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第8讲　函数的奇偶性与周期性（讲练案）
2027届高考数学一轮复习　·　讲练结合　·　文末附参考答案与解析
【考情速览】奇偶性与周期性是高考小题里的常客，多数时候和单调性、对称性绑在一起考，落点是求值、比较大小、解不等式、求参数这几类。近三年直接考"由奇偶性求参数"的就有2023年全国甲卷理科第13题、2021年新高考Ⅰ卷第13题。这类题算量不大，丢分几乎都出在两个地方：一是没先看定义域，二是周期判断错了。
一、考点梳理·体系构建
1．函数的奇偶性
前提：函数定义域必须关于原点对称。这是讨论奇偶性的第一步，很多题就卡在这里。
偶函数：对定义域内任意 x，都有 f( x) = f(x)，图象关于 y 轴对称。
奇函数：对定义域内任意 x，都有 f( x) = f(x)，图象关于原点对称。
也可以写成判定式：f( x) f(x) = 0 的是偶函数，f( x) + f(x) = 0 的是奇函数。
【提醒】奇函数在 x=0 处有定义时，必有 f(0)=0；但反过来，f(0)=0 推不出它是奇函数，别把必要条件当充要条件。
2．几个常用结论
① 偶函数满足 f(x) = f( x) = f(|x|)，把自变量换成 |x| 就能去掉负号，比较大小、解不等式时最省事；
② 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数相反，四个字记牢：偶反奇同；
③ 若奇函数 f(x) 在对称区间上有最大值 M，则它在对应区间上有最小值 M；
④ 两个奇函数的积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数。
3．常见函数的奇偶性
奇函数：y = x，y = x ，y = 1/x，y = sin x，y = tan x，y = (a a )/2（a>0 且 a≠1）。
偶函数：y = x ，y = x ，y = |x|，y = cos x，y = (a + a )/2。
记忆方法：式子只含偶次项（常数项算偶次）的是偶函数，只含奇次项的是奇函数。
4．函数的周期性
定义：若存在非零常数 T，使得对定义域内任意 x 都有 f(x+T) = f(x)，则称 f(x) 为周期函数，T 是它的一个周期；所有正周期中最小的那个，叫作最小正周期。
由式子看周期，常用的四条（a>0）：
① f(x+a) = f(x a) T = 2a；
② f(x+a) = f(x) T = 2a；
③ f(x+a) = 1/f(x) T = 2a；
④ f(x+a) = 1/f(x) T = 2a。
【提醒】规律一句话：等号右边只要挂着负号或者取倒数，周期就翻倍。它的推导都是再代一次，考场上忘了可以现场推。
5．对称性与周期性的关系
若 f(a+x) = f(a x)，则 f(x) 的图象关于直线 x = a 对称；a = 0 时就是偶函数。
若 f(a+x) = f(a x)，则 f(x) 的图象关于点 (a, 0) 对称；a = 0 时就是奇函数。
两条对称轴（或两个对称中心）间距为 d 时，周期 T = 2d；一条对称轴与一个对称中心间距为 d 时，T = 4d。
二、基础自测
【说明】先独立做一遍，答案与解析见文末。做错的题目标出来，后面重点听。
1．判断：f(x) = x + 1/x 是偶函数。（　　）
2．函数 f(x) = x + x 是　　　　　　（填"奇函数""偶函数"或"非奇非偶函数"）。
3．若 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，则 f(0) = ______。
4．已知 f(x) 是周期为 4 的偶函数，且 f(1) = 3，则 f(2025) = ______。
5．已知偶函数 f(x) 在 [0，+∞) 上单调递增，则 f( 2) ______ f(3)（填">"或"<"）。
三、核心考点·典例精讲
考点一　函数奇偶性的判断
做这类题固定两步：先看定义域是否关于原点对称，再算 f( x)，和 f(x)、 f(x) 比一比。
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x) = lg((1 x)/(1+x))；
（2）f(x) = (2 1)/(2 + 1)；
（3）f(x) = √(1 x )/(|x+2| 2)。
【解析】（1）由 (1 x)/(1+x) > 0 解得 1 < x < 1，定义域关于原点对称。
f( x) = lg((1+x)/(1 x)) = lg[((1 x)/(1+x)) ] = lg((1 x)/(1+x)) = f(x)。
所以 f(x) 是奇函数。
（2）定义域为 R，关于原点对称。
f( x) = (2 1)/(2 + 1)，分子分母同乘 2 ，得 (1 2 )/(1 + 2 ) = (2 1)/(2 + 1) = f(x)。
所以 f(x) 是奇函数。
（3）由 1 x ≥ 0 得 1 ≤ x ≤ 1；此时 x + 2 > 0，所以 |x+2| 2 = x + 2 2 = x，令 x ≠ 0。
于是定义域为 [ 1，0) ∪ (0，1]，关于原点对称，且在此范围内 f(x) = √(1 x )/x。
f( x) = √(1 x )/( x) = f(x)，所以 f(x) 是奇函数。
【易错点拨】三个小题都得先定定义域。第（3）题里 |x+2| 不能直接去绝对值，要先用定义域把 x+2 的符号定下来，才能化简约分。
【变式1-1】判断 f(x) = x·(1/(2 1) + 1/2) 的奇偶性。
【解析】由 2 1 ≠ 0 得 x ≠ 0，定义域 {x | x ≠ 0} 关于原点对称。
先化简：1/(2 1) + 1/2 = (2 + 2 1)/[2(2 1)] = (2 + 1)/[2(2 1)]，
所以 f(x) = x(2 + 1)/[2(2 1)]。
计算 f( x)：其中 (2 + 1)/(2 1)，分子分母同乘 2 得 (1 + 2 )/(1 2 ) = (2 + 1)/(2 1)，
于是 f( x) = ( x)·[ (2 + 1)]/[2(2 1)] = x(2 + 1)/[2(2 1)] = f(x)。
所以 f(x) 是偶函数。
【方法】遇到指数型分式，先把括号内先通分合并，再算 f( x)；化简后再比较，比硬套定义省一半步骤。
考点二　利用奇偶性求解析式
思路：未知区间上的 x，把 x 转到已知区间，再用 f( x) 与 f(x) 的关系解出来。定义域含原点时，别忘了补 f(0)。
【例2】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时 f(x) = x 2x，求 f(x) 在 R 上的解析式。
【解析】先补原点：f(x) 是 R 上的奇函数且在 x=0 处有定义，所以 f(0) = 0。
再求负半轴：当 x < 0 时， x > 0，由已知得 f( x) = ( x) 2( x) = x + 2x。
又因为 f(x) = f( x)，所以 f(x) = (x + 2x) = x 2x。
综上，f(x) = x 2x（x > 0）；f(x) = 0（x = 0）；f(x) = x 2x（x < 0）。
【易错点拨】原点这一段不能省。写 R 上的解析式必须分 x>0、x=0、x<0 三段，只写负半轴那一段是要扣分的；另外注意 f(x) 与 f( x) 的符号别带反。
【变式2-1】已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥ 0 时 f(x) = x 2x，求 x < 0 时的解析式。
【解析】当 x < 0 时， x > 0，f( x) = ( x) 2( x) = x + 2x。
由偶函数 f(x) = f( x)，得 x < 0 时 f(x) = x + 2x。
顺带看一句：x ≥ 0 的式子 x 2x 与 x < 0 的式子 x + 2x，合起来正好是 f(x) = x 2|x|。
考点三　利用奇偶性与单调性比较大小、解不等式
要害只有一句：偶函数把括号里的式子换成绝对值再比，奇函数靠单调性直接去掉 f。
【例3】已知 f(x) 是偶函数，且在 [0，+∞) 上单调递减，解不等式 f(2x 1) < f(1/3)。
【解析】f(x) 为偶函数，所以 f(2x 1) = f(|2x 1|)。
因为 f(x) 在 [0，+∞) 上单调递减，所以 f(|2x 1|) < f(1/3) 等价于 |2x 1| > 1/3。
即 2x 1 > 1/3 或 2x 1 < 1/3，解得 x > 2/3 或 x < 1/3。
所以解集为 {x | x < 1/3 或 x > 2/3}。
【方法】偶函数在 [0，+∞) 上递减，意思是"离原点越远，函数值越小"。把两边都化成 f(|·|)，再比绝对值的"距离"，注意递减时不等号方向不变、递增时要变。
【变式3-1】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 R 上单调递增，解不等式 f(x) + f(x ) < 0。
【解析】由奇函数得 f(x ) = f( x )，所以原不等式化为 f(x) < f( x )。
因为 f(x) 在 R 上单调递增，所以 f(x) < f( x ) 等价于 x < x ，即 x + x < 0。
解得 1 < x < 0，所以解集为 {x | 1 < x < 0}。
【方法】把一项挪到另一边，用奇函数把负号"吃进"括号里，两个 f 就能直接比括号里的式子。
【变式3-2】已知偶函数 f(x) 在 [0，+∞) 上单调递增，且 f(2) = 0，解不等式 f(x 1) > 0。
【解析】f(x 1) > 0 即 f(x 1) > f(2)。
偶函数满足 f(x) = f(|x|)，且在 [0，+∞) 上递增，所以 f(x 1) > f(2) 等价于 |x 1| > 2。
解得 x 1 > 2 或 x 1 < 2，即 x > 3 或 x < 1，解集为 {x | x < 1 或 x > 3}。
考点四　函数的周期性
【例4】已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+2) = f(x)，且当 x ∈ [0，2] 时 f(x) = x 2x，求 f(2026) 的值。
【解析】由 f(x+2) = f(x) 再代一次：f(x+4) = f(x+2) = [ f(x)] = f(x)，所以 4 是 f(x) 的一个周期。
又 2026 = 4 × 506 + 2，所以 f(2026) = f(2)。
由 x ∈ [0，2] 时 f(x) = x 2x，得 f(2) = 2 2 × 2 = 0。
所以 f(2026) = 0。
【易错点拨】f(x+2) = f(x) 的周期是 4 不是 2。见到右边带负号或取倒数，周期一律翻倍，这是最容易丢分的一步。
【变式4-1】已知 f(x) 是定义在 R 上的函数，且 f(x+2) = 1/f(x)，f(1) = 3，求 f(2027) 的值。
【解析】f(x+4) = 1/f(x+2) = 1/(1/f(x)) = f(x)，所以周期为 4。
2027 = 4 × 506 + 3，所以 f(2027) = f(3)。又 f(3) = 1/f(1) = 1/3。
所以 f(2027) = 1/3。
【变式4-2】已知 f(x) 满足 f(x+1) = 1/f(x)，且 f(1) = 2，求 f(2025) 的值。
【解析】f(x+2) = 1/f(x+1) = 1/( 1/f(x)) = f(x)，所以周期为 2。
2025 = 2 × 1012 + 1，所以 f(2025) = f(1) = 2。
考点五　奇偶性与周期性的综合
【例5】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x+4) = f(x)。当 x ∈ (0，2) 时，f(x) = x 2x，求 f(2025) + f(2026) 的值。
【解析】由 f(x+4) = f(x) 知周期为 4。
2025 = 4 × 506 + 1，所以 f(2025) = f(1) = 1 2 × 1 = 1。
2026 = 4 × 506 + 2，所以 f(2026) = f(2)。
x = 2 不在已知区间内，用周期和奇偶性来定：由 f(2) = f(2 4) = f( 2)，又 f(x) 为奇函数，f( 2) = f(2)，
所以 f(2) = f(2)，解得 f(2) = 0。
因此 f(2025) + f(2026) = 1 + 0 = 1。
【方法】奇偶性负责"跨过原点"，周期性负责"跨过整数个周期"。先把大数化进已知区间，再借奇偶性处理负号。区间端点要单独想办法：常用 f(0) = 0，或者像本题这样由奇偶性列一个关于该值的方程解出来。
【变式5-1】已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f(x+2) = f(x)。当 x ∈ [0，1] 时 f(x) = x ，求 f(2025) 与 f( 3/2) 的值。
【解析】周期为 2。2025 = 2 × 1012 + 1，所以 f(2025) = f(1) = 1。
再由偶函数得 f( 3/2) = f(3/2)；由周期 2 得 f(3/2) = f(3/2 2) = f( 1/2) = f(1/2) = (1/2) = 1/4。
所以 f(2025) = 1，f( 3/2) = 1/4。
【变式5-2】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且其图象关于直线 x = 1 对称。若 f(1) = 2，求 f(2019) + f(2020) 的值。
【解析】奇函数的图象关于原点 (0，0) 对称，又已知它关于直线 x = 1 对称。一个对称中心与一条对称轴相距 1，所以周期 T = 4 × 1 = 4。
2019 = 4 × 504 + 3，所以 f(2019) = f(3)；再由周期得 f(3) = f(3 4) = f( 1) = f(1) = 2。
2020 = 4 × 505，所以 f(2020) = f(0) = 0。
因此 f(2019) + f(2020) = 2 + 0 = 2。
【方法】"一轮一轴"的题目，先把轴与中心的距离 d 找出来，周期就是 4d；再按周期把大数化进已知区间。
四、易错清零
易错1　忘了先看定义域是否关于原点对称。
f(x) = x ，但定义域取 [ 1，2]，形式上满足 f( x) = f(x)，定义域却不关于原点对称，所以它不是偶函数。任何奇偶性问题，第一句都该问：定义域关于原点对称吗？
易错2　把 f(0) = 0 当成奇函数的充要条件。
f(0) = 0 只是奇函数的必要条件。例如 f(x) = x 在 R 上满足 f(0) = 0，却是偶函数。只有"定义域关于原点对称 + f( x) = f(x)"才构成奇函数。
易错3　把 f(x+2) = f(x) 的周期写成 2。
正确推导：f(x+4) = f(x+2) = f(x)，周期是 4。规律是等号右边带负号或取倒数，周期翻倍。
易错4　用奇偶性求解析式时漏掉 x = 0。
求 R 上奇函数的完整解析式，必须分成 x > 0、x = 0、x < 0 三段，原点处的值不能省；分段写完之后还要回头验一下符号方向对不对。
易错5　偶函数在对称区间上单调性的方向记反。
偶函数在 ( ∞，0) 与 (0，+∞) 上单调性相反，奇函数则相同，"偶反奇同"四个字要记牢，尤其是用来解不等式的时候。
五、课时作业
A组　基础过关
1．下列函数中，既是偶函数又在 (0，+∞) 上单调递增的是（　　）
A．y = x 　　B．y = |x| + 1　　C．y = x + 1　　D．y = 1/x
2．若 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥ 0 时 f(x) = 2x + 1，则 f( 1) =（　　）
A． 3　　B． 1　　C．1　　D．3
3．若 f(x) = (x + a)/(x + 1) 是奇函数，则 a = ______。
4．已知 f(x) 满足 f(x+3) = f(x)，则 f(x) 的一个正周期为______。
5．已知奇函数 f(x) 在 [0，+∞) 上单调递增，且 f(1) = 1，则不等式 f(x) < 1 的解集为______。
6．若偶函数 f(x) 在 [0，+∞) 上单调递减，且 f(2) = 0，则不等式 f(x) > 0 的解集为______。
B组　能力提升
1．已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时 f(x) = x + 2x，则 f( 1) + f(0) 的值为（　　）
A． 1　　B． 3　　C．1　　D．3
2．（多选）下列结论正确的是（　　）
A．若 f(x) 是奇函数，则 f(0) = 0
B．若 f(x) 是偶函数，则 f(x) = f(|x|)
C．若 f(x) 满足 f(x+2) = f(x)，则 4 是 f(x) 的一个周期
D．若 f(x) 的图象关于直线 x = 1 对称，则 f(x+2) = f( x)
3．已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0，+∞) 上单调递增。若 f(a+1) < f(2)，求实数 a 的取值范围。
4．已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+2) = f(x)，且当 x ∈ [ 1，1] 时 f(x) = x ，求 f(2025) + f(2026) 的值。
C组　真题体验
1．（2023·全国甲卷·理·T13）若 f(x) = (x 1) + ax + sin(x + π/2) 为偶函数，则 a = ______。
2．（2021·新高考Ⅰ卷·T13）已知函数 f(x) = x (a·2 2 ) 是偶函数，则 a = ______。
六、参考答案与解析
基础自测
1．×。定义域 {x | x ≠ 0} 关于原点对称，但 f( x) = x 1/x 既不等于 f(x)，也不等于 f(x)，所以它是非奇非偶函数。
2．奇函数。定义域 R 关于原点对称，f( x) = x x = (x + x) = f(x)。
3．0。奇函数在原点处有定义时 f(0) = 0。
4．3。2025 = 4 × 506 + 1，由周期 4 得 f(2025) = f(1) = 3。
5．<。f( 2) = f(2)，f(x) 在 [0，+∞) 上递增且 2 < 3，所以 f(2) < f(3)，即 f( 2) < f(3)。
课时作业　A组
1．B。y = x 、y = 1/x 都是奇函数；y = x + 1 在 (0，+∞) 上递减；y = |x| + 1 是偶函数且在 (0，+∞) 上递增，选 B。
2．D。f( 1) = f(1) = 2 × 1 + 1 = 3。
3．0。定义域 R 关于原点对称，由 f( x) = f(x) 得 ( x + a)/(x + 1) = (x + a)/(x + 1)，即 x + a = x a，所以 a = 0。
4．6。f(x+6) = f(x+3) = [ f(x)] = f(x)，所以 6 是它的一个正周期。
5．( ∞，1)。奇函数在 [0，+∞) 上递增，则在 R 上递增；f(x) < 1 = f(1) 等价于 x < 1。
6．( 2，2)。偶函数满足 f(x) = f(|x|) 且在 [0，+∞) 上递减，所以 f(x) > f(2) 等价于 |x| < 2，解得 2 < x < 2。
课时作业　B组
1．A。x > 0 时 f(1) = 1 + 2 = 1；由奇函数 f( 1) = f(1) = 1；又 f(0) = 0。所以 f( 1) + f(0) = 1。
2．BCD。A 错：奇函数只有在原点有定义时才有 f(0) = 0；B 对：偶函数满足 f(x) = f( x) = f(|x|)；C 对：f(x+4) = f(x+2) = f(x)；D 对：关于直线 x = 1 对称即 f(1+t) = f(1 t)，令 t = x+1 得 f(x+2) = f( x)。
3． 3 < a < 1。f(x) 为偶函数且在 [0，+∞) 上递增，所以 f(a+1) < f(2) 等价于 |a+1| < 2，即 2 < a + 1 < 2，解得 3 < a < 1。
4．1。周期为 2。2025 = 2 × 1012 + 1，f(2025) = f(1) = 1；2026 = 2 × 1013，f(2026) = f(0) = 0。所以 f(2025) + f(2026) = 1。
课时作业　C组
1．2。因为 sin(x + π/2) = cos x 是偶函数，所以 f(x) = x 2x + 1 + ax + cos x = x + (a 2)x + 1 + cos x。要使 f(x) 为偶函数，一次项系数必须为 0，即 a 2 = 0，得 a = 2。
2．1。定义域 R 关于原点对称。f( x) = ( x) [a·2 2 ] = x (2 a·2 )，由 f( x) = f(x) 得 2 a·2 = a·2 2 。
整理得 (1 a)(2 + 2 ) = 0。因为 2 + 2 > 0 恒成立，所以 a = 1（x = 0 时等式恒成立，不影响结论）。
使用建议：本讲按"理解定义---判断奇偶---求解析式---比大小解不等式---处理周期"的顺序推进，例题与作业均给出规范解答。建议先做"基础自测"找出薄弱点，再对照考点回看例题，最后用"课时作业"限时训练，重点检查定义域和周期这两处。

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