定义，求出相关代数式的值与a的取值，再分情况代入计算．
【详解】解： x，y互为相反数，
，，
m，n互为负倒数，
，
原式，
a的倒数是它本身，
或，
当时，原式，
当时，原式．
18．关于代数式的值，以下结论不正确的是（　　）
A．代数式的值恒大于零
B．当时，越大，的值就越大
C．当a取互为相反数的值时，的值相等
D．当a取互为倒数的值时，的值相等
【答案】B
【知识点】相反数的定义、倒数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键．
利用非负数的性质、相反数与倒数的性质，通过推导或举例验证各选项的正误即可．
【详解】对于A，代数式有意义时，，
则，即，故A正确，不符合题意；
对于B，可举例判断，由得，取，，，
，故B错误，符合题意；
对于C，当a取互为相反数的值时，可取和，
当a取时，① ，
当a取时，② ，，故C正确，不符合题意；
当a取互为倒数的值时，可取和，
当a取时，①，
当a取时，②，，故D正确，不符合题意．
故选：B．
19．如图是一个程序框图，当输入任意值后，会发现输出的结果值是一个固定值，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、程序流程图与代数式求值
【分析】本题主要考查整式的加减运算以及代数式的值与未知数取值无关的条件．解题关键在于理解“输出结果为固定值”这一条件的含义，即化简后的式子中的系数为，从而建立关于的等式．首先根据程序框图列出关于的代数式，即先计算，然后对得到的式子进行化简，得到一个关于的一次多项式形式（、为常数）．由于输出的结果值是一个固定值，意味着化简后式子中的系数，由此求出的值．最后将的值代入多项式，求出该多项式的值即可．
【详解】解：
∵输出的结果值是一个固定值
∴
当时，原式
故选C．
20．对于负数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】通过计算可得 （其中且为负数 ），将求和式中的项配对，利用该性质简化计算即可．
【详解】解：∵ ，且对于负数，
∴ ，
∴
，
∵，
∴原式．
21．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（ ）
A．512 B．1023 C．2047 D．2048
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项．
【详解】解：第①个图形正方形个数：，
第②个图形正方形个数：，
第③个图形正方形个数：．
归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去．
∴第⑨个图形正方形的个数．
22．某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得；
（1）当时，可得___________；
（2）若，则的值为________．
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索
【分析】（1）分别计算出即可求解；
（2）根据（1）总结的规律，再利用规律计算，根据奇偶性分类讨论第二问，舍去不符合条件的解即可．
【详解】解：（1） 当时，有六种取法，因此；
当时，有九种取法，因此；
当时，有，，十二种取法，因此；
（2）由（1）得：任取中两个不同的数，不考虑顺序，设两数为，要求，归纳得：当为偶数时，设，则；当为奇数时，设，则；
由，得奇偶性不同，分两种情况：
情况1：为偶数，设，则，为奇数，，，代入得：，整理得，即，
由于，
则，符合要求，此时，，；
情况2：为奇数，设，则，为偶数，，，代入得：，整理得，即，
由于为正数，则，
∴，不是整数，舍去；
综上，．
23．口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着1~50，剩下的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数．小雄每次从袋中任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）．经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张卡片，上面写的是86．那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是___________．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】每次操作后，所有卡片上数的总和除以100的余数不变，最终剩下的数等于所有卡片数总和除以100的余数，据此建立关系求解未知的数.
【详解】解：设小雄没看清楚的数为，由题意得，且为整数，
∵每次取出若干个数计算后，放入它们和的后两位，总和减少的部分是100的倍数，
∴所有数总和除以的余数始终不变，最终剩下的就是所有数总和除以的余数，
计算的和：，
故所有数总和为，
∴除以的余数为，
∵除以的余数为，
∴除以的余数为，
∵，
∴.
24．计算：
【答案】885
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】先用倒序相加法化简，(n为正整数且)，再取，3，4，5，…，60得到，，，，…对应的值，所得结果再用倒序相加法计算即可．
【详解】设(n为正整数且)，则，
∴
∴
故
设，则，
∴
∴，
即．
25．八年级下数学教材17页，你知道吗？The symbol 5! is called five factorial（5的阶乘），and meansThus，正整数的阶乘记作，即 ，利用阶乘的意义，我们可以得到
如： ，
闯关问题
(1) ；
(2)化简：（结果用含阶乘的式子表示）．
(3)求除以的余数；
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索
【分析】（1）按阶乘定义直接计算乘积即可；
（2）仿照题目给出的拆分方法，对每一项裂项后中间项抵消，得到化简结果；
（3）先得出大于等于5的阶乘都是40的倍数，只需计算低于5阶的部分即可求出余数．
【详解】（1）解：根据阶乘定义得： ；
（2）根据题意：对任意正整数，有：
（3）当时，
∴所有的都是40的倍数，除以40余数为0，
将原式分组得：
所有含的项的和都是40的倍数，除以40余数为0，
∴计算剩余部分：
∴原式除以40的余数为．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）3.2 代数式的值
学习目标与重难点
1、理解代数式的值的意义，知道代数式的值由字母的取值确定。
2、会求代数式的值，能根据给定的字母值正确代入并计算。
3、能结合实际问题解释代数式的值，体会代数式在解决实际问题中的作用。
重点：求代数式的值；掌握代入和计算的基本步骤。
难点：正确代入数值，注意符号和运算顺序；根据实际问题确定字母的取值范围。
高频考点题型◆归纳
知识梳理 针对训练
题型01 直接代入求值 题型02 整体代入求值
题型03 程序框图输入输出型求值 题型04 与非负数性质结合的求值
题型05 新定义求值 题型06 数字类规律探索
题型07 图形类规律探索
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
洞悉◆教材核心知识
知识点一　代数式的值
1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。
2. 求代数式的值的步骤：①代入数值；②计算结果。
【针对训练】
1．若，，则等于（ ）．
A． B．0 C．18 D．12
2．已知，则的结果是（ 　 ）
A． B． C． D．0
3．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
知识点二：数字与图形探究规律
1．探究规律
（1）探究图形的规律：主要探究相邻两个图形的变化规律；
（2）探究数字的规律：主要探究相邻两个数的变化规律，可以通过作差、作商、平方或立方来探索．
2．常见的规律模型
规律模型 运用策略 示例
循环模型 确定循环节和对应的结果 的末尾数字是___________；
等差模型 确定相邻两数的差 2，6，10，14，18，，第100个数是___________；
等比模型 确定相邻两数的比值 1，3，9，27，，第100个数是___________；
差等变模型 计算相邻两数的差，再确定相邻的差的差 1，3，7，13，21，，第10个数是___________；
正负交替模型 确定是“奇正偶负”还是“奇负偶正”，再用的奇偶次幂表示 1，-2，3，-4，5，-6，第100个数是___________；
平方数、立方数相关模型 确定与方数和立方数的差值 2，5，10，17，26，第10个数是___________；
【针对训练】
1．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（ ）
A． B． C． D．
2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列是由一些火柴搭成的图案：图用了根火柴，图用了根火柴，图用了根火柴，按照这种方式摆下去，摆第个图案用多少根火柴棒（ ）
A． B． C． D．
高频考题典例精析
题型01 直接代入求值
【例题】 当时，代数式的值为（ ）
A．1 B．7 C． 1 D． 5
【变式训练】当，时，代数式________．
题型02 整体代入求值
【例题】 若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．2
【变式训练】已知 与 互为相反数，求 的值．
题型03 程序框图输入输出型求值
【例题】 如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【变式训练】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____．
题型04 与非负数性质结合的求值
【例题】 若x，y为有理数，且，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【变式训练】已知 ，则_______．
题型05 新定义求值
【例题】 定义一种新运算，则的结果为（ ）
A． B．17 C． D．
【变式训练】a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算：
(1)；
(2)．
题型06 数字类规律探索
【例题】 有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】找规律
(1)观察：，，，，……
你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？
(2)利用（1）中的规律计算．
(3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例．
题型07 图形类规律探索
【例题】 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图．
(1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人．
(2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人．
(3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）．
1．当时，代数式的值等于（ ）
A． B．4 C． D．2
2．若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．4
3．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
4．观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
5．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（ ）个．
A． B． C． D．
6．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，第2016个格子中数为 _______ ．
7．若有理数、满足，则_________．
8．如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________．
9．观察下列各式的计算结果：
(1)用你发现的规律填空： ； ；
(2)猜想并写出： ；
(3)用你发现的规律计算：．
10．已知是最小正整数，，是有理数，且有，解答下列问题：
(1)求，，的值；
(2)求的值．
11．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2019
13．如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
14．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），…
利用以上规律计算结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．不能确定
15．如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
16．某厂的某生产合作小组每天平均组装个某型号电子产品（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周的五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负）．
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
实际生产量
(1)用含的代数式表示合作小组本周五天生产电子产品的总量为________个；
(2)该厂实行每日计件工资制，每组装生产一个电子产品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，当时，请求出该小组这一周的工资总额；
(3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周此小组的工资总额与按日计件的工资哪个多？请说明理由．
17．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值．
18．关于代数式的值，以下结论不正确的是（　　）
A．代数式的值恒大于零
B．当时，越大，的值就越大
C．当a取互为相反数的值时，的值相等
D．当a取互为倒数的值时，的值相等
19．如图是一个程序框图，当输入任意值后，会发现输出的结果值是一个固定值，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
20．对于负数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（ ）
A．512 B．1023 C．2047 D．2048
22．某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得；
（1）当时，可得___________；
（2）若，则的值为________．
23．口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着1~50，剩下的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数．小雄每次从袋中任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）．经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张卡片，上面写的是86．那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是___________．
24．计算：
25．八年级下数学教材17页，你知道吗？The symbol 5! is called five factorial（5的阶乘），and meansThus，正整数的阶乘记作，即 ，利用阶乘的意义，我们可以得到
如： ，
闯关问题
(1) ；
(2)化简：（结果用含阶乘的式子表示）．
(3)求除以的余数；
试卷第1页（共2页）
试卷第1页（共2页）

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