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第4讲 有理数的乘除 培优讲义
（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则
· 掌握有理数乘法的运算律，能运用运算律简化计算
· 理解倒数的意义，会求一个数的倒数
· 掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算
· 掌握有理数乘除混合运算的顺序，能熟练进行运算
· 能运用有理数乘除运算解决简单的实际问题
知识梳理
☆ 1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
任何数与0相乘，都得0
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负
乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用
概念辨析例题：计算：(-3)×4×(-)
解析：先确定符号：负因数有2个，偶数个，所以积为正；再计算绝对值：3×4×=6，所以结果为6
☆ 2.倒数
乘积为1的两个数互为倒数
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数
求一个数的倒数，就是用1除以这个数
概念辨析例题：求-3的倒数
解析：因为(-3)×(-)=1，所以-3的倒数是-
☆ 3.有理数的除法
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数，都得0
概念辨析例题：计算：(-12)÷(-)
解析：除以一个数等于乘它的倒数，所以(-12)÷(-)=(-12)×(-)=16
☆ 4.有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法
确定积的符号，再进行乘法运算
合理运用运算律简化计算
概念辨析例题：计算：(-8)÷2×(-)
解析：先将除法转化为乘法：(-8)××(-)=(-4)×(-)=2
知识总结表
核心概念 定义/法则 注意事项
有理数乘法 同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数与0相乘得0
倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数
有理数除法 除以一个数等于乘它的倒数 0不能作除数
乘除混合运算 先将除法转化为乘法，再计算 注意运算顺序，合理用运算律
运算律 交换律、结合律、分配律 运用运算律可以简化计算
核心考点
【考点1】有理数的乘法运算（第1-16题）
· 先确定积的符号，再计算绝对值
· 多个数相乘时，先看有没有0，有0则积为0
· 合理运用乘法运算律简化计算
1．（2026·江苏南通·模拟预测）计算（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）用简便方法计算：，其结果是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段检测）有四个互不相等的整数且，那么等于( )
A． B． C． D．不能确定
5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（ ）
A．8080 B．8100 C．8084 D．8096
6．（24-25七年级上·全国·课后作业）2024与_______的乘积为1，所以2024的倒数为_______；与_______的乘积为1，所以与_______互为倒数．
7．（24-25七年级上·广东清远·期中）计算：______．
8．（24-25六年级上·上海普陀·期中）的倒数是________．
9．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）请列举两个有理数：使它们的积为负数，和为负数，这两个有理数可以是_____．（写出一组即可）
10．（24-25七年级上·河北唐山·期中）若■表示最大的负整数，则______．
11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：_____．
12．（22-23七年级上·四川成都·阶段检测）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是_____，最小值是______．
13．（23-24七年级上·广东肇庆·期中）计算：_____．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
16．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点2】有理数的除法运算（第17-28题）
· 先将除法转化为乘法，再计算
· 先确定商的符号，再计算绝对值
· 注意0不能作除数
17．（24-25七年级上·全国·课后作业）规定，如，则（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）下列各式计算结果为负数的是（　　）
A． B． C． D．
19．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　）
A． B．
C． D．
20．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
21．（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______．
22．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），括号内应依次填入：______；______；______；______．
23．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
24．（23-24七年级上·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．
(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；
(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？
25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果对于任何非零有理数x，y，定义运算“”如下：．如，则的值是________．
26．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）计算：．
27．（24-25七年级上·江西宜春·阶段检测）阅读下列解题过程． 计算 ：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步） ．
回答：
(1)上面解答过程有错误，是第 步，错误的原因是 ；
(2)请写出正确的解题过程．
28．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点所表示的数分别为和1，则刻度尺上对应数轴上的点所表示的数是________．
【考点3】有理数的乘除混合运算（第29-39题）
· 先将所有除法转化为乘法
· 确定积的符号，再计算绝对值
· 合理运用运算律简化计算
29．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，化简（ ）
A． B．3或1 C．3或 D．
30．（24-25七年级上·天津·阶段检测）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
； ； ； ．
A． B． C． D．
31．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
33．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________．
34．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有___________．
①；②；③；④；⑤．

35．（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为______．
36．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是_______．
37．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________．
38．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）计算：
(1)；
(2) ；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
39．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：
第①式：
第②式：
第③式：
将这三个等式的两边相加，可以得到：
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）
（2） （用含的式子表示）
【阅读材料二】观察下列几个等式
第①式：，
第②式：，
第③式：，
第④式：，
请你思考后解答下列问题
（1）
（2） （用含n的式子表示）
（3）计算：．
【拓展应用】
直接写出下式的结果：
【考点4】有理数乘除的实际应用（第40-52题）
· 先理解题意，列出算式
· 注意正负数的实际意义
· 计算后要检验结果是否符合实际
40．（24-25六年级上·上海金山·期末）乐乐家新安装了一台太阳能热水器，一天她测量发现时，太阳能热水器水箱内水的温度是，以后每小时下降，第二天，乐乐早晨起来后测得水箱内水的温度为请你猜一猜她起床的时间可能是（ ）
A． B． C． D．
41．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
42．（24-25七年级下·重庆·自主招生）为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在以内（含）的按照每立方米元计算，到（含）的按照每立方米元计算，超过按照每立方米元计算，小丽家5月份用水量为，那么小丽家本月水费共（ ）元．
A． B． C． D．
43．（24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
44．（14-15七年级上·四川广安·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________．
45．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）：
房型 单人间 双人间 三人间
房价（元/天） 120 150 200
(1)所有女团员每天住宿的费用最少为 元；
(2)所有男团员每天住宿的费用最少为 元．
46．（22-23七年级上·江苏常州·阶段检测）小明有张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？请写出运算式子．（写出三种）
47．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．

(1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）；
(2)化简：；
(3)计算：．
48．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段检测）元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去探望爷爷、奶奶和姥爷、姥姥．早上从家里出发，向东走了5千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向西走了10千米到姥爷家，晚上返回家里．
(1)若以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来；
(2)超市和姥爷家相距多少千米？
(3)若小轿车每千米耗油升，求小明一家从出发到返回家，小轿车的耗油量．
49．（24-25七年级上·福建福州·期末）合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示．
注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计；
注2：以上计算取3；
注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等；
注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点．
(1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为．
①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）；
②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）；
(2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）．
50．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．
(1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）：
请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个）
__________________________；__________________________；
(2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（ ）
①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数 ②只能计算出1，2，3，4，6
③除5外的其它整数都能计算出 ④除7和9外的其它整数都能计算出
⑤以上选项均不正确
51．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖APP下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单
注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包：
问题解决
问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量： 电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用．
52．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________．
课后巩固
复习建议
· 熟练掌握有理数乘除法则，多做练习题提高计算准确率
· 注意符号的确定，这是有理数运算的易错点
· 灵活运用运算律简化计算，提高计算速度
· 理解倒数的概念，会求一个数的倒数
· 多做实际应用题，提高运用数学知识解决实际问题的能力
【作业1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C．3 D．6
【作业2】（24-25七年级上·全国·课后作业）某同学在计算时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是，则的正确的结果是（ ）
A．8 B． C．4 D．
【作业3】（23-24七年级上·山东临沂·期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【作业4】（25-26六年级上·全国·单元测试）小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出 二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收 二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ）
A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆
【作业5】（2024·甘肃武威·三模）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．5和 B．0.25和 C．100和0.001 D．和
【作业6】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）若的结果是一个正数，中可以填的一个有理数为_________．
【作业7】（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是______，与它的倒数的乘积是_____．
【作业8】（24-25六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术______克．
【作业9】（23-24七年级上·天津河西·期中）计算 的结果为__________________.
【作业10】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是______．
【作业11】（25-26七年级上·全国·课后作业）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24__________．
【作业12】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）登山队攀登一座山峰，每登高气温升高．登高时，气温升高了___________．
【作业13】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业14】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业15】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【作业16】（22-23七年级上·吉林·阶段检测）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数；
(2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数；
(3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①10表示的点与数________表示的点重合；
②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？
【作业17】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻.东北黑土地地处世界“黄金玉米带”.每年产生的玉米秸秆达上亿吨.某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） 0
袋数 1 4 2 3 2 8
(1)这20袋玉米秸秆中，质量最大是 千克；
(2)与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？
【作业18】（24-25七年级上·吉林四平·期中）小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，，．
(1)问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？
(2)在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？第4讲 有理数的乘除 培优讲义
（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则
· 掌握有理数乘法的运算律，能运用运算律简化计算
· 理解倒数的意义，会求一个数的倒数
· 掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算
· 掌握有理数乘除混合运算的顺序，能熟练进行运算
· 能运用有理数乘除运算解决简单的实际问题
知识梳理
☆ 1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
任何数与0相乘，都得0
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负
乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用
概念辨析例题：计算：(-3)×4×(-)
解析：先确定符号：负因数有2个，偶数个，所以积为正；再计算绝对值：3×4×=6，所以结果为6
☆ 2.倒数
乘积为1的两个数互为倒数
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数
求一个数的倒数，就是用1除以这个数
概念辨析例题：求-3的倒数
解析：因为(-3)×(-)=1，所以-3的倒数是-
☆ 3.有理数的除法
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数，都得0
概念辨析例题：计算：(-12)÷(-)
解析：除以一个数等于乘它的倒数，所以(-12)÷(-)=(-12)×(-)=16
☆ 4.有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法
确定积的符号，再进行乘法运算
合理运用运算律简化计算
概念辨析例题：计算：(-8)÷2×(-)
解析：先将除法转化为乘法：(-8)××(-)=(-4)×(-)=2
知识总结表
核心概念 定义/法则 注意事项
有理数乘法 同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数与0相乘得0
倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数
有理数除法 除以一个数等于乘它的倒数 0不能作除数
乘除混合运算 先将除法转化为乘法，再计算 注意运算顺序，合理用运算律
运算律 交换律、结合律、分配律 运用运算律可以简化计算
核心考点
【考点1】有理数的乘法运算（第1-16题）
· 先确定积的符号，再计算绝对值
· 多个数相乘时，先看有没有0，有0则积为0
· 合理运用乘法运算律简化计算
1．（2026·江苏南通·模拟预测）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两个有理数的乘法运算
【详解】解：．
2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）用简便方法计算：，其结果是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键．
利用乘法运算律计算求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查多个有理数相乘的运算，需先确定结果的符号，再计算数值部分.
【详解】原式
故答案为：B.
4．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段检测）有四个互不相等的整数且，那么等于( )
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据题意得出这四个数的值，即可确定这四个数的和，解题的关键在于根据题意判断出四个数的值．
【详解】解：由题意得：这四个整数小于或等于，且互不相等，再由乘积为可得，四个数中必有和，
∴四个数为：，，，，
∴和为，
故选：．
5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（ ）
A．8080 B．8100 C．8084 D．8096
【答案】B
【知识点】多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法．
一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题即可．
【详解】∵，，
∴可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．（24-25七年级上·全国·课后作业）2024与_______的乘积为1，所以2024的倒数为_______；与_______的乘积为1，所以与_______互为倒数．
【答案】
【知识点】倒数
【分析】本题考查了倒数， 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：2024与的乘积为1，所以2024的倒数为；与的乘积为1，所以与互为倒数，
故答案为： ， ，，．
7．（24-25七年级上·广东清远·期中）计算：______．
【答案】
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
8．（24-25六年级上·上海普陀·期中）的倒数是________．
【答案】
【知识点】倒数
【分析】根据倒数定义，找到乘积为的数即可得到结果．
【详解】解：，
的倒数是．
9．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）请列举两个有理数：使它们的积为负数，和为负数，这两个有理数可以是_____．（写出一组即可）
【答案】1和（答案不唯一）
【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，两个有理数的积为负数表明它们异号，和为负数表明负数的绝对值大于正数的绝对值，据此求解即可．
【详解】解：两个有理数的积为负数，和为负数，则这两个有理数异号，且负数的绝对值大于正数的绝对值，
所以这两个有理数可以是1和，
故答案为：1和（答案不唯一）．
10．（24-25七年级上·河北唐山·期中）若■表示最大的负整数，则______．
【答案】
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，最大的负整数为，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：∵■表示最大的负整数，
∴■表示的数为，
∴，
故答案为；．
11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：_____．
【答案】4
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将带分数化为假分数，利用乘法交换律和分配律进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：4．
12．（22-23七年级上·四川成都·阶段检测）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是_____，最小值是______．
【答案】
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
【详解】解：积的最大值是，
积的最小值为，
故答案为：，．
13．（23-24七年级上·广东肇庆·期中）计算：_____．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据乘法分配律即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键．
(1)根据两数相乘，异号得负，先确定符号，再把绝对值相乘即可；
（2）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可；
（3）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）按照有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）运用乘法运算法则即可；
（3）运用乘法运算法则即可；
（4）运用乘法运算法则即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
16．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算
【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可；
（2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可；
（3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化；
（4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【考点2】有理数的除法运算（第17-28题）
· 先将除法转化为乘法，再计算
· 先确定商的符号，再计算绝对值
· 注意0不能作除数
17．（24-25七年级上·全国·课后作业）规定，如，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，根据新定义转化为有理数的除法计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
．
故选B．
18．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）下列各式计算结果为负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算
【分析】先分别算出各个选项的数值，再作选择，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法，除法运算，掌握运算法则是解本题的关键．
19．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算
【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题．
【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意．
B、 ，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．
C、 ，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意．
D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．
故选：C．
20．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、有理数的除法运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果；
第②个式子根据有理数的乘法可以计算出正确的结果；
第③个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果；
第④个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果．
【详解】，故①不正确；
，故②不正确；
，故③正确；
，故④正确；
综上可知，正确的有③④．
故选：C．
21．（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______．
【答案】
【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..；由此可知每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：
第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：；第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..；
∴每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度，
∵，
∴第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为；
故答案为．
22．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），括号内应依次填入：______；______；______；______．
【答案】
【知识点】有理数的除法运算、 分数的基本性质、 百分数、小数和分数的互化
【分析】本题主要考查了分数、小数、百分数、比和除法之间的互化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可得解，熟练掌握其转化方法并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
23．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查有理数的除法运算：
（1）变除法为乘法，再约分化简即可；
（2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简；
（3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可；
（4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：.
24．（23-24七年级上·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．
(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；
(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？
【答案】(1)
(2)米
【知识点】有理数除法的应用
【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
即山顶的温度为；
（2）
（米），
即他距山脚1500米．
25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果对于任何非零有理数x，y，定义运算“”如下：．如，则的值是________．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可．
【详解】解：由题意得
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、定义新运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
26．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】本题考查有理数的除法运算，利用倒数法结合有理数的乘法分配律进行简算即可．
【详解】解：原式的倒数为
．
故原式．
27．（24-25七年级上·江西宜春·阶段检测）阅读下列解题过程． 计算 ：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步） ．
回答：
(1)上面解答过程有错误，是第 步，错误的原因是 ；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②④，②的错误原因是同级运算没从左至右运算；④的错误原因是两个负数相除结果为正
(2)
原式
．
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可；
（2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：②乘法和除法的混合运算，同级运算没从左至右运算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误，
故答案为：②④；②的错误原因是同级运算没从左至右运算；④的错误原因是两个负数相除结果为正
（2）略
28．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点所表示的数分别为和1，则刻度尺上对应数轴上的点所表示的数是________．
【答案】3
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的混合运算，先结合题意得出对应数轴上的1个单位，再根据刻度尺为，则对应数轴上的数为，即可作答．
【详解】解：∵刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和1，
∴
即对应数轴上的1个单位，
故当刻度尺为时，对应数轴上的数为，
故答案为：3
【考点3】有理数的乘除混合运算（第29-39题）
· 先将所有除法转化为乘法
· 确定积的符号，再计算绝对值
· 合理运用运算律简化计算
29．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，化简（ ）
A． B．3或1 C．3或 D．
【答案】C
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数乘除混合运算
【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键．
【详解】解： ，
分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负；
①同正：；
②两正一负，不妨令，则；
③一正两负，不妨令，则；
④同负：；
故选：C．
30．（24-25七年级上·天津·阶段检测）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
； ； ； ．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数大小比较，根据数轴上点的特征可得，且，可判定，，再根据数轴比较有理数大小可判定，，理解数轴并灵活对式子进行变形是解题的关键．
【详解】由数轴可知：，且，故正确；错误；
∴，故错误；
，，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
31．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键．
，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答．
【详解】设，，，，则，，
∴
，
∵设，则．，
∴．
∴．
故选A．
33．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题根据有理数的乘方、乘除以及加法运算法则，逐步计算式子的值即可求解.
【详解】
【点睛】此题主要考查有理数混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键.
34．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有___________．
①；②；③；④；⑤．

【答案】④⑤
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算
【分析】根据数轴可得，再根据有理数的运算法则逐一判断即可．
【详解】由数轴可知：，
∴，故①错误；
，故②错误，
，故③错误；
，故④正确；
，故⑤正确．
故答案为：④⑤
【点睛】本题考查了数轴、有理数的四则运算，绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
35．（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为______．
【答案】2
【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算
【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴a，b，c中有一个负数或三个负数，
∵，
∴a，b，c中负数只有一个，即正数的个数为2个，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是_______．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】解：第一组所有数的和为，
第二组所有数的和为，
第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是，
同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是，
故答案为：．
37．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________．
【答案】23
【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值．
【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足，
，
，
，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字，
不妨设，，，，
解得，，，，
，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字，
当，，，时，取得最小值，此时的值为23，
故答案为：23．
38．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）计算：
(1)；
(2) ；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)10
(2)3
(3)
(4)20
(5)2
(6)2
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，
（1）先将减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；
（2）先将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可；
（3）根据乘法分配律进行简便计算即可；
（4）根据运算顺序，先算乘除，再算加减即可；
（5）根据运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
（6）根据运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
39．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：
第①式：
第②式：
第③式：
将这三个等式的两边相加，可以得到：
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）
（2） （用含的式子表示）
【阅读材料二】观察下列几个等式
第①式：，
第②式：，
第③式：，
第④式：，
请你思考后解答下列问题
（1）
（2） （用含n的式子表示）
（3）计算：．
【拓展应用】
直接写出下式的结果：
【答案】材料阅读一：（1）3080；（2）；材料阅读二：（1）2870；（2）；（3）19270；拓展应用：10100
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】材料阅读一：
（1）根据题中所给的式子得出第 式：，代入进行计算即可得到答案；
（2）根据题中所给的式子得出第式：，代入进行计算即可得到答案；
阅读材料二：
（1）根据题中所给的式子归纳即可得到答案；
（2）根据题中所给的式子归纳即可得到答案；
（3）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案；
拓展应用：
根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案．
【详解】阅读材料一：
解：（1）第①式：
第②式：
第③式：，
…，
第 式：，
；
（2）第①式：
第②式：
第③式：，
…，
第式：，
；
阅读材料二：
解：（1）第①式：，
第②式：，
第③式：，
第④式：，
…，
，
故答案为：2870；
（2）第①式：，
第②式：，
第③式：，
第④式：，
…，
，
故答案为：；
（3）由题意得：
；
拓展应用：
解：根据题意得：
，
故答案为：10100．
【点睛】本题考查了数字类变化规律、有理数的混合运算，理解题意，根据题中所给的式子，抽象概括出第式：以及是解此题的关键．
【考点4】有理数乘除的实际应用（第40-52题）
· 先理解题意，列出算式
· 注意正负数的实际意义
· 计算后要检验结果是否符合实际
40．（24-25六年级上·上海金山·期末）乐乐家新安装了一台太阳能热水器，一天她测量发现时，太阳能热水器水箱内水的温度是，以后每小时下降，第二天，乐乐早晨起来后测得水箱内水的温度为请你猜一猜她起床的时间可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、有理数除法的应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．计算温度下降所需时间，再从开始时间加经过时间得出起床时间，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵温度从降至，下降的温度为，
∵每小时下降，
∴所需时间（小时），
∵开始时间为，
∴经过12小时后为第二天，
故选：C
41．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算
【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．
【详解】由数轴可得，，，
∴
，
，
故选：．
42．（24-25七年级下·重庆·自主招生）为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在以内（含）的按照每立方米元计算，到（含）的按照每立方米元计算，超过按照每立方米元计算，小丽家5月份用水量为，那么小丽家本月水费共（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查的是用小数计算的复合应用题，关键是水费要分三种情况来计算，然后分别求出水费总价再相加．单价数量总价，是解决本题的依据．
小丽家的水费要分三部分来求，立方米以内（含立方米）的一部分；超过立方米到立方米（含立方米）的；超过立方米的一部分，分别求出再相加．据此解答．
【详解】解：（元），
，
，
（元），
，
，
（元），
（元），
∴小丽家本月要缴水费元，
故选：C．
43．（24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题
【分析】本题考查化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据绝对值的意义化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式；
故选：C．
44．（14-15七年级上·四川广安·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________．
【答案】
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项
【分析】根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的性质化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：由数轴得：，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
45．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）：
房型 单人间 双人间 三人间
房价（元/天） 120 150 200
(1)所有女团员每天住宿的费用最少为 元；
(2)所有男团员每天住宿的费用最少为 元．
【答案】(1)1200
(2)1300
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题，尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足，通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可．
【详解】（1）解：由题意知，单人间为120元/人·天；双人间为75元/人·天；三人间为元/人·天；
∴，
要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间，
∵女团员有18名，
∴需要三人间的数量为（间），
∴（元），
∴所有女团员每天住宿的费用最少为1200元．
故答案为：1200．
（2）解：∵男团员有19名，
∴要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间，
∴共有两个方案选择：
方案1：6个三人间，1个单人间，（元），
方案2：5个三人间，2个双人间，（元），
∵，
∴所有男团员每天住宿的费用最少为1300元．
故答案为：1300．
46．（22-23七年级上·江苏常州·阶段检测）小明有张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？请写出运算式子．（写出三种）
【答案】；；
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点
【分析】找出四张卡片，利用点游戏规律列出算式即可．
【点评】根据有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘法、除法是解题的关键．
47．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．

(1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）；
(2)化简：；
(3)计算：．
【答案】(1)＜，＝ ，＜
(2)
(3)
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题
【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识，
（1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小和，即可判断；
（2）利用绝对值的性质化简即可解决问题；
（3）利用绝对值的性质化简即可解决问题
【详解】（1）解：由数轴可得：，
∵，
∴，，；
（2）解：原式＝
＝
（3）解：原式＝
＝
＝
48．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段检测）元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去探望爷爷、奶奶和姥爷、姥姥．早上从家里出发，向东走了5千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向西走了10千米到姥爷家，晚上返回家里．
(1)若以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来；
(2)超市和姥爷家相距多少千米？
(3)若小轿车每千米耗油升，求小明一家从出发到返回家，小轿车的耗油量．
【答案】(1)
解：点A，B，C即为如图所示．
(2)7.5千米
(3)升
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数与数轴：
（1）根据题意在数轴上表示出各点即可；
（2）先求出姥姥家表示的数，再根据数轴还是那个两点距离计算公式求解即可；
（3）先求出总路程，再求出总油耗即可．
【详解】（1）略
（2）解：
∴超市和姥爷家相距千米；
（3）解：升，
∴小明一家从出发到返回家，小轿车的耗油量为升．
49．（24-25七年级上·福建福州·期末）合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示．
注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计；
注2：以上计算取3；
注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等；
注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点．
(1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为．
①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）；
②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）；
(2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）．
【答案】(1)①第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．②第六分道起跑点设在北侧直道；第六道相对于第一道的前伸数．
(2)两项比赛场地的总面积为．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式．
（1）①根据总长减去圆周长进行计算即可；
②根据①的计算结果可得起跑点设在北侧直道，再由第六跑道西侧查道测量线的长减去第一跑道西侧弯道测量线的长即可；
（2）利用割补法求解五边形的面积，再求解圆的面积，再求和即可．
【详解】（1）解：①记第一分道弯道测量线所在圆半径为，第六分道弯道测量线所在圆半径为
第六分道的直道总长度为
第六分道的弯道总长度为
答：第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．
②第六分道起跑点设在北侧直道；
第六分道西侧弯道长为
第一分道西侧弯道长为
答：第六道相对于第一道的前伸数．
（2）解：根据题意，得
长方形的面积为
三角形的面积为
三角形的面积为
五边形的面积为
“跳绳”项目比赛场地
答：两项比赛场地的总面积为．
50．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．
(1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）：
请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个）
__________________________；__________________________；
(2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（ ）
①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数 ②只能计算出1，2，3，4，6
③除5外的其它整数都能计算出 ④除7和9外的其它整数都能计算出
⑤以上选项均不正确
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)①
【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用点游戏规律列出算式即可；
（2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数，
故答案为：①．
51．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖APP下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单
注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包：
问题解决
问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量： 电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用．
【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；②订购方案的总费用为元（答案不唯一）
【知识点】有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键．
（1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答；
（2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答；
（3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答．
【详解】解：问题1：
通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元），
答：需花费630元．
问题2：
刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
则需花费（元），
答：需花费667元．
问题3：
根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则可以选择电话订购30杯，送3杯，
此时花费（元），则外卖APP订购杯；
通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”，
则（元），
订购总费用为（元）．
电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元．
故答案为：30；3；13（答案不唯一）．
52．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________．
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，解决本题的关键是掌握运算法则.
根据有理数的乘除法运算，先将除法转化为乘法，再从左向右依次进行运算.
【详解】解：原式
故答案为：．
课后巩固
复习建议
· 熟练掌握有理数乘除法则，多做练习题提高计算准确率
· 注意符号的确定，这是有理数运算的易错点
· 灵活运用运算律简化计算，提高计算速度
· 理解倒数的概念，会求一个数的倒数
· 多做实际应用题，提高运用数学知识解决实际问题的能力
【作业1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握乘法法则是解决问题的关键．先根据同号得正，异号得负确定结果的运算符号，再把绝对值相乘．
【详解】解：．
故选：A ．
【作业2】（24-25七年级上·全国·课后作业）某同学在计算时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是，则的正确的结果是（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查有理数的运算；根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值．
【详解】解：根据题意，，得，
∴；
故选：D．
【作业3】（23-24七年级上·山东临沂·期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查的是绝对值、数轴、有理数的加法、减法、乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．
先根据点在数轴上的位置，判断出a、b的正负，然后再比较出a、b的大小，最后结合选项进行判断即可．
【详解】∵，a到0的距离小于b到0的距离，
∴，故C选项错误；
∴，故A选项错误；
∴，故B选项正确；
∴，故D选项错误．
故选：B．
【作业4】（25-26六年级上·全国·单元测试）小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出 二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收 二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ）
A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆
【答案】C
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将总排放量除以每盆吸收量，求得绿萝盆数盆，根据实际问题可得剩余, 因此需增加1盆，即可求解．
【详解】解：一个快递包装排放二氧化碳，每盆绿萝每天吸收．
将总排放量除以每盆吸收量，即，
由于绿萝盆数必须为整数，且盆仅能吸收，
剩余未被吸收，
因此需增加1盆，即至少需要1334盆，
1334盆可吸收满足全部吸收要求．
故选：C．
【作业5】（2024·甘肃武威·三模）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．5和 B．0.25和 C．100和0.001 D．和
【答案】D
【知识点】倒数
【分析】本题考查的是倒数．根据倒数的定义“乘积是1的两数互为倒数”解答即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【作业6】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）若的结果是一个正数，中可以填的一个有理数为_________．
【答案】
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】根据有理数乘法法则，两数相乘同号得正，已知其中一个因数为负数，故另一个因数需为负数，据此确定□内的有理数．
【详解】解：∵的结果是一个正数，
∴中的数必须为负数，
∴中可以填的一个有理数为．（答案不唯一）
【作业7】（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是______，与它的倒数的乘积是_____．
【答案】 1
【知识点】倒数
【分析】根据倒数的定义解答即可．
本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：的倒数是，与它的倒数的乘积是1．
故答案为：，1．
【作业8】（24-25六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术______克．
【答案】63
【知识点】有理数除法的应用
【分析】本题考查了有理数的乘除实际应用，正确理解题意是解题的关键．
先算出一副“芩桂术甘汤”药方的重量，由总重量可得有几副，再乘以每副白术的重量即可．
【详解】解：（克），
故答案为：63．
【作业9】（23-24七年级上·天津河西·期中）计算 的结果为__________________.
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：
【点睛】此题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
【作业10】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是______．
【答案】/
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，根据数轴确定的符号是解题的关键．首先根据数轴确定的符号，再化简绝对值即可．
【详解】由数轴可知，，
则，
∴
，
故答案为：．
【作业11】（25-26七年级上·全国·课后作业）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24__________．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解本题的关键．
根据有理数的混合运算构造出结果为24即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【作业12】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）登山队攀登一座山峰，每登高气温升高．登高时，气温升高了___________．
【答案】
【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了正负数的意义，有理数乘法的应用，解题的关键是先分析得出变化量，再结合正负数的意义求解．根据，表示为下降 ，气温变化为，据此即可解答．
【详解】解：，
因为，上升为正，下降为负，
所以，登高后，气温下降．
故答案为：．
【作业13】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果；
（2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果；
（3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果；
（4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【作业14】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)7
(3)0
(4)
【知识点】有理数的除法运算
【分析】（1）两数相除，异号得负，并把绝对值相除即可；
（2）两数相除，同号得正，并把绝对值相除即可；
（3）0除以任何一个非0的数，都得0；
（4）先把带分数化为假分数，两数相除，同号得正，再化除为乘，按照有理数的乘法法则计算即可；
本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
．
【作业15】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】（1）先化简绝对值和乘方，然后计算乘除，最后算加减即可；
（2）先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可；
（3）先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可.
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
.
（2）原式
（3）原式
【作业16】（22-23七年级上·吉林·阶段检测）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数；
(2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数；
(3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①10表示的点与数________表示的点重合；
②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？
【答案】(1)点A表示的数为1，点B表示的数为
(2)
如图所示，点C和点D即为所求；
(3)①；②点M表示的数为，点N表示的数为
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用、数轴上的翻折
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数：
（1）根据数轴上点的位置即可得到答案；
（2）根据数轴上两点距离计算公式得到与点A距离为2的点表示的数为或3，据此在数轴上表示出对应的点即可；
（3）①先求出折叠中心为2，再根据与10重合的数到折叠中心的距离等于10到折叠中心的距离进行求解即可；
②根据题意可得点M和点N到折叠中心的距离都为1012，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为；
（2）解：∵点A表示的数为1，
∴与点A距离为2的点表示的数为或3；
（3）解：①∵折叠纸面，在数轴上表示的点与表示5的点重合，
∴折叠中心为，
∴数轴上表示10的点与表示的点重合，
故答案为：；
②∵数轴上M，N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M，N两点经折叠后重合，
∴点M和点N到折叠中心的距离都为1009，
∴点M表示的数为，点N表示的数为．
【作业17】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻.东北黑土地地处世界“黄金玉米带”.每年产生的玉米秸秆达上亿吨.某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） 0
袋数 1 4 2 3 2 8
(1)这20袋玉米秸秆中，质量最大是 千克；
(2)与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？
【答案】(1)
(2)千克
【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算等，理解正负数的意义是解题的关键．
（1）根据正负数大小比较，可得答案；
（2）计算超过或不足的总和，进而得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴这20袋玉米秸秆中，质量最大是：（千克），
故答案为：．
（2）解：与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计为：
（千克）．
【作业18】（24-25七年级上·吉林四平·期中）小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，，．
(1)问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？
(2)在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？
【答案】(1)小花猫最后在出发点的右边，离开出发点O相距10米
(2)小花猫一共得到条小鱼
【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，
（1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小花猫最后离原点的位置；
（2）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小花猫爬行的总路程，即可求出小花猫共得小鱼数量．
【详解】（1）解：
答：小花猫最后在出发点的右边，离开出发点O相距10米
（2）解：(米)
(条)
答：小花猫一共得到条小鱼．

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