资源简介

4.1 认识三角形（第2课时）
学习任务分析
“三角形的三边关系”是初中几何的重要内容之一，它从“边”的角度刻画了三角形的特征，在探索“三角形的任意两边之和大于第三边”是通过合情推理和简单的演绎推理说明，体现了由实验几何到论证几何的研究过程。而“三角形的任意两边之差小于第三边”的探索则是运用归纳推理得出的。
作为认识三角形的第2课时，本节课立足于学生小学阶段的学习经验，让学生经历观察、操作、想象、推理、交流等活动过程，通过对不同三角形各自三边之间关系的观察与思考，经历三角形按边分类的过程，探索三角形三边之间的数量关系、并运用三角形三边关系解决简单问题，发展几何直观、推理能力和有条理的表达能力。
学生起点分析
学生知识技能基础：学生在小学已经学习过三角形的有关概念、性质，七年级上期掌握了基本的画图技能，能用尺规作一条线段等于已知两条线段的和与差。
学生活动经验基础：七年级学生对新知识充满好奇心和求知欲，尤其对几何图形的学习表现出较高的兴趣。在之前平行线等几何图形的学习过程中，学生已经积累了一定的观察、猜想、归纳说理的经验。同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
学生可能遇到的困难：小学阶段的数学学习主要建立在观察实验和经验的基础上，由感知实物世界过渡到数值计算和直观思维。初中阶段，学生会对数学知识产生“刨根问底”的强烈愿望，此时是进行逻辑思维训练的最佳阶段。如何归纳推理得出“三角形的任意两边之差小于第三边”对于学生来说可能存在一定的困难，本节课，怎样积极引导学生进行抽象思维，有条理地表达自己的思考过程，建构数学知识链，显得尤为重要。
教学目标
经历三角形按边分类、探索三角形三边之间数量关系的过程，体会分类、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，发展几何直观、推理能力和有条理的表达能力。
掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”、“三角形的任意两边之差小于第三边”，并能运用它解决简单问题。
教学重点：探索“三角形的任意两边之和大于第三边”，体会合情推理和演绎推理的数学思想方法。
教学难点：探索“三角形的任意两边之差小于第三边”，体会归纳推理的数学思想方法。
教学过程设计
第一环节：复习回顾，引发探究
活动内容
问题引入：
问题1：三角形是现实生活中常见的几何图形，经常出现在建筑物上或一些物体的结构框架中，上节课我们已经初步认识了三角形，请同学们回顾一下，我们都研究了三角形的哪些内容呢？
问题2：为了进一步认识三角形，你认为我们还可以从哪个方面去研究呢？
活动目的
以问题1这一开放性任务为开端，帮助学生构建研究三角形从“实际背景—归纳定义（组成元素、表示）—按角进行分类—探究性质（三角形的内角和为180°）—应用”的一般思路，逐步渗透研究几何图形的一般套路。
问题2培养学生的思维，让他们自主得出还可以从“边”的角度继续认识三角形，培养学生有条理分析问题的能力。
注意事项
鼓励学生独立思考，引导他们在分析过程中，锻炼他们有条理解决问题的能力。
第二环节（一）：探究新知，观察思考
1.活动内容
观察: 下面的三角形,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗
问题1：你能将这三种情况，按边进行分类吗
在上面按边分类的基础上，引出等腰三角形、等边三角形的概念。
2.活动目的
让学生根据提供的几个三角形，引导他们先从各自边长之间的大小关系进行观察，分为“三边各不相等”、“有两边相等”、“三边都相等”三种情况。
问题1在三种情况的基础上，更进一步按照“是否有两边相等”进行分类。
对于等边三角形是等腰三角形的特殊化情况，学生可能会出现概念混淆，设计上面两个问题降低分类难度，学生更易于接受。“分类”，是理解数学结构的关键一环，也是理清研究顺序的重要一环。
3.注意事项
先让学生对最容易混淆的有两条边相等和三边都相等的三角形进行辨析，再按照“边”的角度进行分类，学生更易于接受。对于“分类”，教师适时给予渗透不遗漏、不重复，希望可以利用“分类”，来发展学生的研究意识和思维水平。
第二环节（二）：探索“三角形的任意两边之和大于第三边”
活动内容
思考·交流
节日的晚上，房间内亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根较长 你是怎样得出的呢？
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？
在此基础上，师生共同明确“三角形的任意两边之和大于第三边”对所有的三角形都成立。
2.活动目的
本环节让学生探索“三角形的任意两边之和大于第三边”。通过上面两个问题引导学生经历由现实到数学、由特殊到一般的思考过程。逐步渗透合情推理到演绎推理的研究思路。这个环节是本节课的教学重点，两边之和的探索要为两边之差的探索发生学习迁移奠定坚实基础。
黄色灯带比较长，学生可能会凭借直观经验，或通过测量得出结论。
在（1）的基础上，将学生对问题的思考从特殊推广到一般、从直观提升到推理。用“两点之间线段最短”的事实说明“三角形的任意两边之和大于第三边”。
3.注意事项
要引导好学生“任意”二字的含义，不仅是三角形中“任意”的两条边，而且还要在“任意”的三角形中满足结论。但是不建议在教学中使用“在任意的三角形中，都有任意的两边之和大于第三边吗？”这样的问题，两个“任意”很可能会扰乱学生思路。应该尊重教材，多使用“在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？”这样的问题。
第二环节（三）：探索“三角形的任意两边之差小于第三边”
1.活动内容
操作·思考
操作活动1：
测量每个三角形的三边长度，计算任意两边之差，并与第三边比较。
a b a b a b
c c c
（1） （2） （3）
a= （2）a= （3）a=
b= b= b=
c= c= c=
操作活动2：（圆规验证）
A
B D C
在△ABC中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧，与边BC交于点D，图中是否有线段长度等于BC-AB呢？能用圆规直观说明BC-AB与AC的大小关系吗？
改变三角形的形状再试试，还有相同的结论吗？
在此基础上，师生共同明确“三角形的任意两边之差小于第三边”对所有的三角形都成立。
2.活动目的
本环节设计了两个层面的操作活动，活动1旨在通过测量的方法探究“三角形的任意两边之差小于第三边”。活动2借助圆规直观验证所发现的结论在更一般的情况下也成立。让学生经历观察、猜想、操作、交流、归纳等活动，渗透归纳推理的数学思想方法。
3.注意事项
在探索“三角形的任意两边之差小于第三边”时不必要求用不等式的性质进行说明。两个操作活动意在渗透归纳推理的重要思想，但是归纳必须建立在许多事实的基础上，对于归纳得出的猜想应该加以验证。
第三环节：应用性质，深化理解
1.活动内容
例：有两根长度分别为 5cm 和 8cm 的木棒，用长度为 2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ 用长度为 13cm 的木棒呢？用长度为 xcm 的木棒与它们摆成三角形，那么x的取值范围是什么呢？
2.活动目的
通过本例加深学生对三角形三边关系的理解，关注学生在解决问题时怎样处理“任意”二字，能否通过解题的过程，体会出三角形三边关系的使用策略，即：只要将较短的两边相加，或将最长边与最短边相减，再与第三边比较大小即可。
当第三边从2、13变为x的时候，旨在体现从特殊归纳出一般，再运用一般性结论解决特殊问题的数学方法。借助几何画板帮助学生直观感受x的长度应该大于原来两根木棒的长度之差，且小于原来两根木棒的长度之和。
3.注意事项
解决问题时先引导学生独立思考，然后合作学习，鼓励学生开展充分的讨论，关注学生的思维是否得到训练，创造力是否得到培养。
逐步培养他们有条理、有逻辑地解决问题的能力。
第四环节：课堂小结，总结回顾
1.活动内容
带领学生共同小结从边和角两个纬度认识三角形的研究脉络，并指出这也是几何图形研究的一般顺序。
2.活动目的
让学生回顾本节课分析问题、解决问题的过程，反思解决问题的方法，积累数学活动经验。
3.注意事项
鼓励学生分享本节课的学习收获与内心感悟，关注学生对分析问题、解决问题的过程与方法的领悟水平，引导学生有条理地进行表达。
第五环节：布置作业
1.活动内容
基础性作业：
88页，随堂练习1、2;93页，第5题.
拓展性作业：
问题：已知一个三角形的三边长分别为 x ， 2x-1 , 5x-3 ,其中有两边相等，求此三角形周长.
2.活动目的
作业采取分层设计，尊重个体差异，让每一位学生都学有所获。3.注意事项
鼓励学生多角度完成作业，但对于拓展性作业有困难的学生，不做硬性要求，可采用课下单独辅导的方式或小组合作学习的方式完成。
教学反思
教学设计应充分考虑本阶段学生学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质。
本节课教学设计的主要着眼点：
1.一条主线贯穿整节课，通过“实际情境——数学问题——按边元素进行分类——三边关系的猜想——验证、证明猜想—应用”完整地、流畅地落实下来。
2.本节课对三边关系的探究，力求让学生经历完整的数学过程。把如何发现和提出数学问题，作为教学的关键任务。以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何有以知其所以然”的跨越。以数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性为着眼点，力求教学设计符合学生的思维规律和认知特点。这样，“使学生学会思考，善于认识和解决问题”就能落在实处。
3.利用多媒体辅助教学，通过几何画板的直观演示，从数和形两个角度帮助学生理解第三边的上限和下限，从而突破教学难点。
4.结尾意味深长。了解三角形组成要素（角、边）之间的稳定的联系、确定的关系就是性质，要素、相关要素之间确定的关系也是性质。注重整体性，培养系统思维，引出几何图形研究的基本顺序。固化这种学习研究方法，不仅对学生当前的学习有促进作用，而且对今后其他图形知识的研究也有潜移默化的促进作用——即研究对象在变，“研究套路”不变，思想方法不变。

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