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27.2反比例函数的图像和性质
学习目标和重难点
1、会用描点法画出反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象，知道它是双曲线，且不与坐标轴相交。
2、能根据图象和表达式归纳反比例函数的性质，理解k的符号对图象位置和增减性的影响。
会利用图象和性质判断图象所在象限、比较函数值大小、求参数范围，解决简单问题。
3、在画图、观察、归纳中体会数形结合、分类讨论和由特殊到一般的思想，发展几何直观。
教学重点：反比例函数图象的画法，以及图象特征和性质：当k>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
教学难点：规范画出双曲线，理解图象无限接近坐标轴但不与坐标轴相交；准确理解增减性必须强调“在每个象限内”；能由图象位置、增减性反推k的符号并灵活运用。
知识梳理 针对训练
题型01 反比例函数的图象 题型02 反比例函数的性质
题型03 反比例函数系数k的几何意义 题型04 求反比例函数解析式
题型05 反比例函数与一次函数的综合
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
知识点一 反比例函数的图象与性质
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0
图　象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【注意】
（1）在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”；
（2）反比例函数的图象的位置和函数的增减性由的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定的符号
【针对训练】
【典例1】如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】根据同一个自变量对应的函数值的大小即可判断出函数图象离横轴的距离．
【详解】解：∵当时，，
∴函数的图象比函数离横轴远，且都不与横轴相交，
∴坐标系的原点可能是点，
故选：D．
【变式1】点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性．
【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意；
C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意；
D、当时，，选项说法不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】关于反比例函数下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．
根据反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】解：反比例函数，，
图象位于第一、三象限，
A选项是正确的，不符合题意；
根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点，
C选项是正确的，不符合题意；
对于B：当时，，
增大，减小，
随的增大而减小，故B是错误的，符合题意；
对于D：若点在图象上，则，代入点，有，
，成立，故D是正确的，不符合题意．
故选：B．
知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标
【针对训练】
【典例1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题．
【详解】解：由题意知，
∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称，
∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称，
∵直线与双曲线的一个交点坐标为，
∴另一个交点的坐标为，
故选：D．
【变式1】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______．
【答案】
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可．
【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称，
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．
已知一个交点坐标为，
因此另一个交点坐标为．
【变式2】（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解．
【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴点与点关于原点对称，
∴点和点的横纵坐标互为相反数，
， ，
解得，，
，
把 代入， 得，
解得．
知识点三 反比例函数的几何综合
值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系
文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接
图示
的几何意义
【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成
【针对训练】
【典例1】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据图像结合，，即可作答；
（3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入中得，
，，，
则点，坐标为，，将其代入得,
，
解得，
则一次函数解析式为；
（2）解：观察函数图像可知，当时，或；
（3）解：对于，当时，，当时，，
则，，
设，
则，，
，
，
，
则点的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键．
【变式1】如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并求出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值；
(3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标；
（2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离；
（3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解．
【详解】（1）解：点在直线上，
，
解得，即,
点在双曲线上，
,
直线与双曲线的交点关于原点对称，
点B是点A关于原点的对称点，
；
（2）解：设，过点作轴，过点作轴，
则，
作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接
，即，
，
的纵坐标为，
，
解得，即，
，
，
两点之间线段最短，
最小，即最小．
此时的周长最小，
周长的最小值；
（3）解：设，
，，
，
，
，
分三种情况：
当时，，即，
，
此时，
当时，，即，
，，
此时或
当时，，即
，
此时，
综上所述，或或或．
知识点四 反比例函数与一次函数关系
从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或.
【针对训练】
【典例1】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误；
A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象；
D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象．
【变式1】函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案．
【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D；
∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限，
观察A、C选项，选项A符合题意．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可分：
当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意；
当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意．
题型01 反比例函数的图象
【典例1】反比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键；
根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可．
【详解】解：由知，，
∴反比例函数经过第二、四象限，
故选：A．
【变式1】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】根据，，且，即可作答．
【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，，
结合图象得，
只有A选项在此范围内．
【中考链接】在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________．
【答案】0
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得
【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
一次函数与反比例函数的图象关于原点对称，
故答案为：0
题型02 反比例函数的性质
【典例1】关于反比例函数，说法错误的是（ ）
A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称
C．当时，y随x增大而增大 D．当时，
【答案】D
【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确；
∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确；
∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确；
取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误．
【变式1】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ）
A．，在每个象限内，y随x增大而减小
B．， 在每个象限内，y随x增大而增大
C．， 在每个象限内，y随x增大而增大
D．， 在每个象限内，y随x增大而减小
【答案】B
【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数，
∴，在每个象限内，随增大而增大；
解得.
【中考链接】已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________．
【答案】
【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数 中，，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
∵点，的横坐标都为正，
∴这两点都在第一象限，
又∵ ，
∴．
题型03 反比例函数系数k的几何意义
【典例1】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】B
【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果.
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，
∴的面积是.
【变式1】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）．
A．6.5 B．8.5 C．11 D．13
【答案】A
【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解．
【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ，
轴，
，
点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点，
，，
．
【中考链接】如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
【详解】反比例函数的图象的一支在第二象限，
，
轴，垂足为，的面积为5，
，
．
题型04 求反比例函数解析式
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则___________________．
【答案】/
【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值．
【详解】解：的面积为，
所以 ．
故答案为：．
【变式1】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为：．
【中考链接】如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∵
∵点为的中点，
∴
设点C的坐标为，则,
∴，
∵点C，E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
故选：B．
题型05 反比例函数与一次函数的综合
【典例1】11．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可.
【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限，
∵，，则直线过一、二、四象限；
当时，则，则双曲线过二、四象限，
∵，，则直线过一、二、三象限；
观察可知，只有选项C的图象符合题意.
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________．
【答案】/
【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可．
【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，则，
．
【中考链接】函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则，
反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
观察选项A、B，图象均不符合；
②当时，则，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；
观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．
1．反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断（画）反比例函数图象
【详解】解：反比例函数中，
该反比例函数的图象在二、四象限，
故选：C．
2．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的图象，判断其解析式
【分析】首先识别出反比例函数的标准形式，然后将点A代入解析式中求出k的值，即可作答．
【详解】解：∵反比例函数的一般形式为（），
∴选项C为正比例函数，排除；
将点代入中，得，
∴该反比例函数解析式为．
3．双曲线上有两点，若，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、求反比例函数值
【详解】解：∵点，在双曲线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】根据反比例函数图象经过的象限，即可得出结论.
【详解】解：∵反比例函数的图象过一，三象限，
∴，
∴的值可以是.
5．已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：在中，，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴．
6．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵当时，随的增大而减小，
∴反比例函数的比例系数大于0，即，
解得．
7．若点，都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
【详解】解：在函数中，，
∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∵，
∴点在第三象限，，
∵，
∴点在第一象限，，
∴．
8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______．
【答案】6
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求出四边形的面积．
【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，
所以矩形的面积．
9．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号．
【详解】解：，
，
．
由图象可知，反比例函数图象位于第二象限，
，
．
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________．
【答案】
【知识点】相反数的定义、求反比例函数解析式
【分析】根据“自反点”的定义求出点的纵坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求解．
【详解】解：∵ 是“自反点”，“自反点”的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴ ，即点的坐标为，
∵ 点在反比例函数的图象上，
∴ 将代入解析式得 ，
解得．
11．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像直接写出的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较函数值的大小．
（1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）利用图像求不等式的解集；
（3）设直线交轴于点，利用求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图像上，
，，
反比例函数的解析式为：，
在反比例函数上，
，
，
将点代入一次函数中，得，
解得，
所以一次函数的表达式为：；
（2），
，
根据图像，得或；
（3）把代入得，，
设点为与轴的交点，则，
，
12．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除．
【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点．
A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意；
B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意；
C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意；
D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意．
13．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【知识点】由反比例函数值求自变量、判断反比例函数的增减性
【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围.
【详解】解：∵ 反比例函数中，
∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小.
当时，对应第一象限的图象，
当时，，
∵随增大而减小，
∴.
当时，对应第三象限的图象，
当时，，
∵随增大而减小，
∴.
∴的取值范围是或.
14．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，
，进而求解即可．
【详解】连接，，设交轴于点．
∵轴，点在轴上，
∴．
∵轴，
∴轴．
∵点在图象上，点在图象上，
∴，．
∴．
15．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数值、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴当时，随的增大而增大，
∵当时，；当时，，
∴，
∴的最大整数值为．
16．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ）
A．6 B．2.5 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数解析式
【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】解：的图象过点，
，
点P是图象上任意一点，轴，
．
17．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
点，，都在反比例函数的图象上，且，
点，位于第一象限，位于第三象限，
．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、因式分解的应用
【分析】根据建立等式，通过因式分解逐步求解即可．
【详解】解：由题意，，，
，
，
移项得，，
，
，
，
，且，
，
，
，
又，，
，
．
19．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________．
【答案】4
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果．
【详解】解：如图所示，连接、，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴．
20．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________．
【答案】/
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解．
【详解】解：设点的横坐标为，由图可知．
∵轴，交轴于点，
∴点、的横坐标均为，且点的坐标为．
∵点在的图像上，且位于第二象限
∴点的纵坐标为，且．
∴．
∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且．
∴．
∵，，
∴，即．
∴．
∴．
∴．
21．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解，
解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法．
【详解】解：连接，

∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点,
∴，
∵在函数图象上，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∵，
∴．
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合、二次根式的混合运算、根据正方形的性质求线段长
【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案．
【详解】解：过作轴于点，过作于点，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，
，
，
，
解得（负值不合题意，已舍去），
．
23．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、由反比例函数值求自变量、点坐标规律探索
【分析】由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上，再结合反比例函数图象的性质，分情况讨论即可得出结果．
【详解】解：由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上，
当反比例函数图象位于第一、三象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点；
当反比例函数图象位于第二、四象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点；
∵，
∴的最大值为．
24．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、用勾股定理解三角形
【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：作轴于M，
∴轴，
∵轴于点C，轴于点D，
∴，
∵，
∴，，
∴，
点，在反比例函数图象上，
，，
，
，
解得（负数舍去）．
25．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】根据反比例函数图象位置得出的初步范围，再结合一元二次方程有实数根的条件得到的完整取值范围，找出所有符合条件的整数求和即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，解得，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数不能为，且根的判别式大于等于
即，得，
，
解得，
综上可得的取值范围是，且，
∴满足条件的整数为，
所有满足条件的整数的值之和为．
26．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______．
【答案】
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可．
【详解】解：设点，，
∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，
∴且，
∴，
∴，
∵点在第一象限，点在第二象限，
∴
∴，
同理，
∵轴，轴，
∴，
∴，
，
∴
．
27．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示）
【答案】
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意得出，，从而求解．
【详解】解：如图：点为与轴的交点，
则，，
∵，，
故，，
∴的面积．
28．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、．
(1)如图1，已知点，点，
直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积．
【答案】(1)，相等，
(2)解：成立，理由如下：
反比例函数（）过，点，
∴，即，
设，设直线为，
∵，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为：，
∴，
∴，，
∵，，
∴.
(3)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知两点坐标求两点距离、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解；
（2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解；
（3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，
∴，
设直线为，而点，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为，
∴，
∴，，
∴.
（2）略
（3）解：设点，点，点，
同理可得：直线的解析式为，
当，，
当，，
解得：，
∴点，点，
同理可得：直线的解析式为，
同理：点，点，
∴，，
与的乘积．27.2反比例函数的图像和性质
学习目标和重难点
1、会用描点法画出反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象，知道它是双曲线，且不与坐标轴相交。
2、能根据图象和表达式归纳反比例函数的性质，理解k的符号对图象位置和增减性的影响。
会利用图象和性质判断图象所在象限、比较函数值大小、求参数范围，解决简单问题。
3、在画图、观察、归纳中体会数形结合、分类讨论和由特殊到一般的思想，发展几何直观。
教学重点：反比例函数图象的画法，以及图象特征和性质：当k>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
教学难点：规范画出双曲线，理解图象无限接近坐标轴但不与坐标轴相交；准确理解增减性必须强调“在每个象限内”；能由图象位置、增减性反推k的符号并灵活运用。
知识梳理 针对训练
题型01 反比例函数的图象 题型02 反比例函数的性质
题型03 反比例函数系数k的几何意义 题型04 求反比例函数解析式
题型05 反比例函数与一次函数的综合
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
知识点一 反比例函数的图象与性质
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0
图　象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【注意】
（1）在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”；
（2）反比例函数的图象的位置和函数的增减性由的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定的符号
【针对训练】
【典例1】如图，把函数和函数的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式1】点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【变式2】关于反比例函数下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图
知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标
【针对训练】
【典例1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______．
【变式2】（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______．
知识点三 反比例函数的几何意义
值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系
文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接
图示
的几何意义
【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成
【针对训练】
【典例1】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并求出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值；
(3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．
知识点四 反比例函数与一次函数关系
从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或.
【针对训练】
【典例1】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【变式1】函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型01 反比例函数的图象
【典例1】反比例函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．6 B．10 C． D．
【中考链接】在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________．
题型02 反比例函数的性质
【典例1】关于反比例函数，说法错误的是（ ）
A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称
C．当时，y随x增大而增大 D．当时，
【变式1】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ）
A．，在每个象限内，y随x增大而减小
B．， 在每个象限内，y随x增大而增大
C．， 在每个象限内，y随x增大而增大
D．， 在每个象限内，y随x增大而减小
【中考链接】已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________．
题型03 反比例函数系数k的几何意义
【典例1】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【变式1】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）．
A．6.5 B．8.5 C．11 D．13
【中考链接】如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________．
题型04 求反比例函数解析式
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则___________________．
【变式1】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______．
【中考链接】如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型05 反比例函数与一次函数的综合
【典例1】11．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________．
A． B． C． D．
【中考链接】函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
B．
C． D．
1．反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
2．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线上有两点，若，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若点，都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______．
9．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________．
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________．
11．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像直接写出的解集；
(3)求的面积．
12．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
13．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
14．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
15．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（ ）
A． B． C． D．
16．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ）
A．6 B．2.5 C．3 D．2
17．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________．
19．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________．
20．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________．
21．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
23．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
24．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
25．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________．
26．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______．
27．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示）
28．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、．
(1)如图1，已知点，点，
直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积．

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