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任务一　有趣的密铺
教学目标 1．通过体验活动，理解密铺的含义，感悟拼接点形成360°的角的密铺原理；能正确判断密铺的单一图形或组合图形，形成空间观念和模型意识。 2．经历“猜想—验证—拓展—设计—分享”探究过程，运用密铺特征及原理，能设计简单的密铺设计方案和密铺图形，自主提升设计密铺图形的能力，形成创新意识。 3．在探索活动中，激发学习兴趣和求知欲，培养主动探索的意识，提升合作学习的能力，养成严谨求实的学习习惯。
教学重难点 1．借助生活中的密铺现象，经历探究常见多边形的密铺活动，感悟密铺的特点，理解并掌握常见多边形的密铺本质。 2．通过设计密铺图案的活动，创造性地设计出密铺图案，感受数学美与创造乐趣，增强学好数学的信心。
教学准备 课件、密铺图片（正三角形、正四、五、六、八边形等图形）；创作图案的图画本或白纸。
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
通过欣赏生活中的密铺图案，初步认识密铺，理解密铺的含义，感悟密铺的基本特点，感受数学与生活的联系，激发探究兴趣。 一、创设情境 活动：欣赏密铺图案 1．下面是一组图，仔细欣赏，看一看，分别是什么？每张图的基本数学图形是什么？ （课件出示蜂巢、地毯等生活中的密铺图案） 2．比一比，想一想，这些图案有什么共同特点？ 引导学生观察、对比，初步感悟密铺图形的特点。 3．像这种，图形之间既没有重叠也没有空隙地铺满整个平面的现象，是一种有趣的数学现象，这个现象起个什么名字合适？为什么叫密铺？ 4．阅读课本95页内容，什么是密铺？密铺有哪三个关键特点？并说说上面的图案分别由什么图形密铺而成的？ 师：是的，无缝衔接，即图形之间没有重叠，也没有空隙地铺满整个平面的现象，就是密铺。今天我们的活动主题就是研究、设计密铺图形。 一、提出问题 活动：欣赏密铺图案 预设1： 生1：第一张是蜂巢图，是由正六边形组成的；还有一张是地毯图，是由正六边形和平行四边形组成的。 生2：有一张是三角魔方图，是由三角形组成的。 生3：最后一张是拼图，由相同的小拼图组成的。 预设2： 生1：蜂巢图是由正六边形拼成铺满平面，图形间没有重叠也没有空隙。 生2：地毯图是由一个正六边形和周边的六个平行四边形拼成铺满平面，图形之间没有重叠和空隙。 生3：魔方和拼图分别是由正三角形和相同的小拼图铺满平面，同样，图形之间也没有重叠和空隙。 预设3： 生1：拼的无缝衔接，可以叫密铺。 生2：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，紧紧密密地铺在一起，所以叫密铺很合适。 预设4： 生1：图形之间没有重叠，也没有空隙地铺满整个平面的现象，就是密铺。 生2：“没有重叠”“没有空隙”“铺满整个平面”是密铺的三个关键特点。 生3：蜂巢图是由正六边形密铺；地毯是由正六边形和平行四边形密铺；魔方面是由正三角形密铺；拼图是由相同形状的每块拼图密铺。
经历猜想、验证、归纳的过程，感悟圆、正五边形、正七边形、正八边形不能单独密铺的原理，理解密铺的数学本质，掌握图形拼组的各角拼接点，角的度数和等于360°可以密铺的规律，形成几何直观、空间观念和推理能力。 二、引导合作 活动一：合作探究密铺图形的规律 1．先猜一猜，学过的哪些图形可以密铺？ 引导学生有依据地猜一猜、想一想可能密铺的图形。 2．怎么验证大家的猜想？ 3．请小组开展合作学习，验证哪些图形可以单独密铺？先说说每个学习小组想选择哪些图形研究密铺，为什么？ （课件出示合作学习要求） 4．全班汇报交流学习成果。先说说哪种图形单独拼组不可以密铺？为什么？ 适时板演。 5．好奇怪，为什么正五边形不能拼接得无缝隙？为什么不能密铺？ 适时板书。 追问：为什么拼接点的度数和必须是360°才能密铺？ 小结：如果拼在一起不能无缝衔接，即拼接点的各角度数和不等于360°，就不能密铺。 二、探究问题 活动一：合作探究密铺图形的规律 预设1： 生1：刚才看到了正三角形、平行四边形、正六边形及小拼图不规则图形都可以单独密铺，所以我猜所有的平面图形都可以密铺。 生2：要想密铺，图形拼接处不留空隙、不重叠。要连续铺成一片。我猜想每种正多边形都可以用一种或几种全等图形进行拼接。 预设2：我们实际操作，验证一下。 预设3： 生1：我们选择任意三角形研究。 生2：我们小组选择几个正多边形研究，正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形来研究。 生3：我们小组选择圆形和任意四边形（包括平行四边形、梯形）研究。 预设4： 生1：圆不能单独密铺。圆与圆之间的曲线之间不能无缝衔接，有缝隙，所以不能密铺。 生2：还发现正五边形拼在一起时，图形之间有空隙，不能无缝衔接，所以正五边形不可以密铺。 预设5： 生1：把3个正五边形拼组成一圈，出现了一个空隙，不能密铺。 生2：算一算五边形每个内角的度数，540°÷5＝108°；当三个角度拼在一起时，360°－108°×3＝36°，有36°的空隙角；用四个角度拼一起时，拼接点角度是108°×4＝432°，大于360°，有重叠，所以正五边形不能密铺。
深化密铺含义，理解和掌握创作密铺图案的方法，积累活动经验，感受数学密铺的美，享受成功经验，激发学好数学的信心。 6．学过的哪种图形能单独密铺？为什么？算一算，图形拼接点的度数和是多少？ 适时板书。 拼接点的度数和＝360° 小结：任意三角形、正方形、长方形、正六边形都可以单独密铺。 正七边形的每个内角约为128．57°，正八边形的每个内角为135°。正七边形、正八边形能单独密铺吗？ 7．追问：如图，正八边形和谁拼在一起，就可以密铺？为什么？ 8．对比上面的图形，总结一下，多边形密铺的规律是什么？ 师生共同小结：任何图形，如拼组相交于一点时，各角的度数和等于360°就可以密铺。 活动二：设计创作密铺的图形 1．仔细观察，右图是由左图的正方形变化设计得到的，能说说，基本图形能单独密铺吗？右图的设计过程是什么吗？ 2．仔细观察第二张图，右图是由正方形变化设计得到的，能说说，基本图形能密铺吗？设计过程是什么吗？ 3．像这样，你能选择一种可以密铺的多边形，通过图形的运动设计出你喜欢的密铺图案吗？创作设计中，应该注意什么？ 引导学生畅所欲言，明确设计密铺图案的基本方法。 4．小组合作，拿出纸和笔，绘制创作密铺图案。 教师巡视指导。设计完之后，下节课展示作品，分享创作的活动。 生3：因为一圈的度数是360°，如果一个图形各内角拼在一起的和大于360°，就会出现重叠；小于360°就有空隙，所以拼在一起的各角度和等于360°才能密铺。 预设6： 生1：三角形的内角和是180°，6个相同的三角形恰好可以拼在一起是360°，它可以单独密铺。 生2：四边形中，正方形、长方形的每个角是90°，四个拼组的拼接点正好是360°，它们可以单独密铺。任意四边形要看拼接点，如果是360°就可以单独密铺。 生3：六边形的内角和是720°，每个内角是120°，3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度的和正好是360°，能够无缝隙、不重叠地铺成一片，可以密铺。 生4：360°不是128．57°的整数倍，不能实现无缝隙密铺，正七边形不能单独密铺。 生5：360°也不是135°的整数倍，正八边形不可以单独密铺。 预设7：正八边形不能单独密铺，但正方形的4个内角正好是360°，所以正八边形可以与正方形等其他图形组合密铺。 预设8： 生1：能单独密铺图形的各角相交于一点时，这些角的度数和等于360°。 生2：当两种或多种图形拼组，相交的角度和是360°时，也可以密铺。 活动二：设计创作密铺的图形 预设1： 生1：先把正方形的下面和左面各剪去一块，分别补在它的上面和右面，得到变形的这个基本图案可以单独密铺。生2：借助变形的这个基本图案，通过很多次平移，可以设计出右边的密铺图案。 预设2： 生1：把正方形的左面剪去一块小半圆，再把它绕点A逆时针旋转90°补到上面，得到的基本图形可以单独密铺。 生2：借助变形的这个基本图案，通过图形的旋转，可以设计出右边的密铺图案。 预设3： 生1：可以选择能密铺的三角形、四边形、正六边形等图形，进行平移、旋转得到密铺图案。 生2：也可以把图形变换变形，再进行平移、旋转得到密铺图案。 生3：如果用不能密铺的正五边形、正七边形、正八边形创作时，需要补充空隙部分，转化成密铺图形。 预设4：学生设计图案，上颜色，做好下节课分享的准备。分享中，要介绍创作的作品中包含了哪些基本图形，如何运动或互相弥补就转化成了美丽的密铺图案。
通过全课小结，逐步养成自觉反思的好习惯。 三、引导反思 本节课有什么收获？关于密铺，还想了解什么问题？记录下来，并选择一个问题，查找资料，寻找答案，下节课分享给大家。 三、提升问题 预设1：图形之间没有重叠，也没有空隙地铺满整个平面的现象，就是密铺。 预设2：知道了图形拼接点的角度和是360°就能密铺。
板书设计
第 页 / 共 页综合与实践　有趣的密铺
一、活动分析
活动核心素养分析
有趣的密铺的主要学习内容包括认识密铺，设计密铺方案和小讲堂。“密铺”也称为镶嵌，是用形状相同或不同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠地铺满整个平面，是生活中非常普遍的现象。教材编排以蜂巢、瓷砖、地毯等生活实例为载体，引导学生探究密铺的含义，理解密铺的原理，动手设计密铺图案等环节，体验一节充满了生活气息和数学美感的综合实践活动，探索密铺奥秘，感悟数学之美，让严谨的数学呈现出趣味性。
《义务教育数学新课程标准》指出“综合与实践是小学数学学习的重要领域，学生将在实际情境和真实问题中，感悟自然界和生活中的数学，在获取知识的同时，激发学习数学的兴趣。为了在活动中培养学生的创新意识，形成和发展核心素养”，因此，本实践活动是在真实情境中，围绕密铺展开，通过蜂巢、瓷砖、地毯等生活实例引入密铺，理解密铺就是图形之间既没有重叠也没有空隙地铺满整个平面的现象。引导学生围绕“什么样的图形可以密铺”“为什么这些图形可以密铺”“哪些多边形可以密铺”等问题，展开合作探究活动。活动小组选择若干个多边形展开合作，看看能不能密铺，了解密铺的特点，理解和掌握平面图形密铺本质，渗透研究问题的一般方法，激发学习兴趣。进而设计密铺图案，分享小讲堂及评价环节。教材以“问题探究——动手操作——创意设计”为线索，将几何知识、艺术审美与实践能力培养融为一体，既巩固了多边形内角和、平面图形特征等数学基础，又强化了空间观念、推理能力和创新意识，体现数学学科的实践性与综合性。
有趣的密铺属于综合与实践领域，是跨学科的主题学习活动。核心素养的主要表现是空间观念、模型意识和创新意识。
活动教学目标
1．知识与技能：通过体验活动，理解密铺的含义，感悟拼接点形成360°的角的密铺原理；能正确判断密铺的单一图形或组合图形；形成空间观念和模型意识。
2．过程与素养：让学生经历“猜想—验证—拓展—设计—分享”探究过程，运用密铺特征及原理，能设计简单的密铺设计方案和密铺图形，自主提升设计密铺图形的能力，形成创新意识。
3．情感与品格：通过小讲堂分享问题和经验，开阔视野，感受密铺在生活与艺术中的应用，体会数学与美学的融合，激发跨学科探究兴趣与创新意识，感受数学学习的价值，增强学好数学的信心。
活动教学整体结构
单元板块 主要任务 教师主要问题链 学生主要活动 评价目标
综合与实践 任务一 有趣的密铺P95－97 问题一：每个图形是由什么基本图形拼成的？有什么共同特点？像这种，图形之间没有重叠，也没有空隙地铺满整个平面的现象，是一种有趣的数学现象，是什么现象呢？叫什么名字合适？什么是密铺？上面的密铺图分别是由什么图形密铺而成的？ 活动一：初步感悟密铺图形的含义。 目标一：通过欣赏生活中的密铺图案，初步认识密铺，理解密铺的含义，感悟密铺的基本特点，感受数学与生活的联系，激发探究兴趣。
问题二：猜一猜，学过的哪些图形可以单独密铺？怎么验证大家的猜想？想选择哪些图形验证？摆一摆、拼一拼，能不能密铺？哪些图形不可以单独密铺？为什么正五边形不能密铺？为什么拼接点的度数和必须是360°才能密铺？哪些图形可以单独密铺？算一算，拼接点的角度和是多少度？正七边形、正八边形能密铺吗？正八边形和谁拼在一起，两种图形就可以密铺？对比上面的图形，总结一下多边形密铺的规律是什么？ 活动二：合作探究密铺图形的规律。 目标二：经历猜想、验证、归纳的过程，感悟圆、正五边形、正七边形、正八边形不能单独密铺的原理，理解密铺的数学本质，掌握图形拼组的各角拼接点，角的度数和等于360°可以密铺的规律，形成几何直观、空间观念和推理能力。
问题三：（课件出示图片） 右图是由左图的正方形变化设计得到的，基本图形能单独密铺吗？右图设计过程是什么？第二张图的基本图形能密铺吗？设计过程是什么？像这样，你能选择一种可以密铺的多边形，通过图形的运动设计出你喜欢的密铺图案吗？创作设计中，应该注意什么？ 活动三：自主创作密铺图案。 目标三：经历自主分析、创作的过程，运用密铺特征及原理，能设计简单的密铺设计方案和密铺图形，提升设计密铺图形的能力，形成创新意识。
任务二 “密铺”小讲堂P97 问题一：你创作的作品名称是什么？作品有哪些密铺特点？其中包含的基本图形是什么？这些图形如何通过平移、旋转或对称等变换方式无缝拼接成密铺图案？在创作中遇到哪些疑问或思考？ 活动一：分享设计的密铺作品。 目标一：分享中，体会数学与美学的融合，激发跨学科探究兴趣与创新意识，感受数学学习的价值。
问题二：关于密铺，你还想了解什么？密铺是怎么产生和发展的？将密铺与艺术结合得很高超的荷兰艺术家埃舍尔，创作了哪些融合密铺的优秀作品？ 活动二：分享关于密铺的拓展问题。 目标二：进一步丰富关于密铺的知识，感悟密铺的魅力，激发学习数学的兴趣。
问题三：回顾整个活动，有什么收获？如何评价自己和同学们在活动中的表现呢？ 活动三：评价活动。 目标三：养成自觉反思的良好学习习惯。
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