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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十一章
课标要求 1. 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为标准形式。 2. 理解配方法的数学思想，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能解数字系数的一元二次方程。 3. 掌握一元二次方程根的判别式，能利用判别式判断方程实数根的情况（有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根）。 4. 了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单的求值应用。 5. 能从实际情境、几何情境中抽象数量关系，列出一元二次方程求解，能根据实际意义检验方程解的合理性，舍去不合理解。 6. 在解方程与建模过程中，体会转化、降次、数形结合、分类讨论等数学思想，发展运算能力、模型观念、推理意识与应用意识。
内容分析 《一元二次方程》是华师大版九年级上册第21章内容，是初中阶段最后一类整式方程，是对七年级一元一次方程、八年级分式方程的延伸与提升。本章以“二次、整式、一元”为核心特征，将方程次数从一次提升到二次，是学生代数运算能力与方程建模能力的重要进阶。 本单元不仅是初中数学计算板块的重点与难点，也是后续学习二次函数、反比例函数、高中一元二次不等式、导数、解析几何的基础，同时在增长率、面积、利润、运动几何等实际问题中具有广泛应用，是中考必考核心单元。
学情分析 九年级学生已经熟练掌握一元一次方程、整式运算、因式分解、完全平方公式、平方根等知识，具备解方程的基本经验和代数变形能力，为本章学习奠定基础。但学生对“二次降为一次”的转化思想理解较浅，配方的恒等变形容易出错。九年级学生抽象思维、逻辑推理能力显著提升，能够接受复杂代数运算和结构化解题步骤，但机械运算多、理解性思考少，容易出现公式记错、符号出错、漏项等典型问题。同时九年级学生普遍存在：①忽略二次项系数不为零；②配方时常数项变形错误；③公式法代入符号出错；④因式分解法漏解；⑤实际问题不检验解的合理性。
单元目标 （一）教学目标 1. 理解一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程，熟练将方程化为一般形式，准确识别各项系数。 2. 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能根据方程特点选择最优解法，熟练求解一元二次方程。 3. 理解根的判别式的意义，能利用判别式判断根的情况，能解决简单含参数根的存在性问题。 4. 了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单代数式求值。 5. 能根据实际问题、几何问题建立一元二次方程模型，求解并检验解的合理性。 （二）教学重点、难点 重点 1. 一元二次方程的概念辨析与一般形式转化。 2. 四种解法的熟练运用，能根据方程结构选择最简解法。 3. 根的判别式的理解与应用。 4. 建立一元二次方程模型解决实际问题。 难点 1. 掌握配方法的原理与完整步骤，理解配方的恒等变形思想。 2. 含参数一元二次方程中的隐含条件辨析与分类讨论。 3. 从复杂实际情境中抽象等量关系、准确列方程。 4. 结合实际背景检验、取舍方程的解。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数21.1 认识一元二次方程一元二次方程的概念和一般形式121.2 一元二次方程的解法直接开平方法和因式分解法；配方法；公式法；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根与系数的关系521.3实践与探索一元二次方程解决实际问题问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1 认识一元二次方程理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为标准形式。通过学习，能识别标准一元二次方程，完成基础变形。能熟练整理一般形式，准确写出各项系数。任务一：了解一元二次方程的概念. 任务二：能判断是否为一元二次方程，能化为一般形式. 21.2 一元二次方程的解法1.掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的基本步骤； 2.会用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.1.能正确解基础题型。 2.方法选择合理，步骤规范，无漏解。 3.能灵活变形后再用两种方法解题，纠错能力强.能用两种方法快速解方程；理解降次思想；因式分解法不漏解。1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能. 2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.1.能规范完成任意数字系数配方，步骤完整。 2.能解释配方原理，能利用配方求代数式最值。任务一：掌握完整配方步骤；理解配方恒等变形； 任务二：能对二次项系数不为1的方程配方。1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.1.能套用公式解方程，能判断基础根的情况。 2.代入准确、步骤规范，能根据说明根的三种情况。 熟记求根公式；准确代入符号；能用判别式判断根的情况；简单含参数判别式分析。1.掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系2.由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数1.能直接套用公式求值。 2.能进行简单变形后整体代入。 3.能结合判别式综合求值，严谨审题。熟记两根和、两根积公式； 会整体代入求值； 注意方程有根前提。 21.3实践与探索会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.1.能完成基础建模与求解。 2.等量关系准确，列式正确，能检验合理性。能读懂题意、找准等量关系、正确列方程、规范求解、检验取舍解。
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21章 小结与评价 教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 复习课 单元 第二十一章
课题 21章 小结与评价 课时 1课时
课标要求 依据<义务教育数学课程标准(年版)>，本章需学生理解一元二次方程的概念与一般形式；熟练掌握配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用根的判别式判别方程实根的情况，初步了解根与系数的关系；能结合实际情境列方程求解，检验解的合理性，发展运算能力与数学建模素养.
教材分析 本章是华师大版九年级上册第 21 章，属于方程模块的收官内容。在之前学生已经学习一元一次方程、分式方程基础上，进一步学习整式二次方程，是后续学习二次函数的重要基础。本节课为单元复习课，依托教材小结部分的知识结构图，将零散知识点串联，突出降次转化这一核心思想：把一元二次方程转化为一元一次方程求解。同时强调配方法的工具价值，不仅用于解方程，也是后续二次函数配方变形的基础；在实际应用中，强调方程解的检验与取舍。
学情 分析 九年级学生已经完成本章新授课学习，基本掌握一元二次方程相关概念与解法，但存在几点典型问题： 1. 解方程时方法选择盲目，不会根据方程特征灵活选用最优解法；配方法容易在常数项移项、配方步骤出错。 2. 根的判别式、根与系数的关系容易混淆，忽略一元二次方程二次项系数(a≠0)这个隐含条件。 3. 应用一元二次方程解决实际问题时，求出方程根后忘记检验根是否符合实际情境，不会合理取舍。 4. 学生已经具备一定归纳能力，但自主构建知识框架能力较弱，需要教师引导梳理知识体系，强化转化思想。
核心素养目标 1.梳理一元二次方程单元知识框架，巩固一元二次方程的概念，理解方程模型。 体会 “降次转化” 的数学思想，理解配方法推导求根公式的逻辑。 2.熟练掌握四种解法，能根据方程特点灵活选法，提升解方程运算能力；掌握根的判别式、根与系数关系的简单运用。 3.能从实际问题中提取等量关系，建立一元二次方程模型，检验方程解的实际意义。
教学重点 1. 构建一元二次方程知识体系，熟练选用合适方法解一元二次方程。 2. 根的判别式、根与系数关系的简单应用；一元二次方程解决实际问题。
教学难点 1. 深刻理解 “降次转化” 的数学思想；配方法的理解与灵活运用。 2. 实际问题中，根据现实意义对一元二次方程的两个根进行检验与取舍。
教学 准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 知识图谱 认真听讲。 在知识体系的指导下，学生可以更有针对性地进行学习。借助教材小结的知识结构图，让学生整体感知单元知识脉络，开门见山，明确本节课复习主题。
二、探究 知识点一：一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 3.注意事项： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程. 4.项数和系数： ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0) 二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项:c 跟踪训练 1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( A ). A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D. m≠0 分析：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项(二次项系数不为0)，因此它的系数m-1≠0，即m≠1，故选A. 2.关于x的一元二次方程3x2-5x+1=0的二次项系数和一次项系数分别为( D ). A. 3，5 B. 3，1 C. 3x2，-5x D. 3，-5 3.填空 (1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是___4____ , 一次项系数是__-2____，常数项是___0___. (2)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为__-1____. 知识点二：解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及适用类型 跟踪训练 1.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为( A ). A. (x-1)2=6 C. (x+1)2=6 B. (x+2)2=9 D. (x-2)2=9 2.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-13x+36=0的根， 则该三角形的周长为( A ). A.13 B.15 C.18 D.13或18 分析：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三边长为9或4. 边长为9，3，6不能构成三角形； 而4，3，6能构成三角形， 所以三角形的周长为3+4+6=13， 故选A. 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤). 公式法：∵a=1，b=-4，c=-1， ∴Δ=b2-4ac =(-4)2-4×1×(-1)=20>0, ∴方程有两个不相等的实数根， 即x1= 2+ ，x2= 2- . 配方法：移项，得x2-4x=1， 配方，得x2-4x+22=1+22， (x-2)2=5， 由此可得x-2= ， 即x1= 2+ ，x2= 2- . 知识点三：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系 数学语言：若ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2， 则 文字语言: 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件：1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； 2.方程有实数根，即Δ≥0. 跟踪训练 1.关于x的一元二次方程x2-2x-k2=0的根的情况是( A ). A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 分析：关于x的一元二次方程x2-2x-k2=0，∵a=1，b=-2，c=-k2, ∴Δ=(-2)2-4×1×(-k2)=4+4k2. ∵k2≥0，∴4+4k2>0，即Δ>0， ∴原方程有两个不相等的实数根. 故选A. 2.若关于x的一元二次方程x2-m=4x没有实数根，则实数m的取值范围是( A ). A. m<-4 B. m>-4 C. m>4 D. m<4 跟随教师回顾知识点，回答问题，做好笔记，辨析易错点。 独立完成例题，上台展示解题过程，交流解法选择思路 跟随教师回顾知识点，回答问题，做好笔记，辨析易错点。 独立完成例题，上台展示解题过程，交流解法选择思路。 跟随教师回顾知识点，回答问题，做好笔记，辨析易错点。 独立完成例题，上台展示解题过程，交流解法选择思路。 通过反复回顾和思考，学生可以对所学知识进行更深入的理解，发现其中的内在联系和规律，形成更加稳固的知识体系。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.给出下列关于x的方程： ①x2＋4x－2＝0， ② 4(1－x)2＝2， ③kx2＋4x－1＝0， ④(m－1)x2＋2x＋m＝1， ⑤(x＋1)2＝(2x－2)2， ⑥(m－1)x2＋2x＋m2＝1. 在上述所给的方程中，一定是一元二次方程的是①②⑤； 2.若一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2＝1的常数项为0，则m的值为 (　D　). A. ±1 B．1 C．-1 D．0 3.延时课上，4名同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是(　D　) A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 4.用合适的方法解下列方程： (1)x2－8x－11＝0； (2)(y－1)2＝2y(y－1)； 解：(1)原方程整理为x2－8x＝11， x2－8x＋16＝11＋16， (x－4)2＝27， x－4＝±3， ∴x1＝4＋3，x2＝4－3. (2)解：原方程整理为(y－1)2－2y(y－1)＝0， ∴(y－1)(y－1－2y)＝0， ∴y－1＝0或y－1－2y＝0， 解得y1＝1，y2＝－1. 选做题： 5.一元二次方程x2-kx-3=0的根的情况是（ B ）. A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6．在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要进行两轮比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若需要10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队的支数为(　B　) A．15 B．16 C．17 D．18 【综合拓展类作业】 7.如图所示，某景区计划在一个长为36 m，宽为20 m的矩形空地上修建一个停车场，其中阴影部分为三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336 m2，空白部分为宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？ 解：设行车通道的宽度为x m. 根据题意，得(36－4x)(20－2x)＝336. 整理，得x2－19x＋48＝0. 解得x1＝3，x2＝16(不合题意，舍去)． 答：行车通道的宽度是3 m. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 以问题串归纳全章网络,并用自评量表对自己"教-学-评"达成度打分,形成反思. 把小结与评价合一,既建构知识结构,又落实"教-学-评"一致性,培养元认知与反思习惯.
板书设计 23章 小结与评价 知识点一：一元二次方程的基本概念 知识点二：解一元二次方程的方法 知识点三：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．河南郑州期末下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为(　C　) A．x－＝1 B．x2－4＝2y C．－2x2＋3＝0 D．(a－1)x2－2x＝0 2.若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为__5__． 3.若关于x的一元二次方程ax2＋6x－4＝0的解为x1＝1，x2＝2，则关于y的一元二次方程a(y＋1)2＋6(y＋1)－4＝0的解为y1＝0，y2＝1． 【综合拓展类作业】 4.当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值 最小值是多少 解：2x2+8x+12 =2(x2+4x+6) =2(x2+4x+4+2) =2(x+2)2+4. 因为(x+2)2≥0，所以2x2+8x+12≥4， 因此，当x=-2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4.
教学反思 本节课依托教材单元小结结构图开展单元复习，没有单纯刷题，先引导学生自主构建知识网络，突出降次转化核心数学思想。教学中将概念、解法、判别式、实际应用串联起来，例题分层设计，兼顾基础与提升；课堂上让学生自主选择解方程方法，充分发挥学生主体地位。学生能够基本梳理本章知识，大部分学生可以灵活选择一元二次方程解法，对实际问题检验取舍有更深理解。 部分学生对配方法掌握仍然薄弱，配方时移项、加上一次项系数一半的平方容易出错；根与系数关系综合题型，学生容易忽略(a≠0)、(Δ≥0)前提条件。课堂时间有限，学生暴露的错题不能全部细致讲解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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