资源简介

第11讲　对数的运算（讲练案）
2027届高考数学一轮复习
知识整合　体系重构
激活思维
1．(教材经典题)计算 log327 ＋ lg 100 － ln e 的值为(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
2．(教材经典题改编)若 lg 2 ＝ a，则 lg 5 ＝(　　)
A．1 － a　　　B．a － 1　　　C．2 － a　　　D．a － 2
3．(教材经典题)计算 (lg 2)2 ＋ lg 2 · lg 5 ＋ lg 5 的值为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．lg 5　　　D．lg 2 · lg 5
4．(教材经典题改编)若 log23 ＝ a，log25 ＝ b，则 log245 ＝(　　)
A．2a ＋ b　　　B．a ＋ 2b　　　C．2ab　　　D．a2b
5．(多选)下列各式正确的是(　　)
A．log28 ＝ 3　　　B．lg 2 · lg 5 ＝ lg 10
C．log34 ＝ 2log32　　　D．loga(M ＋ N) ＝ logaM ＋ logaN
聚焦知识
1．对数的概念
若 a 的 b 次方 ＝ N(a＞0，a≠1，N＞0)，则 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b ＝ logaN．其中 a 叫做底数，N 叫做真数．
【提醒】底数必须满足 a＞0 且 a≠1，真数必须满足 N＞0．零和负数没有对数，这一步没看清，后面全错．
2．对数的基本性质
(1) loga1 ＝ 0，logaa ＝ 1(a＞0 且 a≠1)．
(2) a 的 logaN 次方 ＝ N(a＞0 且 a≠1，N＞0)，即底数的对数次幂还原成真数．
(3) 常用对数 lg N ＝ log10N，自然对数 ln N ＝ logeN，其中 e ＝ 2.718 28…．
3．对数的运算法则(a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0)
(1) loga(MN) ＝ logaM ＋ logaN，积的对数拆成对数的和．
(2) loga(M/N) ＝ logaM － logaN，商的对数拆成对数的差．
(3) logaMn ＝ n·logaM(n∈R)，真数的幂可以提到对数前面．
(4) loga(M 的 n 次方根) ＝ (1/n)logaM(n∈N*，n＞1)．
【提醒】三条法则都要求 M＞0，N＞0．真数能拆才拆，若真数本身含有待定字母，要先把取值范围写在草稿上．
4．换底公式及推论
(1) 换底公式：logab ＝ (logcb)/(logca)(a＞0 且 a≠1，b＞0，c＞0 且 c≠1)，常取 c ＝ 10 化为常用对数，即 logab ＝ (lg b)/(lg a)．
(2) logab · logba ＝ 1(a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1)．
(3) logab ＝ 1/(logba)．
【提醒】后两式都是换底公式代入后的结果，考场现推只用一步，不必死记．
5．换底公式的常用变形式
名称 表达形式 使用要点
换底公式 logab ＝ (lg b)/(lg a) 新底可任取，一般取 10
倒数关系 logab · logba ＝ 1 底数与真数互换，两式互为倒数
幂底公式 log49 ＝ log23 底与真数同时升幂，幂次相除后约去
倒数换底 logab ＝ 1/(logba) 分母上的对数不能为 0
6．常用结论
(1) lg 2 ＋ lg 5 ＝ 1，lg 2 ＝ 1 － lg 5，lg 5 ＝ 1 － lg 2．化简含 lg 2、lg 5 的式子时，先把它们换成同一个字母，能省一大半计算．
(2) 比较两个对数的大小：同底比真数，同真数比底数，底数真数都不同时，先与 0、1 比较，再换底或借中间量．
(3) 底数与真数同大于 1，或同小于 1 时，对数取正值；否则取负值．判断对数符号用这一条最快．
题型突破　思维拓展
举题说法
目标1　对数的概念与基本性质
例1　(1) 若对数式 log(x－1)(3 － x) 有意义，则 x 的取值范围是(　　)
A．(1，3)　　　B．(1，2)∪(2，3)　　　C．(1，2)　　　D．(2，3)
(2) 计算 log2(1/8) ＋ log31 ＋ 5 的 log53 次方 的值为(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．3
【方法】求对数式，先把底数与真数能化成同底幂的部分化成幂，再用基本性质求值．判断对数式是否有意义，要把底数、真数、底数不为 1 三个条件一次性列全．
变式1　(1) 若 log2[log3(log4x)] ＝ 0，则 x ＝______．
(2) 已知 f(x) ＝ logax(a＞0 且 a≠1)，且 f(4) ＝ 2，则 a ＝______．
目标2　对数的运算法则与化简求值
例2　计算下列各式的值．
(1) (lg 5)2 ＋ lg 2 · lg 50；
(2) lg 25 ＋ (2/3)lg 8 ＋ lg 5 · lg 20 ＋ (lg 2)2．
【方法】化简对数式有三条常用路：一是把真数拆成幂的乘积，把幂提到对数前面；二是把 lg 5 换成 1 － lg 2，全式统一成一个字母；三是把出现多次的 lg 2 ＋ lg 5 当成整体．第(1)小题走第一条，第(2)小题走第三条．
变式2　(1) 计算 log2(1/25) · log3(1/8) · log5(1/9) ＝______．
(2) 计算 4 的 log23 次方 ＋ 9 的 log32 次方 ＝______．
目标3　换底公式及其应用
例3　(1) (log43 ＋ log83)(log32 ＋ log92) 的值为(　　)
A．5/4　　　B．5/6　　　C．3/2　　　D．5
(2) 已知 log23 ＝ a，log37 ＝ b，则 log4256 ＝______(用 a，b 表示)．
(3) 已知 2 的 x 次方 ＝ 5 的 y 次方 ＝ 10，则 (1/x) ＋ (1/y) ＝______．
【方法】不同底的对数相乘，先把各项的底统一到同一个数(常用 2、3、10)，再用 logab · logba ＝ 1 收尾．第(1)小题两个括号各提公因式，第(2)小题把 42 与 56 都拆成质因数的积，第(3)小题把指数式化成对数式后再取倒数．
变式3　(1) 计算 (log23 ＋ log49)(log34 ＋ log92) ＝______．
(2) 已知 lg x ＋ lg y ＝ 2lg(x － 2y)(x＞0，y＞0)，则 x/y 的值为______．
目标4　对数运算的实际应用
例4　(1) 里氏震级 M ＝ lg A － lg A0，其中 A 是地震仪记录的最大振幅，A0 是相应的标准地震振幅．若某次地震的最大振幅 A ＝ 1 000，此时标准地震的振幅 A0 ＝ 0.001，则此次地震的震级为(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
(2) 声强级 L ＝ 10lg(I/I0)(单位：dB)，其中 I0 ＝ 10－12 W/m2．若某处的声强 I ＝ 10－3 W/m2，则该处的声强级为______dB．
【方法】实际应用问题先按题设代公式，再把真数整理成 10 的整数次幂，用 lg 10n ＝ n 直接得数．量级比较大小时，算两式之比再取对数，比直接算数更省力．
变式4　已知某次地震的震级为 7.0，另一次地震的最大振幅是它的 1/1000，则另一次地震的震级为______．
易错清零　精准避坑
五个高频错点
1．把法则用反方向：误认为 loga(M ＋ N) ＝ logaM ＋ logaN．法则只对真数的"积、商、幂"成立，和对数的对象必须是一个整体真数，和不能直接拆开．
2．漏掉真数必须为正：凡出现 lg x、lg y 的式子，都要先写下 x＞0、y＞0．解方程解出的结果要代回原式检验，把使真数非正的根去掉．
3．把 loga1 记成 1：loga1 ＝ 0，logaa ＝ 1．这两个值最容易被记混，写题时认准真数是"1"还是"a"．
4．换底时取了 c ＝ 1：换底公式中的新底 c 必须满足 c＞0 且 c≠1，取 1 作底没有意义．
5．把 lg 2 · lg 5 与 lg 2 ＋ lg 5 混为一谈：lg 2 ＋ lg 5 ＝ 1，而 lg 2 · lg 5≈0.21．只有"和"等于 1，"积"不是．
随堂内化　即时反馈
1．计算 log26 － log23 ＝______．
2．计算 lg 4 ＋ 2lg 5 ＝______．
3．已知 loga2 ＝ m，loga3 ＝ n，则 loga18 ＝______(用 m，n 表示)．
4．已知 2 的 a 次方 ＝ 3，3 的 b 次方 ＝ 5，则 log215 ＝______(用 a，b 表示)．
配套精练　分层落实
A组　基础过关
1．计算 log525 ＋ log3(1/9) ＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．－1
2．计算 lg 2 ＋ lg 5 ＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．lg 7　　　D．0
3．已知 lg 3 ＝ a，则 lg 300 ＝(　　)
A．a ＋ 1　　　B．a ＋ 2　　　C．a ＋ 3　　　D．2a
4．若 log2x ＝ －1，则 x ＝(　　)
A．2　　　B．1/2　　　C．－2　　　D．1
5．计算 (1/2)lg 25 ＋ lg 2 － lg(1/10) ＝______．
6．计算 2 的 log27 次方 ＋ log39 ＝______．
B组　能力提升
1．计算 lg 25 ＋ lg 2 · lg 50 ＋ (lg 2)2 ＝______．
2．已知 log23 ＝ a，log37 ＝ b，则 log214 ＝______(用 a，b 表示)．
3．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．loga(MN) ＝ logaM ＋ logaN 对任意 M，N 都成立
B．lg 2 ＋ lg 5 ＝ 1
C．log23 · log32 ＝ 1
D．loga(M/N) ＝ logaM － logaN 对任意 M，N 都成立
4．已知 lg x ＋ lg y ＝ 2lg(x － 2y)(x＞0，y＞0)，则 x/y 的值为______．
C组　真题体验
1．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷·10)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 Lp ＝ 20lg(p/p0)，其中常数 p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 p1，p2，p3，则(　　)
A．p1 ≥ p2　　　B．p2 ＞ 10p3
C．p3 ＝ 100p0　　　D．p1 ≤ 100p2
2．(2022·天津卷·6)化简 (2log43 ＋ log83)(log32 ＋ log92) 的值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．6
参考答案与解析
激活思维
1．A　解析：log327 ＝ 3，lg 100 ＝ 2，ln e ＝ 1，所以原式 ＝ 3 ＋ 2 － 1 ＝ 4．故选 A．
2．A　解析：lg 5 ＝ lg(10/2) ＝ lg 10 － lg 2 ＝ 1 － lg 2 ＝ 1 － a．故选 A．
3．B　解析：原式 ＝ lg 2(lg 2 ＋ lg 5) ＋ lg 5 ＝ lg 2 × 1 ＋ lg 5 ＝ lg 2 ＋ lg 5 ＝ 1．故选 B．
4．A　解析：log245 ＝ log2(9 × 5) ＝ log232 ＋ log25 ＝ 2log23 ＋ log25 ＝ 2a ＋ b．故选 A．
5．AC　解析：A 中 log28 ＝ log223 ＝ 3，正确；B 中 lg 2 · lg 5≈0.21，并不等于 1(等于 1 的是 lg 2 ＋ lg 5)，错误；C 中 log34 ＝ log322 ＝ 2log32，正确；D 中法则要求 M＞0，N＞0，且左边是真数"和"的对数，不能拆成对数的和，错误．故选 AC．
题型突破
例1　(1) B　解析：要使对数式有意义，需同时满足 x － 1＞0，x － 1≠1，3 － x＞0．
由 x － 1＞0 且 x － 1≠1 得 x＞1 且 x≠2；由 3 － x＞0 得 x＜3．
所以 1＜x＜3 且 x≠2，即 x∈(1，2)∪(2，3)．故选 B．
(2) B　解析：log2(1/8) ＝ log22－3 ＝ －3；log31 ＝ 0；5 的 log53 次方 ＝ 3．
所以原式 ＝ －3 ＋ 0 ＋ 3 ＝ 0．故选 B．
变式1　(1) 64　解析：由 log2[log3(log4x)] ＝ 0 得 log3(log4x) ＝ 20 ＝ 1；
再由 log4x ＝ 31 ＝ 3 得 x ＝ 43 ＝ 64．
(2) 2　解析：由 f(4) ＝ loga4 ＝ 2 得 a2 ＝ 4，又 a＞0 且 a≠1，所以 a ＝ 2．
例2　(1) 1　解析：因为 lg 50 ＝ lg(2 × 25) ＝ lg 2 ＋ 2lg 5，
所以原式 ＝ (lg 5)2 ＋ lg 2(lg 2 ＋ 2lg 5) ＝ (lg 5)2 ＋ 2lg 2 · lg 5 ＋ (lg 2)2 ＝ (lg 2 ＋ lg 5)2 ＝ 12 ＝ 1．
(2) 3　解析：lg 25 ＝ 2lg 5，(2/3)lg 8 ＝ (2/3) × 3lg 2 ＝ 2lg 2，lg 20 ＝ lg(2 × 10) ＝ lg 2 ＋ 1．
所以原式 ＝ 2lg 5 ＋ 2lg 2 ＋ lg 5(lg 2 ＋ 1) ＋ (lg 2)2
＝ 2(lg 2 ＋ lg 5) ＋ [lg 2 · lg 5 ＋ (lg 2)2 ＋ lg 5]
＝ 2 × 1 ＋ [lg 2(lg 5 ＋ lg 2) ＋ lg 5] ＝ 2 ＋ (lg 2 ＋ lg 5) ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3．
变式2　(1) －12　解析：log2(1/25) ＝ log25－2 ＝ －2log25，log3(1/8) ＝ log32－3 ＝ －3log32，log5(1/9) ＝ log53－2 ＝ －2log53．
所以原式 ＝ (－2)(－3)(－2) × (log25 · log32 · log53) ＝ －12 × (log25 · log53 · log32) ＝ －12 × 1 ＝ －12．
(2) 13　解析：4 的 log23 次方 ＝ (22) 的 log23 次方 ＝ 2 的 2log23 次方 ＝ 2 的 log29 次方 ＝ 9；
9 的 log32 次方 ＝ (32) 的 log32 次方 ＝ 3 的 2log32 次方 ＝ 3 的 log34 次方 ＝ 4．所以原式 ＝ 9 ＋ 4 ＝ 13．
例3　(1) A　解析：log43 ＝ (1/2)log23，log83 ＝ (1/3)log23，所以 log43 ＋ log83 ＝ (1/2 ＋ 1/3)log23 ＝ (5/6)log23；
log92 ＝ (1/2)log32，所以 log32 ＋ log92 ＝ (1 ＋ 1/2)log32 ＝ (3/2)log32．
所以原式 ＝ (5/6) × (3/2) × (log23 · log32) ＝ (5/4) × 1 ＝ 5/4．故选 A．
(2) (ab ＋ 3)/(1 ＋ a ＋ ab)　解析：由 log23 ＝ a 得 lg 3 ＝ a·lg 2；由 log37 ＝ b 得 lg 7 ＝ b·lg 3 ＝ ab·lg 2．
又 56 ＝ 7 × 8 ＝ 7 × 23，42 ＝ 2 × 3 × 7，所以
log4256 ＝ (lg 56)/(lg 42) ＝ (lg 7 ＋ 3lg 2)/(lg 2 ＋ lg 3 ＋ lg 7) ＝ (ab·lg 2 ＋ 3lg 2)/(lg 2 ＋ a·lg 2 ＋ ab·lg 2) ＝ (ab ＋ 3)/(1 ＋ a ＋ ab)．
(3) 1　解析：由 2 的 x 次方 ＝ 10 得 x ＝ log210，由 5 的 y 次方 ＝ 10 得 y ＝ log510．
所以 (1/x) ＋ (1/y) ＝ 1/(log210) ＋ 1/(log510) ＝ log102 ＋ log105 ＝ lg 2 ＋ lg 5 ＝ 1．
变式3　(1) 5　解析：log49 ＝ log23，所以 log23 ＋ log49 ＝ 2log23；log92 ＝ (1/2)log32，
所以 log34 ＋ log92 ＝ 2log32 ＋ (1/2)log32 ＝ (5/2)log32．
所以原式 ＝ 2 × (5/2) × (log23 · log32) ＝ 5 × 1 ＝ 5．
(2) 4　解析：由 lg x ＋ lg y ＝ 2lg(x － 2y) 得 lg(xy) ＝ lg(x － 2y)2，所以 xy ＝ (x － 2y)2，
整理得 x2 － 5xy ＋ 4y2 ＝ 0．两边同除以 y2，得 (x/y)2 － 5(x/y) ＋ 4 ＝ 0，
解得 x/y ＝ 1 或 x/y ＝ 4．又由 x － 2y＞0 得 x/y＞2，故舍去 x/y ＝ 1，取 x/y ＝ 4．
例4　(1) C　解析：M ＝ lg 1 000 － lg 0.001 ＝ 3 － (－3) ＝ 6．故选 C．
(2) 90　解析：L ＝ 10lg(I/I0) ＝ 10lg(10－3/10－12) ＝ 10lg 109 ＝ 10 × 9 ＝ 90(dB)．
变式4　4.0　解析：设两次地震的最大振幅分别为 A1、A2，震级分别为 M1、M2．
由 M ＝ lg A － lg A0 得 M1 － M2 ＝ (lg A1 － lg A0) － (lg A2 － lg A0) ＝ lg A1 － lg A2 ＝ lg(A1/A2)．
因为 A2 ＝ A1/1000，即 A1/A2 ＝ 1000，所以 M1 － M2 ＝ lg 1000 ＝ 3，
故 M2 ＝ M1 － 3 ＝ 7.0 － 3 ＝ 4.0．
随堂内化
1．1　解析：log26 － log23 ＝ log2(6/3) ＝ log22 ＝ 1．
2．2　解析：lg 4 ＋ 2lg 5 ＝ 2lg 2 ＋ 2lg 5 ＝ 2(lg 2 ＋ lg 5) ＝ 2 × 1 ＝ 2．
3．m ＋ 2n　解析：loga18 ＝ loga(2 × 32) ＝ loga2 ＋ 2loga3 ＝ m ＋ 2n．
4．a ＋ ab　解析：由 2 的 a 次方 ＝ 3 得 a ＝ log23；由 3 的 b 次方 ＝ 5 得 b ＝ log35，
所以 log25 ＝ log23 · log35 ＝ ab．故 log215 ＝ log2(3 × 5) ＝ log23 ＋ log25 ＝ a ＋ ab．
配套精练
A组
1．A　解析：log525 ＝ 2，log3(1/9) ＝ log33－2 ＝ －2，所以原式 ＝ 2 ＋ (－2) ＝ 0．故选 A．
2．A　解析：lg 2 ＋ lg 5 ＝ lg(2 × 5) ＝ lg 10 ＝ 1．故选 A．
3．B　解析：lg 300 ＝ lg(3 × 100) ＝ lg 3 ＋ lg 100 ＝ a ＋ 2．故选 B．
4．B　解析：由 log2x ＝ －1 得 x ＝ 2－1 ＝ 1/2．故选 B．
5．2　解析：(1/2)lg 25 ＝ lg 5，lg(1/10) ＝ －1，所以原式 ＝ lg 5 ＋ lg 2 － (－1) ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2．
6．9　解析：2 的 log27 次方 ＝ 7，log39 ＝ 2，所以原式 ＝ 7 ＋ 2 ＝ 9．
B组
1．2　解析：因为 lg 50 ＝ lg(100/2) ＝ lg 100 － lg 2 ＝ 2 － lg 2，所以 lg 2 · lg 50 ＝ lg 2(2 － lg 2) ＝ 2lg 2 － (lg 2)2．
所以原式 ＝ 2lg 5 ＋ 2lg 2 － (lg 2)2 ＋ (lg 2)2 ＝ 2(lg 2 ＋ lg 5) ＝ 2 × 1 ＝ 2．
2．1 ＋ ab　解析：log214 ＝ log2(2 × 7) ＝ log22 ＋ log27 ＝ 1 ＋ (log23 · log37) ＝ 1 ＋ ab．
3．BC　解析：A 中必须 M＞0，N＞0，说法错误；B 中 lg 2 ＋ lg 5 ＝ lg 10 ＝ 1，正确；
C 中 log23 · log32 ＝ 1，正确；D 中同样必须 M＞0，N＞0，说法错误．故选 BC．
4．4　解析：解法同变式3(2)．由 lg x ＋ lg y ＝ 2lg(x － 2y) 得 xy ＝ (x － 2y)2，即 x2 － 5xy ＋ 4y2 ＝ 0，
所以 (x/y)2 － 5(x/y) ＋ 4 ＝ 0，解得 x/y ＝ 1 或 4．又 x － 2y＞0，即 x/y＞2，故 x/y ＝ 4．
C组
1．ACD　解析：由 Lp ＝ 20lg(p/p0) 得 p/p0 ＝ 10 的 (Lp/20) 次方，即 p ＝ p0·10 的 (Lp/20) 次方．因为 lg x 单调递增，所以声压级越大，实际声压越大．
由表可知 Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3 ＝ 40．
A：由 Lp1 ≥ Lp2 得 20lg(p1/p0) ≥ 20lg(p2/p0)，结合单调性得 p1 ≥ p2，正确．
B：p2/p3 ＝ 10 的 (Lp2 － 40)/20 次方，而 Lp2 － 40∈[10，20]，所以 (Lp2 － 40)/20∈[0.5，1]，
从而 p2/p3∈[100.5，10]，即 p2 ≤ 10p3，与 B 的结论相反，错误．
C：由 20lg(p3/p0) ＝ 40 得 lg(p3/p0) ＝ 2，所以 p3/p0 ＝ 102 ＝ 100，即 p3 ＝ 100p0，正确．
D：p1/p2 ＝ 10 的 (Lp1 － Lp2)/20 次方，而 Lp1 － Lp2∈[0，40]，所以 (Lp1 － Lp2)/20∈[0，2]，
从而 p1/p2 ≤ 102 ＝ 100，即 p1 ≤ 100p2，正确．故选 ACD．
2．B　解析：原式 ＝ (2 × (1/2)log23 ＋ (1/3)log23) × (log32 ＋ (1/2)log32)
＝ ((4/3)log23) × ((3/2)log32) ＝ (4/3) × (3/2) × (log23 · log32) ＝ 2 × 1 ＝ 2．故选 B．
第 页　共 页

展开更多......

收起↑