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27.3实际问题与反比例函数
学习目标和重难点
1、能从行程、工程、压强、电学等实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型。
2、会利用反比例函数的图像和性质分析实际问题，解决求值、比较、判断变化趋势等问题。
3、能根据实际意义确定自变量的取值范围，体会函数模型在解决实际问题中的价值。
重点：从实际问题中抽象出反比例函数模型；用反比例函数解决简单实际问题。
难点：正确分析实际问题中的数量关系并建立函数模型；结合自变量的实际意义确定取值范围。
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01 行程类反比例应用 题型02 工程类反比例应用
题型03 面积定值类几何实际问题 题型04 商品销售单价-销量反比例模型
题型05 利用反比例解析式求实际最值 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式
题型07 结合图像读取信息解决实际问题 题型08 跨学科问题
题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 题型10 多函数综合的实际应用
题型11 新情境问题
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
教材◆核心知识
知识点01 实际问题与反比例函数
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
（1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
（2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数；
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题。
【针对训练】
【典例1】已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握矩形面积的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，
∴，
∴函数解析式为：，
∴与之间的函数图象大致是：
故选：．
【变式1】某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额．每个月付款额（单位：元）与付款月数（为正整数）之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】后期每个月付相同的数额元，付款月数是个月，根据，由此来推导与的关系．
【详解】解：由题意可得后期付款总额为元
故选：D
【变式2】如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出地面受到的压强，求出比即可求解．
【详解】解：设长方体砖块的重力为，
∵两个面的面积比是，
∴可设面的面积为，面的面积为，面的面积为，
由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强，
当面向下放在水平地面上，压强，
当面向下放在水平地面上，压强，
∴．
知识点02 实际问题与反比例函数在其他学科中的应用
类型 关系 公式
路程问题 当路程一定时，时间与速度成反比例 （是常数）
面积问题 矩形 当矩形面积一定时，长与宽成反比例 （是常数）
三角形 当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （是常数）
物理应用问题 做功型 当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例 （是常数）
压强型 当压力一定时，压强与受力面积成反比例 （是常数）
电流型 在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例 （是常数）
【针对训练】
【典例1】小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）．
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
【答案】B
【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的．
【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式：
，
解得，因此函数解析式为：
，
当拉力N时，代入解析式：
，
解方程：
，
即点与点之间的距离为4m．
【变式1】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可．
【详解】解：由图象得，当时，，故A错误；
设反比例函数解析式为，
将代入得，，
解得，
∴，
∴当时，，故C错误；
当时，，
∵当时，h随的增大而减小，
∴当时，，故B正确；
由图象得，当时，，故D错误．
【变式2】已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可．
【详解】，且为定值
是的反比例函数，且，图象位于第一象限
排除选项A、B
将，代入
得
函数解析式为
对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意
对于D选项，当时，，不符合题意．
题型解析◆精准备考
题型01 行程类反比例应用
例1问题情境：
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
小型车辆 行驶时间 平均速度
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（）由表格可知，从而求得函数解析式；
（）把代入解析式即可求解；
（）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：（）由表格可知，，
∴与之间的函数关系式为；
（）当时，，
答：它的平均速度是．
（）根据题意，得，解得，
答：行驶时间应不少于．
题型02 工程类反比例应用
例2一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天.
(1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系
(2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土
【答案】(1)
(2)平均每天至少要回填30吨土
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键.
（1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式；
（2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围．
【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得，
∴v关于t的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
那么平均每天至少要回填30吨土．
题型03 面积定值类几何实际问题
例3．当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把代入（1）中的解析式，即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
即这个三角形的底边长为．
题型04 商品销售单价-销量反比例模型
例4．广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价应为160元
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可．
（2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可．
【详解】（1）解：设函数式为，
∵当销售定价为120元时，每日可销售20件，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：设单价是x元，
∵，
∴，解得：，
检验：当时，利润为元，符合题意．
答：销售单价应为160元．
题型05 利用反比例解析式求实际最值
例5．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/根 20 15 12 10
(1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系．
(2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式．
(3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？
【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数
(2)
(3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元．
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系．
（1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可；
（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可；
（3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示：
猜想：y与x之间具有反比例函数关系．
（2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数），
把代入，得，
将，，分别代入，均成立，
所以y与x之间的函数关系式为.
（3）解：，
当时，w随x的增大而增大，
又因为，
所以当时，，
所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元．
题型06 根据实际情境列反比例函数解析式
例6．某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m．
【答案】 5
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，弄清题意，正确列出函数关系式是解题的关键．
根据长方体体积公式，容积等于底面积乘以深度，由此可得底面积关于深度的函数解析式；当给定长和宽时，先计算底面积，再利用体积公式求深度。
【详解】解：由长方体体积公式，体积 ，其中 ，
所以 ，解得 ．
当蓄水池的长为 ，宽为 时，底面积 ．
由 ，代入 ，，
得 ，解得 ．
故答案为：，．
题型07 结合图像读取信息解决实际问题
例7．某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．电功率是电阻的一次函数
B．电功率关于电阻的函数解析式为（）
C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到
D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为
【答案】D
【分析】根据函数图象得出，即可判断A，B，C选项，将代入解析式，进而判断D选项，即可求解．
【详解】解：由图2可得
∴电功率关于电阻的函数解析式为（），电功率是电阻的反比例函数
当电阻从增大到时，电风扇的电功率从减小到
若电风扇转速在中等档位时的电阻为，
，即此时电功率的大小为
综上所述，只有D选项正确．
题型08 跨学科问题
例8．某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度．
(1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式；
(2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）．
【答案】(1)
(2)米/秒
【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解；
（2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：设函数关系式为，
代入，得，，
解得，
∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为；
（2）解：∵，
∴，
解得，
由（1）得，，
代入，得，
解得，
∴调整后的速度为米/秒．
题型09 分段函数+反比例综合实际应用题
例9．近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）解：设利润为w元，
当时，，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元，
答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元．
题型10 多函数综合的实际应用
例10．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题：
(1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室．
【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后
(2)至少经过分钟后学生才可以回教室
【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可；
（2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．．
【详解】（1）解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
（2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，
∴当时，，
经检验，是原分式方程的解，
由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室．
题型11 新情境问题
例11．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇．
(1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k；
(2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将分别代入和求解即可；
（2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则为等腰直角三角形，，设，则，解方程即可．
【详解】（1）解：将分别代入和，
得，，
解得，；
（2）解：如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则，
∵一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
1．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ）
I/A … 4 5 6 …
R/Ω … 30 a 20 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实际问题与反比例函数、由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值．
【详解】解：∵是的反比例函数，
∴设（为常数，），
将，代入，
得，
∴，
当时，，
解得，
∴．
故答案是：
2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
（单位：）
（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式．
【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系，
∴设函数解析式为（为常数，），
∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系，
∴排除，
将，代入，得，
∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符．
3．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实际问题与反比例函数
【详解】解：由题意得，变形得．
4．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状．
【详解】解：的面积为，一边长为，这边上的高为，
，
，
表示三角形的边长，
，
该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支，
观察选项，只有C选项符合．
5．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】先求出反比例函数表达式，再代入求解即可．
【详解】解：由题意设，则代入，得，
∴，
当电阻为时，．
6．某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”）
【答案】
减小
【知识点】实际问题与反比例函数、判断反比例函数的增减性
【分析】中电阻，根据反比例函数的性质判断增减性即可．
【详解】解：由实际意义可知，
是反比例函数，比例系数．
当反比例函数的比例系数大于，且自变量大于时，函数值随自变量的增大而减小．
因此电流随电阻的增大而减小．
7．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米．
【答案】/
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把代入反比例函数，
得，
解得，
所以反比例函数的解析式为，
当时，可得．
即此时镜片焦距是米．
8．某电磁波的波长（单位：m）与该电磁波的频率f（单位：）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．若该电磁波的频率为，则该电磁波的波长为________．
【答案】4
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可．
【详解】解：设与的函数解析式为，
由图象可知，函数图象经过点，
将点代入，得，
解得，
该反比例函数的解析式为．
当时，．
9．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？
【答案】(1)
(2)120千帕
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可；
（2）把立方米代入计算即可．
【详解】（1）解：设反比例函数为，
将代入得，
解得：，
即；
（2）解：把立方米代入中，得千帕．
10．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解．
【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量，
由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两种气体的质量相同，
∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方，
∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大．
11．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）．
【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，
∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系，
∴，解得：，
由两种液体混合后密度公式可得：
，
解得：．
12．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案．
【详解】解：设，
由题意得，，
∴，
∴，
当时，，
∴当压缩后密度是时，其体积是．
13．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）．
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
【答案】B
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的．
【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式：
，
解得，因此函数解析式为：
，
当拉力N时，代入解析式：
，
解方程：
，
即点与点之间的距离为4m．
14．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________．
【答案】
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】由待定系数法可求解反比例函数解析式，再令，可求得的值，结合图象即可得解．
【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，
∴设，
∵点在此函数的图象上，
∴，
∴，
当时，，解得，
∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是．
15．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的取值范围为___________．
【答案】
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】先确定反比例函数的解析式为，计算出两个端点的函数值，利用函数性质，求解即可．
【详解】解：根据题意，设，把代入解析式，得，
故反比例函数的解析式为，
当时，；
当时，；
由反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小，
故．
16．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________．
【答案】50
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可．
【详解】解：设p关于V的函数关系式为，
由题意可知，点在反比例函数图象上，
则，
解得：，
则p关于V的函数关系式为，
当时，汽缸内气体的体积．
17．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，．
(1)关于的函数表达式为_________．
(2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？
【答案】(1)
(2)小孔到蜡烛的距离至少是．
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）解：时，
，
，
∴，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
18．如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（ ）
A．每立方米空气中含药量从上升到需要
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为
【答案】B
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数
【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果．
【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为，
由题意得，
解得，
∴此阶段函数解析式为；
设喷雾结束后函数解析式为，
由题意得，
解得，
此阶段函数解析式为；
A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意；
B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意；
C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意；
D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意．
19．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．的长为
C．当时，
D．
【答案】B
【知识点】实际问题与反比例函数、从函数的图象获取信息、相似三角形实际应用
【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项．
【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意；
当时，， 故C正确，不符合题意；
，
， ，故D正确，不符合题意；
，，
，
由图可知，当时，，
， 解得， 故B错误，符合题意．
20．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____．
【答案】
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长．
【详解】根据题意可知， ．
设反比例函数的解析式为
将点 代入，得 ．
反比例函数的解析式为：
∵，
∴当时， ．
解得．经检验，是分式方程的解．
∴ ．
∴．
由对称的性质，得．
∴
21．如图，一个圆台形物体的上底面积是，下底面积是．若正放在桌面上，则对桌面的压强是；若翻过来放，则对桌面的压强是．的值是_________．
【答案】
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，熟悉压强公式，能根据实际题意灵活运用．
根据压强公式，再代入相关的数据，用和表示，即可求得的值．
【详解】解：设压力为，压力不变，由可得：，
根据题意可知，
．
故答案为：．
22．【阅读资料】
杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础．
材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡．
材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题：
(1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，．
①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________；
②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克．
(2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克，
①请求出关于的函数表达式；
②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克．
(3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）．
【答案】(1)①；②12.5
(2)①；②40
(3)
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】（1）①由平衡式得为定值，设，得，把数值代入可求得K的值，即可求得表达式；
②由题意得，即可求得最小的质量；
（2）①根据杠杆平衡原理得，即，代入，克的值，即可求解；
②由变形得，根据y的系数即可解答；
（3）先求出物体A真实质量为120克，用100克秤砣时y的值，换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量，偏差则为真实质量与测量值的差．
【详解】（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值，
记常数 ，则 ；
∵克时，，
∴ ，
∴；
②秤砣最大滑动距离为，即，代入，
解得，
∴最小质量为12.5克；
（2）解：①称重物时，新增重物质量克，
根据杠杆平衡原理，总平衡式为： ，
整理得，
把，克代入得： ，
化简得；
②由变形得，
则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克；
（3）解： 对于，
物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得；
换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得；
偏差为真实质量减测量值：．27.3实际问题与反比例函数
学习目标和重难点
1、能从行程、工程、压强、电学等实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型。
2、会利用反比例函数的图像和性质分析实际问题，解决求值、比较、判断变化趋势等问题。
3、能根据实际意义确定自变量的取值范围，体会函数模型在解决实际问题中的价值。
重点：从实际问题中抽象出反比例函数模型；用反比例函数解决简单实际问题。
难点：正确分析实际问题中的数量关系并建立函数模型；结合自变量的实际意义确定取值范围。
资料板块目录表
知识梳理 针对训练
题型01 行程类反比例应用 题型02 工程类反比例应用
题型03 面积定值类几何实际问题 题型04 商品销售单价-销量反比例模型
题型05 利用反比例解析式求实际最值 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式
题型07 结合图像读取信息解决实际问题 题型08 跨学科问题
题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 题型10 多函数综合的实际应用
题型11 新情境问题
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
教材◆核心知识
知识点01 实际问题与反比例函数
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
（1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
（2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数；
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题。
【针对训练】
【典例1】已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额．每个月付款额（单位：元）与付款月数（为正整数）之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 实际问题与反比例函数在其他学科中的应用
类型 关系 公式
路程问题 当路程一定时，时间与速度成反比例 （是常数）
面积问题 矩形 当矩形面积一定时，长与宽成反比例 （是常数）
三角形 当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （是常数）
物理应用问题 做功型 当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例 （是常数）
压强型 当压力一定时，压强与受力面积成反比例 （是常数）
电流型 在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例 （是常数）
【针对训练】
【典例1】小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）．
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
【变式1】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【变式2】已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（）
B． C． D．
题型解析◆精准备考
题型01 行程类反比例应用
例1问题情境：
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
小型车辆 行驶时间 平均速度
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
题型02 工程类反比例应用
例2一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天.
(1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系
(2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土
题型03 面积定值类几何实际问题
例3．当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长．
题型04 商品销售单价-销量反比例模型
例4．广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
题型05 利用反比例解析式求实际最值
例5．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/根 20 15 12 10
(1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系．
(2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式．
(3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？
题型06 根据实际情境列反比例函数解析式
例6．某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m．
题型07 结合图像读取信息解决实际问题
例7．某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．电功率是电阻的一次函数
B．电功率关于电阻的函数解析式为（）
C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到
D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为
题型08 跨学科问题
例8．某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度．
(1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式；
(2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）．
题型09 分段函数+反比例综合实际应用题
例9．近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？
题型10 多函数综合的实际应用
例10．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题：
(1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室．
题型11 新情境问题
例11．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇．
(1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k；
(2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标．
1．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ）
I/A … 4 5 6 …
R/Ω … 30 a 20 …
A． B． C． D．
2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
（单位：）
（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
3．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
5．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”）
7．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米．
8．某电磁波的波长（单位：m）与该电磁波的频率f（单位：）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．若该电磁波的频率为，则该电磁波的波长为________．
9．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？
10．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）．
【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（ ）．
A． B． C． D．
12．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（ ）
A． B． C． D．
13．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）．
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
14．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________．
15．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的取值范围为___________．
16．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________．
17．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，．
(1)关于的函数表达式为_________．
(2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？
18．如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（ ）
A．每立方米空气中含药量从上升到需要
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为
19．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．的长为
C．当时，
D．
20．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____．
21．如图，一个圆台形物体的上底面积是，下底面积是．若正放在桌面上，则对桌面的压强是；若翻过来放，则对桌面的压强是．的值是_________．
22．【阅读资料】
杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础．
材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡．
材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题：
(1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，．
①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________；
②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克．
(2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克，
①请求出关于的函数表达式；
②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克．
(3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）．

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