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《分数的应用（一）》教学设计
学科 数学 年级 六年级 课型 新授课 单元 第四单元
课题 《分数的应用（一）》 课时 二课时
课标要求 依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，本课属于“数与代数”领域。要求学生能在真实情境中，借助画图等直观手段分析数量关系，解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题；理解分数混合运算的运算顺序，能正确开展分数混合运算；发展几何直观、运算能力与模型意识，体会分数运算在生活中的应用，能解释解题思路，提升应用意识。
教材分析 《分数的应用（一）》是北师大版六年级上册分数混合运算单元的起始课。教材创设气象小组、摄影小组、航模小组的校园情境，提出连续求一个数的几分之几的实际问题。 教材引导学生通过画示意图、线段图，直观表示三个小组人数之间的层层数量关系，提供两种解题思路：第一种分步计算，先求出中间量摄影小组人数，再求航模小组人数；第二种先求出航模小组人数占气象小组人数的分率，再列综合算式。 依托例题引出分数连乘混合运算，归纳“分数混合运算顺序和整数混合运算顺序相同”，随后安排分数乘除混合计算练习，设置错题辨析环节，巩固“除以不为0的数等于乘它的倒数”，引导学生养成验算习惯。本课是分数乘法意义的拓展，也是后续学习分数混合运算应用题、分数方程的基础，重在借助画图策略，建立连续求几分之几的数学模型。
学情分析 六年级学生已经熟练掌握分数的意义、分数乘除法计算，会解决一步“求一个数的几分之几是多少”的应用题，能使用简单线段图分析数量关系，熟悉整数四则混合运算顺序。 本课难点在于连续两次找不同的单位“1”，学生容易混淆两个单位“1”，无法理清三个量之间的传递关系；部分学生习惯于直接列式，缺少画图分析题意的意识；分数乘除混合运算中，容易在变号、约分环节出错。学生具备小组合作、自主探究的基础，借助画图直观可以有效突破单位“1”的理解难点。
核心素养目标 1.几何直观：能画示意图、线段图表示连续求几分之几的数量关系，借助图形读懂、分析复杂分数应用题。 2.模型意识：理解连续求一个数的几分之几的问题模型，掌握分数混合运算顺序，构建分数连乘问题的数学模型。 3.运算能力：能正确进行分数混合运算，熟练掌握分数除法转化为乘倒数的方法，规范约分，主动检验，减少计算错误。 4.应用意识：能从生活情境提取数学信息，分析多层数量关系，运用分数知识解决连续求几分之几的实际问题，感受分数的应用价值。
教学重点 1.借助画图分析连续求一个数的几分之几是多少的数量关系，掌握两种解题思路。 2.掌握分数混合运算的运算顺序，能正确计算分数混合运算。
教学难点 找准连续问题中每一步对应的单位“1”，理解多层数量之间的关系，理解两种解题思路的内在联系。
教学准备 多媒体课件（情境图、线段图、例题、错题辨析）、学习单（画图区域、习题）、草稿纸。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.算一算。 2.看图列式。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。
一、引新 创设情境，引入课题 师：同学们，在学校里，大家都参加过丰富多彩的兴趣小组吧！气象小组、摄影小组、航模小组，都是很受欢迎的社团。 课件出示： 师：请大家仔细观察图中的信息，谁能找一找，图里告诉了我们哪些数学信息？ 师：你的观察特别仔细，把所有信息都完整找出来了。那根据这些信息，我们要解决的核心问题是什么呢？ 课件出示：航模小组有多少人？ 师：很好，今天我们就一起来探究，连续求一个数的几分之几是多少这类分数实际问题。 板书课题：分数的应用（一） 学生独自观察，然后自由说说：气象小组有12人。摄影小组的人数是气象小组的。航模小组的人数是摄影小组的。 学生：要解决的问题是航模小组有多少人？ 借助学生熟悉的校园兴趣小组情境导入，贴近学生生活，引导学生自主提取数学信息、明确问题。自然引出连续求一个数的几分之几是多少的分数应用题，激发探究欲望，为分析数量关系、借助画图理解分数连乘的算理做好铺垫。
二、探究 合作探究，活动领悟 探究1：画图分析数量关系 课件出示：航模小组有多少人？说一说你是如何思考的。 师：航模小组有多少人？先独立思考10秒，想一想航模小组的人数和谁有关？然后与同伴交流说说你是如何思考的。 师巡视指导，并了解交流情况。 师：好，时间到！航模小组的人数与什么有关呢？ 师：说得很好！那摄影小组的人数你知道吗？ 师：摄影小组的人数又和谁有关系呢？ 师：看来这道题是连环的分数关系，我们不能一步直接算出航模小组人数。接下来，我们就借助画图的方式，理清这三个小组人数之间的关系。 课件出示：画图表示航模小组与气象小组、摄影小组人数之间的关系。 师：分数问题，画图是我们的好帮手。现在请大家拿出练习本，试着画图表示航模小组、摄影小组、气象小组三者的人数关系。画完之后同桌互相说一说你的图表示什么意思，时间3分钟。 师巡视指导。 师：时间到！老师看到同学们画出了两种不一样的图，我们先请用圆圈画图的同学上台介绍你的画图。 展示： 师：图画得清晰，讲解条理清楚！我们再来看线段图，哪位同学来说说你们是怎么画图的？ 展示： 师：大家听明白了吗？ 师：不管是圆圈图还是线段图，都帮我们理清了数量关系。那大家能根据线段图列出等量关系吗？ 师：找到了吗？谁来说说？ 学生：还有吗？ 师：真不错！大家再看图想一想，航模小组的人数是气象小组的几分之几？同桌之间讨论一下。 师巡视指导，然后提问：谁来说说？ 师：非常棒！也就是说，我们有两条思路来解决这个问题。第一条思路，先算出摄影小组的人数，再算航模小组人数；第二条思路，先算出航模小组人数占气象小组的几分之几，再直接求航模小组人数。接下来，请大家独立列式，尝试解决这个问题。 学生先独自思考，然后与同伴相互交流。 学生：航模小组的人数是摄影小组的，与摄影小组有关，可以先算出摄影小组的人数。 学生：不知道。 学生：摄影小组的人数是气象小组的，所以摄影小组的人数由气象小组的人数决定。 学生独立画图，同桌交流。 学生上台介绍：我画12个圆圈代表气象小组12个人。摄影小组人数是气象小组的，把12个平均分成3份，其中1份就是摄影小组，所以12人的是4人。航模小组人数是摄影小组的，把摄影小组的4人平均分成4份，取其中3份，就是航模小组，所以4人的是3人。 学生：我先画一条长线段代表气象小组12人。摄影小组是气象小组的，所以把气象小组的线段平均分成3份，取1份，就是摄影小组。航模小组是摄影小组的，再把摄影小组这条线段平均分成4份，取3份，就是航模小组的人数。 学生点头。 学生独自观察，尝试找一找。 学生：气象小组的人数×=摄影小组的人数。 学生：摄影小组的人数×=航模小组的人数。 同伴相互讨论。 学生：摄影小组是气象小组的，航模小组是摄影小组的，所以航模小组就是气象小组的×=。 本环节紧扣连续求一个数的几分之几的重难点，先抛出核心问题，引导学生感知题目存在多层连环的分数关系，发现不能一步求解，自然引出画图策略。 给学生自主画图的时间，呈现圆圈图、线段图两种表征方式，尊重学生不同的思维表达。 借助图形直观，帮助学生梳理气象、摄影、航模三组人数的依存关系，找到等量关系；再通过问题驱动，引导学生发现两种解题思路：先求中间量，或者先求出航模小组占气象小组的分率。借助数形结合，把抽象的分数关系可视化，发展几何直观，为列式计算搭建思维支架。
探究2：列式计算，对比两种解题思路 师：请大家根据刚才画图找到的数量关系，独立列出综合算式并计算，完成之后4人小组互相说一说，你的算式每一步求的是什么，给大家3分钟。 课件出示：请列式解决问题。 师巡视指导。 师：谁来说说你是怎样求出航模小组有多少人的？ 展示： 12×＝4（人 ） 4×＝3（人） 师：把这两个算式列成综合算式是……？ 师：怎样计算呢？ 师强调：说得很清楚，先求中间量摄影小组人数，再求航模小组。但是在计算过程中，能约分的可以一次同时约分，但是要清楚的表示出约分的过程。 课件出示： 师：还可以怎么算？ 课件出示： 12×（×） =3（人） 师：你能看懂她的方法吗？ 师：非常棒！请大家仔细观察这两道算式，你发现了什么？ 课件出示： 师：没错！这就是分数连乘，分数连乘同样可以运用乘法结合律。我们一起来口答。 师小结：解决连续求一个数的几分之几是多少的问题，我们可以分步思考，先求出中间量；也可以先求出最后的量占总量的几分之几，再一次性计算。画图可以帮我们理清多层的分数关系。 学生独立列式，小组讨论。 小组代表1：我先求摄影小组有多少人，再求航模小组有多少人。 学生：12××。 学生：先算12×，算的是摄影小组的人数，等于4人。再用4×，算出航模小组有3人。 学生：先求航模小组的人数是气象小组的几分之几。 学生：先算括号里面的×，求出航模小组人数是气象小组的，再用12×=3人求出航模小组有多少人。 学生：两道算式的结果一样，只是运算顺序不一样。第一道从左往右依次相乘，第二道先算括号里面的。 学生口答：答：航模小组有3人。 在画图理清数量关系的基础上，组织学生独立列式、小组交流每一步算式含义，落实“知其然，知其所以然”。先呈现分步计算，再转化为分数连乘综合算式，教学分数连乘的约分技巧；引出带括号的算式，对比两种解法，让学生体会乘法结合律在分数运算中同样适用。 通过对比，梳理两类解题路径，让学生理解：连续求几分之几，既可以分步求出中间量，也可以先求最终对应的分率再计算。帮助学生建立分数连乘问题的解题模型，体会运算定律的通用性。
四、变式 师生互动，变式深化 探究3：试一试：分数混合运算顺序 师：刚才我们研究的是分数连乘，那如果遇到分数混合运算，运算顺序是什么样的呢？我们继续探究。 课件出示：请你试着做一做 12÷÷ ÷× ÷（÷） 师：请大家独立完成计算，想一想分数混合运算的顺序是什么，做完之后小组内互相检查。 师巡视指导。 师：能说说你是按什么顺序计算的？ 展示： 展示： 展示： 师：回忆一下整数混合运算的顺序，你发现了什么？ 师：总结得非常到位！接下来，我们看一看下面这三道题算得对不对，我们一起来辨析改错。 课件出示：下面几道题算得对吗？计算时有什么好办法可以减少错误？ 师：请大家仔细观察，判断对错，想一想计算时怎样减少错误。先独立观察思考，再全班交流。 师：我们一道一道来看。大家看一看第一题，这道题对吗？ 师：观察很仔细！第二题，对不对？ 师：第三道，谁发现问题？ 师追问：那大家说一说，计算分数混合运算，有什么办法减少计算错误？ 师：太棒了，这就是分数计算的小妙招！希望大家在以后的计算中也要养成认真、细致、善于检查的好习惯。 学生独立计算，小组核对答案。 学生1：计算12÷÷，我是按从左到右计算的。 学生2：计算÷×，我也是按从左到右计算的。 学生3：计算÷（÷），我是先算括号里面的，再算括号外面的。 学生：分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序一样。同级运算，从左到右依次计算；有括号的，要先算括号里面的。 学生独立观察。 学生：不对，除以，应该乘以的倒数。 学生：不对，除以，应该乘以的倒数。 学生：这道题也不对，分数乘法不变，应该还是乘。 学生1：注意哟！除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 学生2：做完后可以再检查一遍。 …… 由分数连乘自然延伸到分数乘除混合运算，实现知识顺向迁移。让学生独立计算多道典型习题，通过对比整数混合运算顺序，自主归纳：分数混合运算顺序与整数一致。 设置辨析改错环节，展示典型计算错题，引导学生找出错误根源，总结减少计算失误的方法。一方面巩固运算顺序、分数除法“变除为乘”的计算法则；另一方面培养学生验算、自查的学习习惯，突破分数混合运算易错点，提升运算能力。
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.看图列式计算。 2.×÷ ×× 2÷（×） ×（1÷） 12÷（÷） ×6× 3.到2018年年末，我国城市个数达672个，其中约的城市严重缺水。在这些供水不足的城市中，约有的城市严重缺水。全国严重缺水的城市大约有多少个 4.孵化期。 燕子的孵化期是多少天？ 5.有两只船，大船一次可运载5t货物，小船一次可运载的货物量是大船的。大船6次满载运完的货物，如果改用小船运，至少几次才能运完 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸 师：回顾这节课你学到了什么？ 师：今天我们一起探究了分数的应用，解决了连续求一个数的几分之几是多少的实际问题。希望同学们记住，遇到多层分数实际问题时，画图是帮助我们理清思路的好帮手，找准每一步的单位“1”是解题的关键。分数运算的学习还将继续，期待大家在后续学习中，能够主动运用数形结合的方法分析生活中的分数问题，严谨思考、细心计算，不断提升分析问题与运算的能力，在数学学习中持续收获新发现。 学生1：我学习了连续求一个数的几分之几，可以画图理清数量关系。 学生2：我还知道分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序是一样的。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 分数的应用（一） 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 （课外练习） 基础达标： 1.算一算。 2.看图列式。 能力提升： 1.一个长方体的长是24厘米，宽是长的，高是宽的，这个长方体的高是多少厘米？ 2.甲数的与乙数的相等，乙数是24，甲数是多少？ 拓展迁移：调查自己学校各个社团的人数情况，然后编成分数混合运算的应用题。 参考答案： 基础达标： 1.3；5；。 2.120××=40（个） 能力提升： 1.24××=12（厘米） 2.24×÷=36
教学反思 本节课围绕《分数的应用（一）》展开，以数形结合为主线，依托兴趣小组的情境，引导学生探究连续求一个数的几分之几的实际问题，同时学习分数混合运算顺序，整体达成预设教学目标，亮点与不足如下： 亮点： 1.重视数形结合思想落地。给学生充足时间自主画图，允许圆圈图、线段图等多种表达形式，利用图形拆解多层分数关系，把抽象的单位“1”的转换直观化，有效突破本课难点。 2.注重解题策略的多样化。引导学生对比两种解题思路，既可以分步求中间量，也可以先求总分率，不局限单一解法，尊重学生个性化思考；同时沟通两种算式之间的联系，渗透乘法运算律。 3.体现知识迁移。由分数连乘过渡到分数乘除混合运算，引导学生联系已学的整数混合运算顺序，自主归纳分数混合运算规则，培养迁移类推能力。 4.设置错题辨析环节，直面学生高频计算错误，引导学生自主发现错因，总结计算小妙招，培养验算反思意识，提升运算素养。 存在不足： 1.部分学生在分析多层分数关系时，容易混淆每一步的单位“1”。画图时，少数学生线段图画得不够规范，不会在线段上标注对应分率，无法独立借助图形说出数量关系，对“谁是谁的几分之几”理解模糊。 2.小组交流时，个别学生仅会列式，但说不清算式每一步的含义，只会机械计算，缺少对数量关系的表达；课堂上留给学生完整表达思路的机会还可以再多一些。 3.时间分配略有失衡：画图展示环节耗时较长，后面的改错辨析环节略显仓促，部分学困生来不及细细体会错因。 4.缺少简单的生活变式练习，缺少机会让学生自主判断什么时候需要连续求一个数的几分之几，模型应用训练不足。 改进措施： 1.课前铺垫找准单位“1”的小练习；画图教学时，示范线段图标注技巧，强调每一段对应的单位“1”，对比两次单位“1”的变化，强化理解。 2.小组交流明确要求，不仅要算出答案，还要轮流说清每一步求的是什么，教师巡视时重点倾听学困生的表达。 3.优化课堂时间，精简画图展示，预留充足时间进行错题辨析与随堂巩固；增加简单变式题，让学生自主分析题目是否属于连续求一个数的几分之几，巩固模型。 4.收集学生典型错例，在后续练习可针对性强化，区分分数连乘、分数乘除混合的题型差异。
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《分数的应用》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《分数的应用》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。在“内容要求”中指出：“能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感。能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算(不超过三步)，并说明运算过程。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。”
（二）单元教材内容分析
本单元是北师大版五年级上册第四单元《分数的应用》，是在学生已经学习分数的意义、分数乘除法、分数四则运算基础上的应用单元。
单元包含两大核心课时内容：分数的应用（一）、分数的应用（二）。
1.分数的应用（一）：连续求一个数的几分之几是多少，学习分数连乘应用题；同时教学分数混合运算，明确分数混合运算顺序与整数一致，掌握分数乘除混合计算。
2.分数的应用（二）：解决两类典型问题：①求一个数比另一个数多（或少）几分之几；②已知单位“1”，求比单位“1”多几分之几的数是多少。对比辨析单位“1”不同，结果不同，突破学生易错点；同时验证整数运算律在分数运算中仍然适用。
教材以生活情境（气象、摄影、航模小组人数；水结冰体积变化）为载体，借助线段图，把抽象分数数量关系可视化，沟通分数乘法意义与实际问题之间的联系，是分数运算知识走向实际应用的关键单元，也为后续百分数应用打下基础。
（三）学生认知情况
1.已有基础
（1）学生已经理解分数的意义，掌握分数乘、除法的计算方法，能解决简单的 “求一个数的几分之几是多少” 一步应用题。
（2）掌握整数四则混合运算顺序和整数运算定律，会画简单线段图表示数量。
2.认知难点
（1）连续求几分之几的问题，学生不容易找准每一步的单位“1”，容易混淆两个不同的标准量。
（2）“多几分之几、少几分之几” 问题，分不清谁是比较量、谁是单位“1”，容易错误认为甲比乙多，乙就比甲少，难以理解单位“1”变化，分率随之改变。
（3）分数混合运算，除以分数转化乘倒数容易出错，约分、运算顺序容易混淆。
（4）习惯于直接列式，不习惯画图分析数量关系，几何直观意识薄弱。
3.认知特点
六年级学生具备一定的自主探究能力，喜欢借助画图、小组讨论分析问题，但抽象逻辑思维还在发展，需要借助直观线段图，把抽象的分率关系转化为看得见的数量关系。
二、单元目标拟定
1.知识与技能目标
（1）掌握分数连乘、分数混合运算的计算方法，知道分数混合运算顺序和整数相同，整数运算律对分数同样适用，能正确进行分数混合运算。
（2）能正确分析连续求一个数的几分之几、求一个数比另一个数多（少）几分之几、已知单位“1”求比它多几分之几的数等问题的数量关系，能用线段图表示数量关系，正确列式解决实际问题。
2.过程与方法
（1）经历画图、观察、对比、交流、列式的探究过程，学会用几何直观分析分数应用题，感悟单位“1”在分数问题中的作用。
（2）在解决问题的过程中，体会两种不同解题思路，感受解决问题策略的多样化。
3.情感态度
感受分数在生活中的应用价值，在辨析易错问题中养成认真审题、检验反思的良好学习习惯，增强学好数学的信心。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.掌握分数混合运算的计算方法，能简便运算。
2.读懂题意，找准单位“1”，借助线段图分析分数应用问题的数量关系，正确解决分数实际应用问题。
（二）教学难点
1.连续分数问题中，找准每一步的单位“1”。
2.理解“甲比乙多几分之几”和“乙比甲少几分之几”，单位“1”不同，分率不相等。
3.借助线段图自主建构分数应用题的数量模型。
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。本单元着力培养学生以下核心素养：
1.运算能力：理解分数混合运算顺序，掌握分数乘除转化、约分计算，运用运算律进行简便运算，理解分数运算和整数运算的一致性，规范运算，养成检验习惯。
2.几何直观：会画线段图表征单位“1”和对应分率，借助图形分析数量关系，把文字描述的分数问题转化成图形，利用图形推理。
3.推理意识：在对比“冰与水体积”的问题中，推理单位“1”变化，分率随之改变；从整数运算律推导出分数中同样适用，进行简单的归纳推理。
4.应用意识：能从生活情境中提取数学信息，用分数知识解决实际问题，感受分数的应用价值，建立分数应用的数学模型。
5.数感：理解分率是两个量的倍数关系，体会单位“1”对分数大小的影响，理解分数既可以表示具体数量，也可以表示两个量之间的关系。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：
1.情境生活化：选取学生熟悉的校园小组活动、水结冰体积变化等真实生活情境，激发学生探究兴趣，把数学和生活紧密联系。
2.重视几何直观：每一个例题都引导学生画线段图，把抽象的分率转化成直观图形，借助画图理解数量关系，降低思维难度。
3.突出对比辨析：教材专门设置对比问题，如冰比水增加几分之几、水比冰少几分之几，引导学生对比标准量，突破认知误区。
4.方法与应用融合：将分数混合运算的计算教学融入解决问题中，先解决实际问题，自然引出分数混合运算，理解运算顺序，再巩固计算。
5.体现算法多样化：同一问题提供两种不同思路，鼓励学生从不同角度思考，尊重不同解题方法，发展多角度思维。
6.渗透迁移思想：把整数混合运算顺序、整数运算律迁移到分数运算，感悟运算的一致性。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
分数的应用（一） 2
分数的应用（二） 2
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《分数的应用（一）》 目标： 结合具体情境，理解连续求一个数的几分之几的实际问题；会用画图的方法分析数量关系；掌握分数混合运算顺序，知道分数混合运算顺序与整数一致，能正确计算分数混合运算。 探究1：画图分析数量关系 → 探究2：列式计算，对比两种解题思路 → 探究3：试一试：分数混合运算顺序 → 1.能用画图的方法分析数量关系。 2.能按照两种思路列式解决问题，并对比。 3.能正确计算分数混合运算，并判断对错，说说计算时减少错误的方法。
4.2《分数的应用（二）》 目标： 结合水结冰情境，理解“增加几分之几”“减少几分之几”的含义；会画线段图分析数量关系，能正确解决求比一个数多几分之几的数是多少的实际问题；理解整数运算律在分数运算中同样适用。 探究1：冰的体积比原来水的体积增加了几分之几→ 探究2：水的体积比冰的体积少几分之几 → 探究3：试一试 → 1.能画图理解“增加几分之几”的含义，并列式解答。 2.能画图理解“减少几分之几”的含义，并列式解答。 3.能解决“已知一个量，求比它多几分之几”和“分数简便运算”。
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